Exercices L2 semestre 1

MM3 2012-2013 Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 17 septembre 2012
+Exercice 1. Parmi les énoncés suivants (où uet vsont deux suites de nombres réels), quels sont ceux qui sont
vrais ?
•(a) Si uest croissante et convergente, elle est majorée.
•(b) Si uest majorée et convergente, elle est croissante.
•(c) Si uest décroissante et positive, elle converge.
•(d) Si uest croissante et non majorée, elle diverge.
•(e) Si uet vsont divergentes, u+vest divergente.
•(f) Si uest convergente et vdivergente, u+vest divergente.
•(g) Si uest convergente et vdivergente, uv est divergente.
•(h) Si utend vers 0,uv tend vers 0.
+Exercice 2. Soit u= (un)n∈Nune suite de nombres réels. Montrer que si les sous-suites de u:(u2n)n∈N,(u2n+1)n∈N
et (u3n)n∈Nconvergent, il en est de même de u.
+Exercice 3. Soient aet bdeux nombres complexes tels que a2+ 4b= 0 . Soit Sl’ensemble des suites (wn)n∈Nde
nombres complexes telles que :
∀n∈Nwn+2 =awn+1 +bwn
Montrer que les suites u= (un)et v= (vn)définies par
un= (a
2)net vn=n(a 2)n
appartiennent à Set que toute suite appartenant à Sest une combinaison linéaire de uet v.
+Exercice 4. Soit u= (un)n∈Nune suite de nombres réels. Montrer que s’il existe une fonction f:R→Ntelle que
pour tout x∈Ret tout n∈Non ait un≤x⇔n≤f(x), alors la suite utend vers +∞.
+Exercice 5. Calculer lim
p→+∞lim n→+∞(cos πp!x)2n.
+Exercice 6. On note Fle corps des fractions rationnelles (à coefficients réels). Si fet gsont deux éléments de
F, on définit f≤gcomme ∃A∈R∀x>A f(x)≤g(x).
(a) Montrer que ≤est une relation d’ordre total sur F.
(b) Montrer que Fmuni de ≤est un corps ordonné (c’est-à-dire que f≤g⇒f+h≤g+het (f≤g∧0≤h)⇒fh ≤gh).
(c) Montrer que dans le corps Fla suite 1
n+ 1n∈N
n’a pas de limite.
(d) Exhiber une partie non vide et majorée de Fqui n’a pas de borne supérieure.
+Exercice 7. On appelle « corps réel » un corps totalement ordonné (voir exercice 6) vérifiant l’axiome de la borne
supérieure.
(a) Soit Kun corps réel. Montrer que pour tout x∈Ket tout a∈Ktel que 0< a, il existe un entier n∈Ntel que
na > x.
(b) Montrer que dans tout corps réel, la suite 1
n+ 1n∈N
tend vers 0.
+Exercice 8. On considère les deux suites de nombres réels u= (un)n∈N∗et v= (vn)n∈N∗. définies par :
un= 1 + 1
1! +· · · +1 n!et vn=un+1 n(n!)

(a) Montrer que :
•(a) la suite uest croissante,
•(b) la suite vest décroissante,
•(c) pour tout n≥1,un≤vn,
•(d) lim
n→+∞(vn−un)=0.
En déduire que les suites uet vsont convergentes et de même limite (qui sera notée e; pourquoi ?).
(b) Montrer que pour tout entier n > 0, il existe un unique nombre réel θntel que 0< θn<1et tel que :
e=un+θn
n(n!)
(c) En déduire que eest irrationnel.
+Exercice 9. On considère une fonction f:R→Rcontinue, dérivable et telle que pour tout x∈R|f0(x)|<1/2.
Soit u0un réel quelconque. On pose un+1 =f(un). Montrer que la suite (un)n∈Nest convergente.
+Exercice 10. Le théorème de Bolzano-Weirstrass pour la dimension 1dit que toute suite bornée de Ra une
sous-suite convergente. Généraliser ce résultat à Rnpar récurrence sur n.
+Exercice 11. Soit αun nombre réel, et soit ula suite définie par un=einα.
(a) Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes :
•(a) α/π est rationnel,
•(b) la suite uest périodique,
•(c) la fonction n7→ unn’est pas injective,
•(d) l’ensemble {un|n∈N}est un sous-groupe du groupe (multiplicatif) des complexes de module 1.
On suppose désormais que α/π est irrationnel.
(b) Montrer qu’il existe pour tout ε > 0des entiers naturels distincts net mtels que |un−um|< ε. (Utiliser le résultat
de l’exercice 10)
(c) En déduire que la suite ua une sous-suite qui converge vers 1.
(d) Montrer que pour tout complexe zde module 1et tout ε > 0il existe n∈Ntel que |z−un|< ε.
(e) En déduire que pour tout complexes zde module 1,ua une sous-suite qui converge vers z.
(f) On note ula suite conjuguée de u(i.e. un=un). Montrer que l’union de l’image de la suite uet de l’image de la suite
uest un sous-groupe du groupe des complexes de module 1.
+Exercice 12. (a) Montrer que pour tout x∈[0,1], il existe une unique suite (θ(x)n)N∈Ntelle que ∀n∈Nθ(x)n∈
{0,1,2},x=
+∞
X
n=0
θ(x)n
3n+1 et @n∈N∀p>n θ(x)p= 2.
(b) On note ϕla fonction de {0,1,2}vers lui-même telle que ϕ(0) = ϕ(2) = 1 et ϕ(1) = 0. Soit u= (un)n∈Nune suite
de réels de l’intervalle [0,1]. On pose
x=
+∞
X
n=0
ϕ(θ(un)n)
3n+1
Montrer que xest bien défini et n’est pas dans l’image de la suite u.
(c) En déduire qu’il n’existe pas de surjection N→R.

MM3 2012-2013 Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 24 septembre 2012
+Exercice 1. (a) Soit f:R→Rune fonction continue en 0telle que ∀x∈Rf(2x) = f(x). Utiliser
(pour xdonné) la suite x
2nn∈N
pour montrer que fest une fonction constante.
(b) Montrer par une méthode analogue que si f:R→Rest une fonction continue en 0et en 1telle que
∀x∈Rf(x) = f(x2), alors fest constante.
(c) Soit f:R→Rune fonction continue telle que f(0) = 1 et telle que ∀x∈Rf(2x) = f(x) cos x. Montrer
que f(x) = sin(x)
xpour tout x∈R− {0}.
+Exercice 2. Étudier la continuité sur Rde l’application f= (x7→ E(x) + px−E(x)), où E(x)est
la partie entière de x.
+Exercice 3. Soit ϕ:N→Qune bijection. On pose pour tout x∈R,f(x) = X
ϕ(n)<x
1
2n.
(a) Montrer que fest croissante. Déterminer ses limites en −∞ et en +∞.
(b) Montrer que fest continue à gauche et discontinue à droite en tout point rationnel.
(c) Montrer que fest continue en tout point irrationnel.
+Exercice 4. Soit f:]0,+∞[→Rune fonction croissante telle que x7→ f(x)
xsoit décroissante. Montrer
que fest continue.
+Exercice 5. Soit f:R→Rune fonction telle que ∀x,y∈Rf(x+y) = f(x) + f(y).
(a) Calculer f(0) et montrer que pour tout x∈R,f(−x) = −f(x).
(b) Établir que pour tout r∈Q,f(r) = ar avec a=f(1).
(c) Montrer que si fest continue en 0,fest R-linéaire.
(d) Montrer que si fn’est pas continue en 0, il existe pour tous réels a,b,cet dtels que a < b et c < d un
réel xtel que a<x<bet c < f(x)< d.
+Exercice 6. Soient deux réels aet btels que a<bet f: [a, b]→Rune fonction croissante. Montrer
que si f([a, b]) est un intervalle, alors fest continue.
+Exercice 7. Soit Iun intervalle de Ret f:I→Rune fonction croissante. Montrer que l’ensemble
des points de Ioù fest discontinue est dénombrable.
+Exercice 8. Soit f: [0,1[→Rune fonction uniformément continue. Montrer que fest bornée.
+Exercice 9. Soit f:R+→Rune fonction continue et tendant vers 0à l’infini. Montrer que fest
uniformément continue.
+Exercice 10. Soit une fonction f: [0,1] →[0,1].
(a) On suppose que fest continue. Montrer que fadmet un point fixe.
(b) On suppose que fest croissante. Montrer que fadmet un point fixe.
+Exercice 11. Soit f:R→Rune fonction continue périodique de période T > 0. Montrer qu’il existe
x∈Rtel que f(x) = f(x+T
2).

+Exercice 12. Soit f:R→Rune fonction continue telle qu’il existe un entier n≥2tel que fnsoit
l’application identique de R(où fn=f◦f◦ · · · ◦ favec nfois la lettre f).
(a) Montrer que fest une bijection et que son application réciproque f−1est continue.
(b) Montrer que pour tout x∈R, il existe ktel que 0< k < n et tel que f(x)−xet fk+1(x)−fk(x)soient
tous les deux nuls ou tous les deux non nuls et de signes contraires.
(c) Montrer que fa un point fixe.
+Exercice 13. Soient fet gdeux fonctions continues de [0,1] vers [0,1], telles que g◦f=f◦g. On
veut montrer qu’il existe x0∈[0,1] tel que f(x0) = g(x0), et on se propose de le faire par l’absurde. On
suppose donc que ∀x∈[0,1] f(x)6=g(x).
(a) Montrer qu’on a ∀x∈[0,1] f(x)< g(x)ou ∀x∈[0,1] g(x)< f (x).
Désormais, on suppose que ∀x∈[0,1] f(x)< g(x). On pose ϕ(x) = f(g(x)) (pour tout x∈[0,1]) et on pose
F={x∈[0,1] |ϕ(x) = x}.
(b) Montrer que Fun plus grand élément (qu’on notera α).
(c) Montrer que Fest stable par fet par g(autrement-dit, que f(F)⊂Fet g(F)⊂F).
(d) Montrer que f:F→Fest surjective.
On note yun élément de Ftel que f(y) = α.
(e) Conclure en trouvant une contradiction.
+Exercice 14. (a) Montrer que la fonction f:R→Rdéfinie par
f(0) = 0
f(x) = x+ 2x2cos( 1
x)(si x6= 0)
est continue et dérivable sur Ret que f0(0) = 1. Tracer le graphe de f.
(b) La fonction fest-elle croissante dans un voisinage de 0?
(c) La dérivée f0de fest-elle continue ?
+Exercice 15. Montrer que si la fonction f:R→Rest dérivable (sa dérivée n’est pas supposée
continue), et si Iest un intervalle de R, alors f0(I)est un intervalle.
+Exercice 16. Soit f:]0,1[→Rune fonction de classe C1. On pose F={x∈]0,1[ |f0(x)=0}.
(a) Montrer que
∀ε>0∃η>0∀x∈F∀y∈F|x−y|< η ⇒ |f(x)−f(y)|< εη
(b) Montrer qu’il existe un entier net des réels y1, . . . , yntels que f(F)⊂
n
[
i=1
]yn, yn+ε
n[.

MM3 2012-2013 Université Paris-Diderot
Exercices pour la semaine du 1 octobre 2012
+Exercice 1. Calculer les intégrales suivantes
Za
1
ln(x)dx Z1
0p1−x2dx
+Exercice 2. Soit Dle complémentaire dans Cde l’ensemble des réels négatifs ou nuls, et soit z∈D.
On pose, pour tout a∈[0,1] :
g(a) = Za
0
1−z
t+ (1 −t)zdt.
(a) Montrer que g(a)est bien défini, et calculer g0(a).
(b) On pose h(a) = e−g(a)(a+ (1 −a)z). Montrer que hest une fonction constante.
(c) En déduire que l’application x7→ exde Cvers C∗est surjective.
(d) En déduire que tout polynôme à coefficients complexes de degré n > 0est le produit de npolynômes de
degré 1(théorème de d’Alembert).
+Exercice 3. Soit f: [a, b]→R(a < b) une fonction intégrable (au sens de Riemann). Montrer qu’il
existe c∈[a, b]tel que fsoit continue en c.
+Exercice 4. Exhiber une fonction intégrable sur [0,1] qui n’est continue sur aucun intervalle ouvert
contenu dans [0,1].
+Exercice 5. Soit fune fonction continue sur [a, b]. Calculer la limite de (n∈N)
Zb
a
f(x) cos(nx)dx
quand ntend vers l’infini.
+Exercice 6. (a) Calculer par récurrence sur n(pour n∈N)
In=Zπ
2
0
sinn(x)dx.
(b) Montrer que la suite {In}n∈Nest décroissante.
(c) En déduire que
lim
n→∞
1
√n
2.4.6. . . 2n
1.3.5. . . (2n−1) =√π.
+Exercice 7. Soit fune fonction continue non nulle et positive sur [0,1].
(a) Montrer que (P, Q)7→ Z1
0
f(t)P(t)Q(t)dt définit un produit scalaire sur l’espace des polynômes R[X].
(b) Montrer qu’il existe une base (Pn(X))n≥0de R[X], telle que :
Z1
0
f(t)Pn(t)Pm(t)dt =0si n6=m
1si n=m
avec Pnde degré n.