8.Trigonométrie dans le triangle rectangle 1) Définitions

8.Trigonométrie dans le triangle rectangle
1) Définitions
Dans un triangle rectangle, on a :
Cosinus d'un angle aigu =
Sinus d'un angle aigu =
longueur du côté adjacent à cet angle
longueur de l ' hypoténuse
longueur du côté opposé à cet angle
longueur de l ' hypoténuse
Tangente d'un angle aigu =
longueur du côté opposé à cet angle
longueur du côté adjacent à cet angle
Remarque :
En pratique, la formule « CAHSOHTOA » permet de retenir les définitions
du cosinus, du sinus et de la tangente d'un angle aigu d'un triangle
rectangle.
Exemple :
2) Utilisation de la calculatrice
La touche Cos de la calculatrice permet de calculer le cosinus d'un angle
aigu donné.
Inversement, si l'on connaît le cosinus d'un angle, on peut retrouver une
valeur approchée de cet angle à l'aide de la touche Arccos ou cos−1 .
On utilisera, de même, les touches Arcsin ou sin−1 pour le sinus et
Arctan ou tan−1 pour la tangente.
Exemples :
(vous donnerez les valeurs exactes lorsque c’est possible, sinon, arrondir
au centième).
Quel est le sinus d’un angle de 34° ?
Quelle est la mesure d’un angle dont le cosinus vaut 0,3 ?
Quelle est la tangente d’un angle de 13° ?
3) Applications
Exemple 1 : Calculer une longueur
L
62°
4
5,
O
cm
E
On considère un triangle LEO rectangle en E tel que :
LO = 5,4 cm et ^
ELO = 62°.
a) Calcule la longueur du côté [OE] arrondie au millimètre.
b) Calcule ensuite la longueur du côté [EL] arrondie au millimètre.
a) Dans le triangle LEO rectangle en E,
côté opposé à ^
ELO
^
Sin ELO =
hypoténuse
OE
ELO =
Sin ^
LO
OE
Sin 62°=
5,4
OE = 5,4 × sin 62°
OE ≈ 4,8 cm
La valeur approchée de OE arrondie au mm est 4,8 cm.
b) Dans le triangle LEO rectangle en E,
côté adjacent à ^
ELO
^
ELO
cos
=
hypoténuse
EL
ELO =
cos ^
LO
EL
cos 62°=
5,4
EL = 5,4 × cos 62°
EL ≈ 2,5 cm.
La valeur approchée de EL arrondie au mm est 2,5 cm.
Exemple 2 : Calculer un angle
Soit FUN un triangle rectangle en U tel que :
UN = 8,2 cm et UF = 5,5 cm.
UNF arrondie au degré.
Calcule la mesure de l'angle ^
5,5 cm
F
U
8,2 cm
N
Dans le triangle FUN rectangle en U,
côté opposé à ^
UNF
^
tan UNF =
côté adjacent à ^
UNF
UF
tan ^
UNF =
UN
5,5
UNF =
tan ̂
8,2
−1 5,5
̂
)
UNF = tan (
8,2
̂
UNF ≈ 34°.