Sur quelques propriétés des corpuscules de spin 1/2 h/2 dans

Sur quelques propriétés des corpuscules de spin 1/2
h/2π dans les champs électromagnétiques
Gérard Petiau
To cite this version:
Gérard Petiau.
Sur quelques propriétés des corpuscules de spin 1/2 h/2π dans les
champs électromagnétiques. J. Phys. Radium, 1948, 9 (6), pp.218-224. <10.1051/jphysrad:0194800906021800>. <jpa-00234122>
HAL Id: jpa-00234122
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Submitted on 1 Jan 1948
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QUELQUES PROPRIÉTÉS DES CORPUSCULES
SUR
DANS LES CHAMPS
DE
SPIN $ 1/2 h/203C0
ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Par GÉRARD PETIAU.
Institut Henri-Poincaré.
Sommaire.
L’introduction dans
de l’électron de Dirac,
représentant, d’une
d’un terme d’interaction électromagnétique s’exerçant
façon générale, les corpuscules de
directement par les champs et non plus seulement par les potentiels, permet de représenter un corpuscule
possédant un moment magnétique propre non lié à l’existence de la charge.
Nous examinons ici quelques propriétés de ce corpuscule que l’on peut déduire de l’équation d’ondes.
Après avoir défini un opérateur vitesse généralisé, nous montrons comment l’introduction d’un tenseur
2014
l’équation d’ondes
spin $$I/2.h/203C0
d’impulsion généralisé permet d’étudier les forces résultant de l’action du champ sur le corpuscule,
celles-ci se décomposant en une force correspondant à la force de Lorentz classique et en une force
due au moment électromagnétique propre ou force de spin dont nous discutons la possibilité de mise
en
évidence.
Les résultats obtenus sont ensuite retrouvés dans l’étude de l’approximation non relativiste de
l’équation d’ondes considérée, d’abord dans le cas du champ électromagnétique quelconque puis, plus
en détail, dans le cas du champ électrique central.
’
1. La théorie de l’électron relativiste de Dirac
représente
l’état du
de
corpuscule
.2’
=
/
-
du
représentant un système
quatrième rang, telles que
de
auquel correspond l’énergie potentielle
en
2
l’absence de champ extérieur par les fonctions
d’ondes §g (k 1, 2, 3, 4), solutions du système
d’équations linéaires aux dérivées partielles du
premier ordre :
oc, oc4
propre
en
les matrices vecteurs de
désignant par x et,
composantes
A
B
quatre matrices
Cependant, W. Pauli a montré (1) que l’expression
invariante (4) pouvait également être introduite
directement dans l’équation d’ondes (1) qui s’écrit
alors
-
,
solutions représentent les états d’un
corpuscule non chargé mais possédant un moment
magnétique propre po.
Cette équation a été considérée depuis par de
nombreux auteurs pour représenter le proton ou le
neutron selon que l’on tient compte, simultanément
ou non, des deux termes d’interaction (2) et (4).
En particulier, cette équation a été utilisée dans
des travaux récents de Caldirola (2), G. Breit (3),
R. G. Sachs (4). Signalons, en outre, que H. Bethe (5)
s’en est servi pour représenter le neutrino dans
l’hypothèse où ce corpuscule non chargé, de masse
et dont les
Lorsque ce corpuscule portant une charge s se
trouve placé dans un champ électromagnétique
caractérisé par les champs électrique et magnétique E, H et par les potentiels scalaire et vecAo, A, l’équation d’ondes déterminant les
Ulk se déduit de (1) en remplaçant les
opérateurs po, p par po ~- ~ Ao, p + § A, ce qui
revient à compléter l’équation (1) par l’expression
teur
fonctions
invariante dans
1
une
transformation de Lorentz
,
,
et à écrire celle-ci sous la forme
L’interprétation
’
attribuer
propre ou
au
de
conduit à
moment cinétique
moment électromagnétique
cette
corpuscule
spin
et
un
un
équation
(1) W. PAULI, Handbuch der Physik, 24/1, p. 233.
(2) CALDIROLA, Relativistic correction in calculating the
magnetic moment of deuteron. Phys. Rev., 1946, 69, p. 608.
(3) G. BREIT, Relativistic corrections to magnetic moments
of nuclear particles. Phys. Rev., gl~~, 71, p. 00-402.
(4) R. G. SACHS, On the magnetic moment of deuteron.
Phys. Rev., 1947, 72, p. 91-98.
(5) H. BETHE, Ionisation power of a neutrino with moment
magnetic. Proceed. Cambridge Phil. Soc., 1935, 31, p. 108- 115.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphysrad:0194800906021800
219
petite, serait susceptible de provoquer une
ionisation des atomes par l’action directe d’un
moment électromagnétique propre sur les électrons
très
Or,
intraatomiques.
En présence de ces travaux, il nous a semblé
qu’il serait utile de préciser quelques-unes des propriétés que l’on peut déduire directement de l’équation d’ondes du corpuscule considéré. Nous nous
proposons d’exposer ici les résultats que nous avons
nous avons, en
D’autre part,
considérée,
l’absence de
type d’interaction
que soit le
quel
champ extérieur,
nous avons
obtenus.
Combinant cette relation
2. Nous considérons le corpuscule dont les fonctions
(que nous écrirons simplement ’~
à l’avenir) sont solutions dans le champ électromagnétique Ao, A, E, H de l’équation d’ondes
r ~ 1 -
g
et i
-.
,
.....r
A
.
A
avec
(10),
nous en
dédui-
sons
-1
l
étant deux constantes caractérisant les inter-
actions.
A l’équation
(6);
nous
associons
l’équation
conjuguée
(8) et (13) généralisent (11), le
teur no, 11 correspondant au vecteur p, p v
de la Mécanique ondulatoire sans spin.
Les relations
vec-
=
Multipliant
ces
équations
par
nous en
déduisons
la relation
3. Nous
II dans
p~
rencontré le
quadrivecteur no,
précédent (6) où nous avons
étudié comme cas particulier les équations d’ondes
du second ordre correspondant à l’équation (6).
avons
un
déjà
travail
Par itération de celle-ci,
Tenant compte de la condition de nullité des
limites du domaine d’intégration et de l’hermiticité des opérateurs, cette relation se réduit à
on
obtient facilement
aux
Cette
équation,
dans
laquelle
x,=
)
en
posant
De même,
nous
en
multipliant .(6)
et
(7)
nous avons
posé
I~
n’est pas hermitienne, mais par multiplication
par C(4’ elle devient hermitienne et s’écrit
par
obtenons, par combinaison, la relation intégrale
Introduisant dans cette
et
(14)
de
110
(6) G. PETIAU,
et
11,
J. de
équation
nous
les
expressions (9)
obtenons, après division
Physique, 194" 8,
p.
i34-i3g.
220
intégrale
par 2mo,
~
i
Cette équation met en évidence, d’une part
l’interaction électromagnétique due à la charge
électrique
et
au
spin
Si nous tenons
celle-ci devient
et, d’autre part, deux termes d’énergie
correspondant à l’interaction en f , l’un
compte
de cette relation dans
(19),
potentielle
classique :
l’autre
purement quantique et caractéristique des mélanges
d’états à énergies positives et négatives.
Mais, d’autre part, les définitions (9) et (14) de IIo
4.
L’équation (6)
écrite
et II et l’identité vectorielle
la forme
sous
permet de calculer la dérivée par rapport au
temps des grandeurs caractéristiques du corpuscule
au moyen de la formule de dérivation quantique
nous
nous
donnent
Par
A étant
à la
grandeur
considérons
l’opéra-
l’opérateur correspondant
suite, la relation (21) s’écrit
encore
considérée.
En
teur
particulier,
si
nous
p + gA ayant la variance de la composante xt
d’un tenseur du second ordre,
lement la relation
nous
obtenons faci-
Cette relation
dans le cas de
et
Le premier terme du second membre peut
transformer en utilisant les équations (6) et
multipliées par
---
généralise celle que l’on obtient (1)
l’équation de Dirac usuelle où l’on a
qui s’écrit
se
(7)
-
et par
On obtient alors, par combinaison, la relation
(’)
G.
PETIAU,
C. R. Acad. Sc., Paris,
1948, 226,
p.
313-3 4.
221
mettant en évidence au second membre la force
de Lorentz classique et la force électromagnétique
due à l’existence du spin ou force de spin correspondant à l’énergie électromagnétique propre
Néanmoins, l’équation (23) qui
met
en
second membre la force de Lorentz
représentée par l’opérateur
au
et la force de
+
même,
nous
introduisons le dual de
évidence
généralisée
Or, par combinaison de (6) et (7) multipliées par
obtenons la relation intégrale
nous
H.~)
pour coefficient d’une
façon additive,
les
et, .par suite, (28) devient
2 Mo
et - le, n’est pas complètement
2. mo
satisfaisante. En effet, l’opérateur p + gA peut
être complété par des opérateurs de même variance
construits au moyen des grandeurs du champ et
des matrices caractéristiques du corpuscule. En
particulier, nous pouvons compléter cet opérateur
f (E A lx) en considérant pour
par l’expression
tenseur d’impulsion totale l’expression
moments
De
conduits ici à introduire le vecteur dual
spin d’opérateur
grad(E.1t
avec,
nous sommes
.
,
,
Complétant (23)
-
cette
avec
obtenons finalement la dérivée de
ralisée (25).
expression, nous
l’impulsion géné-
Afin d’examiner les modifications que le choix de
cette expression entraîne dans la représentation des
forces appliquées au corpuscule, nous devons dériver
l’opérateur [E A ~,].
En utilisant les équations (6)
facilement la relation intégrale
°
et
(7)
on
obtient
«
Nous voyons apparaître au second membre deux
forces de Lorentz » duales l’une de l’autre, asso-
ciées, l’une à la charges
Remarquant
que
charge
f
nous avons
/
l’autre
(g
déduire
peut
à
de la
une
cons-
= 2 n;¡C2 f .
Mais la seule
qui correspond à la
spin
charge vraie, c’est-à-dire à la constante g, résultat
en accord avec celui que nous déduisons de l’équation d’ondes du second ordre (16) où le terme
tante
L B~
fictwe s que l’on
par la relation 12’
force de
.J
(26) devient
est alors celle
d’énergie potentielle dû
propre ne dépend que de
Remarquons
seur
que si
au
magnétique
moment
la constante g.
nous
posons g’
c le
d’impulsion généralisé intervenant
(33), s’écrit encore
au
ten-
premier
membre de
_1 )
Alors que, dans
(21),
nous
avions introduit
Dans le
un
cas
où le
champ
extérieur est uniquement
du temps, les
champ magnétique indépendant
222
f ormules
(33)
a
ou
(24)
Nous retrouvons encore ici une des conclusions du
rapport cité de M. W. Pauli (1).
On sait, par ailleurs, que 1VI. J. Thibaud (1°),
’ étudiant le comportement de certains rayonnements (3
réduisent à
se
...~-
r
n
-1
dans des
Dans
cas, à côté de la force de Lorentz
ce
pro-
prement dite, les forces én g et i correspondant
moment
magnétique
au
propre interviennent d’une
façon additive.
Si l’on examine les conditions dans lesquelles on
la force de Lorentz représentée par
peut évaluer
l’opérateur
.
-.
-
-
voit que cette évaluation exige la mesure simultanée du champ gH et de la vitesse. (p + gA)
on
m
0
Or, d’après la théorie générale de la
a
été
5. Nous allons retrouver les résultats précédents
examinant l’approximation non relativiste correspondant à l’équation (6).
Pour cela, suivant le procédé introduit par
W. Pauli et repris par R. G. Sachs, nous allons
utiliser la représentation donnée par Dirac pour les
matrices oc en écrivant
(8),
on sait que si deux grandeurs physiques observables
sont représentées par les opérateurs linéaires et
hermitiens A et B,
champs magnétiques inhomogènes
conduit à admettre l’existence de particules très
pénétrantes caractérisées par un moment électromagnétique important et qu’il a désignées sous le
nom d’électrinos: Si l’on admet que ces particules
satisfont à l’équation d’ondes de Dirac, la considération d’une interaction magnétique directe en i
[analogue à celle introduite par H. Bethe (~) dans
le cas du neutrino] donnant un moment magnétique
prépondérant devant celui en 9 permettrait d’examiner indépendamment l’action de la force de
Lorentz et celle de la force de spin correspondant au
moment magnétique en i et de justifier, par un
équilibre entre ces forces, les répartitions corpusculaires observées.
mesure
en
on a
"
le commutateur de A et B
àB les écarts quadratiques définis par
a-aPu
[A, B, représentant
et
Appliquant
ce
théorème,
I
les f7 et les p étant deux systèmes de trois matrices
à deux lignes et deux colonnes, indépendantes,
tels que
une erreur
~.~; ~;
5
à
supérieure
p;
voyons que l’éva-
nous
luation de la force de Lorentz introduit
.
aIt- ==
r = 1> ‘’;
3)
.
et pour
lesquels
nous
prenons la
représentation
de
Pauli :
Nous retrouvons ici un résultat qui a fait l’objet
de nombreuses discussions (9) d’après lesquelles on
conclut généralement que la force de spin ne peut.
être mise en évidence par une expérience directe,
l’incertitude dans la mesure de la force de Lorentz
étant toujours supérieure à la force de spin (ou de
moment électromagnétique propre).
Mais nous voyons ici que ce raisonnement ne
porte que sur la force de spin dépendant du facteur g
de la charge si g
Si le coefficient
= ).
d’interaction électromagnétique
( c’est-à-dire
c
,
,
supérieur
dû à la
être mise
~
en
2 mo
au
moment
f c est notamagnétique propre
2013~2013 ~ la force de
2 moc
évidence par
une
Nous
avons
alors
Si, au lieu de repérer les quatre fonctions d’ondes ~/c
1, 2, 3, 4, nous introduisons deux
par l’indice k
indices = 1, 2, m
1, 2 écrivant tfl,nH l’indice 1
aux
matrices
OE, l’indice m aux
correspondant
matrices p, les fonctions tft, tf2 s’écriront
les
fonctions tf3’ tf~ s’écriront tfl,2. Nous écrirons, dans
ce qui suit, 91 pour lui,,, CP2 pour
en omettant
l’indice 1.
En mettant en évidence ces fonctions Oi et u2,
=
=
,
directe
blement
1
spin pourra
expérience directe.
r
r
(1) Voir, par exemple : L. DE BROGLIE, Théorie générale
particules à spin, p. 30-32.
(1) Voir, par exemple, le Rapport de M. W. PAULI
Congrès Solvay de 1980 sur le Magnétisme.
des
au
(1°) 1VI.
p. 98j;
J.
TIiIBAUD, C. R. Acad. Sc., Paris,
1947, 224,
p.
739
et
223,
223
l’équation (6)
se
décompose
en
donnant le
système
et
l’équation (40)
l’énergie massique
propre
cpo correspondra
l’énergie
Si,
en
outre,
à
mo
c2
non
séparons
écrivant
en
relativiste.
à
système (42) correspond
non
du vecteur
En
première des équations (36)
approximativement
nous
aux
à l’approximation non relativiste
II et du tenseur d’impulsion
qui correspond
nous avons
la
1
équations d’ondes
relativiste
cherchées.
l’approximation
Ces équations introduisent l’impulsion généralisée
Le
nous
v
J
L-
Si, dans l’opérateur d’énergie cpo,
devient
effet,
-
ce
dernier s’écrit
encore
donnera
Il
nous prenons seulement les termes d’indice 22
== - 1,1
o,
p, tenant compte de (P2)22
ce tenseur se réduit à l’expression (43) de P.
De même, avec
et si
en
tandis que la seconde des
Reportant (37)
déterminées par
équations (36) s’écrit
dans (38),
l’équation
=
les fonctions Cf2 seront
les termes d’indices
22
en
p
nous
donnent
L’équation (42) considérée comme généralisant
l’équation de Schrôdinger introduit les deux moments
magnétiques propres en g et f d’une façon additive
dans le terme d’énergie potentielle
Or,
et
en
nous
avons, tenant
compte
utilisant l’identité
de div E
=
o,
l’impulsion généralisée (41) remplaçant l’impulsion p + gA usuelle.
6. Nous allons examiner plus en détail l’approximation de l’équation (6) lorsque le champ extérieur
E (r)
se réduit à un champ électrique central E
en mettant en évidence le couplage spin-orbite.
L’équation (6) se réduit alors à
=
L’équation (39)
devient alors
La
décomposition (36)
nous
donne
,«,. 1
Posant
Nous
avons
Posant
encore en
posant
224
Introduisant ces expressions dans l’équation (51),
les équations approchées aux différents
tirons
nous en
nous avons
ordres
Nous retrouvons ici
Calculant
le
l’expression
premier terme
A
2°
l’équation (42).
l’approximation suivante :
du second membre s’écrit
Cette expression ne fait intervenir l’interaction
f que dans l’impulsion généralisée P, mais non
pas dans le terme de couplage spin-orbite
en
qui
En utilisant les relations vectorielles
ne
Si
( r)
r
que du coefficient g.
introduisons, au lieu du moment orbital
dépend
nous
le moment orbital
généralisé
le second terme devient
nous avons
Or, tenant compte de
et le terme cherché
nous avons
se
réduit à
d’où
Introduisant le moment orbital
l’équation approchée (47)
Or,
nous
s’écrit maintenant
Introduisant cette
devient
expression
dans
(52),
cette
équation
avons, en nous bornant aux
premiers
termes,
TI/
mettant
en
relativiste
orbite
en
évidence à côté du terme de correction
en
2 m , le
terme de
couplage spin-’
"
"
"
e.,7
Manuscrit reçu le 9 avril
1948.