Séries de Fourier. Divers modes de convergence

Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples
1
Généralités et notations
Dans tout ce chapitre, E désigne l’ensemble des fonctions continues de R dans C, 2π-périodiques
et continues par morceaux telles que :
∀f ∈ E,
∀x ∈ R,
1
f (x) = (f (x+ ) + f (x− )).
2
Proposition 1 E est un C espace vectoriel pour les lois usuelles.
Preuve - On vérifie sans peine les axiomes d’espace vectoriel.
2
Proposition 2 L’application h., .i définie sur E × E, à valeurs dans C, par :
Z 2π
1
f (t)g(t)dt.
∀f, g ∈ E, hf, gi =
2π 0
est un produit scalaire.
Preuve - Soient f, g ∈ E.
hf, gi =
1
2π
2π
Z
f (t)g(t)dt =
0
1
2π
Z
2π
f (t)g(t)dt = hg, f i.
0
donc h., .i est à symétrie hermitienne.
Soient f, g, h ∈ E, λ ∈ C. La linéarité de l’intégrale permet d’affirmer que :
hf, g + λhi = hf, gi + λhf, hi
donc h., .i est linéaire par rapport à la seconde place.
Soit f ∈ E.
Z 2π
1
f (t)f (t)dt =
|f (t)|2 dt > 0.
2π
0
0
R 2π
1
2
Supposons que hf, f i = 0, c’est-à-dire 2π 0 |f (t)| dt = 0. Notons t1 , · · · , tn−1 les points de discon1
hf, f i =
2π
Z
2π
tinuité de f , t0 = 0 et tn = 2π. Par hypothèse, pour tout k ∈ {0, · · · , n − 1}, f|]t
et admet des limites en
t+
k
et
t−
k+1 .
0=
Z
On a alors :
2π
2
|f (t)| dt =
0
n−1
X Z tk+1
k=0
1
tk
2
|f (t)| dt .
k ;tk+1 [
est continue
Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples
Chaque quantité de la somme étant positive, on en déduit :
Z tk+1
∀k ∈ {0, · · · , n − 1},
|f (t)|2 dt = 0.
tk
Alors :
∀k ∈ {0, · · · , n − 1},
∀t ∈]tk ; tk+1 [, f (t) = 0.
f est donc nulle sur [0; 2π], sauf peut-être aux points tk . Comme
∀k ∈ {0, · · · , n},
1
−
f (tk ) = (f (t+
k ) + f (tk ))
2
et que
∀k ∈ {0, · · · , n},
+
f (t−
k ) = f (tk ) = 0
on en déduit
∀k ∈ {0, · · · , n},
f (tk ) = 0
et donc f est nulle sur [0; 2π]. f étant 2π-périodique, il en résulte que f est nulle sur R.
2
La norme associée au produit scalaire h., .i est notée k.k2 et est donc définie par :
Z 2π
1/2
1
2
∀f ∈ E, kf k2 =
.
|f (t)| dt
2π 0
Notons pour tout n ∈ Z, en la fonction définie sur R, à valeurs dans C par :
∀t ∈ R,
en (t) = eint .
Proposition 3 (en )n∈Z est une famille orthonormale dans E.
Preuve - Soient n, p ∈ Z.
Z 2π
Z 2p i
Z 2π
1
1
1
−int ipt
e
e dt =
ei(p−n)t dt.
en (t)ep (t)dt =
hen , ep i =
2π 0
2π 0
2π 0
R 2π
1
Si n = p, hen , ep i = 2π
0 dt = 1.
t=2π
1
Si n 6= p, hen , ep i = 2πi(p−n) ei(p−n)t t=0 = 0 car (p − n) ∈ Z.
Donc hen , ep i = δn,p donc (en )n∈Z est orthonormale.
2
Définition 1 Soit f ∈ E. Pour tout n ∈ Z, on appelle nième coefficient de Fourier exponentiel de
f le nombre cn défini par :
Z 2π
1
f (t)e−int dt
cn = hen , f i =
2π 0
Pour tout n ∈ N, on appelle coefficients de Fourier trigonométriques de f les nombres an et bn définis
par :
1
an =
π
Z
2π
0
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1
f (t) cos(nt)dt , bn =
π
Z
2π
f (t) sin(nt)dt.
0
2/13
Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples
Proposition 4 Soit f ∈ E. On a, pour tout n ∈ N :
1
1
an = cn + c−n , bn = i(cn − c−n ) , cn = (an − ibn ) , c−n = (an + ibn ).
2
2
Preuve - Soient f ∈ E, n ∈ N.
Z 2π
Z 2π
1
1
f (t)e−int dt =
f (t) (cos(−nt) + i sin(−nt)) dt.
cn =
2π 0
2π 0
cos étant paire et sin impaire, et compte tenu de la linéarité de l’intégrale, on a :
Z 2π
Z 2π
1
1
1
cn =
f (t) sin(nt)dt = (an − ibn ).
f (t) cos(nt)dt −
i
2π 0
2π 0
2
De même :
c−n
1
=
2π
Z
2π
int
f (t)e
0
On en déduit
1
dt =
2π
Z
2π
0
1
i
f (t) cos(nt)dt +
2π
Z
2π
0
1
f (t) sin(nt)dt = (an + ibn ).
2
1
1
cn + c−n = (an − ibn ) + (an + ibn ) = an
2
2
et
1
1
cn − c−n = (an − ibn ) − (an + ibn ) = −ibn donc bn = i(cn − c−n ).
2
2
En particulier, b0 = 0 et a0 = 2c0 .
2
Proposition 5 Pour tout n, les applications f 7→ cn (f ), f 7→ an (f ) et f 7→ bn (f ) sont des formes
C-linéaires sur E.
Preuve -
Sit f ∈ E. Soit n ∈ Z. cn = hen , f i. Le produit sclaire étant linéaire par rapport à
la deuxième variable, il en résulte que f 7→ cn (f ) est linéaire, et ceci pour tout n ∈ Z. Comme
an = cn + c−n et bn = i(cn − c−n ), il en résulte que f 7→ an (f ) et f 7→ bn (f ) sont des formes
C-linéaires sur E.
2
Définition 2 Soit f ∈ E. On note (cn )n∈Z , (an )n∈N et (bn )n∈N les suites formées des coefficients de
Fourier exponentiels et trigonométriques de f. On appelle série de Fourier de f la série d’applications
P
un où (un )n∈N est définie par :
n>0
u0 : t 7→ c0 =
1
2π
Z
2π
f (t)e−int dt et ∀n ∈ N∗ , un : t 7→ cn eint + c−n e−int .
0
Notation : Pour n ∈ N, notons Sn (f ) la nième somme partielle associée à la série de Fourier de
f . On a donc :
∀n ∈ N,
∀t ∈ R,
Sn (f )(t) =
n
X
k=0
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uk (t) =
n
X
ck eikt .
k=−n
3/13
Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples
Proposition 6 Avec les notations précédentes, on a :
n
a0 X
Sn (f )(t) =
(an cos(kt) + bn sin(kt)) .
+
2
k=1
Preuve - Soient n ∈ N, t ∈ R.
Sn (f )(t) =
n
P
ck eikt
k=−n
=
−1
P
ck eikt + c0 +
k=−n
=
n
P
c−k e−ikt + c0 +
=
=
2
2.1
a0
2
+
a0
2
+
a0
2
+
ck eikt
k=1
k=1
=
n
P
n
P
ck eikt
k=1
n
P
k=1
1
2 (an
n P
k=1
ikt +e−ikt
an e
k=1
n
P
n
P
+ ibn )e−ikt +
2
1
2 (an
ikt −e−ikt
+ bn e
2
− ibn )eikt
(an cos(kt) + bn sin(kt)) .
k=1
2
Divers modes de convergence
Convergence normale
Théorème 1 Soit
P
un une série trigonométrique définie sur R par :
n>0
u0 : t 7→ c0 et ∀n ∈ N∗ ,
un : t 7→ cn eint + c−n e−int .
on note (an )n∈N et (bn )n∈N les suites définies par :
∀n ∈ N, an = cn + c−n ,
bn = i(cn − c−n ).
Les assertions suivantes sont équivalentes :
P
un converge normalement sur R ;
(i)
n>0
P
P
(ii)
cn et
c−n sont absolument convergentes ;
n>0
n>0
P
P
(iii)
an et
bn sont absolument convergentes.
n>0
n>0
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4/13
Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples
Preuve -
Supposons que
P
un converge normalement sur R. Soit n ∈ Z. D’après l’inégalité de
n>0
Cauchy Schwarz, on a :
|cn | = |hen , un i| 6 kun k2 .
Or,
1
kun k22 =
2π
Z
2π
0
1
|un (t)|2 dt 6
2π
Z
2π
sup |un (t)|
0
t∈[0;2π]
!2
dt.
Sachant que un est 2π-périodique,
sup |un (t)| = sup |un (t)| = kun k∞ .
t∈R
t∈[0;2π]
P
Par conséquent, kun k22 6 kun k2∞ donc kun k2 6 kun k∞ et donc |cn | < kun k∞ .
kun k∞ converge
n>0
P
P
P
par hypothèse et
|cn | et
kun k∞ sont des séries à termes positifs donc
|cn | converge,
n>0
n>0
n>0
P
P
c−n converge absolument.
cn converge absolument. De même,
c’est-à-dire
n>0
n>0
P
P
c−n sont absolument convergentes. Soit n ∈ N.
cn et
Supposons maintenant que
n>0
n>0
|an | = |cn + c−n | 6 |cn | + |c−n |.
P
P
(|cn | + |c−n |) sont deux séries à termes positifs et
(|cn | + |c−n |) converge (somme
n>0
n>0
n>0
P
P
de deux séries convergentes) donc
|an | converge , c’est-à-dire
an converge absolument. De
n>0
n>0
P
même,
bn converge absolument car pour tout n ∈ N, |bn | 6 |cn | + |c−n |.
n>0
P
P
Supposons maintenant que
an et
bn convergent absolument. On a :
|an | et
P
n>0
∀n ∈ N,
n>0
∀t ∈ R,
un (t) = an cos(nx) + bn sin(nx)
∀t ∈ R,
|un (t)| 6 |an | + |bn |
donc
c’est-à-dire
kun k∞ 6 |an | + |bn |.
P
P
P
P
P
|an | et
|bn | convergent donc
(|an | + |bn |) converge.
kun k∞ et
(|an | + |bn |) étant
n>0
n>0
n>0
n>0
n>0
P
P
deux séries à termes positifs, on en déduit que
kun k∞ converge, c’est-à-dire
un converge
n>0
n>0
normalement.
2.2
2
Convergence en moyenne quadratique
Théorème 2 Théorème de Parseval
∀f ∈ E,
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kf − Sp (f )k2 −−−−→ 0.
p→+∞
5/13
Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples
Preuve - Soit P le sous espace vectoriel de E engendré par (en )n∈Z . Soient f ∈ E, ε > 0. Il existe
une fonction g ∈ E, continue, telle que kf − gk <
ε
2
(il suffit pour cela de faire coı̈ncider g avec f
sauf sur un intervalle de la forme [t0 − α; t0 + α] où t0 est un point de discontinuité de f et tel que
−
g(t0 ) = 21 (f (t+
0 ) + f (t0 )). D’après le théorème de Weierstrass, g est limite uniforme d’une suite de
polynômes trigonométriques. Il existe donc une suite (Pn )n∈N d’éléments de P telle que :
∃n0 ∈ N,
∀n ∈ N,
pour n > n0 :
kPn − gk22 =
Donc kPn − gk2 <
ε
2.
1
2π
Z
2π
0
n > n0 ⇒ kPn − gk∞ <
ε2
.
4
|Pn (t) − g(t)|2 dt 6 kPn − gk∞ <
ε2
4
Par conséquent, pour n > n0 :
kPn − f k2 6 kf − gk2 + kg − Pn k2 <
ε ε
+ = ε.
2 2
On a donc démontré la propriété suivante :
∀ε > 0,
∃n0 ∈ N,
∀n ∈ N,
n > n0 ⇒ kPn − f k2 < ε.
P est donc dense dans E.
Il reste à démontrer que Sp (f ) converge vers f . Soit ε > 0. Il existe Q ∈ P tel que kf − Qk2 < ε.
S
Ep . Q ∈ P donc il existe n ∈ N tel que Q ∈ En . Soit p ∈ N tel que p > n. Sp (f ) étant la
P =
p∈N
projection orthogonale de f sur Ep , on a :
∀g ∈ Ep ,
hg, f − Sp (f )i = 0.
Q ∈ Ep (car p > n donc En ⊂ Ep ) donc
hQ − Sp (f ), f − Sp (f )i = 0.
On a alors
kf − Qk22 = k(f − Sp (f )) + (Sp (f ) − Q)k22 .
f − Sp (f ) ∈ Ep⊥ et Sp (f ) − Q ∈ Ep . D’après le théorème de Pythagore, on déduit :
kf − Qk22 = kf − Sp (f )k22 + kSp (f ) − Qk22
donc
kf − Sp (f )k22 6 kf − Qk22 < ε.
Par conséquent, Sp (f ) converge vers f dans (E, h., .i).
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2
6/13
Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples
Corollaire 1 Soit f ∈ E.
P
n>1
|cn |2 + |c−n |2 converge et
2
|c0 | +
+∞
X
2
|cn | + |c−n |
2
n=1
Si f est à valeurs réelles, alors
P
1
=
2π
2π
Z
|f (t)|2 dt.
0
(a2n + b2n ) converge et
n>1
+∞
a0 1 X 2
1
+
(an + b2n ) =
4
2
2π
n=1
Z
2π
(f (t))2 dt.
0
Preuve - Soit f ∈ E. D’après le théorème de Parseval, kSp (f ) − f k2 −−−−→ 0, donc
p→+∞
kSp (f )k22 −−−−→ kf k22 .
p→+∞
Pour p ∈ N, sachant que (en )n∈N est orthonormale :
2
n
n
n
X
X
X
|ck |2 = |c0 |2 +
|ck |2 + |c−k |2
ck ek =
kSp (f )k22 = k=−n
et
kf k22
Par conséquent :
|c0 | +
n
X
k=1
Pour k ∈ N∗ :
donc
k=1
k=−n
2
1
=
2π
Z
2π
|f (t)|2 dt.
0
1
|ck |2 + |c−k |2 =
2π
2π
(f (t))2 dt.
0
2
1
1
1
|ck |2 + |c−k |2 = (an − ibn ) + (an + ibn ) = (a2n + b2n )
2
2
2
+∞
a0 1 X 2
1
+
(an + b2n ) =
4
2
2π
n=1
2.3
Z
Z
2π
(f (t))2 dt.
0
2
Convergence ponctuelle
Lemme 1 Soient a, b ∈ R tels que a < b, f une fonction de [a; b] dans R continue par morceaux.
Alors :
Z
a
b
f (t)eixt dt −−−−→ 0.
x→+∞
Preuve - Si f est constante c’est-à-dire f = c, avec c ∈ R, pour x > 0 :
ibx
Z b
e − eiax 2|c|
ixt 6
f (t)e dt = |c| −−−−→ 0.
ix
|x| x→+∞
a
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Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples
Si f est une fonction en escalier sur [a; b], f s’écrit : f =
un intervalle où elle est constante.
Z
Z b
ixt
f (t)e dt = a
fk , où fk est nulle sur [a; b], sauf sur
k=1
n
X
b
a
!
ixt
fk (t) e
k=1
D’après ce qui précède,
Z
∀k ∈ {1, · · · , n},
donc
n
P
b
!
dt | 6
n Z b
X
ixt f
(t)e
dt
k
.
k=1
a
fk (t)eixt dt −−−−→ 0
x→+∞
a
Z b
ixt −−−→ 0.
f
(t)e
dt
k
−
x→+∞
a
Si f est continue par morceaux sur [a; b], alors f est limite uniforme d’une suite de fonctions
(fn )n∈N en escalier sur [a; b]. Soit ε > 0 :
∃n0 ∈ N,
Soit x > 0.
∀n ∈ N,
n > n0 ⇒ kf − fn k∞ < ε.
Z b
Z b
ixt
(f (t) − fn (t))e dt 6
|f (t) − fn0 (t)|dt 6 (b − a)ε.
0
a
a
De plus, fn0 étant une fonction en escalier :
∃x0 > 0,
Z b
ixt x > x0 ⇒ fn0 (t)e dt 6 ε.
∀x ∈ R,
a
Par conséquent, pour x > x0 :
R
R
b
b
a f (t)eixt dt = a (f (t) − fn0 (t))eixt + fn0 (t)eixt dt
R
R
b
b
6 a (f (t) − fn0 (t))eixt dt + a fn0 (t)eixt dt
6 (1 + b − a)ε
donc
Z b
ixt f (t)e dt −−−−→ 0.
x→+∞
a
2
Théorème 3 Soit f ∈ E. Si f est de classe C 1 par morceaux sur R, alors la série de Fourier de f
converge simplement sur R et a pour somme f. On a alors :
∀t ∈ R,
c0 +
+∞
X
(cn eint + c−n e−int ) = f (t)
n=1
ou encore
+∞
∀t ∈ R,
a0 X
(an cos(nt) + bn sin(nt)) = f (t).
+
2
n=1
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8/13
Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples
Preuve - Soient f ∈ E, n ∈ N et x ∈ R.
n
X
Sn (f )(x) =
Z 2π
n
X
1
=
f (t)e−ikt eikx dt.
2π 0
ikx
ck e
k=−n
k=−n
Compte-tenu de la linéarité de l’intégrale, on a :
1
2π
Sn (f )(x) =
n
X
2π
Z
f (t)
0
eik(x−t) dt.
k=−n
Effectuons le changement de variable u = x−t, et sachant que la fonction intégrée est 2π-périodique,
on a :
Sn (f )(x) = −
1
2π
Z
n
X
x−2π
f (x − u)
x
eiku du =
k=−n
1
2π
2π
Z
f (x − u)
0
Z
n
X
−2π
f (x + v)
0
−ikv
e
k=−n
1
dv =
2π
Z
n
P
e−ikv =
eikv :
k=−n
k=−n
1
Sn (f )(x) = −
2π
eiku du.
k=−n
n
P
Effectuons le changement de variable v = −u, et sachant que
n
X
2π
f (x + v)
0
n
X
eikv dv.
k=−n
Pour n ∈ N, notons Dn l’application définie sur R, à valeurs dans C par :
∀v ∈ R,
n
X
Dn (v) =
eikv .
k=−n
Dn est appelé noyau de Dirichlet. Soit v ∈ R − 2πZ.
Dn (v) = −1 +
n
P
(eikv + e−ikv )
k=0
= −1 +
n
P
eikv +
−n
P
e−ikv
k=0
k=0
= −1 +
1−ei(n+1)v
1−eiv
+
= −1 +
ei
= −1 + ei
= −1 +
=
=
n+1 v
2
v
ei 2
nv
2
×
×
e−i
1−e−i(n+1)v
1−e−iv
n+1
n+1 v
2
−ei 2 v
v
−i v
i
2
2
e
−e
sin( n+1
v)
2
sin(
v
2
)
+ e−i
nv
2
+
×
n+1 v
e−i 2
v
e−i 2
×
ei
n+1
n+1 v
2
−e−i 2 v
v
iv
−i
2
2
e
−e
sin( n+1
v)
2
sin( v2 )
sin( n+1
v)
2 cos( nv
2 )
2
sin( v2 )
sin( n+1
v)
− sin( v2 )+2 cos( nv
2 )
2
sin( v2 )
sin((n+ 12 )v )
sin( v2 )
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9/13
Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples
Si v ∈ 2πZ, alors Dn (v) = 2n + 1.
Z 2π
1
Sn (f )(x) =
f (x + v)Dn (v)dv.
2π 0
Z 2π X
n Z
n
1
1 X 2π ikv
1
Dn (v)dv =
e dv = 1.
eikv dv =
2π
2π 0
2π
0
k=−n
k=−n
Soient x ∈ R, n ∈ N.
Sn (f )(x) − f (x) =
1
2π
R 2π
f (x + v)Dn (v)dv −
=
1
2π
R 2π
(f (x + v) − f (x))Dn (v)dv
=
1
2π
Rπ
0
0
−π (f (x
1
2π
R 2π
0
f (x)Dn (v)dv
+ v) − f (x))Dn (v)dv
Soit g la fonction défine sur [−π; 0[∪]0; π] par :
g(v) =
f (x + v) − f (x)
.
2 sin v2
g est continue par morceaux sur [−π; 0[∪]0; π]. f est de classe C 1 par morceaux sur R donc
f ′ (x).
f (x+v)−f (x)
v
Par conséquent :
g(v) =
v
f (x + v) − f (x)
2 ×
−−−→ f ′ (x).
v
sin v2 v→0
g est donc continue sur [−π; π]. D’après le lemme de Lebesgue,
Z π
g(v)eixv dv −−−−→ 0
x→+∞
−π
donc
1
2π
Z
π
g(v) sin
−p i
1
n+
2
v dv −−−−−→ 0
n→+∞
c’est-à-dire
Sn (f )(x) −−−−−→ f (x).
n→+∞
2
3
Application
3.1
Calcul de sommes de séries
Soit f la fonction 2π-périodique, définie sur [0; 2π[ par f (x) = x(2π − x).
Pour x ∈ R,
f (−x) = −x(2π + x) = f (x + 2π) = f (x).
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−−−−→
v→0+
Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples
Fig. 1 – Représentation graphique de f
f est donc une fonction paire. Notons (an )n∈N et (bn )n∈N les suites formées des coefficients de Fourier
trigonométriques de f . f étant paire, on en déduit que les bn sont nuls.
2π
3
Z
Z
1 2π
4π 2
t
1 2π
1
2
2
an =
=
.
− + πt
f (t)dt =
(−t + 2πt)dt =
π 0
π 0
π
3
3
t=0
Soit n ∈ N∗ .
1
an =
π
t 7→ t(2π − t) et t 7→
parties, on a :
t sin(nt)
n
Z
2π
0
1
f (t) cos(nt)dt =
π
Z
2π
t(2π − t) cos(nt)dt.
0
sont de classe C 1 sur [0; 2π]. D’après le théorème d’intégration par
Z 2π
1
1
2π
(2π − 2t) sin(nt)dt
[t(2π − t) sin(nt)]t=0 −
an =
nπ
nπ 0
Z 2π
1
an = −
(2π − 2t) sin(nt)dt.
nπ 0
sont de classe C 1 sur [0; 2π]. D’après le théorème d’intégration par
t 7→ 2π − 2t et t 7→ − cos(nt)
n
parties :
an =
1
2
[(2π − 2t) cos(nt)]2π
t=0 +
n2 π
nπ
f ∈ E et f est de classe
C1
Z
2π
sin(nt)dt = −
0
4
n2
par morceaux sur R. D’après le théorème de Dirichlet, on a :
+∞
∀t ∈ R,
t(2π − t) =
X cos(nt)
2π 2
.
−4
3
n2
n=1
Pour t = 0, on a :
+∞
X 1
2π 2
0=
−4
3
n2
n=1
donc
+∞
X
π2
1
=
.
n2
6
n=1
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Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples
D’après le corollaire 1 :
+∞
X 1
1
4π 4
+8
=
9
n4
2π
n=1
2π
Z
(f (t))2 dt =
Z
2π
Z
2π
0
(4π 2 t2 − 4πt3 + t4 )dt =
0
0
donc
(f (t))2 dt.
4π 2 t3
t5
− πt4 +
3
5
2π
=
t=0
16 5
π
15
+∞
X 1
4π 4
8π 4
=
+8
9
n4
15
n=1
donc
+∞
X
π4
1
=
.
n4
90
n=1
3.2
Utilisation de l’égalité de Parseval
Soit f une fonction définie sur R, à valeurs dans R, 2π-périodique telle que
Z
2π
f (t)2 dt 6
0
Z
2π
f ′ (t)2 dt.
R 2π
0
f (t)dt = 0. Alors
0
Notons an (f ), bn (f ), an (f ′ ) et bn (f ′ ) les coefficients de Fourier trigonométriques respectifs de f
et f ′ . Soit n ∈ N∗ .
an (f ) =
t 7→
sin(nt)
n
1
π
Z
2π
f (t) cos(nt)dt.
0
et t 7→ f (t) sont des fonctions de classe C 1 sur [0; 2π]. D’après le théorème d’intégration
par parties :
1
1
[sin(nt)f (t)]2π
an (f ) =
t=0 −
nπ
nπ
De même, on montre que
bn (f ) =
Z
0
2π
1
f ′ (t) sin(nt)dt = − bn (f ′ ).
n
1
an (f ′ ).
n
f et f ′ étant continues, d’après le corollaire 1, sachant que
Z
1 2π
a0 (f ) =
f (t)dt = 0,
π 0
1
2π
Z
2π
+∞
f (t)2 dt =
0
n=1
Par ailleurs,
1
2π
car
Z
2π
f ′ (t)2 dt =
0
+∞
+∞
n=1
n=1
1X 2
a0 (f ′ ) 1 X
+
(an (f ′ )2 + bn (f ′ )2 ) =
n (an (f )2 + bn (f )2 )
4
2
2
1
a0 (f ) =
π
′
1X
(an (f )2 + bn (f )2 ).
2
Z
0
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2π
f ′ (t)dt =
1
1
[f (t)]2π
(f (2π) − f (0)) = 0.
t=0 =
π
π
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Séries de Fourier. Divers modes de convergence. Exemples
Pour tout n ∈ N∗ , an (f )2 + bn (f )2 6 n2 (an (f )2 + bn (f )2 ). Les séries étant convergentes, on en
déduit :
+∞
X
(an (f )2 + bn (f )2 ) 6
n=1
donc
On a égalité si
2π
2
f (t) dt 6
0
2
2
(an (f ) + bn (f ) ) =
Z
2π
f ′ (t)2 dt.
0
+∞
X
n2 (an (f )2 + bn (f )2 )
n=1
n=1
c’est-à-dire
n2 (an (f )2 + bn (f )2 )
n=1
Z
+∞
X
+∞
X
+∞
X
(an (f )2 + bn (f )2 ) = 0.
n=1
Donc
∀n ∈ N∗ ,
(n2 − 1)(an (f )2 + bn (f )2 ) = 0.
Comme pour n > 2, n2 − 1 6= 0, on en déduit :
∀n > 2,
an (f ) = bn (f ) = 0.
Alors :
∀x ∈ R,
f (x) = a1 (f ) cos x + b1 (f ) sin x.
f est donc de la forme x 7→ A cos x + B sin x, avec A, B ∈ R.
Réciproquement, si f : x 7→ A cos x + B sin x :
R 2π
0
f (t)2 dt =
R 2π
0
(A2 cos2 t + 2AB cos t sin t + B 2 sin2 t)dt
=
A2
2
R 2π
=
A2
2
h
t+
0
(1 + sin(2t))dt + AB
i2π
cos(2t)
2
t=0
+
R 2π
0
cos(2t)dt +
AB
2π
2 [sin(2t)]t=0
+
B2
2
h
B2
2
t+
R 2π
0
(1 − sin(2t))dt
i2π
cos(2t)
2
t=0
= π(A2 + B 2 )
De même, on montre que
Z
2π
f ′ (t)2 dt = π(A2 + B 2 ).
0
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