Fiche de Probabilités

Fiche de Probabilités
Contents
I Espace probabilisé 3
1 Définition de la probabilité 3
2 Indépendance 3
3 Probabilité conditionelle 4
II Variables 4
1 Différents types de variables 4
2 Variable aléatoire vectorielle 5
III Espérance mathématique 6
1 Définition 6
2 Calcul 6
3 Propriétés 6
4 Théorème 6
5 Maximum, Médiane, Mode, Minimum 6
IV Variance 7
1 Définition 7
2 Calcul 7
3 Covariance 7
4 Propriétés 7
5 Ecart type 7
6 Coefficient de variation mesure 7
7 Théorème 7
V Généralisation 7
1 Dans R7
2 Dans Rn7
1

Pougne Pandore Probabilités
VI Loi normale 8
1 Caractéristiques 8
2 Généralisation 8
VII Lois conditionnelles et espérance conditionnelle 8
1 Définition 8
2 Propriété 9
VIII Les différentes convergences 9
1 Convergence en moyenne d’ordre alpha 9
2 Convergence en probabilité 9
3 Convergence presque sure 9
4 Convergence en loi 10
5 Relations entre les convergences 10
6 Théorème central limite 10
IX Les différentes loi à connaître 10
X Simulation de variables aléatoires 11
1 Generateur de nombres pseudo-aléatoires 11
2 Générer des réalisations d’un v.a. uniforme sur [0,1] 11
3 Méthode de la fonction de répartition inverse 11
4 Générer des lois gaussiennes multivariées 12
5 Méthode du rejet 12
6 Générer des réalisations d’un mélange de lois 12
XI Régression 12
1 Régression linéaire 12
2 Régression non linéaire 13
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Pougne Pandore Probabilités
Part I
Espace probabilisé
1 Définition de la probabilité
Définition d’une tribu Soit Ωun ensemble, P(Ω) l’esemble de ses sous-ensembles. A ∈ P(Ω) est une tribu si:
1. Ω∈ A
2. si A∈ A alors ¯ A∈ A
3. si la suite An∈ ANalors
+∞
[
n=1
An∈ A
On appel B(R) = {]− ∞, a[, a ∈R}la tribu borélienne.
Définition d’une probabilité Pest une probabilité sur (Ω,A)si:
1. ∀A∈ A, P (A)∈[0,1]
2. P(Ω) = 1
3. si la suite Anvérifie ∀i6=j, Ai∩Aj=∅Alors P +∞
[
n=1
An!=
+∞
X
n=1
P(An)
Définition d’un espace probabilisé (Ω,A, P )est un espace probabilisé
Propriétés élémentaires des probabilités Soient A, B ∈ A et An∈ AN
1. P(¯ A)=1−P(A)
2. P(A∪B) = P(A) + P(B)−P(A∩B)
3. A⊂B⇒P(A)≤P(B)
4. P +∞
[
n=1
An!≤
+∞
X
n=1
P(An)
5. Plim
n→+∞An= lim n→+∞P(An)
6. Aet Bdisjoints ⇒P(A∩B)=0
2 Indépendance
Définition d’événements indépendants Soit (A1, A2, ..., An)∈ AnCes évènements sont indépendants si :
∀k∈N∀i1, ..., ik∈ {1, ..., n}distincts deux à deux, P
k
\
j=1
Aij
=
k
Y
j=1
P(Aij)
Propriété Soit Cnfamille de A, formant une partition ΩAlors ∀A∈ A, P (A) =
+∞
X
n=1
P(A∩Cn)
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3 Probabilité conditionelle
Définition d’une probabilité conditionnelle On définit la probabilité conditionelle par rapport à l’évènement
B:
∀A∈ A, P (A|B) = P(A∩B)
P(B)=PB(A)
Propriétés
Formule des probabilités totales Soit Cnfamille de Aoù aucun des termes n’a une probabilité nulle,
∀A∈ A, P (A) =
+∞
X
n=1
P(A|Cn)P(Cn)
Formule de Bayes
Si P(A)6= 0, P (Ci|A) = P(A|Ci)P(Ci)
+∞
X
n=1
P(A|Cn)P(Cn)
Part II
Variables
Définition d’une variable aléatoire Xvariable aléatoire est une application mesurable d’un ensemble
probabilisé (Ω,A, P )dans (Ω0,A0)
PXla loi de probabilité de X, est définie pour tout borélien Bpar :
PX(B) = P({ω|X(ω)∈B}) = P(X−1(B))
Une variable aléatoire peut être réelle, complexe, vectorielle, multidimensionnelle ou multivariée, ou encore une
suite de variables aléatoires
1 Différents types de variables
Variable continue
Définition d’une fonction de répartition Une fonction de répartition d’une variable aléatoire Xest
la fonction :
FX:{R→[0,1]
x7→ P(X < x)
Propriétés élémentaires :
1. FXest croissante au sens large
2. FXest continue à gauche
3. lim
x→−∞ FX(x)=0
4. lim
x→+∞FX(x)=1
5. P(a≤X < b) = FX(b)−FX(a)
Ou on trouve aussi : FX:x7→ P(X≤x)ce qui modifie la dernière propriété en P(a<X≤b) = FX(b)−FX(a)
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Pougne Pandore Probabilités
Définition de la densité de probabilité Si FXest continue et C1par morceau sur R, la fonction fX=F0
X
est appelée densité de probabilité de X.
Propriétés
1. fXest positive ou nulle
2. lim
x→+∞F(x) = ZR
fX(t)dt = 1, plus généralement RΩfX(t)dt = 1
3. ∀A∈ A0, PX(A) = RAfX(t)dt
Discrète
Loi PX:P(X=xi) = pi
Fonction de répartition FX(x) = Ppiδ(x−xi)
mixte
On décompose en deux parties, une continue et une discrète
2 Variable aléatoire vectorielle
Définitions :
Loi jointe: loi de la variable X= (X1, ..., Xn)
Loi marginale: loi des composantes Xi
La connaissance de la jointe de Xsuffit pour caractériser Xet connaître les lois marginales mais la réciproque est
fausse !
Cas discret
Contexte :
Soient X1et X2v.a discrètes prenant respectivement les valeurs {x1
1, ..., x1
n}et {x2
1, ..., x2
m}avec des probabilités
p1
iet p2 j
La v.a X= (X1, X2)prend ses valeurs dans {(x1
i, x2 j),1≤i≤n, 1≤j≤m}avec des probabilités pi,j:
X
1≤k≤m
pi,k =p1
iet X
1≤k≤n
pk,j =p2
j
Fonctions de répartition :
La v.a X= (X1, ..., Xn)est entrièrement déterminée par sa f.d.r
FX(x) = FX1,...,Xn(x1, ..., xn) = P(] − ∞, x1[×...×]− ∞, xn[) = P({X1< x1} ∩ ... ∩ {Xn< xn})
Toute v.a marginale X1est entièrement caractérisée par la f.d.r de X.
∀k6=i, lim
xk→+∞FX(x1, ..., xn) = FXi(xi)
Mêmes propriétés que le cas scalaire.
Cas continu
Contexte :
La v.a X= (X1, X2)est caractérisée par la densité de probabilité fX
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