Exercices L2 semestre 1

MM3 2012-2013
Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 17 septembre 2012
+ Exercice 1.
vrais ?
Parmi les énoncés suivants (où u et v sont deux suites de nombres réels), quels sont ceux qui sont
• (a) Si u est croissante et convergente, elle est majorée.
• (b) Si u est majorée et convergente, elle est croissante.
• (c) Si u est décroissante et positive, elle converge.
• (d) Si u est croissante et non majorée, elle diverge.
• (e) Si u et v sont divergentes, u + v est divergente.
• (f) Si u est convergente et v divergente, u + v est divergente.
• (g) Si u est convergente et v divergente, uv est divergente.
• (h) Si u tend vers 0, uv tend vers 0.
+ Exercice 2.
Soit u = (un )n∈N une suite de nombres réels. Montrer que si les sous-suites de u : (u2n )n∈N , (u2n+1 )n∈N
et (u3n )n∈N convergent, il en est de même de u.
+ Exercice 3.
Soient a et b deux nombres complexes tels que a2 + 4b = 0 . Soit S l’ensemble des suites (wn )n∈N de
nombres complexes telles que :
∀n∈N wn+2 = awn+1 + bwn
Montrer que les suites u = (un ) et v = (vn ) définies par
a
un = ( )n
2
a
vn = n( )n
2
et
appartiennent à S et que toute suite appartenant à S est une combinaison linéaire de u et v.
+ Exercice 4.
Soit u = (un )n∈N une suite de nombres réels. Montrer que s’il existe une fonction f : R → N telle que
pour tout x ∈ R et tout n ∈ N on ait un ≤ x ⇔ n ≤ f (x), alors la suite u tend vers +∞.
+ Exercice 5.
Calculer lim
lim (cos πp!x)2n .
p→+∞ n→+∞
+ Exercice 6.
On note F le corps des fractions rationnelles (à coefficients réels). Si f et g sont deux éléments de
F , on définit f ≤ g comme ∃A∈R ∀x>A f (x) ≤ g(x).
(a) Montrer que ≤ est une relation d’ordre total sur F .
(b) Montrer que F muni de ≤ est un corps ordonné (c’est-à-dire que f ≤ g ⇒ f +h ≤ g+h et (f ≤ g∧0 ≤ h) ⇒ f h ≤ gh).
1
(c) Montrer que dans le corps F la suite
n’a pas de limite.
n + 1 n∈N
(d) Exhiber une partie non vide et majorée de F qui n’a pas de borne supérieure.
+ Exercice 7.
supérieure.
On appelle « corps réel » un corps totalement ordonné (voir exercice 6) vérifiant l’axiome de la borne
(a) Soit K un corps réel. Montrer que pour tout x ∈ K et tout a ∈ K tel que 0 < a, il existe un entier n ∈ N tel que
na > x.
1
(b) Montrer que dans tout corps réel, la suite
tend vers 0.
n + 1 n∈N
+ Exercice 8.
On considère les deux suites de nombres réels u = (un )n∈N∗ et v = (vn )n∈N∗ . définies par :
un = 1 +
1
1
+ ··· +
1!
n!
et
vn = un +
1
n(n!)
(a) Montrer que :
• (a) la suite u est croissante,
• (b) la suite v est décroissante,
• (c) pour tout n ≥ 1, un ≤ vn ,
• (d) lim (vn − un ) = 0.
n→+∞
En déduire que les suites u et v sont convergentes et de même limite (qui sera notée e ; pourquoi ?).
(b) Montrer que pour tout entier n > 0, il existe un unique nombre réel θn tel que 0 < θn < 1 et tel que :
e = un +
θn
n(n!)
(c) En déduire que e est irrationnel.
+ Exercice 9.
On considère une fonction f : R → R continue, dérivable et telle que pour tout x ∈ R |f 0 (x)| < 1/2.
Soit u0 un réel quelconque. On pose un+1 = f (un ). Montrer que la suite (un )n∈N est convergente.
+ Exercice 10.
Le théorème de Bolzano-Weirstrass pour la dimension 1 dit que toute suite bornée de R a une
sous-suite convergente. Généraliser ce résultat à Rn par récurrence sur n.
+ Exercice 11.
Soit α un nombre réel, et soit u la suite définie par un = einα .
(a) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
• (a) α/π est rationnel,
• (b) la suite u est périodique,
• (c) la fonction n 7→ un n’est pas injective,
• (d) l’ensemble {un | n ∈ N} est un sous-groupe du groupe (multiplicatif) des complexes de module 1.
On suppose désormais que α/π est irrationnel.
(b) Montrer qu’il existe pour tout ε > 0 des entiers naturels distincts n et m tels que |un − um | < ε. (Utiliser le résultat
de l’exercice 10)
(c) En déduire que la suite u a une sous-suite qui converge vers 1.
(d) Montrer que pour tout complexe z de module 1 et tout ε > 0 il existe n ∈ N tel que |z − un | < ε.
(e) En déduire que pour tout complexes z de module 1, u a une sous-suite qui converge vers z.
(f) On note u la suite conjuguée de u (i.e. un = un ). Montrer que l’union de l’image de la suite u et de l’image de la suite
u est un sous-groupe du groupe des complexes de module 1.
+ Exercice 12.
(a) Montrer que pour tout x ∈ [0, 1], il existe une unique suite (θ(x)n )N∈N telle que ∀n∈N θ(x)n ∈
+∞
X
θ(x)n
{0, 1, 2}, x =
et @n∈N ∀p>n θ(x)p = 2.
3n+1
n=0
(b) On note ϕ la fonction de {0, 1, 2} vers lui-même telle que ϕ(0) = ϕ(2) = 1 et ϕ(1) = 0. Soit u = (un )n∈N une suite
de réels de l’intervalle [0, 1]. On pose
+∞
X
ϕ(θ(un )n )
x=
3n+1
n=0
Montrer que x est bien défini et n’est pas dans l’image de la suite u.
(c) En déduire qu’il n’existe pas de surjection N → R.
MM3 2012-2013
Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 24 septembre 2012
+ Exercice 1.
(a) Soitf : R → R une fonction continue en 0 telle que ∀x∈R f (2x) = f (x). Utiliser
x
pour montrer que f est une fonction constante.
2n n∈N
(pour x donné) la suite
(b) Montrer par une méthode analogue que si f : R → R est une fonction continue en 0 et en 1 telle que
∀x∈R f (x) = f (x2 ), alors f est constante.
(c) Soit f : R → R une fonction continue telle que f (0) = 1 et telle que ∀x∈R f (2x) = f (x) cos x. Montrer
sin(x)
que f (x) =
pour tout x ∈ R − {0}.
x
p
+ Exercice 2.
Étudier la continuité sur R de l’application f = (x 7→ E(x) + x − E(x)), où E(x) est
la partie entière de x.
+ Exercice 3.
Soit ϕ : N → Q une bijection. On pose pour tout x ∈ R, f (x) =
X
ϕ(n)<x
1
.
2n
(a) Montrer que f est croissante. Déterminer ses limites en −∞ et en +∞.
(b) Montrer que f est continue à gauche et discontinue à droite en tout point rationnel.
(c) Montrer que f est continue en tout point irrationnel.
+ Exercice 4.
Soit f :]0, +∞[→ R une fonction croissante telle que x 7→
que f est continue.
+ Exercice 5.
f (x)
soit décroissante. Montrer
x
Soit f : R → R une fonction telle que ∀x,y∈R f (x + y) = f (x) + f (y).
(a) Calculer f (0) et montrer que pour tout x ∈ R, f (−x) = −f (x).
(b) Établir que pour tout r ∈ Q, f (r) = ar avec a = f (1).
(c) Montrer que si f est continue en 0, f est R-linéaire.
(d) Montrer que si f n’est pas continue en 0, il existe pour tous réels a, b, c et d tels que a < b et c < d un
réel x tel que a < x < b et c < f (x) < d.
+ Exercice 6.
Soient deux réels a et b tels que a < b et f : [a, b] → R une fonction croissante. Montrer
que si f ([a, b]) est un intervalle, alors f est continue.
+ Exercice 7.
Soit I un intervalle de R et f : I → R une fonction croissante. Montrer que l’ensemble
des points de I où f est discontinue est dénombrable.
+ Exercice 8.
Soit f : [0, 1[→ R une fonction uniformément continue. Montrer que f est bornée.
+ Exercice 9.
Soit f : R+ → R une fonction continue et tendant vers 0 à l’infini. Montrer que f est
uniformément continue.
+ Exercice 10.
Soit une fonction f : [0, 1] → [0, 1].
(a) On suppose que f est continue. Montrer que f admet un point fixe.
(b) On suppose que f est croissante. Montrer que f admet un point fixe.
Soit f : R → R une fonction continue périodique de période T > 0. Montrer qu’il existe
T
x ∈ R tel que f (x) = f (x + ).
2
+ Exercice 11.
+ Exercice 12. Soit f : R → R une fonction continue telle qu’il existe un entier n ≥ 2 tel que f n soit
l’application identique de R (où f n = f ◦ f ◦ · · · ◦ f avec n fois la lettre f ).
(a) Montrer que f est une bijection et que son application réciproque f −1 est continue.
(b) Montrer que pour tout x ∈ R, il existe k tel que 0 < k < n et tel que f (x) − x et f k+1 (x) − f k (x) soient
tous les deux nuls ou tous les deux non nuls et de signes contraires.
(c) Montrer que f a un point fixe.
+ Exercice 13.
Soient f et g deux fonctions continues de [0, 1] vers [0, 1], telles que g ◦ f = f ◦ g. On
veut montrer qu’il existe x0 ∈ [0, 1] tel que f (x0 ) = g(x0 ), et on se propose de le faire par l’absurde. On
suppose donc que ∀x∈[0,1] f (x) 6= g(x).
(a) Montrer qu’on a ∀x∈[0,1] f (x) < g(x) ou ∀x∈[0,1] g(x) < f (x).
Désormais, on suppose que ∀x∈[0,1] f (x) < g(x). On pose ϕ(x) = f (g(x)) (pour tout x ∈ [0, 1]) et on pose
F = {x ∈ [0, 1] | ϕ(x) = x}.
(b) Montrer que F un plus grand élément (qu’on notera α).
(c) Montrer que F est stable par f et par g (autrement-dit, que f (F ) ⊂ F et g(F ) ⊂ F ).
(d) Montrer que f : F → F est surjective.
On note y un élément de F tel que f (y) = α.
(e) Conclure en trouvant une contradiction.
+ Exercice 14.
(a) Montrer que la fonction f : R → R définie par
f (0)
=
0
f (x)
=
1
x + 2x2 cos( )
x
(si x 6= 0)
est continue et dérivable sur R et que f 0 (0) = 1. Tracer le graphe de f .
(b) La fonction f est-elle croissante dans un voisinage de 0 ?
(c) La dérivée f 0 de f est-elle continue ?
+ Exercice 15.
Montrer que si la fonction f : R → R est dérivable (sa dérivée n’est pas supposée
continue), et si I est un intervalle de R, alors f 0 (I) est un intervalle.
+ Exercice 16.
Soit f :]0, 1[→ R une fonction de classe C 1 . On pose F = {x ∈]0, 1[ | f 0 (x) = 0}.
(a) Montrer que
∀ε>0 ∃η>0 ∀x∈F ∀y∈F |x − y| < η ⇒ |f (x) − f (y)| < εη
(b) Montrer qu’il existe un entier n et des réels y1 , . . . , yn tels que f (F ) ⊂
n
[
i=1
]yn , yn +
ε
[.
n
MM3 2012-2013
Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 1 octobre 2012
+ Exercice 1.
Calculer les intégrales suivantes
Z a
ln(x)dx
1
Z
1
p
1 − x2 dx
0
+ Exercice 2.
Soit D le complémentaire dans C de l’ensemble des réels négatifs ou nuls, et soit z ∈ D.
On pose, pour tout a ∈ [0, 1] :
Z a
1−z
g(a) =
dt.
t
+
(1 − t)z
0
(a) Montrer que g(a) est bien défini, et calculer g 0 (a).
(b) On pose h(a) = e−g(a) (a + (1 − a)z). Montrer que h est une fonction constante.
(c) En déduire que l’application x 7→ ex de C vers C∗ est surjective.
(d) En déduire que tout polynôme à coefficients complexes de degré n > 0 est le produit de n polynômes de
degré 1 (théorème de d’Alembert).
+ Exercice 3.
Soit f : [a, b] → R (a < b) une fonction intégrable (au sens de Riemann). Montrer qu’il
existe c ∈ [a, b] tel que f soit continue en c.
+ Exercice 4.
Exhiber une fonction intégrable sur [0, 1] qui n’est continue sur aucun intervalle ouvert
contenu dans [0, 1].
+ Exercice 5.
Soit f une fonction continue sur [a, b]. Calculer la limite de (n ∈ N)
Z
b
f (x) cos(nx)dx
a
quand n tend vers l’infini.
+ Exercice 6.
(a) Calculer par récurrence sur n (pour n ∈ N)
Z
In =
π
2
sinn (x)dx.
0
(b) Montrer que la suite {In }n∈N est décroissante.
(c) En déduire que
√
1
2.4.6 . . . 2n
= π.
lim √
n→∞
n 1.3.5 . . . (2n − 1)
+ Exercice 7.
Soit f une fonction continue non nulle et positive sur [0, 1].
Z 1
(a) Montrer que (P, Q) 7→
f (t)P (t)Q(t)dt définit un produit scalaire sur l’espace des polynômes R[X].
0
(b) Montrer qu’il existe une base (Pn (X))n≥0 de R[X], telle que :
Z
1
f (t)Pn (t)Pm (t)dt =
0
avec Pn de degré n.
0
1
si n 6= m
si n = m
(c) Prouver que Pn admet n racines réelles distinctes.
+ Exercice 8.
(a) Montrer que la série
(b) En déduire que la série
+ Exercice 9.
∞
X
1
converge.
n(n + 1)
n=1
∞
X
1
converge.
2
n
n=1
Montrer que pour tout réel x la série
∞
X
xn
converge.
n!
n=0
+ Exercice
( n10. ! Soit {a
)n }n∈N une suite de réels positifs tendant vers 0 en décroissant. On suppose que
X
la suite
ak − nan
est bornée.
k=1
n∈N
(a) Montrer qu’il existe M ∈ R tel que ∀n∈N∗ ∀p∈N∗ 0 ≤
n
X
ak ≤ M + nan+p .
k=1
(b) Montrer que la série
∞
X
an converge.
n=1
+ Exercice 11.
Soit β > 0, et un =
que la série de terme général
β
1
1
. Montrer que un est équivalent à β+1 . En déduire
−
β
nβ
n
(n + 1)
1
converge pour α > 1.
nα
Soit (un ) une série absolument convergente, et soit vn , tel que un ∼ vn , quand n → ∞.
1
(−1)n−1
√
+ et
Montrer que la série (vn ) est convergente. Montrer que les séries de termes généraux un =
n
n
(−1)n−1
vn = √
sont de natures différentes, bien que un soit équivalent à vn .
n
+ Exercice 12.
+ Exercice 13.
(a) Montrer que
ln(1 + x) = x −
n+1
x2
x3
n+1 x
n+1
+
+ · · · + (−1)
+ (−1)
2
3
n+1
Z
0
x
tn+1
dt
1+t
n−1
(b) En déduire la somme de la série de terme général
(−1)
n
.
+ Exercice 14. Une série (un ) est dite « commutativement convergente » si pour toute bijection φ : N →
N, la série (uφ(n) ) est convergente.
(a) Montrer que toute série absolument convergente est commutativement convergente.
(b) Montrer que si une série (un ) est convergente, mais non absolument convergente, il existe pour tout réel
k, une bijection φ : N → N, telle la série (uφ(n) ) converge vers k. Montrer que ce résultat est aussi valable
pour k = ±∞.
MM3 2012-2013
Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 8 octobre 2012
+ Exercice 1.
Soit I un intervalle ouvert de R, f : I → E une application n fois dérivable avec une
dérivée nième intégrable (où E est un espace vectoriel réel).
(a) Montrer que pour tous a et x dans I, la valeur de l’expression
(x − a)2 00
(x − a)n−1 (n−1)
f (x) − f (a) − (x − a)f (a) −
f (a) − · · · −
f
(a) −
2!
(n − 1)!
0
Z
a
x
(x − t)n−1 (n)
f (t)dt
(n − 1)!
ne dépend pas de a.
(b) En déduire que f satisfait la « formule de Taylor à l’ordre n − 1 avec reste intégral » :
Z x
(x − t)n−1 (n)
(x − a)2 00
(x − a)n−1 (n−1)
0
f (x) = f (a) + (x − a)f (a) +
f (a) + · · · +
f
(a) +
f (t)dt.
2!
(n − 1)!
(n − 1)!
a
+ Exercice 2.
Soit x ∈]0, +∞[.
(a) Montrer que pour tout entier p > 0, on a :
1
≤
(1 + p + x)2
(b) En déduire que
+ Exercice 3.
p
1
du
≤
(x + u)2
(x + p)2
1
1
est équivalent à
quand x → +∞.
2
(x
+
p)
1
+
x
p=1
(a) Montrer que pour tout n ∈ N∗ , on a Arctg
∞
X
Arctg
n=1
(c) Même question pour la série
n2
∞
X
1
1
1
− Arctg
= Arctg 2
.
n
n+1
n +n+1
1
est convergente et calculer sa somme.
+n+1
ln(cos
n=1
+ Exercice 5.
p+1
∞
X
(b) Montrer que la série
+ Exercice 4.
Z
x
), pour |x| < π.
2n
1 1 1 1
π
+ − + − · · · = . (Utiliser la fonction Arctg.)
3 5 7 9
4
∞
X
n2 + n + 1
La série
sin
π est-elle convergente ? absolument convergente ?
n+1
n=0
Montrer que 1 −
+ Exercice 6.
Soit (un ) une série dont le terme général est de la forme αn vn , et qui satisfait aux
hypothèses suivantes :
• il existe A tel que pour tout n ∈ N et tout p ∈ N, on ait |vn + vn+1 + · · · + vn+p | ≤ A,
• la série de terme général |αn − αn+1 | converge,
• αn tend vers 0 quand n tend vers l’infini.
(a) Montrer que la série (un ) converge (critère d’Abel). (Utiliser le critère de Cauchy.)
einθ
converge pour θ non multiple entier de 2π.
n
Z +∞
ln(x)
Montrer que l’intégrale
dx est convergente et calculer sa valeur.
1 + x2
0
(b) Montrer que la série de terme général
+ Exercice 7.
Z
+ Exercice 8.
Montrer que
0
1
∞
X
ln(x)
1
.
dx = −
2
1−x
p
p=1
n!en
√ .
nn n
+ Exercice 9.
Pour tout entier n ≥ 1, on pose Sn =
(a) Montrer que ln
Sn+1
−1
quand n tend vers l’infini. En déduire que S = lim Sn
est équivalent à
n→∞
Sn
12n2
existe.
(b) En utilisant la formule de Wallis
(semaine du 1 octobre, exercice 6 (c)), Montrer que S =
n n √
déduire que n! est équivalent à
2πn quand n tend vers l’infini.
e
(c) Montrer que
√
2π, et en
∞
X
1
1
1
≤
≤
.
2
n p=n p
n−1
Soit ε > 0. D’après la question (a), il existe un entier N tel que pour tout n > N , on ait :
Sn+1
ε
1 ln
≤
.
+
Sn
12n2 12n2
(d) Montrer que pour tout n > N on a :
√
ε
−ε
1
≤ ln( 2π) − ln(Sn ) +
≤
.
12n
12n
12(n − 1)
(e) En déduire que n! =
+ Exercice 10.
n n √
e
1
1
+ o( ) (formule de Stirling).
2πn 1 +
12n
n
(a) Montrer que la série ζ(z) =
∞
X
1
est convergente pour tout complexe z dont la
nz
n=1
partie réelle est strictement supérieure à 1.
(b) Montrer que pour tout z ∈ C dont la partie réelle est strictement supérieure à 1, on a :
Z
ζ(z) = z
1
+∞
[t]
dt,
tz+1
où [t] est la partie entière de t.
Z +∞
z
[t] − t
=z
dt, et en déduire une définition de ζ(z) pour tout complexe z
z−1
tz+1
1
distinct de 1 de partie réelle strictement positive.
(c) Montrer que ζ(z) −
MM3 2012-2013
Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 15 octobre 2012
+ Exercice 1.
Les intégrales généralisées suivantes sont-elles convergentes ?
Z +∞
Z +∞
+∞
ln(t)
1
−t
ln(t)e dt
dt
sin 2 dt
2+1
t
t
0
0
0
Z
+ Exercice 2.
Calculer (si elles existent) les intégrales :
+∞
Z
2
+ Exercice 3.
+∞
Z
dt
1 − t2
Arctg
1
1
dt
t
(a) Montrer que l’intégrale
π
2
Z
I=
ln(sin x) dx
0
est convergente.
Z
(b) Montrer que
π
2
Z
ln(sin x) dx =
0
π
2
ln(cos x) dx =
0
1
2
Z
π
ln(sin x) dx.
0
(c) Calculer I.
+ Exercice 4.
(a) Pour n ∈ N∗ , calculer les intégrales (on justifiera leur existence) :
Z
1
Z
(1 − x2 )n dx
0
+∞
0
2
2
(b) Montrer que 1 − x2 ≤ e−x pour 0 ≤ x ≤ 1 et que e−x ≤
(c) Montrer que (intégrale de Gauss) :
Z
+∞
dx
(1 + x2 )n
1
pour x ≥ 0.
1 + x2
√
π
2
2
e−x dx =
0
(Utiliser la formule de Wallis.)
+ Exercice 5.
Z +∞
g(x) dx.
√
(a) Montrer que g définie par g(x) = e−x / x est intégrable sur ]0, +∞[ et calculer
0
(b) Pour tout n ∈ N et tout x ∈ R, on pose gn (x) = xn g(x). Montrer que gn est intégrable sur ]0, +∞[.
Z +∞
Z
2n + 1 +∞
(c) Démontrer que
gn+1 (x) dx =
gn (x) dx pour tout n ∈ N.
2
0
0
Z +∞
(2n)! √
(d) En déduire que
gn (x) dx =
π.
n!4n
0
Z +∞
+ Exercice 6.
Pour tout x ∈]0, +∞[, on pose Γ(x) =
tx−1 e−t dt.
0
(a) Montrer que la fonction Γ est bien définie.
(b) Montrer que pour tout x ∈]0, +∞[, on a Γ(x + 1) = xΓ(x).
(c) Calculer Γ(n) pour n ∈ N∗ .
n
(d) Calculer Γ( ) pour n ∈ N∗ .
2
+ Exercice 7.
(a) Soit f : [a, b] → R une fonction continue. Montrer que
Z
b
f (x) sin(yx) dx = 0
lim
y→+∞
a
(Traiter d’abord le cas d’une fonction en escalier.)
Z a
sin x
+ Exercice 8.
(a) On pose Ia =
dx. Montrer que pour tout entier n et tout a ≥ (n + 1)π, Ia
x
0
est entre Inπ et I(n+1)π . (Traiter d’abord le cas (n + 1)π ≤ a ≤ (n + 2)π.)
(b) Majorer |Inπ − I(n+1)π | et en déduire que l’intégrale
Z
I=
0
+∞
sin x
dx
x
est convergente.
1
+ cos x + cos 2x + · · · + cos nx (pour n ∈ N).
2
Z π2
sin n + 12 x
π
dx = .
(d) En déduire que
2 sin x2
2
0
Z π
1
1
1
−
sin n +
(e) Montrer que la limite de
x dx quand n tend vers l’infini est 0. (Utiliser
x 2 sin x2
2
0
l’un des exercices précédents.)
(c) Calculer la somme C(x) =
(f) En déduire la valeur de I.
MM3 2012-2013
Université Paris-Diderot
Quelques exercices sur des questions « ensemblistes naïves »
pour occuper utilement votre semaine de vacances (29 oct. 2012)
+ Exercice 1.
Pour tout ensemble X, P(X) désigne l’ensemble des parties de X. Soit f : X → Y
une application. On note f −1 : P(Y ) → P(X) l’application « image réciproque par f » (définie par
f −1 (B) = {x ∈ X | f (x) ∈ B}).
(a) Montrer que pour toutes parties B et B 0 de Y , on a f −1 (B ∩ B 0 ) = f −1 (B) ∩ f −1 (B 0 ) et f −1 (B ∪ B 0 ) =
f −1 (B) ∪ f −1 (B 0 ).
(b) Généraliser les résultats précédents au cas d’une famille (éventuellement infinie) (Bi )i∈I de parties de
Y , et examiner en particulier le cas où I est vide.
On note f ∃ : P(X) → P(Y ) l’application « image directe par f » (généralement notée f ), définie par
f ∃ (A) = {y ∈ Y | ∃x∈X y = f (x) ∧ x ∈ A}.
[
[
(c) Montrer que pour toute famille (Ai )i∈I de parties de A, f ∃ ( Ai ) =
f ∃ (Ai ), et examiner le cas où
i∈I
i∈I
I est vide.
(d) Montrer par un exemple qu’on n’a généralement pas l’égalité f ∃ (A ∩ A0 ) = f ∃ (A) ∩ f ∃ (A0 ).
(e) Montrer que pour toute partie A de X et toute partie B de Y , on a f ∃ (A) ⊂ B ⇔ A ⊂ f −1 (B). (Cette
question est indépendante des précédentes.)
On considère l’application f ∀ : P(X) → P(Y ) (dite « image directe universelle »( 1 )), définie par f ∀ (A) =
{y ∈ Y | ∀x∈X y = f (x) ⇒ x ∈ A}.
\
\
(f) Montrer que pour toute famille (Ai )i∈I de parties de A, f ∀ ( Ai ) =
f ∀ (Ai ), et examiner le cas où I
i∈I
i∈I
est vide.
(g) Montrer que pour toute partie A de X et toute partie B de Y , on a f −1 (B) ⊂ A ⇔ B ⊂ f ∀ (A). (Cette
question est indépendante des précédentes.)
(h) Montrer par un exemple qu’il est possible que f ∀ (A) ne soit pas inclus dans ni ne contienne f ∃ (A).
(i) Montrer que pour toute partie A de X, on a Y − f ∀ (A) = f ∃ (X − A).( 2 )
f
/ Y g / Z , alors (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 , (g ◦ f )∃ = g ∃ ◦ f ∃
(j) Montrer que si on a des applications X
et (g ◦ f )∀ = g ∀ ◦ f ∀ . Montrer également que (1X )−1 = (1X )∃ = (1X )∀ = 1P(X) , où pour tout ensemble X,
1X est l’application identique de X.
+ Exercice 2.
Par définition, une « relation d’ordre » (notée par exemple ≤) sur un ensemble X vérifie
les axiomes suivants :
• Réflexivité : ∀x∈X x ≤ x,
• Transitivité : ∀x∈X ∀y∈X ∀z∈X (x ≤ y ∧ y ≤ z) ⇒ x ≤ z,
• Antisymétrie : ∀x∈X ∀y∈X x ≤ y ∧ y ≤ x ⇒ x = y.
Soient X et Y deux ensembles ordonnées, f : X → Y et g : Y → X deux applications telles que
∀x∈X ∀y∈Y f (x) ≤ y ⇔ x ≤ g(y).
(a) Montrer que pour tout x ∈ X, on a x ≤ g(f (x)) et pour tout y ∈ Y f (g(y)) ≤ y.
On rappelle qu’une application f : X → Y entre deux ensembles ordonnés est dite « croissante » si
∀x∈X ∀y∈X x ≤ y ⇒ f (x) ≤ f (y).
(b) Montrer que f et g sont coissantes.
1. L’application f ∃ est aussi appelée « image directe existentielle ».
2. Cette propriété est la raison pour laquelle on n’utilise jamais f ∀ en mathématiques classiques. Par contre, en mathématiques constructives cette relation n’est plus vérifiée, et f ∀ prend tout son intérêt.
On rappelle que la borne supérieure d’une famille (xi )i∈I d’éléments de X est (si elle existe) le plus petit
élément a de X tel que ∀i∈I xi ≤ a.
(c) Montrer que si a est la borne supérieure de la famille (xi )i∈I d’élements de X, alors f (a) est la borne
supérieure de la famille (f (xi ))i∈I (on dit que « f préserve les bornes supérieures »). Énoncer et prouver le
résultat dual qui dit que g préserve les bornes inférieures.
(d) En utilisant le résultat de la question précédente et les questions (e) et (g) de l’exercice précédent,
redémontrer les résultats des questions (a), (b), (c) et (f) de l’exercice précédent.
+ Exercice 3.
Soit X un ensemble ordonné dont toute famille d’éléments a une borne supérieure.
(a) Montrer que pour toute famille F d’éléments de X, la borne supérieure de l’ensemble des minorants de
F est la borne inférieure de F .
Les questions qui suivent sont indépendantes de (a). Soit f : X → X une application croissante. On note m
la borne supérieure de l’ensemble M = {x ∈ X | x ≤ f (x)}.
(b) Montrer que m ∈ M .
(c) Montrer que f (m) ∈ M .
(d) En déduire que m est un point fixe de f (théorème du point fixe de Tarski).
(e) Soit A un ensemble, P(A) son ensemble de parties (qui est ordonné par la relation d’inclusion). Montrer
que toute application croissante f : P(A) → P(A) a un point fixe.
Soient deux ensembles A et B, et deux applications injectives ϕ : A → B et ψ : B → A.
(f) Montrer que l’application P(A) → P(A) définie par U 7→ A − ψ ∃ (B − ϕ∃ (U )) a un point fixe M (voir
les notations de l’exercice 1).
(g) Montrer que ϕ est une bijection de M vers ϕ∃ (M ) et que ψ est une bijection de B − ϕ∃ (M ) vers A − M .
(h) En déduire qu’il existe une bijection de A vers B (théorème de Cantor-Bernstein).
+ Exercice 4.
Soit X un ensemble et f : X → P(X) une application. On pose A = {x ∈ X | x 6∈ f (x)}.
(a) Montrer que A n’est pas dans l’image de f (autrement-dit, il n’existe aucune application surjective de
X vers P(X) ; théorème de Cantor).
+ Exercice 5.
Soit f : X → Y une application. On a les deux applications (f ∃ )∃ (notations de l’exercice
−1 −1
1) et (f ) toutes deux de P(P(X)) vers P(P(Y )).
(a) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes (où pour tout ensemble X, 1X est l’application
identique de X) :
• f est injective,
• f −1 ◦ f ∃ = 1P(X) ,
• pour tout x ∈ X, on a f −1 (f ∃ ({x})) = {x},
• pour tout F ∈ P(P(X)), on a (f ∃ )∃ (F ) ⊂ (f −1 )−1 (F ).
(b) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
• f est surjective,
• f ∃ ◦ f −1 = 1P(Y ) ,
• pour tout y ∈ Y , on a f ∃ (f −1 ({y})) = {y},
• pour tout F ∈ P(P(X)), on a (f −1 )−1 (F ) ⊂ (f ∃ )∃ (F ).
(c) Donner une condition nécessaire et suffisante, sous forme d’une égalité entre deux fonctions, pour que f
soit bijective.
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Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 22 octobre 2012
+ Exercice 1.
Soit E un espace vectoriel sur un corps K, et soit (Ai )i∈I une famille quelconque de
sous-espaces vectoriels de E.
\
(a) Montrer que F =
Ai est un sous-espace vectoriel de E.
i∈I
On note
X
Ai l’ensemble des vecteurs x de E tels qu’il existe un sous-ensemble fini J de I, et pour chaque
i∈I
i ∈ J un vecteur xi de Ai , tels que x =
X
xi .
i∈J
(b) Montrer que
X
Ai est un sous-espace vectoriel de E.
i∈I
On note H l’intersection de tous les sous-espaces vectoriels G de E tels que ∀i∈I Ai ⊂ G.
X
(c) Montrer que H =
Ai .
i∈I
+ Exercice 2.
(a) Montrer par un exemple que si A, B et C sont trois sous-espaces vectoriels d’un
espace vectoriel E, les sous-espaces A ∩ (B + C) et (A ∩ B) + (A ∩ C) sont généralement distincts (mais qu’on
quand même toujours l’inclusion dans un sens).
(b) Trouver un exemple de trois sous-espaces vectoriels A, B et C d’un espace vectoriel E, tels que A ∩ B =
B ∩ C = C ∩ A = 0, et tels que la somme A + B + C ne soit pas directe.
+ Exercice 3.
On note 0 tout espace vectoriel (sur un corps K quelconque) réduit à un seul élément
(qui est le 0 de son groupe additif). On appelle « suite exacte » une famille d’espace vectoriels et d’application
linéaires :
f0
/ E1 f1 / E2 f2 / . . .
/ En−1 fn−1 / En fn / 0
0
tels que pour tout i (0 ≤ i ≤ n − 1), on ait Im(fi ) = Ker(fi+1 ).
(a) Soit une suite exacte comme ci-dessus, où les espaces Ei sont supposés de dimensions finies. Montrer
n
X
que
(−1)i dim(Ei ) = 0.
i=1
Soient A et B deux sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E de dimension finie.
(b) En construisant une suite exacte de la forme :
0
/ A∩B
/ A⊕B
/ A+B
/0
montrer que dim(A + B) = dim(A) + dim(B) − dim(A ∩ B).
Soient maintenant A, B et C trois sous-espaces vectoriels d’un espace vectoriel E de dimension finie. On
définit les applications
A∩B∩C
f
/ (A ∩ B) ⊕ (B ∩ C) ⊕ (C ∩ A)
g
/ A⊕B⊕C
h
/ A+B+C
en posant f (x) = (x, x, x), g(x, y, z) = (z − x, x − y, y − z) et h(x, y, z) = x + y + z.
(c) Montrer qu’on peut en déduire une suite exacte qui permet de prouver que dim(A + B + C) = dim(A) +
dim(B) + dim(C) − dim(A ∩ B) − dim(B ∩ C) − dim(C ∩ A) + dim(A ∩ B ∩ C).( 1 )
+ Exercice 4.
Soit p un nombre premier, et E un espace vectoriel de dimension n sur le corps Z/pZ.
(a) Déterminer le nombre d’éléments de E.
1. Pour montrer que Ker(h) ⊂ Im(g), on résoudra un système d’équations linéaires.
(b) Déterminer le nombre de bases de E.
(c) Montrer que le nombre entier p
+ Exercice 5.
n(n−1)
2
(pn − 1)(pn−1 − 1)(pn−2 − 2) . . . (p − 1) est divisible par n!.
Soit E un espace vectoriel complexe de dimension finie n.
(a) Montrer que E a une unique structure d’espace vectoriel réel pour laquelle l’addition des vecteurs est
celle de sa structure d’espace vectoriel complexe, et pour laquelle la multiplication par un scalaire est la
restriction aux scalaires réels de sa multiplication par les scalaires complexes.
(b) Montrer que si (e1 , . . . , en ) est une base de E comme C-espace vectoriel, (e1 , ie1 . . . , en , ien ) est une base
de E comme R-espace vectoriel.
+ Exercice 6.
Soit E un espace vectoriel (sur un corps K quelconque), et soit B = (e1 , . . . , en ) une
base de E. Pour tout x ∈ E, on note e∗i (x) la coordonnée de x selon le vecteur ei dans la base B.
(a) Montrer que e∗i : E → K est une application linéaire.
On note E ∗ (et on appelle « dual de E ») l’ensemble des applications linéaires de E vers K.
(b) Montrer que E ∗ est un espace vectoriel sur K (pour les opérations évidentes).
(c) Montrer que B 0 = (e∗1 , . . . , e∗n ) est une base de E ∗ .
(d) Montrer que pour tout l ∈ E ∗ , l(ei ) est la coordonnée de l selon le vecteur e∗i dans la base B 0 .
+ Exercice 7.
K.( 2 )
Soit f : E → F une application K-linéaire entre deux espaces vectoriels sur un corps
(a) Montrer que si f est surjective, il existe une application linéaire s : F → E telle que f ◦s soit l’application
identique de F .
(b) Montrer que si f est injective, il existe une application linéaire r : F → E telle que r ◦ f soit l’application
identique de E.
+ Exercice 8.
Soit U la réunion d’un ensemble fini d’intervalles ouverts non vides de R deux à deux
disjoints. Soit E l’espace des fonctions dérivables de U vers R et F l’espace de toutes les fonctions de U vers
R.
(a) Montrer que E et F sont des espaces vectoriels réels et que la dérivation D (définie par D(f ) = f 0 ) est
une application linéaire de E vers F .
(b) Quelle est la dimension du noyau de D ?
+ Exercice 9.
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n, et f : E → E une application linéaire.
On note f p le composé f ◦ · · · ◦ f (p fois la lettre f ).
(a) Montrer que (∀x∈E ∃p∈N f p (x) = 0) ⇒ (∃p∈N f p = 0).
(b) Montrer par un exemple que le résultat de la question (a) est généralement faux si la dimension de E
est infinie.
(c) Montrer que pour tout i ∈ N, Ker(f i ) ⊂ Ker(f i+1 ).
On suppose désormais que {p ∈ N | f p = 0} n’est pas vide, et on note q son plus petit élément.
(d) Montrer que si Ker(f i ) = Ker(f i+1 ), alors i ≥ q.
(e) En déduire que q ≤ n.
2. On admet que le théorème de la base incomplète est valable quelle que soit la dimension de l’espace vectoriel, même si
cette dernière est infinie.
MM3 2012-2013
Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 5 novembre 2012
+ Exercice 1.
On note E l’espace vectoriel des polynômes de degré au plus n à coefficients dans un
corps K. On sait que C = (1, X, X 2 , . . . , X n ) est une base de E (dite « canonique »).
(a) Montrer que B = (1, X + 1, (X + 1)2 , . . . , (X + 1)n ) est une base de E.
(b) Déterminer la matrice P de changement de base de C à B.
(c) Calculer le déterminant de P .
(d) Déterminer l’inverse de P .
+ Exercice 2.
(a) Soit a ∈ R. Determiner les puissances de la matrice :


0 a 0 ... 0

. 
..
 0 0 a
. .. 


 .

..
..
 ..
.
.
0 



0 a 
0
...
0
(b) En déduire l’inverse de la matrice :

1
−a
0







0
..
.
1
−a
..
.
0
...
...
..
.
..
.
1
0

0
.. 
. 


0 

−a 
1
+ Exercice 3.
(a) Soit A une matrice carrée n×n à coefficients réels. Montrer que les vecteurs colonnes
de A forment une base orthonormée de Rn si et seulement si t AA = I (où I est la matrice identité).
(b) A étant telle que t AA = I, quel est le déterminant de A ?
On note O(n) l’ensemble des matrices carrées n × n telles que t AA = I.
(c) Montrer que O(n) est stable par multiplication. En déduire que O(n) est un groupe (multiplicatif).
(d) Montrer que pour tout vecteur X ∈ Rn non nul (n ≥ 1), le sous-ensemble GX de O(n) des matrices A
telles que AX = X est un sous-groupe de O(n) isomorphe à O(n − 1).
(e) Montrer que si X et Y sont deux vecteurs de norme 1 de Rn , il existe une matrice P de O(n) telle que
PX = Y .
(f) En déduire que si X et Y sont deux vecteurs non nuls de Rn , les sous-groupes GX et GY de O(n) sont
conjugués.
+ Exercice 4.
Sur un corps commutatif quelconque, on note Ip la matrice identité de taille p × p. On
note 0 toute matrice nulle (carrée ou non) quelle que soit sa taille. Soit B une matrice (carrée) de taille q × q,
et C une matrice de taille appropriée pour que la matrice (représentée ici « par blocs ») soit carrée (de taille
(p + q) × (p + q)) :
I C
M= p
0 B
(a) Montrer que det(M ) = det(B).( 1 )
1. Utiliser la « méchante formule » ou « grosse formule ». Voir le poly de B. Maurey page 64.
Soit maintenant A une matrice (carrée) de taille p × p.
A C
(b) Montrer que det
= det(A) det(B).
0 B
(c) Calculer le déterminant de la matrice

1
1
 1 −1

 1
1

 1 −1

 1
1

 1 −1

 1
1
1 −1
+ Exercice 5.
:
1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
1
−1
1
−1
−1
1
−1
1
1
1
−1
−1
−1
−1
1
1
1
−1
−1
1
−1
1
1
−1












Soit A une matrice carrée 2 × 2.
(a) Calculer la matrice A2 − tr(A)A + det(A)I (où tr(A) est la trace de A (somme des éléments de sa
diagonale) et I la matrice identité).
(b) Dans l’espace vectoriel des matrices 2×2, quelle est la dimension du sous-espace engendré par l’ensemble
infini de matrices {I, A, A2 , A3 , . . .} ?
+ Exercice 6.
Sur un corps commutatif quelconque, soit E un espace vectoriel ayant B = (e1 , . . . , en )
pour base, et F un espace vectoriel ayant C = (f1 , . . . , fp ) pour base. Soit ϕ : E → F une application linéaire
et soit M la matrice de ϕ dans les bases B et C . On rappelle qu’on a la notion d’espace dual (voir l’exercice
6 de la feuille de la semaine du 22 octobre).
(a) Montrer que l’application l 7→ l ◦ ϕ (qui sera notée ϕ∗ ) est une application linéaire de F ∗ vers E ∗ .
On note B 0 et C 0 les bases duales des bases B et C .
(b) Montrer que la matrice de ϕ∗ dans les bases C 0 et B 0 est la transposée de M .
On note H
des matrices 2 × 2 (notés [a, b] et appelées « quaternions ») à
l’ensemble
a −b
coefficients dans C de la forme
(où a est le conjugué de a). Le quaternion [a, b] est dit « imaginaire »
b a
si le complexe a est imaginaire.
+ Exercice 7.
(a) Montrer que H est un sous-espace vectoriel de l’espace vectoriel des matrices 2 × 2 complexes, qu’il est
stable par multiplication et qu’il contient la matrice identité (qu’on notera 1 et non pas I).
p
Pour tout [a, b] ∈ H, on pose N ([a, b]) = aa + bb. Pour tout quaternion p, le réel N (p) est noté kpk et
appelé la « norme » de p.
(b) Montrer que pour tous quaternions p et q, on a kpqk = kpkkqk.
(c) Calculer le produit [a, b][a, −b] et en déduire que H est un corps.
On pose I = [i, 0], J = [0, 1] et K = [0, −i].
(d) Montrer que I, J et K sont imaginaires de norme 1 et que (1, I, J, K) est une base de H comme R-espace
vectoriel.
(e) Soit I le sous-groupe multiplicatif de H − {0} engendré par I et J. Montrer qu’il est fini et dresser sa
table de multiplication. Montrer que H est un corps non commutatif.
(f) Montrer que les racines du polynôme X 2 + 1 (à coefficients dans H) sont exactement tous les quaternions
imaginaires de norme 1. Que peut-on en déduire quant au nombre de racines d’un polynôme ?
MM3 2012-2013
Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 12 novembre 2012
+ Exercice 1.
Calculer le déterminant :
+ Exercice 2.
Montrer que (les matrices sont de taille n × n) :
0 1
1 1 ... 1 .. ..
. . 1 0
1 0
n+1
= (−1)
et
. .
. .
..
.
.
..
.
.
. 1 .
.
1 ...
1 ...
1
0
−b
a
−d
c
a
b
c
d
−c
d
a
−b
−d
−c
b
a
...
..
.
..
.
1
1
..
.
n+1
= (n − 1)(−1)
1 0
+ Exercice 3.
Soit A une matrice carrée inversible à coefficients entiers. Montrer que A−1 est à coefficients entiers
si et seulement si det(A) = ±1.
+ Exercice 4.
Soit A une matrice carrée réelle inversible. Montrer qu’il existe ε > 0 tel que pour toute matrice B
(de même taille que A) dont tous les coefficients sont de module inférieur à ε, A + B soit inversible.
+ Exercice 5.
Soit σ ∈ Sn une permutation des nombres 1, 2, . . . , n. Calculer le déterminant de la matrice (aij ) où
aij = 1 si j = σ(i) et 0 sinon.
+ Exercice 6.
Soit K un corps commutatif et D : K → K une application telle que (pour tous x et y de K)
D(x + y) = D(x) + D(y) et D(xy) = D(x)y + xD(y). Soit A une matrice carrée n × n à coefficients dans K. On note Ai
la matrice obtenue en appliquant D à tous les éléments de la iième colonne de A (et en laissant les autres éléments de A
inchangés). Montrer que D(det(A)) = det(A1 ) + · · · + det(An ).
+ Exercice 7.
Calculer le déterminant de la matrice (sin(ai + aj ))1≤i≤n,1≤j≤n .
+ Exercice 8.
En appliquant la « grosse formule », calculer le déterminant de la matrice () (à zéro ligne et zéro
colonne). Confirmer le résultat en examinant les situations suivantes : (1) déterminant par blocs dont l’un des blocs
est de taille 0 × 0 (ou déterminant d’une matrice triangulaire ou diagonale), (2) dimension de l’espace des applications
0-multilinéaires alternées sur l’espace vectoriel nul, (3) tout endomorphisme linéaire de l’espace vectoriel nul est inversible
(et est en fait l’identité de cet espace).
+ Exercice 9.
Soient A, B C et D des matrices carrées n × n, telles que D soit inversible et que C et D commutent.
(a) Calculer le produit (de matrices 2n × 2n) :
A
(b) En déduire que det
C
+ Exercice 10.
B
D
A
C
B
D
D
−C
0
D−1
= det(AD − BC).( 1 )
Soient A et B deux matrices carrées réelles.
(a) En faisant des opérations de lignes et de colonnes, montrer que
A −B
det
= det(A − iB) det(A + iB)
B A
(b) En déduire que si f : E → E est un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe de dimension finie, et fR
l’endomorphisme réel sous-jacent, alors det(fR ) = | det(f )|2 .
+ Exercice 11.
Quel que soit l’entier naturel n, on note M (a0 , . . . , an ) le déterminant (appelé déterminant de Van-
1. Toujours sous les hypothèses de l’exercice bien sûr.
dermonde( 2 )) de la matrice

1
 a0

 ..
.
1
a1
..
.
an0
Y
et on pose N (a0 , . . . , an ) =
an1
...
...
...
...

1
an 

.. 
.
ann
(aj − ai ). Soit X une lettre. On pose P (X) = M (X, a1 , . . . , an ) et Q(X) =
0≤i<j≤n
N (X, a1 , . . . , an ). Dans les questions (a), (b) et (d), distinguer deux cas suivant que les ai sont deux à deux distincts ou
non.
(a) Quel sont les degrés (s’ils existent) des polynômes P (X) et Q(X) ?( 3 )
(b) Quelles sont les racines de P (X) et Q(X) ?
(c) Montrer que si les ai sont deux à deux distincts, le coefficient du terme de plus haut degré de P (X) et de Q(X) sont
respectivement (−1)n M (a1 , . . . , an ) et (−1)n N (a1 , . . . , an ).
(d) Montrer que pour tous scalaires a0 , . . . , an , on a M (a0 , . . . , an ) = N (a0 , . . . , an ).
(e) Montrer que si a0 , . . . , an sont deux à deux distincts, les fonctions x 7→ eai x sont linéairement indépendantes dans
l’espace vectoriel réel des fonctions continues de R vers R.
(f) La famille (infinie non dénombrable) de suites de réels ({an }n∈N )a∈R forme-t-elle un système libre dans l’espace
vectoriel réel des suites de nombres réels ?( 4 )
(g) La famille de fonctions (x 7→ cos(nx))n∈N forme-t-elle un système libre dans l’espace vectoriel réel des fonctions
continues de R vers R ?
+ Exercice 12.
On considère les matrices (de taille n × n et n × 1) :
0 1 0 . . . 0

1
.. 
..

. .
 λ
0 0 1

 λ2
.
..
..

et
Xλ = 
A=
. 0
.
 .
 ..


 ..
..


.
0
1
0
0
...
...
1
0






λn−1
où λ est un nombre complexe tel que λn = 1.
(a) Montrer que AXλ = λXλ , et en déduire que AXλp = λp Xλp pour tout entier naturel p.
On suppose désormais que λ = e
2iπ
n
.
(b) Montrer que les vecteurs Xλp (0 ≤ p ≤ n − 1) forment une C-base de Cn (utiliser l’exercice précédent). En déduire
qu’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP soit une matrice diagonale avec 1, λ, λ2 , . . . , λn−1 sur la diagonale.
Soient a0 , . . . , an−1 des nombres complexes. On considère la matrice (dite « circulante ») :


a0
a1 . . . an−2 an−1
an−1 a0 . . . an−3 an−2 


C=

..


.
a1
a2 . . . an−1
a0
et le polynôme Q(X) = a0 + a1 X + · · · + an−1 X n−1 .
(c) Montrer que C = Q(A), et en déduire que det(C) =
n−1
Y
Q(λi ).
i=0
2. Alexandre-Théophile Vandermonde, mathématicien français, 1735-1796.
3. On rappelle que le polynôme nul n’a pas de degré.
4. Comme l’espace des suites est isomorphe à RN on pourrait penser que sa dimension est dénombrable (rappelons que pour n ∈ N, la
dimension de Rn est n). Dans cette question, on a montré qu’il n’en est rien.
MM3 2012-2013
Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 19 novembre 2012
~ le vecteur vitesse de la
+ Exercice 1.
La terre T tourne autour du soleil S (qui est supposé immobile). On note V
~ ∧V
~
terre (dans l’espace à trois dimensions). Les deux astres sont supposés ponctuels. En dérivant le produit vectoriel ST
(par rapport au temps) et en admettant que l’attraction du soleil est la seule force subie par la terre, montrer que la
trajectoire de la terre est contenue dans un plan qui contient aussi le soleil.
+ Exercice 2.
Soit a un vecteur non nul de R3 , et soit fa l’application de R3 vers lui-même définie par fa (x) = a ∧ x
(où ∧ est le produit vectoriel).
(a) Montrer que fa est un endomorphisme linéaire de R3 .
(b) Montrer que les valeurs propres de fa sont 0, ikak et −ikak (où kak est la norme euclidienne de a).
(c) En déduire qu’il existe une base de R3 dans laquelle la matrice de fa est


0
0
0
0
0
−kak
0 kak
0
+ Exercice 3.
À tout vecteur X = (x, y, z) de R3 on associe la matrice


0 −c b
0 −a
f (X) =  c
−b a
0
et pour toutes matrices carrées de même taille A et B, on pose [A, B] = AB − BA.
(a) Montrer que pour tous vecteurs X et Y de R3 , on a f (X ∧ Y ) = [f (X), f (Y )].
(b) Montrer que pour tous vecteurs X, Y et Z de R3 , on a X ∧ (Y ∧ Z) + Y ∧ (Z ∧ X) + Z ∧ (X ∧ Y ) = 0.
+ Exercice 4.
Trouver une base de vecteurs

a
b

c

d

e

f

g
h
propres pour l’endomorphisme de R8 de matrice :

b c d e f g h
a d c f e h g

d a b g h e f

c b a h g f e

f g h a b c d

e h g b a d c

h e f c d a b
g f e d c b a
+ Exercice 5.
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n (sur un corps K commutatif), et soit f un endomorphisme de E. On suppose qu’il existe un vecteur x ∈ E tel que le système de vecteurs (x, f (x), f 2 (x), . . . , f n−1 (x))
soit une base de E. Il existe alors des scalaires uniques a0 , . . . , an−1 tels que f n (x) = a0 x + a1 f (x) + · · · + an−1 f n−1 (x).
Montrer que (−1)n (X n − an−1 X n−1 − · · · − a1 X − a0 ) est le polynôme caractéristique de f .
+ Exercice 6.
On note Pn l’espace vectoriel réel des polynômes de degré au plus n, et D : Pn → Pn la dérivation
des polynômes (qui est linéaire). L’endomorphisme D est-il diagonalisable ?
+ Exercice 7.
Soit A une matrice carrée réelle.
(a) Montrer que si A = A2 , seuls 0 et 1 peuvent être valeurs propres de A et A est diagonalisable.
(b) Montrer que si A2 = I, seuls −1 et 1 peuvent être valeurs propres de A et A est diagonalisable.
+ Exercice 8.
Soit Pn l’espace vectoriel réel des polynômes de degré au plus n, soient a et b deux réels, et soit
f : Pn → Pn l’application définie par f (P (X)) = P (aX + b).
(a) Montrer que f est un endomorphisme linéaire de Pn .
(b) Déterminer les valeurs propres de f .
(c) Montrer que si |a| =
6 1, f est diagonalisable.
(d) Montrer que si n ≥ 1, a = 1 et b 6= 0, f n’est pas diagonalisable.
(e) Montrer que si a = −1, f est diagonalisable. (Utiliser l’exercice 7 (b).)
0 1
+ Exercice 9.
Montrer que la matrice
est diagonalisable si elle est à coefficients dans R, mais qu’elle ne
1 0
l’est pas si elle est à coefficients dans Z/2Z.
+ Exercice 10.
Soit E un espace vectoriel de dimension finie (sur un corps commutatif K). Soient f et g deux
endomorphismes de E qui commutent (c’est-à-dire tels que f ◦ g = g ◦ f ). On pose B = Im(g) et C = Ker(g).
(a) Montrer que f (B) ⊂ B et f (C) ⊂ C.
On note f |B : B → B et f |C : C → C les restrictions de f à B et à C.
(b) Montrer que χf (X) = χf |B (X)χf |C (X).
(c) Montrer que si g ◦ g = 0, le polynôme χf (X) est divisible par le carré du polynôme χf |B (X).
+ Exercice 11. Pour tout polynôme P (X) à coefficients complexes, on note P (X) le polynôme obtenu en remplaçant
chaque coefficient de P (X) par son conjugué. Soit f un endomorphisme (C-linéaire) de l’espace vectoriel complexe E de
dimension finie, et soit fR l’endomorphisme réel sous-jacent à f . Montrer que χf |R (X) = χf (X)χf (X).
+ Exercice 12.
Soit A une matrice carrée réelle de taille n × n.
(a) Montrer que le polynôme caractéristique χA (X) de A est de la forme (où tr(A) est la trace de A, c’est-à-dire la somme
des coefficients diagonaux de A) :
χA (X) = (−X)n + tr(A)(−X)n−1 + · · · + det(A)
Soit I la matrice identité de même taille que A. Pour tout réel t, on pose f (t) = det(I + tA).
1
(b) Montrer que pour t 6= 0, on a f (t) = tn χA (− ).
t
(c) En déduire que f 0 (0) = tr(A).
(d) Montrer que pour t dans un voisinage de 0, on a f 0 (t) = det(I + tA) tr((I + tA)−1 A).
(e) Montrer que pour tout réel t, on a f 0 (t) = tr(t (I^
+ tA)A) (où
t
est la transposition et e la prise de la comatrice).
+ Exercice 13. On suppose que R3 est muni d’une structure de corps (pas nécessairement commutatif) dont l’addition
est celle de l’espace vectoriel R3 et dont la multiplication est R-bilinéaire. On note 1 l’élément neutre de la multiplication.
Pour tout réel α le produit de α par 1, qui est un élément de R3 , sera encore noté α. Soit a ∈ R3 un élément non colinéaire
à 1. On note Pa le plan engendré par 1 et a. On suppose dans un premier temps que a2 ∈ Pa .
(a) Montrer qu’il existe un trinôme du second degré X 2 + αX + β à coefficients réels de discriminant strictement négatif
tel que a2 + αa + β = 0.
(b) En mettant le trinôme précédent sous forme canonique des lycées et collèges,( 1 ) montrer qu’il existe dans Pa un
élément dont le carré est −1.
(c) Déduire de (b) que R3 est l’espace vectoriel réel sous-jacent à un espace vectoriel complexe, et en déduire que a2 6∈ Pa .
(d) Montrer qu’il existe des réels α, β et γ tels que a3 + αa2 + βa + γ = 0, et que le polynôme X 3 + αX 2 + βX + γ a
une racine réelle r.
(e) Déduire une contradiction de qui précède et conclure.( 2 )
1. Clin d’oeil à Roger Godement.
2. D’après un résultat de 1878 de Ferdinand Georg Frobenius.
MM3 2012-2013
Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 26 novembre 2012
+ Exercice 1.
Soit f un endomorphisme non nul de R3 tel que f 3 = −f .
(a) Montrer que le noyau de f 2 + 1 est de dimension paire.
(b) En déduire qu’il existe une base B de R3 dans

0
0
0
+ Exercice 2.
laquelle la matrice de f est

0 0
0 −1
1 0
Soient f et g des endomorphismes de Rn tel que f g − gf = f .
(a) Soit k > 0 un entier. Montrer que f k g − gf k = kf k .
(b) En utilisant l’endomorphisme h 7→ hg − gh de l’espace des matrices carrées n × n, montrer que f est
nilpotent.
(c) Montrer que si k > 0 est tel que dim Ker(f k ) = dim Ker(f k−1 ), alors Ker(f k−1 ) = Rn .
(d) Montrer pour k ≥ 2 que la restriction de f à tout sous-espace F de Ker(f k ) tel que F ∩ Ker(f k−1 ) = 0,
est injective, et que f (F ) ∩ Ker(f k−2 ) = 0.( 1 )
On suppose désormais que Ker(f ) est de dimension 1.
(e) Montrer (par récurrence sur k) que Ker(f k ) est de dimension inf(k, n).
On suppose désormais que g est diagonalisable.
(f) Montrer qu’il existe un vecteur propre e de g qui n’est pas dans Ker(f n−1 ).
(g) Montrer que B = (e, f (e), f 2 (e), . . . , f n−1 (e)) est une base de Rn et que tous les vecteurs de B sont des
vecteurs propres de g.
+ Exercice 3.
Soient A et B deux matrices carrées n × n réelles, telles qu’il existe une matrice P à
coefficients complexes et inversible telle que P −1 AP = B. On pose P = Q + iR, où Q et R sont des matrices
réelles.
(a) Montrer que pour tout complexe λ on a A(Q + λR) = (Q + λR)B.
(b) Montrer que le polynôme (en λ) det(Q + λR) n’est pas nul.
(c) En déduire qu’il existe une matrice carrée inversible réelle U telle que U −1 AU = B.
+ Exercice 4.
Soit K un corps commutatif. On note Un l’ensemble {x ∈ K | xn = 1}.
(a) Montrer que Un est un sous-groupe du groupe des éléments inversibles de K.( 2 )
On considère la matrice carrée n × n (n ≥ 2) à coefficients dans K :


0 ... ...
0 1


1 . . .
0 0



.. 
A = 0 . . . . . .
.


. .

.
.
..
..
. . ... 
 ..
0 ...
0
1 0
1. On a bien sûr f 0 = 1.
2. Un est appelé le « groupe des racines nième de l’unité de K ».
(b) Montrer que si Un est cyclique d’ordre n, A est diagonalisable. Donner une matrice de passage et la
matrice diagonale correspondante.
+ Exercice 5.
que u ◦ v = v ◦ u.
Soient u et v deux endomorphismes d’un espace vectoriel réel E de dimension finie, tels
(a) Montrer que pour tout sous-espace propre Eλ (u) de u, on a v(Eλ (u)) ⊂ Eλ (u).
(b) Montrer que si u et v sont diagonalisables, ils le sont dans une même base.
+ Exercice 6.
gonalisable.
(a) Montrer que toute matrice 2 × 2 réelle de déterminant strictement négatif est dia-
(b) Exhiber une matrice 2 × 2 réelle non diagonalisable et de déterminant nul.
+ Exercice 7.
On note x.y le produit scalaire usuel (canonique) de deux vecteurs x et y de Rn .
(a) Soit F un sous-espace de Rn distinct de Rn . Montrer qu’il existe un vecteur u ∈ Rn de norme 1 tel que
u.x = 0 pour tout x ∈ F .
(b) Montrer que tout système de vecteurs tous de norme 1 deux à deux orthogonaux d’un sous-espace F de
Rn peut être complété en une base orthonormée de F .
+ Exercice 8.
On note x.y le produit scalaire usuel de deux vecteurs x et y de Rn (pour lequel la base
n
canonique de R est orthonormée). Soit F un sous-espace vectoriel de Rn et f : F → F un endomorphisme
de F . On dit que f est « autoadjoint » si f (x).y = x.f (y) pour tous x et y de F . On identifie toute matrice
1 × 1 a son unique coefficient.
(a) Montrer que si A et B sont deux matrices carrés réelles n × n telles que t Y AX = t Y BX pour toutes
matrices colonnes (réelles) X et Y , alors A = B.
(b) Soient x et y deux vecteurs de F représentés respectivement par les matrices colonnes X et Y dans une
base orthonormée B de F . Montrer que t XY = t Y X = x.y. En déduire que si la matrice de f : F → F dans
la base B est symétrique, f est autoadjoint.
(c) Montrer réciproquement que si f est autoadjoint, la matrice de f dans toute base orthonormée de F est
symétrique.
(d) Montrer que si la matrice carrée réelle A est symétrique, ses valeurs propres sont toutes réelles.
(e) Montrer que si f : F → F est autoadjoint, et si Fλ et Fµ sont les sous-espaces propres de f pour des
valeurs propres λ et µ distinctes, tout vecteur de Fλ est orthogonal à tout vecteur de Fµ .
(f) Montrer que si f : F → F est autoadjoint et si un sous-espace G de F est stable par f , il en est de même
⊥
de son orthogonal dans F , noté G⊥
F et défini par GF = {x ∈ F | ∀y∈G x.y = 0}.
(g) Avec les notations de la question précédente, montrer que F est la somme directe de G et de G⊥
F.
(h) Déduire de tout ce qui précède que tout endomorphisme autoadjoint de Rn est diagonalisable dans une
base orthonormée, et montrer que si A est une matrice symétrique réelle, il existe une matrice orthogonale
U telle que U −1 AU soit une matrice diagonale (réelle).
MM3 2012-2013
Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 3 décembre 2012
+ Exercice 1.
En réduisant la matrice

3
A= 2
1

−1 1
0 1 
−1 2
à la forme triangulaire, calculer les neuf coefficients de An (pour tout entier n).
+ Exercice 2.
Soit A une matrice carrée n × n, et I la matrice identité de même taille. On pose
0 I
B=
A 0
Montrer que χB (X) = (−1)n χA (X 2 ).
+ Exercice 3.
Soit f l’endomorphisme de R3 de matrice


3
0
8
6 
A =  3 −1
−2
0 −5
dans la base canonique.
Déterminer une base de R3 dans laquelle la matrice de f est


−1
0
0
1 
B =  0 −1
0
0 −1
+ Exercice 4.
La suite de Fibonacci {un }n∈N est définie par :
• u0 = 0,
• u1 = 1,
• nn+2 = un+1 + un .
On note Un le vecteur de R2 de coordonnées (un , un+1 ).
(a) Montrer que Un+1 est fonction linéaire de Un , et donner la matrice M de cette application dans la base
canonique.
(b) Montrer que M est diagonalisable et déterminer une matrice de passage et la matrice diagonale correspondante.
(c) En déduire une expression de un de la forme aλn + bµn , où λ et µ sont les valeurs propres de M .
+ Exercice 5.
Soient a1 , . . . , an des entiers relatifs, et soit d leur PGCD. Montrer par récurrence sur n
qu’il existe une matrice carrée n × n à coefficients entiers dont la première colonne est a1 , . . . , an et dont le
déterminant est d.
+ Exercice 6.
(a) Soient λ1 , . . . , λn des nombres complexes (n ≥ 1), et d1 , . . . , dn des entiers strictement positifs tels que pour tout entier k strictement positif, on ait d1 λk1 + · · · + dn λkn = 0. Montrer par
récurrence sur n que λ1 = · · · = λn = 0. (Utiliser le déterminant de Vandermonde.)
Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe de dimension finie n.
(b) Montrer que si tr(f k ) = 0 pour tout entier k > 0, alors f est nilpotent.
+ Exercice 7.
Une matrice carrée de taille n × n est dite « sous-triangulaire » si pour chaque i (1 ≤
i ≤ n) sa iième colonne (a1,i . . . an,i ) verifie l’une des deux conditions suivantes : (1) ai+1,i = 1 et aj,i = 0
pour j 6= i + 1, (2) aj,i = 0 pour j > i. Montrer que sur un corps commutatif quelconque, toute matrice
carrée est sous-trigonalisable.
+ Exercice 8.
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps commutatif K. Soient f et
g deux endomorphismes de E.
(a) Soit B = (e1 , . . . , en ) une base de E dans laquelle la matrice de g est triangulaire. Montrer que si h est
un endomorphisme non nul de E tel que f h = hg, l’un des vecteurs h(ei ) est propre pour f , et que la valeur
propre correspondante est aussi valeur propre de g.
(b) Soit F un sous-espace de E et h : F → E une application linéaire telle que f h(x) = hg(x) pour tout
x ∈ F . Soit y un vecteur n’appartenant pas à F . On note p le plus grand entier naturel tel que les vecteurs
y, g(y), . . . , g p (y) soient linéairement indépendants et engendrent un sous-espace G de E tel que F ∩ G = 0.
Montrer qu’il existe une application linéaire k : F + G → E telle que k(x) = h(x) pour tout x ∈ F et
f k(x) = kg(x) pour tout x ∈ F + G.
(c) En déduire que si K = C, il existe un endomorphisme non nul h de E tel que f h = hg si et seulement
si f et g ont une valeur propre commune.
+ Exercice 9.
Soit E un espace vectoriel réel de dimension finie. Soient f et g deux endomorphismes
de E qui commutent (f g = gf ). On suppose que g est nilpotent.
(a) Montrer que 1 + g est inversible et en déduire que f + g est inversible si et seulement si f est inversible.
(b) Montrer que 1 + g ne peut pas avoir d’autre valeur propre que 1 et en déduire que det(1 + g) = 1.
(c) Montrer que det(f + g) = det(f ).
(d) Montrer que χf +g (X) = χf (X).
MM3 2012-2013
Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 10 décembre 2012
+ Exercice 1.
Soit f un endomorphisme d’un espace vectoriel complexe E de dimension finie.
(a) Montrer qu’il existe un endomorphisme diagonalisable d et un endomorphisme nilpotent n, tels que
f = d + n et dn = nd.
On suppose désormais que f = d + n avec d diagonalisable, n nilpotent et dn = nd.
(b) Montrer que si le polynome caractéristique de f est de la forme (X − λ)k (avec k > 0), alors d = λ et
nk = 0.
(c) Soit λ une valeur propre de f . Montrer que le sous-espace propre de d pour la valeur propre λ contient
le sous-espace spectral de f pour λ, et en déduire que ces deux sous-espaces sont égaux.
(d) Montrer que d et n sont déterminés de manière unique par f (décomposition de Dunford).
+ Exercice 2.
Soit U une matrice carrée n × n réelle orthogonale. (On appellera aussi U l’endomorphisme de Rn ou de Cn de matrice U dans la base canonique.)
(a) Montrer que toutes les valeurs propres de U sont des complexes de module 1.
Soit X 6= 0 un vecteur propre (complexe) de U pour la valeur propre (complexe) λ. On pose
X0 =
X +X
2
X 00 =
et
X −X
2i
(b) Exprimer X et X en fonction de X 0 et X 00 , et en déduire que le sous-espace F de Rn engendré par X 0
et X 00 est stable par U et par t U .
0
00
On note F ⊥ l’ensemble des vecteurs X de Rn tels que t X X = t X X = 0.
(c) Montrer que F ⊥ est un sous-espace vectoriel et est stable par U et par t U .
(d) Montrer par récurrence sur n qu’il existe une base de Rn dans laquelle la matrice de U est de la forme
« pseudo-diagonale » (toutes les places vides contiennent 0) :


1


..


.




1




−1




..


.




−1




cos
α
−
sin
α
1
1




sin
α
cos
α
1
1




.
..





cos αk − sin αk 
sin αk
cos αk
où aucun αi n’est un multiple entier de π.
+ Exercice 3.
Résoudre le système différentiel :
f 0 (x)
g 0 (x)
+ Exercice 4.
=
3f (x) + g(x)
= −4f (x) − g(x)
Résoudre le système différentiel (en fonction du paramètre α) :
f 0 (x) = cos(α)f (x) − sin(α)g(x)
g 0 (x) = sin(α)f (x) + cos(α)g(x)
+ Exercice 5.
On note M l’espace vectoriel réel des matrices carrées n × n réelles. Soit A une matrice
antisymétrique réelle.
(a) Soit Y : R → M une application dérivable solution de l’équation différentielle Y 0 (t) = AY (t). Montrer
que la matrice t Y (t)Y (t) ne dépend pas de t.( 1 )
(b) Montrer qu’il existe une unique application U : R → SO(n) telle que pour toute solution Y de l’équation
différentielle, et tout t ∈ R, on ait Y (t) = U (t)Y (0).
(c) On pose V (t) = [A, U (t)] = AU (t) − U (t)A. Montrer que V est une solution de l’équation différentielle,
et en déduire que A commute avec U (t) pour tout t ∈ R.
(d) Montrer que U est un morphisme du groupe additif des réels vers le groupe SO(n).
Le morphisme de groupes U sera appelé le « flot » associé à A et noté désormais UA .
(e) Soit ϕ : R → SO(n) une application dérivable qui est aussi un morphisme de groupes (du groupe additif
R vers SO(n)). Montrer que ϕ = Uϕ0 (0) .
+ Exercice 6.
On considère l’équation différentielle mx00 (t) + βx0 (t) + αx(t) = 0, où m, α et β sont des
constantes réelles strictement positives et où la fonction inconnue x est à valeurs dans R.
(a) Montrer que cette équation différentielle du second ordre est équivalente à un système différentiel du
premier ordre de fonction inconnue X(t) = (x(t), x0 (t)).
(b) Résoudre le système dans le cas β 2 > 4mα.
(c) Résoudre le système dans le cas β 2 = 4mα.
(d) Résoudre le système dans le cas β 2 < 4mα.
(e) (Un peu de technologie !) Une suspension automobile (ressort + amortisseur) est idéale quand le retour à
la position d’équilibre se fait le plus vite possible sans oscillation (on appelle cela l’« amortissement critique »).
Sachant que la masse suspendue sur une roue avant du véhicule est de 5×105 g et que le facteur de résistance
du ressort est de 30 N/m, calculer quel doit être le facteur de frottement de l’amortisseur en (N.s)/m pour
obtenir l’amortissement idéal.( 2 )
1. Pour toute matrice carrée M , la matrice t M M est appelée la « matrice de Graam » de M .
2. On rappelle que 1 N (1 Newton) vaut 1000 (g.m)/s2 .