Séries de Fourier. Divers modes de convergence

S´eries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples
1 G´en´eralit´es et notations
Dans tout ce chapitre, Ed´esigne l’ensemble des fonctions continues de Rdans C, 2π-p´eriodiques
et continues par morceaux telles que :
∀f∈E, ∀x∈R, f (x) = 1
2(f(x+) + f(x−)).
Proposition 1 E est un Cespace vectoriel pour les lois usuelles.
Preuve - On v´erifie sans peine les axiomes d’espace vectoriel. 2
Proposition 2 L’application h., .id´efinie sur E×E, `a valeurs dans C, par :
∀f, g ∈E, hf, gi=1
2πZ2π
0
f(t)g(t)dt.
est un produit scalaire.
Preuve - Soient f, g ∈E.
hf, gi=1
2πZ2π
0
f(t)g(t)dt =1
2πZ2π
0
f(t)g(t)dt =hg, fi.
donc h., .iest `a sym´etrie hermitienne.
Soient f, g, h ∈E,λ∈C. La lin´earit´e de l’int´egrale permet d’affirmer que :
hf, g +λhi=hf, gi+λhf, hi
donc h., .iest lin´eaire par rapport `a la seconde place.
Soit f∈E.
hf, fi=1
2πZ2π
0
f(t)f(t)dt =1
2πZ2π
0
|f(t)|2dt >0.
Supposons que hf, fi= 0, c’est-`a-dire 1
2πR2π
0|f(t)|2dt = 0. Notons t1,··· , tn−1les points de discon-
tinuit´e de f,t0= 0 et tn= 2π. Par hypoth`ese, pour tout k∈ {0,··· , n −1},f|]tk;tk+1[est continue
et admet des limites en t+
ket t− k+1. On a alors :
0 = Z2π
0
|f(t)|2dt =
n−1
X
k=0 Ztk+1
tk
|f(t)|2dt.
1

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Chaque quantit´e de la somme ´etant positive, on en d´eduit :
∀k∈ {0,··· , n −1},Ztk+1
tk
|f(t)|2dt = 0.
Alors :
∀k∈ {0,··· , n −1},∀t∈]tk;tk+1[, f(t) = 0.
fest donc nulle sur [0; 2π], sauf peut-ˆetre aux points tk. Comme
∀k∈ {0,··· , n}, f(tk) = 1
2(f(t+
k) + f(t− k))
et que
∀k∈ {0,··· , n}, f(t−
k) = f(t+ k) = 0
on en d´eduit
∀k∈ {0,··· , n}, f(tk) = 0
et donc fest nulle sur [0; 2π]. f´etant 2π-p´eriodique, il en r´esulte que fest nulle sur R.2
La norme associ´ee au produit scalaire h., .iest not´ee k.k2et est donc d´efinie par :
∀f∈E, kfk2=1
2πZ2π
0
|f(t)|2dt1/2
.
Notons pour tout n∈Z,enla fonction d´efinie sur R, `a valeurs dans Cpar :
∀t∈R, en(t) = eint.
Proposition 3 (en)n∈Zest une famille orthonormale dans E.
Preuve - Soient n, p ∈Z.
hen, epi=1
2πZ2π
0
en(t)ep(t)dt =1
2πZ2pi
0
e−inteiptdt =1
2πZ2π
0
ei(p−n)tdt.
Si n=p,hen, epi=1
2πR2π
0dt = 1.
Si n6=p,hen, epi=1
2πi(p−n)ei(p−n)tt=2π
t=0 = 0 car (p−n)∈Z.
Donc hen, epi=δn,p donc (en)n∈Zest orthonormale. 2
D´efinition 1 Soit f∈E. Pour tout n∈Z, on appelle ni`eme coefficient de Fourier exponentiel de
f le nombre cnd´efini par :
cn=hen, fi=1
2πZ2π
0
f(t)e−intdt
Pour tout n∈N, on appelle coefficients de Fourier trigonom´etriques de f les nombres anet bnd´efinis
par :
an=1
πZ2π
0
f(t) cos(nt)dt ,bn=1
πZ2π
0
f(t) sin(nt)dt.
c
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Proposition 4 Soit f∈E. On a, pour tout n∈N:
an=cn+c−n,bn=i(cn−c−n),cn=1
2(an−ibn),c−n=1 2(an+ibn).
Preuve - Soient f∈E,n∈N.
cn=1
2πZ2π
0
f(t)e−intdt =1
2πZ2π
0
f(t) (cos(−nt) + isin(−nt)) dt.
cos ´etant paire et sin impaire, et compte tenu de la lin´earit´e de l’int´egrale, on a :
cn=1
2πZ2π
0
f(t) cos(nt)dt −1
2πiZ2π
0
f(t) sin(nt)dt =1
2(an−ibn).
De mˆeme :
c−n=1
2πZ2π
0
f(t)eintdt =1
2πZ2π
0
f(t) cos(nt)dt +1
2πiZ2π
0
f(t) sin(nt)dt =1
2(an+ibn).
On en d´eduit
cn+c−n=1
2(an−ibn) + 1 2(an+ibn) = an
et
cn−c−n=1
2(an−ibn)−1 2(an+ibn) = −ibndonc bn=i(cn−c−n).
En particulier, b0= 0 et a0= 2c0.2
Proposition 5 Pour tout n, les applications f7→ cn(f),f7→ an(f)et f7→ bn(f)sont des formes
C-lin´eaires sur E.
Preuve - Sit f∈E. Soit n∈Z.cn=hen, fi. Le produit sclaire ´etant lin´eaire par rapport `a
la deuxi`eme variable, il en r´esulte que f7→ cn(f) est lin´eaire, et ceci pour tout n∈Z. Comme
an=cn+c−net bn=i(cn−c−n), il en r´esulte que f7→ an(f) et f7→ bn(f) sont des formes
C-lin´eaires sur E.2
D´efinition 2 Soit f∈E. On note (cn)n∈Z,(an)n∈Net (bn)n∈Nles suites form´ees des coefficients de
Fourier exponentiels et trigonom´etriques de f. On appelle s´erie de Fourier de f la s´erie d’applications
P
n>0
uno`u (un)n∈Nest d´efinie par :
u0:t7→ c0=1
2πZ2π
0
f(t)e−intdt et ∀n∈N∗, un:t7→ cneint +c−ne−int.
Notation : Pour n∈N, notons Sn(f) la ni`eme somme partielle associ´ee `a la s´erie de Fourier de
f. On a donc :
∀n∈N,∀t∈R, Sn(f)(t) =
n
X
k=0
uk(t) =
n
X
k=−n
ckeikt.
c
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Proposition 6 Avec les notations pr´ec´edentes, on a :
Sn(f)(t) = a0
2+
n
X
k=1
(ancos(kt) + bnsin(kt)) .
Preuve - Soient n∈N,t∈R.
Sn(f)(t) =
n
P
k=−n
ckeikt
=
−1
P
k=−n
ckeikt +c0+
n
P
k=1
ckeikt
=
n
P
k=1
c−ke−ikt +c0+
n
P
k=1
ckeikt
=a0
2+
n
P
k=1
1
2(an+ibn)e−ikt +
n
P
k=1
1
2(an−ibn)eikt
=a0
2+
n
P
k=1 aneikt+e−ikt
2+bneikt−e−ikt 2
=a0
2+
n
P
k=1
(ancos(kt) + bnsin(kt)) .
2
2 Divers modes de convergence
2.1 Convergence normale
Th´eor`eme 1 Soit P
n>0
unune s´erie trigonom´etrique d´efinie sur Rpar :
u0:t7→ c0et ∀n∈N∗, un:t7→ cneint +c−ne−int.
on note (an)n∈Net (bn)n∈Nles suites d´efinies par :
∀n∈N, an=cn+c−n, bn=i(cn−c−n).
Les assertions suivantes sont ´equivalentes :
(i) P
n>0
unconverge normalement sur R;
(ii) P
n>0
cnet P
n>0
c−nsont absolument convergentes ;
(iii) P
n>0
anet P
n>0
bnsont absolument convergentes.
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Preuve - Supposons que P
n>0
unconverge normalement sur R. Soit n∈Z. D’apr`es l’in´egalit´e de
Cauchy Schwarz, on a :
|cn|=|hen, uni| 6kunk2.
Or,
kunk2
2=1
2πZ2π
0
|un(t)|2dt 61
2πZ2π
0 sup
t∈[0;2π]
|un(t)|!2
dt.
Sachant que unest 2π-p´eriodique,
sup
t∈[0;2π]
|un(t)|= sup
t∈R
|un(t)|=kunk∞.
Par cons´equent, kunk2
26kunk2 ∞donc kunk26kunk∞et donc |cn|<kunk∞.P
n>0
kunk∞converge
par hypoth`ese et P
n>0
|cn|et P
n>0
kunk∞sont des s´eries `a termes positifs donc P
n>0
|cn|converge,
c’est-`a-dire P
n>0
cnconverge absolument. De mˆeme, P
n>0
c−nconverge absolument.
Supposons maintenant que P
n>0
cnet P
n>0
c−nsont absolument convergentes. Soit n∈N.
|an|=|cn+c−n|6|cn|+|c−n|.
P
n>0
|an|et P
n>0
(|cn|+|c−n|) sont deux s´eries `a termes positifs et P
n>0
(|cn|+|c−n|) converge (somme
de deux s´eries convergentes) donc P
n>0
|an|converge , c’est-`a-dire P
n>0
anconverge absolument. De
mˆeme, P
n>0
bnconverge absolument car pour tout n∈N,|bn|6|cn|+|c−n|.
Supposons maintenant que P
n>0
anet P
n>0
bnconvergent absolument. On a :
∀n∈N,∀t∈R, un(t) = ancos(nx) + bnsin(nx)
donc
∀t∈R,|un(t)|6|an|+|bn|
c’est-`a-dire
kunk∞6|an|+|bn|.
P
n>0
|an|et P
n>0
|bn|convergent donc P
n>0
(|an|+|bn|) converge. P
n>0
kunk∞et P
n>0
(|an|+|bn|) ´etant
deux s´eries `a termes positifs, on en d´eduit que P
n>0
kunk∞converge, c’est-`a-dire P
n>0
unconverge
normalement. 2
2.2 Convergence en moyenne quadratique
Th´eor`eme 2 Th´eor`eme de Parseval
∀f∈E, kf−Sp(f)k2−−−−→
p→+∞0.
c
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