Lycée Med Reda Slaoui Centre Des Classes Préparatoires Agadir Année Scolaire : 04/05 BCPST 1 Série n◦ 18 Les variables aléatoires 16 juin 2005 Exercice 1. 2% des articles provenant d'une chaîne de fabrication d'une usine sont défectueux, un client a acheté 5 articles : 1. Quelle est la proboabilité qu'il n'ait que de bonnes marchandises ? 2. Si plus d'un article est défectueux le client a l'intention de retourner la marchandise et d'annuler la commande. S'il y a exactement un article défectueux, le client le renvoie pour qu'il soit échangé. Dans cette événtualité, le fabricant envoie simplement un article choisie au hasard sans l'avoir vérié auparavant. Si l'objet de remplacement est aussi défectueux, le client annule sa commande. Quelle est la probabilité pour que la commande soit annulée ? Exercice 2. Soient X et Y deux variables binomiales indépendantes telles que X ,→ÿ(n, p) et Y ,→ÿ(m, p). 1. Quelle est la loi de Z = X + Y ? 2. Quelle est la loi conditionnelle de (X/Z=k ) ? (k ∈ Z(Ω)) Exercice 3. Une urne contient n jetons numérotés de 1 à n où n est un entier supérieur ou égal à 2. On tire successivement et avec remise 2 jetons de l'urne, On désigne par X et Y les variables aléatoires qui à chaque tirage font correspondre respectivement le plus petit et le plus grand des 2 nombres obtenus. 1. Soit (a, b) ∈ {1, 2, ..., n}2 , calculer la probabilité p(a, b) de l'événement X = a ∩ Y = b. 2. Déterminer les lois de probabilité des v.a.r X et Y . 3. On dénit les matrices unicolonnes U et V par : p(X = 1) p(X = 2) · U = · p(X = n et 1 p(Y = 1) p(Y = 2) · V = · p(Y = n Démontrer qu'il existe une matrice M indépendante de n qu'on déterminera telle que V = M.U Exercice 4. On eectue deux tirage avec remise dans une urne contenant 3 boules blanches et 3 boules noirs et on considère les v.a.r suivantes : X : nombre de boules blanches obtenues au premier tirage. Y : nombre de boule noires obtenues au second tirage 1. Déterminer les lois marginales de X et Y . 2. Déterminer la loi du couple (X, Y ). Exercice 5. Le sang de tout être humain possède une caractéristique appelée facteur Rhésus. Cette caractéristique peut revêtir deux formes notées R+ et R− . Pour chacun des deux sexes, la probabilité qu'un français soit R+ est 0.85 ; la probabilité qu'il soit R− est 0.15. 1. La formation d'un couple est indépendante du facteur Rhésus. Un couple étant pris au hasard, trouver la probabilité pour que : (a) Le mari soit R+ et la femme R− ; (b) Le mari soit R− et la femme R+ ; (c) Le mari et la femme aient même facteur Rhésus. 2. Chez les couples où l'homme est R+ et la femme R− , et seulement chez ceux-là, se produit dans 8% des naissances des accidents qui nécessitent un traitement spécial du nouveau-né. Déterminer la probabilité pour qu'un nouveau-né, de parents français dont on ne connaît pas le facteur Rhésus, doive subir ce traitement. 3. Dans une maternité il y a en moyenne 20 naissances par semaine. On note X la variable aléatoire qui à une semaine associe le nombre de nouveau-nés devant subir ce traitement spécial. (a) Déterminer pour k ∈ {0, 1, 2, ..., 20}, p(X = k). (b) Calculer p(X = 0) et p(X = 1). Quelle est la probabilité pour qu'il se présente plus d'un cas à traiter durant une semaine ? Exercice 6. Des études statistiques montrent que 6% des individus d'une population sourent d'une maladie donnée. On considére un échantillon pris au hasard de 100 personnes de la population, cette dernière étant susamment grande pour que l'on puisse assimiler le choix de l'échantillon à 100 choix indépendants malades de l'échantillon. 1. Soit k un entier compris entre 0 et 100. Exprimer en fonction de k la probabilité de l'événement ”X = k”. 2 2. Donner une valeur approchée à 10−4 près de la probabilité qu'il n 'y ait aucun malade dans l'échantillon. 3. Calculer l'éspérance mathématique E(X) de X . Exercice 7. On considère le couple aléatoire (X, Y ) prenant la valeur (i, j) avec la probabilité pij indiquée sur le tableau : ( i ∈ {0, 1, 2, 3} et j ∈ {1, 2, 3}) 2 3 1 0.1 0.2 0.1 0.1 2 0.1 0 0 0.1 3 0.1 0 0.2 0 Les variables X et Y sont-elles indépendantes ? Déterminer les probabilités marginales, en déduire E(X), E(Y ), V ar(X), et V ar(Y ). Former les tableaux des probabilités conditionnelles : p(Y = j/X=i ) et P (X = i/Y =j ). Soit U = XY . Déterminer la loi de U et calculer E(U ) et V ar(U ). Soit V = inf (X, Y ). Déterminer la loi de V et calculer E(V ) et V ar(U ). Former le tableau de probabilité du couple (U, V ). U et V sont-elles indépendantes ? Y X\ 1. 2. 3. 4. 5. 6. 0 1 • • • • • • • • •• 3