Feuille de TD 1 - Fonctions usuelles - IMJ-PRG

Universit´e Paris-Diderot Ann´ee 2016-2017
MM1 - Alg`ebre et analyse ´el´ementaires I (groupe Info)
Feuille de TD 1 - Fonctions usuelles
Fonctions exponentielles, logarithmiques, et puissances.
Exercice 1. Vrai ou faux ?
1. ln(72) = 2 ln(3) −3 ln(2).
2. ln(0.08) = 3 ln(2) −2 ln(5).
3. ln(0.04) = 2 ln(2) −2 ln(5) −ln(4).
Exercice 2. : Calculer en fonction de ln(2) et ln(3) les expressions suivantes.
ln(1,5),ln(16),ln(3√9),ln(2√2),ln(0,25 ×e),ln 9
8,ln(36e2),ln 12
e4
5.
Exercice 3. : R´esoudre dans Rles ´equations et in´equations suivantes :
1. ln(1 −2x) = ln(x+ 2) + ln(3).
2. ln(1 −x2) = ln(2x−1).
3. ln(√2x−2) = ln(4 −x)−1
2ln x.
4. 2e2x−5ex=−2.
5. ex−2e−x−1 = 0.
6. ln(2 −x)≤ln(2x+ 1) −ln(3).
7. ln(3x+ 2) ≥ln x2+1
4.
Exercice 4. : Donner l’ensemble de d´efinition des expressions suivantes avant et apr`es simplifi-
cation.
1. e4 ln(x)−ln x.
2. eln(x2+1)−ln(x−1)−ln(x+1).
3. e1
2ln(x2−1)−ln(x)−ln(x2+1).
Exercice 5. : Pour a > 0 on d´efinit ax=exln(a)pour tout r´eel x.
1. A l’aide des variations connues des fonctions x7→ exet x7→ ln(x), ´etudier les variations de
la fonction expa:R→R,x7→ axen fonction des valeurs de a.
La fonction expas’appelle la fonction exponentielle en base a.
2. Supposons a6= 1. Montrer que la fonction loga:]0,+∞[→R,x7→ ln(x)
ln(a)v´erifie
loga(expa(x)) = x, pour tout x∈R.
et
expa(loga(x)) = x, pour tout x∈]0,+∞[.
En d´eduire les variations de la fonction logaen fonction des valeurs de a.
La fonction logas’appelle la fonction logarithmique en base a.
1

3. Sur un mˆeme graphe, tracer approximativement en fonction des valeurs de ales courbes
repr´esentatives des fonctions expaet loga.
Exercice 6. Soient aet bdes r´eels strictement positifs. Montrer que
axbx= (ab)x,
pour tout r´eel x.
Exercice 7. Soit αun r´eel. On d´efinit xα=eαln(x)pour tout r´eel xstrictement positif. Etudier
les variations de la fonction ]0,+∞[→R,x7→ xαen fonction des valeurs de α. On tracera les
courbes repr´esentatives sur un mˆeme graphe dans les diff´erents cas.
Exercice 8. Donner l’ensemble de d´efinition des fonctions suivantes :
px2−3x+ 2,x2−1
x2−x−23/2
,(x3−x2+ 3x−3)−π,(x2+x+ 1)−1/2.
Rappels de trigonom´etrie.
Exercice 9. : A partir du cercle trigonom´etrique, retrouver les relations entre :
1. cos(π/2−θ) et sin(θ),
2. sin(π/2−θ) et cos(θ),
3. cos(π/2 + θ) et sin(θ),
4. sin(π/2 + θ) et cos(θ),
5. cos2(x) et sin2(x) pour tout x∈R.
Exercice 10. : En utilisant la g´eom´etrie du triangle, compl´eter le tableau suivant, les angles
´etant mis entre 0 et π, dans l’ordre croissant (on pr´ecisera si un nombre n’est pas d´efini) :
θ(radians) π
6
π
4π
θ(degr´es) 0◦60◦120◦
cos(θ) 0
sin(θ)
tan(θ)
Exercice 11. : Pour quels (x, y)∈R2a-t-on cos(x) = cos(y) ? sin(x) = sin(y) ? Et tan(x) =
tan(y) ?
Exercice 12. : R´esoudre les ´equations suivantes :
(i) x+ 2π≡2x−π
3(mod. 2π), (ii) 5x≡π 2(mod. 2π), (iii) x≡π 3−3x(mod. π)
(iv) 3x−π≡2x−π
2(mod. π/2), (v) 5x−1≡π 2(mod. π/3), (vi) x≡π 3−3x(mod. π/4)
2

Exercice 13. : R´esoudre les ´equations suivantes :
(i) cos(2x) = cos(3x), (ii) sin(x) = sin 2x+π
2, (iii) cos(x) = sin(x), (iii) tan(x) = tan(3x)
Exercice 14. : R´esoudre les ´equations suivantes :
(i) 4 cos(x)+1 = 3,(ii) 4 cos2(2x)−1=1,(iii) (tan(x)+1)2−2 tan(x) = 4,(iv) sin π
5−x=1 2.
Fonctions p´eriodiques.
On dit qu’une fonction f:R→Rd’ensemble de d´efinition D, est p´eriodique de p´eriode T∈R
si les deux conditions suivantes sont v´erifi´ees :
(1) pour tout ´el´ement x∈R, on a x∈ D si et seulement si x+T∈ D.
(2) pour tout x∈ D, on a f(x+T) = f(x).
Exercice 15. Soit f: [0,1[→R,x7→ x2et ˜ f:R→Rle prolongement de fen une fonction
p´eriodique de p´eriode 1. Tracer le graphe de ˜ f.
Exercice 16. 1. Donner un exemple d’une fonction paire et p´eriodique de p´eriode 1.
2. Donner un exemple d’une fonction impaire et p´eriodique de p´eriode −0,5.
Exercice 17. Soient aet bdeux nombres r´eels. Montrer que si f:R→Ret `a la fois p´eriodique
de p´eriodes aet balors fest p´eriodique de p´eriode a−b.
Exercice 18. Soit k∈R. Si fest d´efinie sur Ret p´eriodique de p´eriode T, que peut-on dire de
la fonction x7→ f(kx) ?
Fonctions trigonom´etriques.
Exercice 19. : Donner l’ensemble de d´efinition des fonctions x7→ cos(x), x7→ sin(x), et x7→
tan(x) puis donner l’allure de leur courbe repr´esentative `a partir des d´efinitions. Quelle op´eration
g´eom´etrique permet de passer de la courbe de sin `a celle de cos ?
Exercice 20. Donner l’ensemble de d´efinition des expressions suivantes :
pln(cos(x)),1
psin(x), eln(tan(x)),ln(|cos(x)|),1
1−cos(x),1 cos(x) + sin(x)
3