TOME 1

Exercices corrig´es, tome 01 : les ´enonc´es
Table des mati`eres :
1. Les bases du raisonnement, p.2.
2. R´evisions de calcul, p.2.
3. L’ensemble des nombres complexes : C, p.3.
4. L’ensemble des r´eels : R, p.4.
5. L’ensemble des nombres entiers naturels : N, p.5.
6. Les fonctions, p.5.
7. Limites et d´eveloppements limit´es, p.7.
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1 Les bases du raisonnement
Exercice 1 (+) (ensembles, r´eunion, intersection)
Soient Eun ensemble et (A, B)∈P(E)2. Prouver que : A=B⇔A∩B=A∪B .
Exercice 2 (+) (ensembles)
Soient Fet Gdeux parties d’un ensemble E. Montrer que : F=F∩G⇔F⊂G.
Exercice 3 (++) (ensembles)
Soient A, B, C trois parties d’un ensemble E. Montrer que (A∩B)⊂(A∩C)∪(B∩C).
Exercice 4 (+++) (ensembles)
Si Aest une partie de Ron dit que :
-Aest s´epar´ee si : ∃ε > 0,∀(x, y)∈A2, x 6=y⇒ |x−y|> ε ;
-Aest trou´ee si : ∀(x, y)∈A2, x 6=y⇒]x, y[∩A6=∅;
-Aest condens´ee si An’est pas s´epar´ee ;
1. Traduire ces trois d´efinitions en fran¸cais et/ou ’en quantificateurs’ et donner pour chacune trois
exemples et trois contre-exemples.
2. Donner, en les jutifiant, les liens entre ces notions.
3. Dessiner F={3 + 1
n, n ∈N∗}.Fest-il s´epar´e ? trou´e ? condens´e ?
4. Mˆemes questions pour Q, puis R\Q, puis H={n2, n ∈N∗}.
Exercice 5 (+++) (ensembles de fonctions)
On consid`ere les ensembles :
A={f:R→R, f(0) = 0};B={f:R→R,∃a∈R,∀x∈R, f(x) = ax}
C={f:R→R,∃(a, b)∈R2,∀x∈R, f(x) = ax +b}
1. Expliquer avec des phrases `a quoi correspondent ces ensembles.
2. Donner les relations d’inclusions entre ces ensembles.
3. Ces ensembles sont-ils stables pour la composition des fonctions ?
2 R´evisions de calcul
Exercice 6 (+) (r´esolution d’´equation)
R´esoudre en fonction du param`etre m:ex+me−x−m−1 = 0.
Exercice 7 (+) (r´esolution d’´equation)
D´eterminer les ant´ec´edents de 0 dans R∗
+par la fonction : x7→ x2x−xx2.
Exercice 8 (++) (r´esolution d’´equation)
R´esoudre dans R: 5sin x+2
5sin x= 3.
Exercice 9 (++) (calculs avec des puissances)
Soient b > 0 et x > 0. D´emontrer que : x4
5−2b2x2 5+b4= 0 ⇔x=b5.
Exercice 10 (++) (r´esolution d’in´equation)
R´esoudre dans Rl’in´equation : 2(ln x)3−5(ln x)2+ 2 ln x≤0.
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Exercice 11 (++) (d´emonstration d’in´egalit´es)
Soit aun r´eel strictement positif.
1. D´emontrer que : ∀x > 0,2x+a
3≥x2
3a1 3avec ´egalit´e si et seulement si x=a.
2. Soient bet cdeux r´eels strictement positifs. En appliquant le r´esultat pr´ec´edent avec x=b+c
2,
prouver que : a+b+c
3≥3
√abc (in´egalit´e arithm´etico-g´eom´etrique)
Etudier le cas d’´egalit´e.
Exercice 12 (++) (fonctions puissances)
Soit αun r´eel strictement positif. On d´efinit la fonction fsur ]0,+∞[ par :
f(x) = (1 + x)α−xα−1.
1. Dresser le tableau de variation de fen distinguant deux cas : 0 < α ≤1 et α > 1.
2. En d´eduire que :
. Pour 0 < α ≤1, (1 + x)α≤1 + xαquelquesoit xpositif ;
. Pour α > 1, (1 + x)α≥1 + xαquelquesoit xpositif.
3. Soit (a, b)∈(R∗
+)2. Comparer (a+b)αet aα+bα.
3 L’ensemble des nombres complexes : C
Exercice 13 (+) (trigonom´etrie, transformation de acos x+bsin x)
R´esoudre l’´equation : 2 cos(t)−2 sin(t) = √6.
Exercice 14 (+) (trigonom´etrie, transformation de cos(nx))
R´esoudre l’´equation : cos(3x) = −2 cos(x).
Exercice 15 (+) (´ecriture exponentielle)
D´eterminer l’ensemble F={n∈N,(1 + i)n∈R}.
Exercice 16 (+) (Module)
Soit z∈C. Montrer que : |z−i|=|z+i| ⇔ z∈R.
Exercice 17 (+) (r´esolution d’´equation de degr´e 2)
Soient u=2+2i√3
3−3i√3et v=1 2√3+2i.
R´esoudre dans Cl’´equation : z2=u4v3.
Exercice 18 (++) (´ecritures alg´ebriques et exponentielles, un classique)
On donne les complexes suivants :
z1= 2√6(1 + i), z2=√2(1 + i√3) , z =z1
z2
.
1. Ecriture la forme alg´ebrique et la forme exponentielle de z.
2. En d´eduire cos( π
12) et sin( π 12).
3. D´eterminer cos(7π
12 ).
3

Exercice 19 (++) (´equations dans C)
R´esoudre dans Cl’´equation : (z−1)6+ (z−1)3+ 1 = 0.
Exercice 20 (++) (r´esolution d’´equation)
Soit λ∈R. R´esoudre dans Cl’´equation d’inconnue zsuivante : z5−λ= 0.
Exercice 21 (++) (calcul de sommes g´eom´etriques, ultra-classique)
Soient x∈R\ {2kπ, k ∈Z}et n∈N. Calculer Sn=
n
X
k=0
cos(kx) et Tn=
n
X
k=0
sin(kx).
Exercice 22 (++) (trigonom´etrie)
R´esoudre l’´equation d’inconnue r´eelle : sin(6x)
sin x= 6 cos x .
Exercice 23 (++) (formules d’Euler)
Soit x∈]−π, π[. On pose : t=−ieix
2−e−ix 2
eix
2+e−ix 2
.
1. Donner une expression simple de tavec la fonction tangente.
2. Simplifier la quantit´e 1−t2
1 + t2.
3. En d´eduire une formule trigonom´etrique.
Exercice 24 (++) (´ecritures alg´ebriques et exponentielles)
1. Ecrire sous forme alg´ebrique et sous forme exponentielle : z=5−5i
−√3+3i.
2. En d´eduire une expression de cos( π
12).
3. D´eterminer ensuite les entiers n∈Npour que zn∈R+.
Exercice 25 (++) (lin´earisation)
Lin´eariser cos3(x) sin(x).
Exercice 26 (+++) (r´esolution d’´equation : tr`es classique)
Soient a∈Ret n∈N∗. R´esoudre dans Cl’´equation : (z+ 1)n−ei2na = 0.
Exercice 27 (+++) (´ecriture exponentielle, formules d’Euler, tr`es classique)
On consid`ere deux complexes uet vde module 1 tels que 1 + uv 6= 0.
Montrer que u+v
1 + uv ∈R.
Exercice 28 (+++) (r´esolution d’´equation, tr`es classique)
Soit n∈N∗. R´esoudre dans Cl’´equation : (z+i)n−(z−i)n= 0.
4 L’ensemble des r´eels : R.
Exercice 29 (++) (borne sup´erieure)
Soient Aet Bdeux parties non vides de Rtelles que : ∀(a, b)∈A×B, a ≤b .
Montrer que sup(A) et inf(B) existent et que : sup(A)≤inf(B).
Exercice 30 (+++) (minimum, raisonnement par l’absurde)
Prouver que : ∀x∈[0,1],0≤x(1 −x)≤1
4.
En d´eduire que : ∀(a, b, c)∈[0,1]3,min a(1 −b), b(1 −c), c(1 −a)≤1
4.
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5 L’ensemble des nombres entiers naturels : N.
Exercice 31 (+) (r´ecurrence)
D´emontrer que : ∀n∈N∗,
n
X
i=1
i3=n2(n+ 1)2
4.
Exercice 32 (+) (r´ecurrence)
Montrer que : ∀(x, y)∈R2,∀n∈N∗,(x−y)
n−1
Y
k=0 x2k+y2k=x2n−y2n.
Exercice 33 (++) (partie enti`ere)
Prouver que : ∀(a, b)∈R2, E(a) + E(b)≤E(a+b)≤E(a) + E(b)+1.
6 Les fonctions
Exercice 34 (+) (injectivit´e, surjectivit´e)
L’application qui `a tout nombre complexe associe son module est-elle une injection ? une surjection
sur R?
Exercice 35 (+) (bijectivit´e, compos´ee)
Soient f:N→Net g:N→Ndeux applications d´efinies par :
∀n∈N, f(n) = n+ 1 et g(n) = 0 si n= 0,
n−1 si n≥1.
1. Les applications fet gsont-elles bijectives ?
2. Peut-on d´efinir g◦fet f◦g? Si oui, d´eterminer ces applications.
Exercice 36 (+) (bijectivit´e, application r´eciproque)
On consid`ere la fonction : g:x7→ g(x) = x
1−x.Montrer que gest une bijection entre deux parties
de R`a d´eterminer. D´eterminer sa bijection r´eciproque.
Exercice 37 (++) (bijection)
Soit f:R\ {−3
2} → R\ {9 4}d´efinie par : ∀x∈R\ {−3 2}, f(x)=2−8−x 4x+ 6 .
Prouver que fest bijective et d´eterminer f−1.
Exercice 38 (++) (fonction caract´eristique)
On consid`ere un ensemble E. Si Aest une partie de E, on rappelle la d´efinition de la fonction
caract´eristique de A:
χA:E→ {0,1}, x 7→ χA(x) = n1 si x∈A.
0 si x /∈A.
Ici, E=Ret A={x∈R∗
+:|ln(x)| ≥ 2}.
Tracer la courbe repr´esentative de χAdans un rep`ere orthonorm´e.
Exercice 39 (++) (image directe, image r´eciproque, complexes)
On consid`ere l’application u:C∗→Cd´efinie par : ∀z∈C, u(z) = z
|z|.
1. D´eterminer u(C∗) et u−1({i}).
2. L’application uest-elle injective ? surjective ?
3. Prouver que u◦u=u.
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