3ème - Trigonométrie dans le triangle rectangle Correction d

3ème - Trigonométrie dans le triangle rectangle
Correction d’exercices type brevet - Page 232
Exercice 64
1. a) Construction
b) Le triangle SKI est un triangle rectangle en S,
donc d’après le théorème de Pythagore :
IK2=SI2+SK2
10,42=SI2+9,62
SI2= 10,429,62
SI2= 108,16 92,16
SI2= 16
SI =p16
SI =4cm
2. Le triangle SKI est rectangle en S,donc:
cos( d IKS)= SK
IK =✓adj hyp ◆
cos( d IKS)= 9,6
10,4
d
IKS = arccos ✓9,6
10,4◆'23°
Remarque : étant donné que l’on a les trois longueurs, on peut choisir le cosinus, le sinus ou la tangente pour calculer la mesure
de l’angle d IKS, mais comme la longueur SI est une longueur que l’on a calculé, il est préférable d’utiliser les autres longueurs
dont on est sûre.
Exercice 65
1-LetriangleCDB est un triangle rectangle en D,donc:
cos( d CBD)=BD
BC
cos(60°)= 4
BC
cos(60°)
1=4 BC
BC =4⇥1
cos(60°)=8.BC =8cm
2-Deux méthodes : la trigonométrie ou le théorème de Pythagore.
Si l’on utilise le théorème de Pythagore :
Le triangle BCD est un triangle rectangle en D,
donc d’après le théorème de Pythagore :
BC2=BD2+CD2
82=4
2+CD2
64 = 16 + CD2
CD2= 64 16
CD2= 48
CD =p48
CD '6,9CD '6,9cm
3-LetriangleABC est un triangle rectangle en B,
donc d’après le théorème de Pythagore :
AC2=BA2+BC2
AC2=6
2+8 2
AC2= 36 + 64
AC2= 100
AC =p100
AC = 10 AC = 10 cm
1

4-a)LetriangleABC est rectangle en B,doncona:tan( d BAC)= BC
AB
donc tan( d BAC)= 8
6=4 3
b) d’où d BAC = arctan ✓4
3◆
d
BAC '53,1d BAC '53°
Exercice 66
On commence par reporter les longueurs données sur la figure.
La difficulté de cet exercice est de savoir dans quel triangle il faut se placer.
1) a) Le triangle MNP est rectangle en P:
tan( d PMN)= PN
PM
tan( d PMN)=2p3
6
b) d PMN = arctan 2p3
6!= 30°
c) Le triangle MRS est rectangle en S:
sin( d RMS)= RS
RM
sin(30°)=RS
5
sin(30°)
1=RS 5
RS =5⇥(sin 30°)
1=2,5cm
2-LetriangleMRS est rectangle en S:
cos( d RMS)= MS
MR
cos(30°)=MS
5
cos(30°)
1=MS 5
MS =5⇥cos(30°)
1'4,3cm
Exercice 67
Sera traité dans le chapitre géométrie dans l’espace.
2

Exercice 68
On commence par faire une figure et en reportant les longueurs données dans
l’énoncé.
1) RF =FS RS = 18 1,5 = 16,5m
2) On veut savoir si l’échelle est assez longue dans cette configuration, c’est à
dire si PF 25 m. Calculons la longueur PF.
Le triangle FPR est rectangle en R,
donc d’après le théorème de Pythagore :
PF2=RP 2+RF 2
PF2= 102+ 16,52
PF2= 100 + 272,25
PF2= 372,25
PF =p372,25
PF '19,3m
Il ne faut pas oublier de conclure :
Dans cette position, le pied du camion est situé à environ 19,3 m de la
fenêtre. Donc l’échelle, dont la longueur maximale est de 25 m, sera assez
longue pour atteindre la fenêtre.
3) Le triangle FPR est rectangle en R:
tan( d FPR)=FR
RP
tan( d FPR)=16,5
10
d
FPR = arctan ✓16,5
10 ◆'59°
Donc l’échelle fait un angle d’environ 59°avec l’horizontale.
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