Probabilités - Site Personnel de Arnaud de Saint Julien

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Exercices sur le chapitre «Probabilités»
Pour démarrer
Exercice 1 (Modélisation d’un dé non cubique) On considère un parallélépipède rectangle de dimensions
3, 4 ,5. L’expérience aléatoire consiste à le lancer, et à observer la face qui tombe.
1. Quel est l’univers associé à cette expérience aléatoire ? Les différentes issues vous paraissent-elles équipro-
bables ?
2. Voici un modèle proposé : la probabilité d’apparition d’une face est proportionnelle à son aire. Déterminer
la loi de probabilité associée à ce modèle. On donnera des valeurs approchées à 10−2près (prendre une
calculatrice).
3. Critique du modèle : ce modèle vous paraît-il réaliste ? Que-se passe-t-il si on change les dimensions du
pavé ?
Exercice 2 (Date d’anniversaire) Une urne contient 365 boules numérotées de 1 à 365. On tire successive-
ment avec remise 34 boules de cette urne.
1. Déterminer Ω et son cardinal. Quelle est la probabilité qu’au moins deux des boules tirées aient le même
numéro ?
2. Dans une classe de 34 élèves, est-il raisonnable de parier que deux élèves au moins fêtent leur anniversaire
le même jour de l’année ?
Exercice 3 (Trois modèles de tirage) Une urne contient 8 boules, 5 rouges et 3 noires. On tire deux boules.
Déterminer la probabilité que les deux boules soient de même couleur dans les cas suivants (préciser l’univers
Ω) :
• On tire les 2 boules simultanément
• On tire successivement les deux boules avec remise
• On tire successivement les deux boules sans remise
Exercice 4 Une grande enveloppe contient les 12 figures d’un jeu de cartes : les quatre rois, les quatre dames
et les quatre valets.
1. On tire simultanément et au hasard 5 cartes de l’enveloppe.
(a) Calculer la probabilité de ne pas tirer de roi, en déduire la probabilité de tirer au moins un roi.
(b) Calculer la probabilité de tirer deux rois exactement.
(c) Calculer la probabilité de tirer quatre figures identiques (on dit qu’on a un carré).
2. Si, on tire successivement et sans remise 5 cartes de l’enveloppe, quelle est la probabilité de tirer au moins
un roi ?
Exercice 5 (Problème des paires ou poker) Un joueur de poker reçoit une main de 5 cartes d’un jeu de
32 cartes (sans joker). Quelle est la probabilité que sa main contienne :
1. une seule paire ? deux paires ?
2. au moins une paire ?

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Conditionnement
Exercice 6 (Matériel défectueux) Le gérant d’un magasin de matériel informatique a acheté un stock de
boîtes de disquettes. 5 % des boîtes sont abîmées. Le gérant estime que :
• 60 % des boîtes abimées contiennent au moins une disquette défectueuse,
• 98 % des boîtes en bon état ne contiennent aucune disquette défectueuse,
• les états des diverses boîtes sont indépendants les uns des autres.
Un client achète une des boîtes du lot. On désigne par Al’évènement : «la boîte achetée est abîmée» et par D
l’évènement : «la boîte achetée contient au moins une disquette défectueuse».
1. Représenter un arbre et y faire figurer les différentes probabilités. Calculer P(D).
2. Le client constate qu’une des disquettes est défectueuse. Quelle est la probabilité qu’il ait acheté une boîte
abîmée ?
Exercice 7 Un quart d’une population a été vacciné. Parmi les vaccinés, on compte 1
12 de malades. Parmi les
malades, il y a 4 non vaccinés pour un vacciné. Quelle est la probabilité pour un non vacciné de tomber malade ?
Exercice 8 Un lot de 100 dés contient 25 dés pipés tels que la probabilité d’apparition de 6 soit 1
2. On prend
un dé au hasard, on le jette, on obtient 6. Quelle est la probabilité que le dé soit pipé ?
Exercice 9 (Fiabilité d’un test de dépistage) Dans une population donnée, la proportion d’individus at-
teint d’une certaine maladie est x(0 6x61). On dispose d’un test de dépistage de cette maladie et on voudrait
étudier sa fiabilité. On dispose des données suivantes :
(i) on effectue le test de dépistage sur 100 personnes considérées comme malades : 98 ont un test positif.
(ii) on effectue le test de dépistage sur 100 personnes considérées comme saines : une seule a un test positif.
On choisit au hasard un individu de cette population et on le soumet au test. On note Ml’événement «l’individu
est malade» et T+l’événement «le test est positif».
1. Traduire les données (i) et (ii) à l’aide d’un arbre de probabilités.
2. Exprimer P(M∩T+) puis P(T+) en fonction de x.
3. On note f(x) la probabilité qu’une personne ayant un test positif soit malade. Montrer que f(x) = 98x
97x+1 .
4. On considère que le test est fiable lorsque la probabilité qu’un individu ayant un test positif soit malade
est supérieure à 0,95.
(a) Le test est-il fiable si la proportions d’individus atteints de la maladie est de 5% ?
(b) A partir de quelle proportion x, le test est-il fiable ?
Indépendance
Exercice 10 Les questions sont indépendantes
1. Soit Aet Bdeux évènements d’un espace probabilisé (Ω,P(Ω), P ) tels que P(A) = 0,4, P(B) = 0,5 et
P(A∪B) = 0,35. Les évènements Aet Bsont-ils indépendants, incompatibles ?
2. Tirage sans remise : une urne contient 5 boules dont 3 rouges. On tire successivement sans remise deux
boules. On note R1et R2les évènements «la première boule est rouge» et «la deuxième boule est rouge».
Les évènements R1et R2sont-ils indépendants ? Quelle information de l’énoncé permet d’en avoir l’intui-
tion ?
Exercice 11 (Tirs à l’arc duel)
1. Deux archers Aet Btirent simultanément. On estime alors que les deux évènements «A atteint la cible»
et «B atteint la cible» sont indépendants et de probabilités respectives 0,6 et 0,8. Calculer la probabilité
des évènements :

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(a) Aet Batteignent tous deux la cible.
(b) seul Aatteint la cible
(c) la cible est manquée
(d) un seul tireur atteint la cible.
2. On suppose désormais que Atire en premier. La psychologie va alors faire ses effets. On estime que si A
atteint la cible, Ba la «pression» et atteint la cible avec une probabilité de 0,5. au contraire si Arate la
cible, Bl’atteint avec une probabilité de 0,9. Répondre alors aux mêmes questions que précédemment.
Exercice 12 (Tir à l’arc seul) Un tireur atteint une cible quatre fois sur cinq. On admet que la réussite ou
l’échec à un tir n’influe pas sur sa réussite au tir suivant.
1. Interpréter en terme d’indépendance, l’hypothèse émise ci-dessus. En déduire la probabilité qu’il atteigne
la cible 3 fois de suite.
2. Quelle est la probabilité qu’il atteigne la cible au moins une fois avec 17 lancers ?
3. Combien de tirs doit-il effectuer pour être sûr à 99,9 % d’atteindre la cible au moins une fois ?
Exercice 13 On lance deux fois un dé équilibré. On note Al’évènement «le premier nombre obtenu est pair», B
l’évènement «le deuxième nombre obtenu est impair» et C«la somme des deux nombres est impaire». Montrer
que ces 3 évènements ne sont pas (mutuellement indépendants) alors qu’ils le sont 2 à 2.
Plus difficile
Exercice 14 (Choix aléatoire des urnes) Soit nun entier naturel non nul. On dispose de nurnes numéro-
tées de 1 à nqui contiennent chacune nboules, des noires et des blanches. De plus pour tout i∈ {1,...,n},
l’urne icontient exactement n−iboules noires. On choisit une urne au hasard puis on prélève une boule dans
l’urne choisie.
1. Soit i∈ {1,...,n}, on note Uil’évènement «l’urne iest choisie» et B«la boule tirée est blanche».
Déterminer P(Ui) et PUi(B).
2. Calculer P(B).
3. Quelle est la probabilité que la boule tirée soit de l’urne 1 sachant qu’elle est blanche ?
Exercice 15 (Saut en hauteur) On fixe N>2 un entier. Un athlète saute successivement par-dessus des
barres numérotées de 1 à N. Il s’arrête au premier échec, ou bien lorsqu’il a passé la barre n◦N. Lorsqu’il tente
la barre n◦i, il a une chance sur ide réussir. On définit, pour i∈J1, NK, l’évènement Ai: «l’athlète a franchi
la barre n◦i» et l’évènement Bi: «la dernière barre réussie par l’athlète est la barre n◦i». Il faut comprendre
que, si l’athlète ne franchit pas une barre, il ne farnchit pas les suivantes, puisqu’il n’a alors pas le droit de les
tenter.
1. Calculer P(Ai) pour i∈J1, N K.
2. Calculer P(Bi) pour i∈J1, N −1K.
3. Calculer P(BN).
Exercice 16 (Tirs au but avec psychologie) Lors d’une séance de tirs, un gardien arrête le premier tir avec
la probabilité 0,3 puis :
• s’il a arrêté un tir, il prend confiance et arrête le suivant avec la probabilité 0,5.
• s’il prend un but, il se décourage et arrête le suivant avec la probabilité 0,2.
On note Anl’évènement «le gardien arrête le n-ième tir». On admet que tous les tirs sont «cadrés» et l’on note
pnla probabilité de An. Ainsi p1= 0,3.

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1. Calculer p2.
2. On note Anl’évènement «le gardien arrête le n-ième tir». Déterminer deux réels aet btels que pour tout
n∈N∗, on ait pn+1 =apn+b.
3. En déduire l’expression de pnen fonction de n.
4. Désormais on fixe n>3. Soit k∈ {1,...,n}. On note Bkl’évènement «le gardien arrête un seul tir au
cours des npremiers pénaltys et cet arrêt a lieu lors du k-ième pénalty».
(a) Calculer P(B1)
(b) Calculer P(Bn).
(c) Calculer P(Bk) pour k∈ {2,...,n−1}.
(d) En déduire la probabilité de l’évènement B«le gardien arrête un seul tir au cours des npremiers
pénaltys».
Exercice 17 (Étude du mouvement aléatoire d’une puce) À l’instant initial t= 0, la puce est au som-
met Aet se déplace ensuite selon les règles suivantes :
• si à l’instant nla puce est au sommet Adu triangle, elle est à l’instant (n+ 1) au sommet Bavec la
probabilité égale à 1
3, au sommet Cavec la probabilité égale à 2 3.
• si à l’instant nla puce est au sommet Bdu triangle, elle est à l’instant (n+ 1) soit au sommet C, soit au
sommet Ade façon équiprobable.
• si à l’instant nla puce est au sommet C, alors elle y reste.
Pour tout entier naturel n, on désigne par :
Anl’évènement «la puce est au sommet Aà l’instant n», et par ansa probabilité.
Bnl’évènement «la puce est au sommet Bà l’instant n», et par bnsa probabilité.
Cnl’évènement «la puce est au sommet Cà l’instant n», et par cnsa probabilité.
1. Donner les valeurs de a0, b0, c0, a1, b1et c1.
2. Déterminer a2, b2et c2.
3. Exprimer les probabilités an+1, bn+1, cn+1 en fonctions des probabilités an, bn, cn.
4. On pose Xn=
an
bn
cn
. Déterminer une matrice Atelle que l’on ait pour tout entier naturel n:
Xn+1 =AXn.
En déduire une expression de Xnen fonction de n. Quel travail matriciel doit-on maintenant effectuer ?
Encore plus difficile
Exercice 18 (Indicatrice d’Euler) Soit n=pa1
1× · · · × par
run entier naturel non nul décomposé en facteurs
premiers. On note φ(n) le nombre d’entiers compris entre 1 et nqui sont premiers avec n. On veut démontrer
que
φ(n) = n1−1
p1× · · · × 1−1 pr.
1. Méthode 1 :
(a) Soit pun nombre premier. Déterminer φ(p), puis φ(pα) avec α∈N.
(b) On admet que φest multiplicative, c’est-à-dire que si aet bsont des entiers premiers entre eux, alors
φ(ab) = φ(a)φ(b). Prouver alors le résultat demandé.
(c) Que vaut φ(518400) ?

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2. Méthode 2 avec des probabilités : on pose Ω = J1, nKque l’on munit de la probabilité uniforme.
Pour tout entier d, on pose Mdl’ensemble des multiples de ddans J1, nK.
(a) Déterminer P(Md) lorsque ddivise n.
(b) Soit q1,...,qsdes entiers qui sont deux à deux premiers. Déterminer un entier qtel que Mq1∩...∩
Mqs=Mq.
(c) En déduire que les évènements Mp1,...,Mprsont mutuellement indépendants.
(d) On pose Al’ensemble des entiers de J1, nKqui sont premiers avec n. Écrire Aà l’aide des évènements
Mp1,...,Mpr, puis conclure.