TOME 1

Exercices corrigés, tome 01 : les énoncés
Table des matières :
1. Les bases du raisonnement, p.2.
2. Révisions de calcul, p.2.
3. L’ensemble des nombres complexes : C, p.3.
4. L’ensemble des réels : R, p.4.
5. L’ensemble des nombres entiers naturels : N, p.5.
6. Les fonctions, p.5.
7. Limites et développements limités, p.7.
1
1
Les bases du raisonnement
Exercice 1 (+) (ensembles, réunion, intersection)
2
Soient E un ensemble et (A, B) ∈ P(E) . Prouver que : A = B ⇔ A ∩ B = A ∪ B .
Exercice 2 (+) (ensembles)
Soient F et G deux parties d’un ensemble E. Montrer que : F = F ∩ G ⇔ F ⊂ G.
Exercice 3 (++) (ensembles)
Soient A, B, C trois parties d’un ensemble E. Montrer que (A ∩ B) ⊂ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C).
Exercice 4 (+++) (ensembles)
Si A est une partie de R on dit que :
- A est séparée si : ∃ε > 0, ∀(x, y) ∈ A2 , x 6= y ⇒ |x − y| > ε ;
- A est trouée si : ∀(x, y) ∈ A2 , x 6= y ⇒]x, y[∩A 6= ∅ ;
- A est condensée si A n’est pas séparée ;
1. Traduire ces trois définitions en français et/ou ’en quantificateurs’ et donner pour chacune trois
exemples et trois contre-exemples.
2. Donner, en les jutifiant, les liens entre ces notions.
3. Dessiner F = {3 + n1 , n ∈ N∗ }. F est-il séparé ? troué ? condensé ?
4. Mêmes questions pour Q, puis R \ Q, puis H = {n2 , n ∈ N∗ }.
Exercice 5 (+++) (ensembles de fonctions)
On considère les ensembles :
A = {f : R → R, f (0) = 0}
;
B = {f : R → R, ∃a ∈ R, ∀x ∈ R, f (x) = ax}
C = {f : R → R, ∃(a, b) ∈ R2 , ∀x ∈ R, f (x) = ax + b}
1. Expliquer avec des phrases à quoi correspondent ces ensembles.
2. Donner les relations d’inclusions entre ces ensembles.
3. Ces ensembles sont-ils stables pour la composition des fonctions ?
2
Révisions de calcul
Exercice 6 (+) (résolution d’équation)
Résoudre en fonction du paramètre m : ex + me−x − m − 1 = 0.
Exercice 7 (+) (résolution d’équation)
x
2
Déterminer les antécédents de 0 dans R∗+ par la fonction : x 7→ x2 − xx .
Exercice 8 (++) (résolution d’équation)
2
Résoudre dans R : 5sin x + sin x = 3.
5
Exercice 9 (++) (calculs avec des puissances)
4
2
Soient b > 0 et x > 0. Démontrer que : x 5 − 2 b2 x 5 + b4 = 0 ⇔ x = b5 .
Exercice 10 (++) (résolution d’inéquation)
Résoudre dans R l’inéquation : 2(ln x)3 − 5(ln x)2 + 2 ln x ≤ 0.
2
Exercice 11 (++) (démonstration d’inégalités)
Soit a un réel strictement positif.
2 1
2x + a
1. Démontrer que : ∀x > 0,
≥ x 3 a 3 avec égalité si et seulement si x = a.
3
2. Soient b et c deux réels strictement positifs. En appliquant le résultat précédent avec x =
prouver que :
a+b+c √
3
≥ abc (inégalité arithmético-géométrique)
3
Etudier le cas d’égalité.
Exercice 12 (++) (fonctions puissances)
Soit α un réel strictement positif. On définit la fonction f sur ]0, +∞[ par :
f (x) = (1 + x)α − xα − 1.
1. Dresser le tableau de variation de f en distinguant deux cas : 0 < α ≤ 1 et α > 1.
2. En déduire que :
. Pour 0 < α ≤ 1, (1 + x)α ≤ 1 + xα quelquesoit x positif ;
. Pour α > 1, (1 + x)α ≥ 1 + xα quelquesoit x positif.
3. Soit (a, b) ∈ (R∗+ )2 . Comparer (a + b)α et aα + bα .
3
L’ensemble des nombres complexes : C
Exercice 13 (+) (trigonométrie, transformation
de a cos x + b sin x)
√
Résoudre l’équation : 2 cos(t) − 2 sin(t) = 6.
Exercice 14 (+) (trigonométrie, transformation de cos(nx))
Résoudre l’équation : cos(3x) = −2 cos(x).
Exercice 15 (+) (écriture exponentielle)
Déterminer l’ensemble F = {n ∈ N , (1 + i)n ∈ R} .
Exercice 16 (+) (Module)
Soit z ∈ C. Montrer que : |z − i| = |z + i| ⇔ z ∈ R .
Exercice 17 (+)√(résolution d’équation de degré 2)
2 + 2i 3
1
√
Soient u =
et v = √
.
3 − 3i 3
2 3 + 2i
Résoudre dans C l’équation : z 2 = u4 v 3 .
Exercice 18 (++) (écritures algébriques et exponentielles, un classique)
On donne les complexes suivants :
√
√
√
z1
z1 = 2 6(1 + i) , z2 = 2(1 + i 3) , z =
.
z2
1. Ecriture la forme algébrique et la forme exponentielle de z.
π
π
2. En déduire cos( ) et sin( ).
12
12
7π
3. Déterminer cos( ).
12
3
b+c
2 ,
Exercice 19 (++) (équations dans C)
Résoudre dans C l’équation : (z − 1)6 + (z − 1)3 + 1 = 0.
Exercice 20 (++) (résolution d’équation)
Soit λ ∈ R. Résoudre dans C l’équation d’inconnue z suivante : z 5 − λ = 0.
Exercice 21 (++) (calcul de sommes géométriques, ultra-classique)
n
n
X
X
Soient x ∈ R \ {2kπ, k ∈ Z} et n ∈ N. Calculer Sn =
cos(kx) et Tn =
sin(kx).
k=0
k=0
Exercice 22 (++) (trigonométrie)
Résoudre l’équation d’inconnue réelle :
sin(6x)
= 6 cos x .
sin x
Exercice 23 (++) (formules d’Euler)
x
x
ei 2 − e−i 2
Soit x ∈] − π, π[. On pose : t = −i i x
x .
e 2 + e−i 2
1. Donner une expression simple de t avec la fonction tangente.
1 − t2
2. Simplifier la quantité
.
1 + t2
3. En déduire une formule trigonométrique.
Exercice 24 (++) (écritures algébriques et exponentielles)
1. Ecrire sous forme algébrique et sous forme exponentielle : z =
π
).
12
3. Déterminer ensuite les entiers n ∈ N pour que z n ∈ R+ .
5 − 5i
√
.
− 3 + 3i
2. En déduire une expression de cos(
Exercice 25 (++) (linéarisation)
Linéariser cos3 (x) sin(x).
Exercice 26 (+++) (résolution d’équation : très classique)
Soient a ∈ R et n ∈ N∗ . Résoudre dans C l’équation : (z + 1)n − ei2na = 0.
Exercice 27 (+++) (écriture exponentielle, formules d’Euler, très classique)
On considère deux complexes u et v de module 1 tels que 1 + uv 6= 0.
u+v
Montrer que
∈ R.
1 + uv
Exercice 28 (+++) (résolution d’équation, très classique)
Soit n ∈ N∗ . Résoudre dans C l’équation : (z + i)n − (z − i)n = 0.
4
L’ensemble des réels : R.
Exercice 29 (++) (borne supérieure)
Soient A et B deux parties non vides de R telles que : ∀(a, b) ∈ A × B, a ≤ b .
Montrer que sup(A) et inf(B) existent et que : sup(A) ≤ inf(B).
Exercice 30 (+++) (minimum, raisonnement par l’absurde)
1
Prouver que : ∀x ∈ [0, 1], 0 ≤ x(1 − x) ≤ .
4
1
3
En déduire que : ∀(a, b, c) ∈ [0, 1] , min a(1 − b), b(1 − c), c(1 − a) ≤ .
4
4
5
L’ensemble des nombres entiers naturels : N.
Exercice 31 (+) (récurrence)
n
X
n2 (n + 1)2
Démontrer que : ∀n ∈ N∗ ,
i3 =
.
4
i=1
Exercice 32 (+) (récurrence)
Montrer que : ∀(x, y) ∈ R2 , ∀n ∈ N∗ , (x − y)
n−1
Y
k
k
x2 + y 2
n
n
= x2 − y 2 .
k=0
Exercice 33 (++) (partie entière)
Prouver que : ∀(a, b) ∈ R2 , E(a) + E(b) ≤ E(a + b) ≤ E(a) + E(b) + 1.
6
Les fonctions
Exercice 34 (+) (injectivité, surjectivité)
L’application qui à tout nombre complexe associe son module est-elle une injection ? une surjection
sur R ?
Exercice 35 (+) (bijectivité, composée)
Soient f : N → N et g : N → N deux applications
définies par :
0 si n = 0,
∀n ∈ N, f (n) = n + 1 et g(n) =
n − 1 si n ≥ 1.
1. Les applications f et g sont-elles bijectives ?
2. Peut-on définir g ◦ f et f ◦ g ? Si oui, déterminer ces applications.
Exercice 36 (+) (bijectivité, application réciproque)
x
On considère la fonction : g : x 7→ g(x) =
. Montrer que g est une bijection entre deux parties
1−x
de R à déterminer. Déterminer sa bijection réciproque.
Exercice 37 (++) (bijection)
3
9
3
8−x
Soit f : R \ {− } → R \ { } définie par : ∀x ∈ R \ {− }, f (x) = 2 −
.
2
4
2
4x + 6
−1
Prouver que f est bijective et déterminer f .
Exercice 38 (++) (fonction caractéristique)
On considère un ensemble E. Si A est une partie de E, on rappelle la définition de la fonction
caractéristique de A :
n
1 si x ∈ A.
χA : E → {0, 1}, x 7→ χA (x) =
0 si x ∈
/ A.
∗
Ici, E = R et A = {x ∈ R+ : | ln(x)| ≥ 2}.
Tracer la courbe représentative de χA dans un repère orthonormé.
Exercice 39 (++) (image directe, image réciproque, complexes)
z
On considère l’application u : C∗ → C définie par : ∀z ∈ C, u(z) =
.
|z|
1. Déterminer u(C∗ ) et u−1 ({i}).
2. L’application u est-elle injective ? surjective ?
3. Prouver que u ◦ u = u.
5
Exercice 40 (++) (bijectivité)
Soit f : C \ {1} → C \ {1} définie par : ∀z ∈ C, f (z) =
z+1
. Etudier la bijectivité de f .
z−1
Exercice 41 (++) (image directe, intersections)
Soient f : E → F une application, A et B deux parties de E.
1. L’inclusion f (A ∩ B) ⊂ f (A) ∩ f (B) est-elle vraie ?
Si oui, on le démontre, sinon on donne un contre-exemple.
2. Même question pour l’inclusion réciproque.
Exercice 42 (++) (bijections et nombre d’élements)
On considère E et F deux ensembles quelconques finis.
On note n et le nombre d’éléments de E et q celui de F .
Répondre, sans justifier, aux questions suivantes :
1. S’il existe une bijection de E sur F , comparer n et q.
2. S’il existe une injection de E dans F , comparer n et q.
3. S’il existe une surjection de E sur F , comparer n et q.
Exercice 43 (++) (image directe)
Soient E et F deux ensembles et f une application de E dans F . Soit A une partie de E. Peut-on
comparer f (A) avec f (A) ?
Exercice 44 (++) (bijection, produit cartésien)
Soient E, F et G trois ensembles, f une application de E dans F et gune application de E dans G.
On considère h : E → F × G définie par : ∀x ∈ E, h(x) = f (x), g(x) .
1. Montrer que si f ou g est injective, alors h est injective.
2. On suppose f et g surjectives. L’application h est-elle surjective ?
Exercice 45 (++) (image
√ réciproque)
p
2
Soit u(x) = 1 − x2 −
+ x. Déterminer u∗ R− .
2
Exercice 46 (++) (partie entière, injection, surjection)
On considère la fonction h : [0, π] → R définie par : h(x) = E (2 sin (x)), où E(t) désigne la partie
entière de t.
Tracer la courbe de h. En justifiant, dire si h est injective, surjective.
Exercice 47 (++) (injections)
Trouver toutes les injections f de N dans N telles que : ∀n ∈ N, f (n) ≤ n.
Exercice 48 (+++) (fonction caractéristique)
On considère un ensemble E, A et B deux parties de E. On rappelle la définition de la fonction
caractéristique de A :
n
1 si x ∈ A.
χA : E → {0, 1}, x 7→ χA (x) =
0 si x ∈
/ A.
1. Montrer que : χA = 1 − χA .
2. Prouver que : ∀x ∈ E, χA∩B (x) = χA (x) χB (x).
3. Démontrer que χA∪B = (1 − χA )(1 − χB ).
4. Déduire des questions précédentes une expression de χA∪B en fonction de χA et χB .
6
Exercice 49 (+++) (ensembles de fonctions)
Soit E l’ensemble des fonctions qui vont de R dans R. On note :
A = {f ∈ E, ∀(x, t) ∈ R2 , x < t ⇒ f (x) ≤ f (t)}
;
B = {f ∈ E, ∃T > 0, ∀x ∈ R, f (x+T ) = f (x)}.
1. Expliquer plus simplement (en français) qui sont les ensembles A et B. Que constate-t’on ?
2. L’ensemble A est-il stable par produit ?
3. Ces ensembles sont-ils stables pour la composition des fonctions ?
4. Déterminer A ∩ B.
Exercice 50 (+++) (borne supérieure)
Soit f : [0, 1] → [0, 1] une application croissante. On considère : E = {x ∈ [0, 1] : f (x) ≥ x}.
1. Montrer que E admet une borne supérieure s.
2. On suppose dans cette question f (s) > s. Montrer que c’est absurde, en prouvant que f (s) ∈ E
et que f (s) ∈
/ E.
3. On suppose ici f (s) < s.
(a) Justifier qu’il existe c ∈ E tel que f (s) < c ≤ s.
(b) En déduire que f (c) < c, d’où une contradiction.
4. Conclure.
Exercice 51 (+++) (bijectivité)
Soient E un ensemble et f , g et h trois applications de E dans E. Montrer que :
g ◦ f et h ◦ g sont bijectives ⇒ f, g, h sont bijectives .
Exercice 52 (+++) (fonction sur l’ensemble des parties)
Soit E un ensemble non vide, A et B dans P(E). On rappelle que P(E) est l’ensemble des parties de
E. Soit
f : P(E) → P(A) × P(B), X 7→ f (X) = (X ∩ A, X ∩ B).
1. Calculer f (E), f (∅), f (A) et f (B).
2. Prouver que f est injective si et seulement si E = A ∪ B.
3. Montrer que f est surjective si et seulement si A ∩ B = ∅.
Exercice 53 (++++) (surjectivité, image réciproque et image directe) Soit f : E → F . Démontrer que : f est surjective ⇔ ∀B ⊂ F, f f ∗ (B) = B .
7
Limites et développements limités
Exercice 54 (+) (limites)
p
1 p 2
2x + 1 − x2 + x + 1 .
x→+∞ x
Existence et valeur éventuelle de lim
Exercice 55 (+) (limites)
p
Calculer lim ( x2 + x + x) , puis lim
x→−∞
x→−∞
√
1
3 .
x2 + x + x
7
Exercice 56 (+) (limite, expression conjuguée)
√
x+2 − 2
√
.
Existence et valeur éventuelle de lim
x→2 1 − 3x − 5
Exercice 57 (+)
√ (limites)
√
x2 − 1
x2 − 1
Calculer lim
, puis lim
.
x→+∞ x + 2
x→−∞
2x
Exercice 58 (+) (limites)
√
x2 − x
Existence et valeur éventuelle de lim √
.
x→1
x−1
Exercice 59 (+) (limites)
Calculer les limites en 0 de : f (x) = sin
1
x
;
g(x) = xλ sin
1
x
;
h(x) =
sin(xλ )
.
x
Exercice 60 (++) (limites)
2
1
−
.
2
x→0 sin x
1 − cos x
Existence et valeur éventuelle de lim
Exercice 61 (++) (limite, changement de variable, trigonométrie)
πx Etudier la limite éventuelle en 3 de la fonction définie par g(x) = (x2 + 3 − 4x) tan
.
6
Exercice 62 (++) (développements limités)
DL3 (0) de x 7→ ln(2 cos x + sin x).
Exercice 63 (++) (développements limités)
x
DL3 (0) de x 7→
.
ln(1 − x)
Exercice 64 (++) (limites)
1
e x + cos x
On considère f (x) =
.
ln |x|
1. Déterminer le domaine de définition D de f .
2. Calculer les limites de f aux bornes de D.
Exercice 65 (++) (limite, théorie)
Soient f : R → R, g : R → R, u : R → R, v : R → R, et a ∈ R. On suppose que lim f (x) = l1 ∈ R,
x→a
lim g(x) = l2 ∈ R et u et v n’ont pas de limite en a.
x→a
1. Que peut-t’on dire de lim (f (x) + g(x)) ? Redémontrer ce résultat.
x→a
2. Que peut-t’on dire de lim (f (x) + u(x)) ?
x→a
3. Que peut-t’on dire de lim (u(x) + v(x)) ?
x→a
Exercice 66 (++) (étude
√ complète de fonction)
Tracer la courbe de x 7→ x2 − 3x + 1. On précisera l’asymptote en +∞.
Exercice 67 (++) (étude complète de fonction)
x3 + 3x2 + 5x + 5
Tracer la courbe de x 7→
. On précisera l’asymptote en +∞ en étudiant la position
(x + 1)2
de la courbe par rapport à l’asymptote.
x3 + 3x2 + 5x + 5
cx + d
On pourra d’abord déterminer les réels a, b, c, d tels que :
= ax + b +
.
2
(x + 1)
(x + 1)2
8
Exercice 68 (++) (limites)
Pour n ∈ N∗ on pose fn (x) =
ln(x)
. Déterminer les limites aux bornes de Dfn .
xn − 1
Exercice 69 (+++) (limites, développements limités, etude de fonction)
1p
1. Etudier la fonction x 7→ g(x) = e x x(x + 2) (variations, limites).
1
2. En posant x = , donner un développement limité de g à l’ordre 2 au voisinage de +∞.
t
3. Montrer que la courbe de g admet une asymptote en +∞.
Déterminer son équation et sa position par rapport à la courbe.
4. Tracer la courbe de g.
Exercice 70 (+++) (étude de fonctions, développements limités)
1
On définit p sur ]2, +∞[ par p(x) = x2 (x − 2) 3 .
2
4
1
1. Prouver qu’au voisinage de +∞, p(x) = x − −
+ o( ).
3 9x
x
2. En déduire l’étude de la branche infinie de p.
3. Tracer Cp .
Exercice 71 (+++) (limites)
3 + e2t
).
Soit u(t) = ln(
1 + 4et
1. Montrer que u est définie sur R, donner ses limites en +∞ et −∞.
2. Montrer qu’au voisinage de −∞ : u(t) − ln(3) ∼ −4et , puis que u(t) − ln(3) + 4et ∼
3. Montrer que Cu a une asymptote en +∞. En donner l’équation.
Exercice 72 (+++++) (équivalents)
n
X
k! ∼ n!.
Montrer que lorsque n → +∞ :
k=1
9
25 2t
e .
3