Calcul des probabilités

Calcul des probabilités 2 (M-2.1)
I. Probabilités sur un ensemble fini
1. Définitions
Définition Exemple
Une expérience aléatoire est une expérience dont il est
impossible de prévoir l’issue (mais on connaît toutes les
issues possibles)
Un sac contient 7 boules numérotées : 4 rouges (R1, R2,
R3, R4) et 3 blanches (B5, B6 ,B7)
On tire au hasard une boule du sac.
Un événement élémentaire est une issue possible. C : « obtenir le numéro 7 »
C =
On appelle univers l’ensemble des événements élémentaires.
On le note
Ω
Ω
=
Un événement est une partie de
Ω
.
A : « obtenir un numéro impair »
A =
B : « obtenir une boule rouge »
B =
Un événement certain contient toutes les issues possibles. D : « obtenir un numéro inférieur à 10»
D =
Un événement impossible ne se réalise jamais. E : « obtenir une boule verte »
E =
La réunion de deux événements est l’ensemble des issues
appartenant à l'un ou à l'autre (au moins l'un des deux)
A B U
: « obtenir une boule
A B U
=
L’intersection de deux événements est l’ensemble des issues
appartenant à l'un et à l'autre (aux deux en même temps)
A B I
: « obtenir une boule
A B I
=
Deux événements incompatibles n'ont aucune issue
commune. ...
Deux événements contraires sont deux événements
incompatibles dont la réunion forme l'univers.
A
: « obtenir une boule
A
=
A A I
= et
A A U
=
Définition : La probabilité d’un événement est un nombre qui mesure les chances que cet événement a de se produire, sur
une échelle qui va de 0 (pour l’événement impossible) à 1 (pour l’événement certain)
exemples : P(A) = P(B) = P(C) = P(D) = P(
A B I
) = P(
A B U
) =
Définition: soit
{ }
1 2,
, ...,
n
x x x Ω =
l’univers d’une expérience aléatoire. On définit une loi de probabilité sur
Ω
lorsque :
( )
( ) ( ) ( )
1 2
à chaque on associe sa propbalité
... 1
i i
n
x p x
p x p x p x
+ + + =
Remarque : Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité, les distributions des fréquences
mesurées sur des séries de taille n se rapprochent de la loi de probabilité quand n devient grand.
Pour
{ }
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 R R R R B B B Ω =
, la loi de probabilité sur
Ω
est donnée par:
Pour
{ }
; R B Ω =
2. Propriétés
Soient A et B deux événements de
Ω
:
P ( ∅ ) =0
P ( Ω ) =1
0⩽P ( A ) ⩽1
P ( A∪B ) =P ( A ) +P ( B ) −P ( A∩B )
Remarque : si A et B sont deux événements incompatibles alors:
( ) ( ) ( )
p A B p A p B ∪ = +
P ( A ) =1−P ( A )
Exemple:
1/10 BTS CRSA UF3.1

Si chaque événement élémentaire est équiprobable (de même probabilité) alors :
( )
Nombre d'éléments de A Nombre de cas favorables
Nombre d'éléments de Nombre de cas possibles
P A = =
Ω
Définition le nombre permutations d’un ensemble de n éléments est :
n!=1×2×…×n
(se dit "factorielle n")
Remarque : l'ordre compte, chaque élément est utilisé une fois et une seule.
n=3 n=4 Applications:
Le nombre de quartés possibles dans
une course de quatre chevaux est :
Le nombre "mots" de 7 lettres contenant
une fois chaque lettre A,B,C,D,E,F,G :
Sur TI : , ,
Sur Casio : , , ,
Définition : soit E un ensemble fini ayant n éléments, on note
n
k
 ÷
le nombre de sous-ensembles de E ayant k éléments .
Le nombre
n
k
 ÷
se lit « k parmi n » ou « combinaisons » de k éléments pris parmi n.
Remarques : l’ordre ne compte pas, les répétitions sont impossibles.
Le nombre k est un entier naturel et inférieur ou égal à n et par convention on a :
01
0
  =
 ÷
Propriétés : soit
k
et
n
deux entiers naturels tels que
k⩽n
:
(
n
0
)
=
(
n
n
)
=1
(
n
1
)
=
(
n
n−1
)
=n
(
n
k
)
=
(
n
n−k
)
(
n−1
k−1
)
+
(
n−1
k
)
=
(
n
k
)
Le triangle de Pascal :
k=0
k=1
k=2
k=3
k=4
k=5
k=6
n=0
(
0
0
)
=1
n=1
(
1
0
)
=1
(
1
1
)
=1
n=2
(
2
0
)
=1
(
2
1
)
=2
(
2
2
)
=1
n=3
(
3
0
)
=1
(
3
1
)
=3
(
3
2
)
=3
(
3
2
)
=1
n=4
(
4
0
)
=1
(
4
1
)
=4
(
4
2
)
=6
(
4
3
)
=4
(
4
4
)
=1
n=5
(
5
0
)
=1
(
5
1
)
=5
(
5
2
)
=10
(
5
3
)
=10
(
5
4
)
=5
(
5
5
)
=1
n=6
(
6
0
)
=1
(
6
1
)
=6
(
6
2
)
=15
(
6
3
)
=20
(
6
4
)
=15
(
6
5
)
=6
(
6
6
)
=1
Exemples d'applications :
Nombre de tirages possible au loto :
Nombre de poignées de mains serrées dans une assemblée de
n
personnes :
Sur TI : , ,
Sur Casio : , , ,
2/10 BTS CRSA UF3.1

3. Intersection d'événements
Exemple: Une classe de 36 élèves âgés de 16, 17 ou 18 ans comprend 22 garçons dont 18 âgés de 17 ans et 3 âgés de 18
ans. D’autre part, il y a 6 filles âgées de 18 ans et une seule âgées de 16 ans. Le professeur de mathématiques interroge un
élève au hasard.
Garçon Fille Total
16 ans
17 ans
18 ans
Total
On considère les événements :
G : « l’élève interrogé est un garçon. »
F : « l’élève interrogé est une fille. »
A : « l’élève interrogé a 16 ans. »
B : « l’élève interrogé a 17 ans. »
C : « l’élève interrogé a 18 ans. »
A B I
= ;
A C I
= ;
B C I
= ;
A B C U U
=
Définition : on dit que les événements A, B, C forment une partition de l'univers
Ω
On peut alors construire la première ramification d'un arbre de probabilité:
A
B
C
P(
F A I
) = ; P(
F B I
) = ; P(
F C I
) = et P(F) =
Propriété : Si B1, B2, … , Bn forment une partition de l'univers
Ω
, alors pour tout événement A, on a :
P ( A ) =P
(
A∩B1
)
+P
(
A∩B2
)
+…+P
(
A∩Bn
)
C’est la formule des probabilités totales.
Corollaire : Soit A et B deux événements :
( ) ( )
( )
P A P A B P A B = ∩ + ∩
Probabilités conditionnelles : Soient E et C deux événements tels que l'événement C ne soit pas impossible. La probabilité
de l'événement E sachant l'événement C, notée
PC ( E )
, est calculée en remplaçant l'univers
Ω
par les issues de
l'événement C .
Exemple :
On sait à l’avance que l’élève interrogé a 16 ans. Quelle est la probabilité pour que ce soit un garçon ?
On sait à l’avance que l’élève interrogé est un garçon. Quelle est la probabilité pour qu'il ait 16 ans ?
Propriété :
PC
(
E
)
=P
( C∩E )
P
(
C
)
c'est-à-dire
P ( C∩E ) =P ( C ) ×PC ( E )
ou encore « la probabilité d'une feuille est obtenue
en multipliant les probabilités des branches ».
3/10 BTS CRSA UF3.1

Définition: On dit que 2 événements E et C sont indépendants si la réalisation de l’un n’influe pas sur la réalisation de
l’autre. Ainsi, E et C sont indépendants si la probabilité de E est inchangée que l’on sache si C est réalisé ou non.
Théorème: E et C sont indépendants si et seulement si
PC ( E ) =P ( E )
Ainsi, E et C sont indépendants si et seulement si :
P ( E ∩C ) =P ( E ) × P ( C )
.
 Ne pas confondre indépendants et incompatibles.
Loi faible des grands nombres (énoncé simplifié) :
Probabilités On considère une expérience aléatoire et un événement E dont la probabilité est notée
p=P ( E )
.
Cette expérience aléatoire est répétée
n
fois de façon indépendantes.
Statistiques On obtient une série statistique de constituée de
n
valeurs
E
ou
E
.
Soit
fn
la fréquence de réalisation de l'événement E sur ces
n
expériences.
Probabilités
Si
n
est grand alors il est «presque certain» que la fréquence
fn
soit «très proche» de la probabilité
p
.
Par exemple :
P
(
p−0 ,01<fn<p+0, 01
)
≈1
pour
n
suffisamment grand
P
(
p−0 ,001<fn<p+0, 001
)
≈1
pour
n
suffisamment grand
Évolution de la fréquence de « pile » lors de
n
lancers d'une pièce équilibrée.
II. Variables aléatoires discrètes à valeurs réelles
1. Généralités
Définition: Lorsqu'à chaque événement élémentaire de l'univers Ω on associe un nombre réel, on dit que l’on définit une
variable aléatoire sur Ω. On la note en général X ou Y.
Exemple : on lance un dé équilibré,
{ }
1;2;3;4;5;6 Ω =
. Si on obtient 6 on gagne 7 € sinon on perd 2€. On note X le gain (un
gain négatif est assimilé à une perte).
Événements définis à partir d’une variable aléatoire : Si X est une variable aléatoire et k un réel , alors « X prend la
valeur k » est un événement constitué des issues associées au nombre k. On le note (X = k).
Exemple: (X=7)= (X=-2)= (X=0)=
Loi de probabilité d'une variable aléatoire : c'est donner la probabilité des événements (X=k) pour toutes les valeurs de k
possibles.
Exemple: On présente parfois la loi sous la forme
d’un tableau :
k7 -2
P(X=k)
Représentation graphique : sur les abscisses figurent les valeurs prises par la variable aléatoire, sur les ordonnées les
probabilités correspondantes.
La loi faible des grands nombres permet de considérer les probabilités comme des « fréquences théoriques ». Ainsi on
peut remplacer, dans les formules de la moyenne et de la variance utilisées en statistiques, les fréquences fi par les
probabilités pi où
pi=P
(
X=xi
)
.
4/10 BTS CRSA UF3.1

Définitions : L’espérance d’une variable aléatoire discrète est donnée par :
( )
1 1 2 2
...
n n
E X p x p x p x = + + +
i.e.
( )
1
n
i i
k
E X p x
=
=
∑
La variance d’une variable aléatoire discrète est donnée par :
( ) ( )
( )
( )
( )
2 2
1 1
...
n n
V X p x E X p x E X = − + + −
i.e.
( ) ( )
( )
2
1
n
i i
k
V X E X x p
=
= −
∑
( ) ( )
( )
2
2 2
1 1
...
n n
V X p x p x E X = + + −
i.e.
( ) ( )
( )
2
2
1
n
i i
k
V X x p E X
=
= −
∑
L'écart-type d’une variable aléatoire discrète est donnée par :
σ
(
X
)
=
√
V
(
X
)
Exemple : avec le jeu de dé précédent on a E=
et V=
Le jeu n’est pas équitable : sur un très grand nombre de lancers on perd en moyenne …€ par lancer. Les écarts à cette
moyenne sont de l’ordre de ...
2. La loi binomiale
Définition de la loi binomiale : Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès lors de la répétition de n
expériences indépendantes avec pour probabilité de succès
p
lors de chaque expérience. On dit que X suit la loi
binomiale de paramètres n et p notée : B(n,p).
Arbre probabiliste pour la loi
B ( 4, p )
:
Propriété : la variable aléatoire X suit la loi binomiale B
( n;p )
si et seulement si pour tout entier
k∈ [ 0; n ]
,
P
(
X=k
)
=
(
n
k
)
×pk×
(
1−p
)
n−k
Exemple : pour la loi binomiale B
( 4 ;0, 75 )
:
k
01234
P
(
X=k
)
Propriétés : si la variable aléatoire X suit une loi binomiale B
( n;p )
alors :
E ( X ) =n×p
et
V ( X ) =n×p× ( 1−p )
3. La loi de Poisson
Définition de la loi de Poisson : sur un laps de temps fixé, un phénomène aléatoire, pour lequel le futur est indépendant du
5/10 BTS CRSA UF3.1