Thème : Congruences, PGCD, Bezout CORRECTIONS A PARTIR

Thème : Congruences, PGCD, Bezout
CORRECTIONS A PARTIR DE LA PAGE 2
Exercice 1
Exercice 2
Exercice 3
Le nombre n est un entier naturel non nul.
On pose      et      et on note d le PGCD de a et b.
1. Donner les valeurs de d dans les cas suivants :        .
2. Calculer    et en déduire les valeurs possibles de d.
3. a. Quels sont les restes possibles de la division d’un entier n par 7 ?
b. Déterminer les entiers n tels que   .
c. En déduire les entiers n tels que a soit un multiple de 7.
4. Déterminer de même les entiers n tels que b soit un multiple de 7.
5. Pour quelles valeurs de n, d vaut-il 1 ?
Exercice 4
Soit n un entier naturel non nul.
On considère les nombres a et b tels que :        et    
1. Montrer que 2n +1divise a et b.
2. Un élève affirme que le PGCD de a et b est 2n +1.
Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée.)
Exercice 5
Déterminer les entiers naturels n dont :
le reste dans la division par 9 est 7 et le reste dans la division par 7 est 1.

CORRECTION
Exercice 1
On a   - car       -
La congruence modulo 17 est conservée par multiplication et addition.
Or            
Donc       
Exercice 2
PGCD(m ; n) = 42 donc il existe deux entiers naturels k et k’ premiers entre eux tels que    et
  .
    si et seulement si    avec k et k’ premiers entre eux.
   avec k et k’ premiers entre eux.
2k’ est entier et pair.
On a 2 + 6 = 8, alors k=2 et k’=3 sont bien premiers entre eux.     et    
4 + 4 = 8 mais k = 4 et k =2 ne sont pas premiers entre eux.
    , alors k=6 et k’=1 sont bien premiers entre eux.    
Les couples possibles sont donc (84 ; 126) et (252 ; 42).
Exercice 3
Le nombre n est un entier naturel non nul.
On pose      et      et on note d le PGCD de a et b.
1. Si n = 1, a = 7 et b = 7 donc PGCD(a , b) =7
Si n = 11, a = 47 et b = 57 donc PGCD(a , b) = 1 car 47 et 57 sont premiers.
Si n = 15, a = 63 et b = 77 donc PGCD(a , b) = 7.
2.    =          .
Soit d un diviseur commun à a et b. Alors d divise    =7.
Or les diviseurs positifs de 7 sont 1 et 7.
Donc PGCD(a , b) = 7 ou PGCD(a , b) = 1
3. a. Les restes possibles de la division d’un entier n par 7 sont 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
b.   .La relation de congruence n’est pas compatible avec la division, on doit donc étudier
tous les cas possibles.
Dans la division par 7, il y a 7 types d’entiers n possibles (selon leur reste dans la division !)
n 
0(7)
1(7)
2(7)
3(7)
4(7)
5(7)
6(7)

4n 
0(7)
4(7)
8(7)
12(7)
16(7)
20(7)
24(7)
D’après ce raisonnement par disjonction de cas,    si et seulement si   
c. a est un multiple de 7 si et seulement si              
4. b est un multiple de 7           
Par disjonction de cas, on cherche les solutions de   
n 
0(7)
1(7)
2(7)
3(7)
4(7)
5(7)
6(7)
5n 
0(7)
5(7)
10(7)
15(7)
20(7)
25(7)
30(7)
b est un multiple de 7    
5. Pour quelles valeurs de n, d vaut-il 1 ?
PGCD(a , b) = 7 si et seulement si a et b multiples de 7 soit   
Dans tous les autres cas, PGCD(a , b) =1
Exercice 4
Soit n un entier naturel non nul.
On considère les nombres a et b tels que :        et    
1.         donc 2n + 1 divise b.
        (on peut poser la division euclidienne !) donc 2n + 1 divise b.
2. Un élève affirme que le PGCD de a et b est 2n +1.
Son affirmation est-elle vraie ou fausse ? (La réponse sera justifiée.)
Soit d un diviseur commun à n et     alors d divise  et n+1 car     =(n+1)²
Or n et n+1 sont premiers entre eux (entiers consécutifs avec différence = 1)
Donc PGCD    
L’élève a raison.
Exercice 5
Déterminer les entiers naturels n dont :
le reste dans la division par 9 est 7 et le reste dans la division par 7 est 1.
On cherche n entier naturel tel que    et   
Donc il existe q et q’ entiers relatifs tels que        
Soit    
7 et 9 sont premiers entre eux donc d’après Bezout, il existe au moins un couple (u ; v) tel que 7u+ 9v = 1
On trouve ce couple en remontant Euclide :
D’après l’algorithme, 9 = 7 +2
7 =          
On remonte cet algorithme :       
     donc                
Une solution particulière de 7u+ 9v = 1 est (4 ; -3)
Donc une solution particulière de     est (24 ; 18).
On cherche l’ensemble des solutions :            
Par soustraction,    

Donc 7 divise    avec 7 et 9 premiers entre eux donc 7 divise   
Il existe k entier relatif tel que      et par suite,   
Les couples solutions sont donc (9k +24 ; 7k +18), k entier relatif
Or             , k entier relatif.
Or n entier naturel donc       
Les solutions sont les entiers    , k entier relatif  .
Les premiers entiers sont 43, 106, 169, 232,…