Variables aléatoires discrètes

BCPST2
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7 Variables aléatoires discrètes
I Compléments sur les variables aléatoires discrètes
A) Dénition
Dénition : Variable aléatoire discrète
Une variable aléatoire réelle discrète est une variable aléatoire réelle X telle que X(Ω) est un ensemble
réel discret, c'est-à-dire ni ou dénombrable.
Si x ∈ R et A ⊂ R, on notera :
[X = x] = X −1 (x) = {ω ∈ Ω; X(ω) = x}
et
[X ∈ A] = X −1 (A) = {ω ∈ Ω; X(ω) ∈ A}
([X = x])x∈X(Ω) est un système complet d'évènements.
Exemple :
On va reprendre pour ce cours les deux exemples du cours précédent :
G On lance deux dés et on note X la somme des deux résultats. Ω = J1, 6K2 et X(Ω) =
J2, 12K
G On tire à pile ou face avec une pièce jusqu'à obtenir pile et on note X le nombre tirs
©
eectués.
Ω = {P, F P, F F P, . . .} ∪ {F F F F F . . .}
|
{z
}
ω0
X n'est pas déni si ω = ω0.
Cependant, P(ω0 ) = 0 donc X est presque partout déni et on considére que X(Ω) =
N.
Proposition :
Soient X et Y sont des variables aléatoires discrètes dénies sur un même espace de probabilité Ω et
α un réel.
Alors X + αY et XY sont aussi des variables aléatoires discrètes.
B) Lois
Dénition : Loi
Soit X une variable aléatoire discrète.
La loi de X est l'application :
PX : X(Ω) → R+
x 7→ P([X = x])
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Exemple :
©
On lance deux dés et on note X la somme des deux résultats.
Ω = J1, 6K2 et X(Ω) = J2, 12K.
Déterminer la loi de X .
Exemple :
On tire à pile ou face avec une pièce jusqu'à obtenir pile et on note X le nombre tirs
© eectués.
Déterminer la loi de X .
C) Fonction de répartition
Proposition : Loi et fonction de répartition
Soit X une variable aléatoire discrète à valeurs dans N. On a :
∀k ≥ 1, P(X = k) = P([X ≤ k]) − P([X ≤ k − 1])
Proposition :
Soit X une variable aléatoire discrète et F sa fonction de répartion.
F est constante par morceaux, les discontinuités correspondant aux valeurs de X .
D) Espérance
Dénition : Espérance
Soit X une variable aléatoire discrète.
X
On dit que X admet une espérance si la série
xP([X = x]) est absolument convergente.
x∈X(Ω)
Dans ce cas, on appelle espérance de X et on note : E(X) la somme de la série :
X
E(X) =
xP([X = x])
x∈X(Ω)
Remarque: Cas des variables aléatoires nies
Si la variable aléatoire admet un nombre ni de valeurs, alors elle admet une espérance.
Remarque: Cas d'une variable aléatoire à valeurs dans N
Soit X une variable aléatoire discrète
X à valeurs dans N.
X admet une espérance si la série
kP([X = k]) est convergente.
Dans ce cas,
k≥0
E(X) =
+∞
X
kP([X = k])
k=0
Exemple :
lance deux dés et on note X la somme des deux résultats.
© On
Calculer l'espérance de X .
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Exemple :
On tire à pile ou face avec une pièce jusqu'à obtenir pile et on note X le nombre tirs
© eectués.
Calculer l'espérance de X .
E) Formule de transfert
Dénition :
Soit X une variable aléatoire discrète.
Soit φ : R → R une fonction dénie au moins sur X(Ω).
Alors la fonction φ ◦ X : Ω → R
est une variable aléatoire discrète.
ω 7→ φ(X(ω))
On note en général φ ◦ X sous la forme φ(X).
Proposition :
Soit X une variable aléatoire discrète.
Soit φ : R → R une fonction dénie au moins sur
XX(Ω).
φ(x)P([X = x]) est absolument convergente.
φ(X) admet une espérance si et seulement si
Dans ce cas, E(φ(X)) est donnée par :
E(φ(X)) =
x∈Ω(X)
X
φ(x)P([X = x])
x∈Ω(X)
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II Loi uniforme
A) Loi
Dénition :
Soit n un entier non nul.
On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi uniforme sur J1, nK si : X(Ω) = J1, nK et
∀k ∈ J1, nK, P([X = k]) =
1
n
On note : X ,→ U(J1, nK).
Plus généralement : soit a, b deux entiers avec a < b.
On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi uniforme sur Ja, bK si : X(Ω) = Ja, bK et
∀k ∈ Ja, bK, P([X = k]) =
1
b−a+1
On note : X ,→ U(Ja, bK).
Exemple :
©
G Un dé parfaitement équilibé est lancé. La variable aléatoire X égale au numéro qui
sort suit la loi uniforme sur J1, 6K.
G Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On en tire une au hasard. La variable
aléatoire X égale au numéro de la boule tirée suit la loi uniforme sur J1, nK.
B) Espérance et variance
Proposition :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur Ja, bK.
Alors X admet une espérance et une vairance donnée par :
E(X) =
a+b
,
2
V(X) =
(b − a)(b − a + 2)
12
Proposition : Cas particulier
Soit X une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur J1, nK.
Alors X admet une espérance et une variance donnée par :
E(X) =
n+1
,
2
V(X) =
n2 − 1
12
Démonstration :
C) Simuler une loi uniforme avec Python
loi uniforme
from random import ∗
randint ( a , b ) # C h o i s i t un e n t i e r e n t r e a e t b
# l e s e x t r é mit é s s o n t i n c l u s e s d e s 2 c o t é s
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III Loi de Bernouilli
A) Loi
Dénition :
Soit p ∈]0, 1[ .
On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi de Bernouilli de paramètre p si : X(Ω) = {0, 1} et
P([X = 1]) = p, P([X = 0]) = 1 − p
On note : X ,→ B(p)
Exemple :
G Le jeu de pile ou face est suit une loi de Bernouilli de paramètre
©
1
2,
si la pièce est
équilibrée.
G Toute épreuve à deux issues est représentée par une loi de Bernouilli, en notant les
deux résultats possibles : 1 (succès) et 0 (échec).
G Si X suit une loi de Bernouilli de paramètre p alors X 2 aussi.
G Si X et Y suivent une loi de Bernouilli alors XY aussi (sauf si XY = 0)
B) Espérance et variance
Proposition :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Bernouilli de paramètre p.
Alors X admet une espérance et une variance donnée par :
E(X) = p,
V(X) = p(1 − p)
Démonstration :
C) Simuler une loi de Bernouilli avec Python
Loi de Bernouilli
from random import ∗
d e f Bernoulli ( p ) :
i f random ( )<p :
return 1
else :
return 0
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IV Loi binomiale
A) Loi
Dénition :
Soit p ∈]0, 1[ et n ∈ N∗ .
On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi de binomiale de paramètre (n, p) si : X(Ω) = J0, nK
et
∀k ∈ J0, nK, P([X = k]) =
n k
p (1 − p)n−k
k
On note : X ,→ B(n, p)
Exemple :
G On lance n fois une pièce équilibrée. La variable aléatoire X égale au nombre de face
suit une loi binomiale de paramètre (n, 21 ).
©
G Une urne contient des boules, la proportion des boules blanches est p et celles des
noires est 1 − p. On eectue n tirages avec remise.
La variable aléatoire X égale au nombre de boules blanches tirées suit une loi binomiale de paramètre (n, p).
G On considère une suite de n épreuves de Bernouilli de même paramétre p, indépendantes. La variable aléatoire X égale au nombre de succès dans ces n épreuves suit
une loi binomiale de paramètre (n, p).
B) Espérance et variance
Proposition :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre (n, p).
Alors X admet une espérance et une variance donnée par :
E(X) = np,
V(X) = np(1 − p)
Démonstration :
C) Simuler une loi binomiale avec python
Loi Binomiale
from random import ∗
d e f Bernoulli ( p ) :
i f random ( )<p :
return 1
else :
return 0
d e f binomial ( n , p ) :
somme =0
f o r k in range ( n ) :
somme += Bernoulli ( p )
r e t u r n somme
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V Loi hypergéométrique
A) Loi
Dénition :
Soit p ∈]0, 1[ et n, N ∈ N∗ .
On suppose : 1 ≤ n ≤ N et N p ∈ N. On note q = 1 − p.
On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi hypergéométrique de paramètre (N, n, p) si :
X(Ω) = Jmax(0, n − N q), min(n, N p)K et
∀k ∈ Jmax(0, n − N q), min(n, N p)K, P([X = k]) =
Np
k
Nq
n−k
N
n
On note : X ,→ H(N, n, p)
Exemple :
©
Une urne contient a boules blanches et b boules noires. Soit n ≤ a + b.
On tire simultanément (ou successivement mais sans remise) n boules dans l'urne.
La variable aléatoire X égale au nombre de boules blanches tirées suit une loi hypergéoa
métrique de paramètre (a + b, n, a+b
).
B) Espérance et variance
Proposition :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi hypergéoétrique de paramètre (N, n, p).
Alors X admet une espérance et une variance donnée par :
E(X) = np,
V(X) = npq
N −n
N −1
C) Simuler une loi hypergéométrique avec python
Loi hypergéométrique
from random import ∗
d e f bernouilli ( p ) :
i f random ( )<p :
return 1
else :
return 0
d e f hypergeo ( N , n , p ) :
""" s i m u l e l e t i r a g e s a n s r e m i s e de n b o u l e s parmi N b o u l e s dont
l a p r o p o r t i o n de b l a n c h e s e s t p"""
res = 0
a , b = p ∗ N , N−p ∗ N # nombre de b o u l e s b l a n c h e s e t de n o i r e s
f o r i in range ( n ) :
x = bernouilli ( f l o a t ( a / N ) )
N += −1 #une b o u l e de moins dans l ' urne
i f x == 1 :
a += −1 # une b l a n c h e en moins
else :
b +=−1 # une n o i r e en moins
res += x
r e t u r n res
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VI Loi géométrique
A) Situation
On eectue une succession (éventuellement innie) d'épreuves indépendantes de Bernouilli de paramètre p et on appelle X la variable aléatoire égale au rang d'apparition du premier succès.
On note X = 0 si on a toujours un échec.
On dit que X est le temps d'attente du premier succès.
On a :
∀k ∈ N∗ , P(X = k) = q k−1 p
On remarque :
+∞
X
P(X = k) = 1.
k=1
Ainsi, P([X = 0]) = 0.
On peut donc considérer que X(Ω) = N∗ .
B) Loi
Dénition : Temps d'attente du premier succès
Soit p ∈]0, 1[ . On note q = 1 − p.
On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi géométrique de paramètre p à valeurs dans N∗ si :
X(Ω) = N∗ et
∀k ∈ N∗ , P([X = k]) = q k−1 p
On note : X ,→ GN∗ (p)
C) Espérance et variance
Proposition : Temps d'attente du premier succès
Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p et à valeurs dans N∗ .
Alors X admet une espérance et une variance donnée par :
1
E(X) = ,
p
V(X) =
q
p2
Démonstration :
D) Simuler une loi géométrique avec Python
loi géométrique
d e f geometrique ( p ) :
res = 0
k = 0
w h i l e res == 0 :
res = bernouilli ( p )
k += 1
return k
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VII Loi de Poisson
A) Dénition
Dénition :
Soit λ ∈ R∗+ .
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ si
X(Ω) = N et
∀k ∈ N, P([X = k]) =
λk −λ
e
k!
On note : X ,→ P(λ)
Poisson 1781-1840
Remarque:
Ceci dénit bien une loi de probabilité car
+∞ k
X
λ
k=0
k!
e−λ = 1.
Exemple :
©
Une loi de Poisson permet de décrire le nombre d'évènements d'un certain type se produisant dans une période de temps. On dit que la loi de poisson est la loi des évènements
rares.
G Nombre de clients se présentant dans un magasin pendant une période T .
G Nombre d'appels reçus par un standard téléphonique pendant une période T
λ est le nombre moyen d'évènements pendant la période T .
0.5−
0
λ=2
1
2
3
4
5
0.1−
6
7
λ = 10
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
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B) Espérance et variance
Proposition :
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0.
Alors X admet une espérance et une variance donnée par :
E(X) = λ,
V(X) = λ
C) Simuler une loi de poisson avec Python
Loi de Poisson
from random import random
d e f poisson ( mu ) :
x = random ( )
F = 0
i = 0
w h i l e F<x :
i += 1
F += exp (− mu ) ∗ mu ∗∗ i / factorial ( i )
r e t u r n ( i − 1)
Cet algorithme présente un problème : pour de grande valeur de i, l'entier i! est grand et python doit
le convertir en oat pour eectuer le calcul. Cela provoque une erreur. Il vaut mieux procéder de la
façon suivante :
Loi de Poisson améliorée
from random import random
d e f poisson2 ( mu ) :
x = random ( )
F = 0
i = 0
S = exp (− mu )
w h i l e F<x :
i += 1
F += S
S ∗= f l o a t ( mu ) / i
r e t u r n ( i − 1)
Loi de Poisson toute faite
import numpy as np
np . random . poisson ( mu )
# F a i t un t i r a g e s u i v a n t l a l o i de p o i s s o n
np . random . poisson ( mu , N ) # r e n v o i e une l i s t e de N t i r a g e s s u i v a n t
#l a l o i de p o i s s o n
Remarque:
On a de même dans le module et avec la même syntaxe :
import numpy as np
np . random . binomial ( n , p , N )
np . random . geometric ( p , N )
np . random . hypergeometric ( a , b , n , N ) # a=nombre de b o u l e s s u c c è s ,
# b=nombre de b o u l e s é c h e c
# n=nombre de t i r a g e s dans l ' urne
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Exercices
Poisson avait l'habitude de dire : La vie n'est bonne qu'à deux choses : à faire des mathématiques
et à les professer
©
Exercice 1:
©
Exercice 2:
/home/carine/BCPST/Basexo/Proba/VAD/VAD01.tex
On considère un ivrogne marchant le long d'un trottoir. À chaque seconde, il avance avec probabilité
un demi d'un pas, et recule d'un pas avec la même probabilité. On supposera que tous les pas sont de
la même longueur. On se donne un repère le long du trottoir, gradué en pas. On note Xn la position
de l'ivrogne au bout de n secondes. Donner la loi de Xn , son espérance et sa variance.
Indication : on pourra introduire la variable aléatoire de Bernouilli qui vaut 1 si l'ivrogne avance et 0
sinon et exprimer Xn à partir de celle-ci.
/home/carine/BCPST/Basexo/Proba/VAD/VAD03.tex
On dispose d'une pièce déséquilibrée, amenant pile avec la probabilité 2/3. On note X le nombre de
lancers nécessaires pour obtenir, pour la première fois, deux pile consécutifs.
Pour tout n ∈ N∗ , on pose an = P [X = n].
1◦ ) Calculer a1 , a2 , a3 et a4 .
1
2
an−1 + an−2 .
3
9
X
En déduire une expression de an en fonction de n. Vérier que
an = 1. Qu'en conclure ?
2◦ ) Montrer que, pour tout n ≥ 3, an =
3◦ )
n≥1
4 ) La variable aléatoire X admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.
◦
©
Exercice 3:
©
Exercice 4:
©
Exercice 5:
©
Exercice 6:
/home/carine/BCPST/Basexo/Proba/VAD/VAD04.tex
On a une urne avec une boule noire et une boule blanche. A chaque tirage, on note la couleur de la
boule tirée et on la remet dans l'urne, en ajoutant de plus une boule noire. On note Y la variable
aléatoire donnant le rang de la première boule noire tirée.
1◦ ) Calculer P [Y = k] pour tout k ∈ N∗ .
2◦ ) Quelle est la probabilité de ne jamais tirer de boule noire ?
3◦ ) Y admet-elle une espérance et, si oui, la calculer.
4◦ ) Y admet-elle une variance et, si oui, la calculer.
/home/carine/BCPST/Basexo/Proba/VAD/VAD06.tex
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ > 0. Déterminer la loi et
l'espérance de la variable Y = (−1)X .
/home/carine/BCPST/Basexo/Proba/VAD/VAD08.tex
On répète indéniment, de manière indépendante, une expérience aléatoire au cours de laquelle un
événement A peut, à chaque fois, se produire avec une probabilité p ∈]0; 1[. On note X le rang de la
première réalisation de l'événement A et Y le rang de sa deuxième réalisation.
1◦ ) Donner la loi de X , puis celle de Y .
2◦ ) Comparer E(X) et E(Y ).
/home/carine/BCPST/Basexo/Proba/VAD/VAD09.tex
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ. Montrer que P [X ≤ λ2 ] ≤
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λ
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©
Exercice 7:
Exercices : Variables aléatoires discrètes
Lycée du Parc
/home/carine/BCPST/Basexo/Proba/VAD/VAD10.tex
Soit λ > 0. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ.
1
Calculer l'espérance de la variable aléatoire
.
1+X
©
Exercice 8:
/home/carine/BCPST/Basexo/Proba/VAD/VAD12.tex
Une grenouille monte les 2n marches d'un escalier en sautant :
ou bien une seule marche, avec la probabilité p.
ou bien deux marches, avec la probabilité 1 − p.
On note Xn le nombre de marches franchies après n sauts. On note Yn le nombre de fois où la
grenouille a sauté une seule marche.
1◦ ) Déterminer la loi de Yn . Exprimer Xn en fonction de Yn . En déduire la loi de Xn , son espérance
et sa variance.
◦
2 ) On note Zn le nombre de sauts nécessaires pour atteindre ou dépasser la n-ième marche. Exprimer, pour n ≥ 1 et k ≥ 1, la probabilité P [Zn = k] en fonction des probabilités des événements
[Zn−1 = k − 1] et [Zn−2 = k − 1]. En déduire que :
E(Zn ) = pE(Zn−1 ) + (1 − p)E(Zn−2 ) + 1.
3◦ ) Comment déterminer
a pour que la suite de terme général un = E(Zn ) − na soit récurrente
linéaire d'ordre 2 ?
4◦ ) Calculer alors l'espérance de Zn . Donner un équivalent de E(Zn ) quand n tend vers l'inni, et
interpréter.
©
Exercice 9:
/home/carine/BCPST/Basexo/Proba/VAD/VAD14.tex
On lance n dés pipés, donnant le chire 6 avec la probabilité p ∈]0; 1[. A chaque lancé, on met de côté
ceux qui font 6 et on relance tous les autres ; on arrête une fois que tous les dés ont fait 6. Notons X1
la variable aléatoire égale au nombre de 6 obtenus au premier lancer, X la variable aléatoire égale au
nombre de lancers eectués et Y celle égale au nombre de dés lancés au total.
1◦ ) Déterminer la loi de X1 , son espérance et sa variance.
2◦ ) Déterminer la loi de X .
3◦ ) Déterminer E(Y ), puis la loi de Y .
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