3ème - Trigonométrie dans le triangle rectangle Correction d’exercices type brevet - Page 232 Exercice 64 1. a) Construction b) Le triangle SKI est un triangle rectangle en S, donc d’après le théorème de Pythagore : IK 2 = SI 2 + SK 2 10, 42 = SI 2 + 9, 62 SI 2 = 10, 42 9, 62 SI 2 = 108, 16 92, 16 SI 2 =p16 SI = 16 SI = 4 cm 2. Le triangle SKI est rectangle ◆ en S, donc : ✓ SK adj d cos(IKS) = = IK hyp 9, 6 d cos(IKS) = 10, ✓4 ◆ 9, 6 d IKS = arccos ' 23° 10, 4 Remarque : étant donné que l’on a les trois longueurs, on peut choisir le cosinus, le sinus ou la tangente pour calculer la mesure d mais comme la longueur SI est une longueur que l’on a calculé, il est préférable d’utiliser les autres longueurs de l’angle IKS, dont on est sûre. Exercice 65 1 - Le triangle CDB est un triangle rectangle en D, donc : d = BD cos(CBD) BC 4 cos(60°) = BC cos(60°) 4 = 1 BC 4⇥1 BC = = 8. BC = 8cm cos(60°) 2 - Deux méthodes : la trigonométrie ou le théorème de Pythagore. Si l’on utilise le théorème de Pythagore : Le triangle BCD est un triangle rectangle en D, donc d’après le théorème de Pythagore : BC 2 = BD2 + CD2 82 = 42 + CD2 64 = 16 + CD2 CD2 = 64 16 CD2 =p48 CD = 48 CD ' 6, 9 CD ' 6, 9cm 3 - Le triangle ABC est un triangle rectangle en B, donc d’après le théorème de Pythagore : AC 2 = BA2 + BC 2 AC 2 = 62 + 82 AC 2 = 36 + 64 AC 2 =p100 AC = 100 AC = 10 AC = 10 cm d = BC 4 - a) Le triangle ABC est rectangle en B, donc on a : tan(BAC) AB d =8=4 donc tan(BAC) 6 ✓3 ◆ 4 d b) d’où BAC = arctan 3 d d BAC ' 53, 1 BAC ' 53° Exercice 66 On commence par reporter les longueurs données sur la figure. La difficulté de cet exercice est de savoir dans quel triangle il faut se placer. 1) a) Le triangle M N P est rectangle en P : PN tan(Pd MN) = Pp M 2 3 d tan(P M N ) = 6 p ! 2 3 d b) P M N = arctan = 30° 6 c) Le triangle M RS est rectangle en S : dS) = RS sin(RM RM RS sin(30°) = 5 sin(30°) RS = 1 5 5 ⇥ (sin 30°) RS = = 2, 5 cm 1 2 - Le triangle M RS est rectangle en S : dS) = M S cos(RM MR MS cos(30°) = 5 cos(30°) MS = 1 5 5 ⇥ cos(30°) MS = ' 4, 3 cm 1 Exercice 67 Sera traité dans le chapitre géométrie dans l’espace. Exercice 68 On commence par faire une figure et en reportant les longueurs données dans l’énoncé. 1) RF = F S RS = 18 1, 5 = 16, 5 m 2) On veut savoir si l’échelle est assez longue dans cette configuration, c’est à dire si P F 25 m. Calculons la longueur P F . Le triangle F P R est rectangle en R, donc d’après le théorème de Pythagore : P F 2 = RP 2 + RF 2 P F 2 = 102 + 16, 52 P F 2 = 100 + 272, 25 P F 2 =p372, 25 P F = 372, 25 P F ' 19, 3 m Il ne faut pas oublier de conclure : Dans cette position, le pied du camion est situé à environ 19,3 m de la fenêtre. Donc l’échelle, dont la longueur maximale est de 25 m, sera assez longue pour atteindre la fenêtre. 3) Le triangle F P R est rectangle en R : FR tan(Fd P R) = RP 16, 5 tan(Fd P R) = 10 ✓ ◆ 16, 5 d F P R = arctan ' 59° 10 Donc l’échelle fait un angle d’environ 59° avec l’horizontale.