Thème : Congruences, PGCD, Bezout CORRECTIONS A PARTIR DE LA PAGE 2 Exercice 1 Exercice 2 Exercice 3 Le nombre n est un entier naturel non nul. On pose et et on note d le PGCD de a et b. 1. Donner les valeurs de d dans les cas suivants : 2. Calculer et en déduire les valeurs possibles de d. 3. a. Quels sont les restes possibles de la division d’un entier n par 7 ? b. Déterminer les entiers n tels que . c. En déduire les entiers n tels que a soit un multiple de 7. 4. Déterminer de même les entiers n tels que b soit un multiple de 7. 5. Pour quelles valeurs de n, d vaut-il 1 ? Exercice 4 Soit n un entier naturel non nul. On considère les nombres a et b tels que : et 1. Montrer que 2n +1divise a et b. 2. Un élève affirme que le PGCD de a et b est 2n +1. Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée.) Exercice 5 Déterminer les entiers naturels n dont : le reste dans la division par 9 est 7 et le reste dans la division par 7 est 1. . CORRECTION Exercice 1 - On a - car La congruence modulo 17 est conservée par multiplication et addition. Or Donc Exercice 2 PGCD(m ; n) = 42 donc il existe deux entiers naturels k et k’ premiers entre eux tels que . si et seulement si et avec k et k’ premiers entre eux. avec k et k’ premiers entre eux. 2k’ est entier et pair. On a 2 + 6 = 8, alors k=2 et k’=3 sont bien premiers entre eux. et 4 + 4 = 8 mais k = 4 et k =2 ne sont pas premiers entre eux. , alors k=6 et k’=1 sont bien premiers entre eux. Les couples possibles sont donc (84 ; 126) et (252 ; 42). Exercice 3 Le nombre n est un entier naturel non nul. On pose et et on note d le PGCD de a et b. 1. Si n = 1, a = 7 et b = 7 donc PGCD(a , b) =7 Si n = 11, a = 47 et b = 57 donc PGCD(a , b) = 1 car 47 et 57 sont premiers. Si n = 15, a = 63 et b = 77 donc PGCD(a , b) = 7. 2. = . Soit d un diviseur commun à a et b. Alors d divise Or les diviseurs positifs de 7 sont 1 et 7. Donc PGCD(a , b) = 7 ou PGCD(a , b) = 1 =7. 3. a. Les restes possibles de la division d’un entier n par 7 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6. b. .La relation de congruence n’est pas compatible avec la division, on doit donc étudier tous les cas possibles. Dans la division par 7, il y a 7 types d’entiers n possibles (selon leur reste dans la division !) 0(7) 1(7) 2(7) 3(7) 4(7) 5(7) 6(7) n 4n 0(7) 4(7) 8(7) D’après ce raisonnement par disjonction de cas, c. a est un multiple de 7 si et seulement si 4. b est un multiple de 7 Par disjonction de cas, on cherche les solutions de 0(7) 1(7) 2(7) n 0(7) 5(7) 5n 10(7) 12(7) 16(7) 20(7) 24(7) 5(7) 25(7) 6(7) 30(7) si et seulement si 3(7) 15(7) 4(7) 20(7) b est un multiple de 7 5. Pour quelles valeurs de n, d vaut-il 1 ? PGCD(a , b) = 7 si et seulement si a et b multiples de 7 soit Dans tous les autres cas, PGCD(a , b) =1 Exercice 4 Soit n un entier naturel non nul. On considère les nombres a et b tels que : et 1. donc 2n + 1 divise b. (on peut poser la division euclidienne !) donc 2n + 1 divise b. 2. Un élève affirme que le PGCD de a et b est 2n +1. Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée.) ( ) Soit d un diviseur commun à n et alors d divise et n+1 car =(n+1)² Or n et n+1 sont premiers entre eux (entiers consécutifs avec différence = 1) Donc PGCD L’élève a raison. Exercice 5 Déterminer les entiers naturels n dont : le reste dans la division par 9 est 7 et le reste dans la division par 7 est 1. On cherche n entier naturel tel que et Donc il existe q et q’ entiers relatifs tels que Soit 7 et 9 sont premiers entre eux donc d’après Bezout, il existe au moins un couple (u ; v) tel que 7u+ 9v = 1 On trouve ce couple en remontant Euclide : D’après l’algorithme, 9 = 7 +2 7= On remonte cet algorithme : donc Une solution particulière de 7u+ 9v = 1 est (4 ; -3) Donc une solution particulière de est (24 ; 18). On cherche l’ensemble des solutions : Par soustraction, Donc 7 divise avec 7 et 9 premiers entre eux donc 7 divise Il existe k entier relatif tel que et par suite, Les couples solutions sont donc (9k +24 ; 7k +18), k entier relatif Or Or n entier naturel donc , k entier relatif. Les solutions sont les entiers , k entier relatif Les premiers entiers sont 43, 106, 169, 232,… .