Probabilités et variables aléatoires discrètes

Lyée Fauriel
Classe MP
• le médicament B est efficace à 45% sur les hommes et 35%
sur les femmes
• le médicament C est efficace à 90% sur les hommes et 25%
sur les femmes.
L’efficacité des médicaments est indépendante d’une personne à
l’autre.
Probabilités disrètes
⋆
Probabilités et variables aléatoires discrètes
Exerie 1 (⋆)
Soit X : Ω → R une variable aléatoire. On appelle
d e
r é
p artiti on
d e
la
vari able
fon ti on
X, la fonction :
1. On choisit au hasard une personne P dans la population Ω.
FX : R → R
x 7→ P(X 6 x).
(a) Quelle est la probabilité que le médicament A soit efficace sur cette personne P ? Même question pour les deux
autres médicaments.
1. Montrer que la fonction FX est croissante et déterminer les
limites de FX en ±∞.
2. Montrer que la fonction FX est continue à droite. Est-elle
continue à gauche ?
3. Montrer que deux V.a.d. ont la même loi si et seulement si
elles ont la même fonction de répartition.
4. Exprimer à l’aide de la fonction FX les quantités suivantes :
P(2 6 X < 4) et P(X > 5).
(b) On constate que le médicament A est efficace sur la personne P . Quelle est la probabilité que la personne P soit
une femme ?
(c) On constate que le médicament B n’est pas efficace sur
la personne P . Quelle est la probabilité que la personne
P soit un homme ?
2. On choisit deux personnes différentes P1 et P2 au hasard dans
la population Ω.
(a) Quelle est la probabilité que P1 et P2 soient de même
sexe ?
Exerie 2
Soit F : R → R une fonction telle que :
• la fonction F est continue à droite et croissante
• lim F = 0 et lim F = 1.
−∞
(b) Quelle est la probabilité que le médicament C soit efficace
sur les deux personnes ?
+∞
(c) On constate que le médicament A est efficace sur les deux
personnes. Quelle est la probabilité que les deux personnes
soient des hommes ?
Pour tout u ∈]0, 1[, on pose :
n
o
G(u) = inf x ∈ R | F (x) > u .
(d) Sachant que P1 est une femme et que P2 est un homme,
⊲ quelle est la probabilité que le médicament B soit efficace sur les deux personnes ?
⊲ quelle est la probabilité que le médicament C ne soit
efficace que seulement sur une seule des deux personnes
P1 ou P2 ?
1. Vérifier que la fonction G est bien définie sur ]0, 1[.
2. Montrer que pour tout (x, u) ∈ R×]0, 1[, F (x) > u ⇐⇒
x > G(u).
3. Soit U une variable aléatoire uniforme sur [0, 1]. Quelle est la
fonction de répartition de la variable G(U) ?
3. On teste un médicament sur toute la population Ω choisi de
manière équiprobable.
Exerie 3
Un marchand de glace propose dix parfums au choix pour des glaces
en cornet. Trois enfants choisissent au hasard et indépendamment
un des parfums proposés.
(a) On constate que le médicament est efficace sur tout le
monde. Quelle est la probabilité que ce médicament soit le
médicament A soit le médicament B ? soit le médicament
C?
1. Calculer la probabilité que les trois élèves choisissent des parfums tous différents.
2. Déterminer la loi et l’espérance de la variable X égale au
nombre de parfums choisis par les trois enfants. Interpréter
le résultat.
(b) On constate que le médicament est efficace sur toutes les
femmes et inefficace sur tous les hommes. Déterminer les
probabilités que ce médicament soit le médicament A, B
ou C.
4. On utilise le médicament A.
Exerie 4 (⋆)
On considère une population Ω de 1000 habitants composée de 450
femmes et de 550 hommes.
Un laboratoire pharmaceutique teste trois médicaments, notés A,
B et C. Voici les résultats :
• le médicament A est efficace à 70% sur les hommes et 75%
sur les femmes
(a) Quelle est la probabilité que le médicament soit efficace sur exactement 300 hommes et sur exactement 400
femmes ?
(b) Quelle est la probabilité que le médicament soit inefficace
sur au moins deux personnes de la population Ω ?
1
5. On prend une boîte de médicaments A, B ou C avec une pro- 4. Un singe immortel devant un ordinateur tape aléatoirement
portion de 30% de médicaments A, 50% de médicaments B
sur les touches. Montrer qu’à un moment donné, il écrira exacet donc de 20% de médicaments C. On choisit une personne
tement l’énoncé de cet exercice.
au hasard dans Ω et un cachet de médicament dans la boïte au
hasard. Quelle est la probabilité que le médicament soit efficace Exerie 8
sur la personne choisie ?
Un canal de transmission transmet des bits avec erreur selon le modèle suivant : il transmet fidèlement un bit avec probabilité p et de
Exerie 5 (⋆)
façon erronée avec probabilité 1 − p avec p ∈]0, 1[. On considère
Montrer que si X est une V.a.d. dans L1 (Ω) avec E(|X|) = 0, n canaux en série, et que chaque canal fonctionne indépendamment
alors X = 0 presque sûrement.
des autres. On note Xk le bit reçu en sortie du k ème canal et X0
[indiation
: on fera intervenir les événements le bit à l’entrée du premier canal. On désire calculer la probabilité
1
qu’au bout des n canaux, le signal reste inchangé.
|X| >
.℄
n
1. Que vaut P(Xk+1 = 1 | Xk = 0) et P(Xk+1 = 1 | Xk =
1) ?
Exerie 6 (⋆)
On considère un triangle ABC et une marche aléatoire sur les somP (Xn = 1)
2. Posons An =
.
mets de ce triangle.
P (Xn = 0)
À l’instant n = 0, le marcheur est en A.
Étudier la suite (An )n∈N .
À une étape n,
3. En déduire la probabilité qu’un bit soit fidèlement transmis au
1
• si le marcheur est en A, il va en B avec une probabilité et
bout de n canaux. Que dire de cette probabilité lorsque n tend
3
2
vers +∞ ?
en C avec une probabilité
3
1
• si le marcheur est en B, il va en A avec une probabilité et Exerie 9
2
Deux laboratoires pharmaceutiques proposent chacun leur vaccin
1
en C avec une probabilité
contre une maladie. On dispose des données suivantes :
2
1
• un quart de la population a utilise le vaccin A et un cinquième
• si le marcheur est en C, il va en A avec une probabilité et
le vaccin B
2
1
•
lors d’un épidémie, on constate que sur 1000 malades, 8 ont
en B avec une probabilité
2
utilisé le vaccin A et 6 le vaccin B.
On note an , bn et cn les probabilités que le marcheur soit respectiOn choisit un indiviu au hasard et on note :
vement en A, en B ou en C à l’étape n.
⊲ M : « l’individu est malade »
1. Déterminer les relations de récurrence reliant ces probabilités.
⊲ V : « l’individu est vacciné ».
2. Déterminer la matrice M associée à ces relations.
On appelle indie d'eaité d'un vain le nombre :
3. Déterminer an , bn et cn en fonction de n.
probabilité qu’un individu non vacciné soit malade
λ=
4. Calculer lim an , lim bn et lim cn .
probabilité qu’un individu vacciné soit malade
n→+∞
n→+∞
n→+∞
1. Calculer λ pour chaque vaccin A ou B.
2. Conclusion ?
Exerie 7 (⋆)
Soient (Ω, A , P) un espace probabilisé, puis (An )n∈N une suite
d’événements.
1. Exprimer sous forme d’intersections ou de réunions d’événe- Exerie 10
Soient A1 , · · · , An , n événements dans un espace probabilisé
ments An , les événements suivants :
• B = les événements An se réalisent tous à partir (Ω, A , P). Montrer que :
!
d'un ertain rang n
n
\
X
• C = une innité d'événements An se réalisent P
Ak >
P(Ak ) − (n − 1).
+∞
X
k=1
k=1
2. On suppose que
P(An ) est convergente. Montrer que
Exerie 11
n=0
Soit X : Ω → N une V.a.d. admettant une espérance finie non
nulle m. Montrer que :
P(C) = 0.
3. On suppose que la série
+∞
X
P(An ) est divergente et que les
∀λ > 0, P(X > λ m) 6
n=0
événements An sont mutuellement indépendants. Montrer que
P(C) = 1.
2
1
.
λ
Exerie 12
On jette trois fois un dé à six faces. On obtient ainsi les trois coef- Exerie 17
ficients a, b et c d’un polynôme P (X) = aX 2 + bX + c.
Soit X : Ω → R une variable aléatroire finie admettant une
espérance finie.
1. Quelle est la probabilité que P (X) admette deux racines Montrer que l’application f : a 7→ E(|X − a|) est polygoréelles ?
nale, continue et admet un minimum atteint en un point a0 tel que
1
2. Quelle est la probabilité que P (X) admette une racine
P(X < a0 ) 6 6 P(X 6 a0 ).
double ?
2
3. Quelle est la probabilité que P (X) soit irréductible dans Exerie 18
R[X] ?
Une usine fabrique des pièces, avec une proportion de 5% de pièces
défectueuses. Le contrôle des fabrications est tel que :
• si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 96%.
Exerie 13
• si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité
Deux joueurs A et B se lancent un défi. Les joueurs vont lancer un
98%.
dé à 10 faces chacun à leur tour en commençant par A.
On choisit une pièce au hasard et on la contrôle.
Si A tire un nombre supérieur à 5, il gagne. Si B tire un nombre
supérieur à 4, il gagne.
1. Quelle est la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle ?
Quelle est la probabilité que A gagne dans ce jeu ?
2. Quelle est la probabilité qu’une pièce acceptée soit mauvaise ?
Exerie 14
Exerie 19
Une maladie affecte statistiquement une personne sur 1000. Un
test de dépistage permet de détecter la maladie avec une fiabilité de
99%, mais il y a 0.2% de chances que le test donne un faux positif
(i.e. une personne est déclarée malade sans l’être).
Une information est transmise à l’intérieur d’une population. Avec
une probabilité égale à p, c’est l’information correcte qui est transmise à chaque étape d’une personne à une autre. Avec une probabilité 1 − p, c’est l’information contraire qui est transmise. On note
1. Une personne est testée positivement. Quelle est la probabilité pn la probabilité que l’information transmise après n étapes soit
qu’elle soit réellement malade ?
correcte.
2. Une personne est testée négativement. Quelle est la probabilité 1. Déterminer p en fonction de n.
n
qu’elle soit quand même malade ?
2. Calculer lim pn . Interpréter.
n→+∞
Exerie 15
Dans une urne contenant n boules blanches et n boules noires, on Exerie 20
Une particule se trouve à l’instant 0 au point d’abscisse a ∈
effectue n tirages de deux boules simultanément et sans remise.
{0, · · · , N} sur un segment gradué de 0 à N > 1.
1. Quelle est la probabilité pn que tous les tirages soient bico- À chaque
instant, elle fait un bond de +1 avec la probabilité p ∈
lores ?
1
0,
ou un bond de −1 avec la probabilité q = 1 − p. Le
2
2. Quelle est la probabilité qn que tous les tirages soient unicoprocessus se termine lorsque la particule atteint une des extrémités
lores ?
du segment.
22n−1
2n
6
6 4n .
3. Montrer que pour tout n ∈ N∗ ,
n
1. Écrire un algorithme en pseudo-code qui simule cette marche
n
aléatoire.
4. Calculer lim p et lim q . Interprétation ?
n→+∞
n
n→+∞
n
2. On note ua la probabilité pour que la particule partant de a,
le processus s’arrête en 0.
Exerie 16 (⋆)
Soit X : Ω → R une V.a.d. admettant un moment fini d’ordre
2.
(a) Que vaut u0 et uN ?
1. Montrer que X a une espérance finie.
(b) Montrer que si 0 < a < N, alors ua = p ua+1 +
q ua−1 .
2. Montrer les inégalités :
(c) En déduire l’expression exacte de ua .
3. On note va la probabilité pour que la particule partant de a, le
processus s’arrête en N. Reprendre les questions précédentes.
|E(X)| 6 E(|X|) et E (X)2 6 E X 2 .
3. Que peut-on dire de X si on a égalité ?
4. Calculer ua + va . Que peut-on en déduire ?
3
Exerie 21
Exerie 24
Soit n > 1 un entier. On choisit de manière équiprobable un entier On joue à « pile » ou « face » avec une pièce non équilibrée. Cette
p dans {1, · · · , n}.
pièce a deux fois plus de chance de produire « pile ». Les lancers
Pour tout entier m ∈ {1, · · · , n}, on note Am l’événement : sont supposés indépendants.
« l’entier m divise p ». On note enfin p1 , · · · , pr les diviseurs pre- 1. On note X le nombre de lancers nécessaires pour obtenir pour
miers de n.
la première fois « pile-face » consécutivement. Calculer la loi
de X puis E(X).
1. Exprimer l’événement B : « p ∧n = 1 » en fonction des Apk .
2. Soit r ∈ N∗ . On note Y le nombre de lancers nécessaires pour
2. Pour tout m ∈ {1, · · · , n}, calculer P(Am ).
obtenir r fois « pile »au cours des lancers. Calculer la loi de Y
3. Montrer que les événements Ap1 , · · · , Apr sont mutuellement
puis E(Y ).
indépendants.
4. Calculer P(B).
Exerie 25
5. On note ϕ(n) = Card((Z/nZ)∗ ). Montrer la formule :
r Y
1
ϕ(n) = n
1−
.
pk
Une rampe verticale de spots nommés de bas en haut S1 , S2 , S3 ,
S4 change d’état de la manière suivante :
• à l’instant t = 0, le spot S1 est allumé.
k=1
• si, à l’instant t = n, (où n ∈ N∗ ), le spot S1 est allumé, alors
un (et un seul) des spots S1 , S2 , S3 , S4 s’allume à l’instant
Exerie 22
t = n + 1, et ceci de manière équiprobable.
Soit X : Ω → R une variables aléatoire.
• si, à l’instant t = n, le spot Sk pour k ∈ {2, 3, 4} est
Soit I ⊂ R tel que : ∀x ∈ I, P(X = x) > 0. Montrer que I
allumé, le spot Sk−1 s’allume à l’instant t = n = 1.
est fini ou dénombrable et que ces deux cas sont possibles.
On pourra remarquer qu’à chaque instant, un et un seul spot est
allumé. On note X la variable aléatoire représentant le premier insExerie 23 (⋆)
tant (s’il existe) où le spot S2 s’allume, et +∞ sinon.
1 1
Soient p et q des réels dans ]1, +∞[ tels que : + = 1.
1. Calculer la probabilité pour que le spot S1 reste constamment
p q
allumé jusqu’à l’instant n.
1. Montrer que si u et v sont des réels positifs ou nuls, alors :
2. Calculer la probabilité des événements (X = 1) et (X = 2).
up v q
3. Calculer la probabilité des événements (X = n), pour n > 3.
+ .
uv 6
p
q
4. Déterminer l’espérance de X.
2. Soient u1 , · · · , un et v1 , · · · , vn des nombres complexes.
Montrer que :
Exerie 26
1
1
!
!
Soit n > 2. On considère deux V.a.d. indépendantes X1
n
n
n
p
q
X
X
X
et X2 définies sur (Ω, A , P) et suivant la loi uniforme sur
|uk |p
|uk vk | 6
|vk |q
.
{1, 2, · · · , n}. On fixe un entier a ∈ {1, · · · , n} et on pose :
k=1
k=1
k=1
X1 (ω), si X2 (ω) 6 a
[indiation : on ommenera par montrer ette inéga∀ω ∈ Ω, Y (ω) =
.
n
n
X2 (Ω), sinon
X
X
q
p
lité lorsque |uk | = |vk | = 1.℄
1. Déterminer la loi de Y .
k=1
k=1
3. Soient X : Ω → R et Y : Ω → R deux V.a.d. définies 2. Calculer E(Y ) et la comparer avec E(X1 ).
sur un même espace probabilisé (Ω, A , P) et telles que X et 3. Pour quelles valeurs de a, la quantité E(Y ) est-elle maxiY admettent des moments finis d’ordre p et d’ordre q.
male ?
Montrer l’inégalité de Hölder :
1
Exerie 27
1
E(|X Y |) 6 (E(|X|p )) p (E(|Y |q )) q .
Pour toute V.a.d. X : Ω → R prenant un nombre fini de valeurs,
4. On identifie les V.a.d. dans L (Ω) avec leur classe d’équiva- on définit l’entropie de X par :
X
lence modulo la relation « être presque sûrement égal à ».
H(X)
=
−
P(X = x) ln(P(X = x)),
Montrer que sur Lp (Ω), l’application k · kp : X 7→
x∈X(Ω)
1
(E(|X|p )) p est une norme.
[indiation : on ommenera le alul de la façon sui- avec la convention 0 ln 0 = 0.
p
vante : λ |u+v|p 6 λ |u| |u+v|p−1 +λ |v| |u+v|p−1.℄
1. Calculer H(X) lorsque X est constante.
4
Lors d’un appariement entre deux individus, l’enfant récupère un
allèle de chacun de ses deux parents.
Si l’un des parents a le génotype DD et l’autre Dr, l’enfant sera
1
de type DD ou Dr avec des probabilités de .
2
Si l’un des parents a le génotype Dr et l’autre Dr, l’enfant sera
1 1
de type DD, Dr ou rr avec des probabilités respectives de ,
4 2
1
et .
4
On note pn , qn et rn , les proportions des génotypes DD, Dr et rr
de la génération n.
2. Déterminer H(X) lorsque X est équidistribuée.
3. Trouver la valeur maximale de H(X) lorsque X décrit toutes
les variables aléatoires prenant au maximum n valeurs possibles.
Exerie 28
On dispose d’une urne contenant N boules indiscernables au toucher et numérotées de 1 à N. On effectue à partir de cette urne,
n tirages successifs d’une boule, avec remise, et on note X le plus
grand nombre obtenu.
1. Que vaut P(X 6 k) ? En déduire la loi de X.
1. Donner les formules de récurrence pour pn , qn et rn .
2. Calculer E(X).
1
N →+∞ N
3. Calculer lim
N
−1 X
k=0
k
N
n
2. Donner la matrice A associée à cette relation de récurrence.
3. Que peut-on dire des suites (pn )n∈N , (qn )n∈N et (rn )n∈N ?
.
Exerie 32
E(X)
.
N →+∞ N
4. En déduire la valeur de lim
Un industriel fabrique des tablettes de chocolat. Pour promouvoir
la vente, il décide d’offrir des places de cinéma dans la moitié des
tablettes. Parmi les tablettes gagnantes, 60% permettent de gagner
Exerie 29 (⋆)
Soit X : Ω → Z une V.a.d. définie sur un espace probabilisé une place de cinéma et 40% exactement deux places de cinéma.
On note X la variable aléatoire indiquant le nombre de places de
(Ω, A , P). On définit la
cinéma
gagnées.
X par la fonction ϕX : t 7→ E eitX .
1. Déterminer la loi de X, E(X), V (X) et la fonction généra1. Montrer que la fonction ϕX est définie et continue sur R.
trice GX (·).
Z 2π
1
2. Soit n ∈ N∗ . Un client achète n tablettes de chocolat. On
ϕX (t) e−itx0 dt =
2. Soit x0 ∈ X(Ω). Montrer que
note Y le nombre de places de cinéma gagnées. Reprendre les
2π 0
P(X = x0 ).
calculs de la question 1).
3. En déduire que deux V.a.d. à valeurs entières ont la même loi
si et seulement si elles ont même fonction caractéristique.
Exerie 33
2
4. On suppose que X est dans L (Ω). Calculer E(X) et V (X) Un joueur lance une pièce de monnaie donnant « pile « (en abrégé
P et F pour « face ») avec une probabilité égale à p ∈]0, 1[.
à l’aide de la fonction caractéristique.
On note X le nombre de lancers nécessaires pour qu’il obtienne
P P F pour la première fois.
fon ti on
vari able
ar a téristi qu e
d e
la
aléatoir e
Exerie 30
Un fumeur essaie de réduire sa consommation. On admet qu’il fonc- 1. Déterminer la loi de X, puis E(X) et V (X).
tionne toujours selon les conditions suivantes :
On lance une fois la pièce et on obtient P .
• s’il reste un jour sans fumer, il fume le lendemain avec une 2. Sachant cet événement, reprendre la question 1).
probabilité de 40%
• s’il fume un jour, il fumera le lendemain avec une probabilité
Exerie 34
de 20%.
ème
Soient n et p dans N∗ .
On note pn la probabilité qu’il fume le n
jour.
Une urne contient n boules blanches, 2n boules noires et une boule
1. Calculer pn en fonction de p1 .
rouge.
2. Calculer lim pn .
Un joueur tire un nombre au hasard entre 1 et p, avec équiprobabin→+∞
lité. On note X le nombre tiré.
3. Interpréter le résultat.
1. Déterminer la loi de X, E(X) puis V (X).
2. Le joueur peut alors tirer avec remise X boules de l’urne. On
note Y le nombre de boules rouges obtenues. Déterminer la loi
de Y .
Exerie 31
Certains gènes peuvent avoir deux états : D (allèle dominant) et r
(allèle récessif). Les couples de gènes sur des paires de chromosomes
n’ayant pas forcément les mêmes allèles, un individu peut avoir l’un
des trois génotypes suivants : DD, Dr ou rr.
3. Reprendre la question 2) avec des tirages ans remise, lorsque
1 6 p 6 2n + 1.
5
(d) On suppose que l’un des nombres λk vérifie |λk | = 1.
En reprenant les notations de la question précédente, que
peut-on dire des nombres αi−1 , αi et αi+1 ? Que peut-on
en déduire sur Uk , puis sur λk ?
Exerie 35 (⋆)
Soit s ∈ N∗ . On appelle matrie stohastique, toute matrice
A ∈ Ms (R) telle que les deux conditions suivantes sont réalisées :
• tous les termes de A sont positifs
(e) Montrer que la suite de matrices (P n )n∈N est conver• la somme des coefficients de A situés sur une même ligne est
gente vers une matrice de projection orthogonale.
toujours égale à 1.
(f) Déterminer les caractéristiques de cette projection ortho1. Montrer que l’ensemble S des matrices stochastiques est un
gonale, puis en déduire la limite de la suite (P n )n∈N .
convexe stable par multiplication.
(g) Soit ω une racine sème de l’unité. Déterminer lorsque n
[indiation : on trouvera un veteur olonne V et un
tend vers +∞, la probabilité qu’a le marcheur d’arriver
salaire λ tels que pour toute matrie A ∈ Ms(R) à
en ω en n étapes.
oeients positifs ou nuls, on ait : A ∈ S ⇐⇒
A V = λ V .℄
2. Soit E = {e1 , · · · , es } un ensemble comportant s éléments. Exerie 36 (⋆)
On considère une marche aléatoire sur l’espace des états E :
1. Soit (A, +, ×) un anneau commutatif. Soient x1 , · · · , xn , n
• à l’instant t = 0, le marcheur est en e1
éléments de A.
• si à l’instant t = n, le marcheur est en ei , il passera en ej
Montrer que :
avec la probabilité pij .
n
Y
(1 − xk ) =
1
−
(a) Montrer que la matrice P = (pi,j )16i,j6s est stochask=1
tique.


(b) Montrer que pour tout n ∈ N, en notant P n =


(pi,j (n))16i,j6s, alors la probabilité que le marcheur
n

Y 
X
X


parte de ei pour arriver en ej au bout de n étapes est
xj  .
(−1)s−1 



égale à pi,j (n).
s=1
 I ⊂ {1, · · · , n} j∈I 


3. On considère un marcheur se déplaçant sur Us l’ensemble des
Card(I) = s
racines sème de l’unité :
2. En déduire que si P est une probabilité sur un univers Ω et si
• à l’instant t = 0, le marcheur est en 1
A1 , · · · , An sont des événements, alors :
2ikπ
!
• si à l’instant t = n, le marcheur est en exp
,
n
s
[
P
Ak =
alorsle marcheur ira
à t = n +1 soit en
à l’instant 2i(k + 1)π
2i(k − 1)π
k=1
, soit en exp
avec une
exp


s
s
1

!
probabilité de pour les deux mouvements.
n


\
X
X
2

s−1 
P
A
(−1)

j .
(a) Déterminer la matrice stochastique P associée à cette



s=1
j∈I

 I ⊂ {1, · · · , n}
marche aléatoire.


On remarque que la matrice P est symétrique réelle. On
Card(I) = s
!
admet qu’il existe une base orthonormale (U1 , · · · , Us )
n
X
xk
dans l’espace euclidien Ms,1(R) habituel tel que la ma3. Montrer que pour tout x ∈ R, la suite
trice représentant l’endomorphisme P canoniquement ask!
k=0
n∈N
x
socié à la matrice P soit une matrice diagonale D de coconverge vers e .
efficients diagonaux λ1 , · · · , λs .
4. Soit n > 1 un entier. On choisit au hasard une permutation σ
(b) Exprimer P (Uk ) en fonction des vecteurs de la base
sur l’ensemble {1, · · · , n}. Déterminer la probabilité pn que
(U1 , · · · , Us ).
la permutation choisie n’ait aucun point fixe.
(c) On suppose que l’un des nombres λk vérifie |λk | > 1. On
5. Calculer lim pn .


n→+∞
α1
.
pose Uk =  .. . On choisit i ∈ {1, · · · , s} tel
Exerie 37
αs
Soit n ∈ N. On extrait n fois avec remise une boule dans une urne
que le nombre |αi | soit maximal parmi les nombrs |αj |,
composée de deux boules vertes et de six boules blanches. Soit Xn
lorsque j varie entre 1 et s. Déterminer une formule rela variable aléatoire associée au nombre de boules vertes obtenues
liant αi−1 , αi , αi+1 et λi [en convenant que α0 = αs
Xn
lors des n tirages. On pose Fn =
.
et αs+1 = α1 ]. En déduire une contradiction.
n
6
1. Donner la loi de Xn . En déduire l’espérance et la variance de
Xn puis de Fn .
2. On suppose dans cette question que n = 10000.
n Don-
3. les boules sont indiscernables et les urnes sont discernables,
chaque urne peut contenir une boule au maximum
4. les boules sont indiscernables et les urnes sont discernables,
chaque urne peut contenir un nombre quelconque de boules
5. On dispose de sept boules discernables à répartir dans deux
urnes. Quelle est la probabilité que l’une des urnes contienne
exactement quatre boules.
ner une minoration de la probabilité de l’événement Fn ∈
o
]0.22, 0.26[ .
3. Donner une estimation du nombre minimal n de tirages nécessaires pour que la probabilité de l’événement précédent soit au
moins égal à 99%.
Exerie 42
On dispose de 5 boules blanches, 6 boules rouges et 7 boules noires.
On suppose que les boules d’une même couleur sont discernables (par
Exerie 38 (⋆)
Soit X : Ω → N une variable aléatoire admettant une espérance. une numérotation par exemple). Soit n un entier supérieur ou égal
à 3. On répartit la totalité des boules dans n urnes numérotées de
Montrer la formule :
1 à n, certaines pouvant éventuellement rester vides.
+∞
X
1. Quel est le nombre de répartitions possibles
P(X > n).
E(X) =
n=0
2. Quel est le nombre de répartitions telles que l’urne numéro 1
contient 3 boules blanches uniquement.
Exerie 39
3. Quel est le nombre de répartitions telles que l’urne numéro 1
Soit X une V.a.d. dans L2 (Ω).
contienne 2 boules blanches et 1 noire (au moins), et l’urne
1. À quelle condition a-t-on E(X 2 ) = 0.
numéro 2 contienne 3 boules rouges (au moins).
On suppose dans la suite que E(X 2 ) > 0.
4. Quel est le nombre de répartitions telles que toutes les boules
2. Montrer que pour tout a ∈ [0, 1] :
soient dans deux urnes exactement.
p 2
X
p
2 E(X)
∗
P X > a E(X) > (1 − a)
.
(n −
5. Simplifier pour p dans N la formule
k
E(X 2 )
k=0
1)p−k .
6. En déduire que pour p 6 18,
p X
p
(n − 1)18−k = (n − 1)18−p np − (n − 1)18 .
k
Exerie 40
Soit X une V.a.d. appartenant à L2 (Ω).
1. Soit I une partie de R, une fonction g : R → [0, +∞[ et
b > 0 tels que ∀x ∈ I, g(x) > b. Montrer que :
P(X ∈ I) 6
k=1
E(g(X))
b
7. En déduire le nombre de répartitions pour que l’urne numéro 1
ne contienne que des boules blanches et soit non vide.
avec par convention 1 6 +∞.
2. En utilisant g(x) = (x + c)2 , avec c > 0, montrer que si Exerie 43
X est centrée et σ = σ(X), alors pour tout t > 0 ;
On considère un dé à 6 faces, que l’on lance une infinité de fois. Une
face est rouge et les 5 autres faces sont bleues. On écrit sous forme
σ2
P(X > t) 6 2
.
d’une suite les résultats successifs obtenus, par exemple BRRBBσ + t2
BRRRBRBRRR. On s’intéresse à la première série de couleurs
3. On suppose que X(Ω) ⊂ R+ . Montrer que la fonction t 7→ identiques consécutives obtenus On appelle X la variable aléatoire
Z +∞
correspondant à la longueur de cette première série.
P(X > t) est intégrable sur R et calculer
P(X >
0
1. Calculer la loi de X puis E(X).
t) dt.
2. Déterminer la loi de Y puis E(Y ), lorsque Y est la longueur
de la deuxième série.
Exerie 41
On range b boules ans n urnes. Combient y a-t-il de rangements
Exerie 44
possibles dans le cas suivants :
Dans une suite de parties de « pile » ou « face » indépendantes,
1. les boules et les urnes sont discernables et chaque urne peut on considère la variable aléatoire Z égale au rang de la première
contenir une boule au maximum
apparition d’un « pile » suivi d’un « face » ou d’un « face » suivi
2. les boules et les urnes sont discernables et chaque urne peut d’un « pile ». On suppose que la probabilité d’obtenir un « pile » lors
d’une partie quelconque est égale à p ∈]0, 1[.
contenir un nombre quelconque de boules
7
1. Déterminer la loi de Z, puis son espérance.
Exerie 47
2. La variable Z admet-elle des moments finis à tout ordre ?
Une entreprise compte 300 employés. Chacun d’eux téléphone en
moyenne 6 minutes par heures.
Quel est le nombre de lignes que l’entreprise doit installer pour que
la probabilité que toutes les lignes soient utilisées au même instant
soit au plus égale à 2.5% ? On pourra utiliser une certaine approximation.
3. La variable eZ est-elle dans L1 (Ω) ?
Exerie 45
Lois usuelles discrètes
Une grande enveloppe contient les douze figures d’un jeu de cartes :
les quatre rois, les quatre dames et les quatre valets.
Exerie 48
1. On tire simultanément cinq cartes de l’enveloppe. Soit X don- Il arrive assez souvent que le nombre de réservations pour une liainant le nombre de rois obtenus. Déterminer la loi de X puis son aérienne soit supérieur au nombre de passagers se présentant
effectivement le jour du vol. Cela est dû à des empêchements imson espérance.
prévisibles de certains passagers et à une politique systématique de
2. On tire sucessivement cinq fois avec remise. Soit Y donnant
certains d’entre eux qui réservent des places sur plusieurs vols de fale nombre de dames obtenues. Déterminer la loi de Y puis son
çon à choisir au dernier moment celui qui leur convient le mieux (en
espérance.
raison de la concurrence, et selon les tarifs choisis, les com- pagnies
3. On tire successivement et avec remise des cartes et on note Z le ne pénalisent pas les clients qui se désistent et ne font payer effecnombre de cartes tirées pour obtenir un valet pour la première tivement que ceux qui embarquent). Pour compenser ce phénomène,
fois. Donner la loi de Z, puis son espérance.
une compagnie aérienne exploitant un avion de 300 places décide
4. On tire successivement et sans remise des cartes et on note W de faire de la surréservation (surbooking) en prenant pour chaque
le nombre de cartes tirées pour obtenir un valet pour la pre- vol un nombre n > 300 de réservations. S’il se présente plus de
300 passagers à l’embarquement, les 300 premiers arrivés prennent
mière fois. Donner la loi de W , puis son espérance.
leur vol et les autres sont dédommagés financièrement.
On considère que les passagers sont mutuellement indépendants et
que la probabilité de désistement de chacun d’eux est 10%. On note
Exerie 46
Le service de dépannage d’un grand magasin dispose d’équipes in- n le nombre de réservations prises par la compagnie pour un vol
tervenant sur appel de la clientèle. Pour des raisons diverses, les in- donné et Sn le nombre (aléatoire) de passagers se présentant à l’emterventions ont parfois lieu avec retard. On admet que les appels se barquement pour ce vol. Donner la loi de Sn , son espérance et sa
produisent indépendamment les uns des autres et que pour chaque variance.
appel, la probabilité de retard est de 25%.
Exerie 49
1. Un client appelle le service à quatre reprises. On désigne par X Un concierge rentre d’une soirée. Il dispose de n clefs dont une seule
la V.a.d. prenant pour valeurs le nombre de fois où ce client ouvre la porte de son domicile, mais il ne sait plus laquelle.
a dû subir du retard.
1. Il essaie des clefs les unes après les autres en éliminant à
chaque fois la mauvaise clef utilisée. Trouver le nombre moyen
(a) Déterminer la loi de X, son espérance et sa variance.
d’essais nécessaires pour trouver la bonne clef.
(b) Calculer la probabilité que le client a au moins subi un
2. En réalité, la soirée était bien arrosée et après chaque essai,
retard.
le concierge remet la clef testée dans le trousseau. Trouver le
2. Le nombre d’appels par jour est une V.a.d. Y suivant la loi de
nombre moyen d’essais nécessaires pour trouver la bonne clef.
Poisson de paramètre m. On note Z le nombre d’appels traités
en retard.
Exerie 50
(a) Exprimer la probabilité conditionnelle de Z = k sa- On considère une entreprise de construction produisant des objets
sur deux chaînes de montage A et B qui fonctionnent indépenchant que Y = n.
damment l’une de l’autre. Pour une chaîne donnée, les fabrications
(b) En déduire la probabilité « Z = k et Y = n ».
des pièces sont indépendantes. On suppose que A produit 60% des
objets
et B produit 40% des objets. La probabilité qu’un objet
(c) Déterminer la loi de Z.
construit par la chaîne A soit défectueux est 0.1 alors que la pro3. Lors d’une année, le standard a reçu une succession d’appels. babilité pour qu’un objet construit par la chaîne B soit défectueux
On note U le premier appel reçu en retard.
est 0.2.
1. On choisit au hasard un objet à la sortie de l’entreprise. On
constante qu’il est défectueux. Calculer la probabilité que cet
objet ait été fabriqué par la chaîne A.
(a) Quelle est la loi de U ?
(b) Quelle est son espérance et sa variance ?
8
3. On suppose maintenant qu’une boulangerie n’ayant plus de
fraisier à la possibilité de récupérer un gâteau dans une boulangerie qui en a encore. Quelle est la probabilité pour qu’un
client ne puisse pas avoir de fraisier dans le quartier lors d’une
journée ?
2. On suppose de plus que le nombre d’objets produits en une
heure par A est une V.a.d. Y suivant une loi de Poisson de
paramètre λ = 20. On considère la variable X représentant
le nombre d’objets défectueux produits par la chaîne A en une
heure.
(a) Rappeler la loi de Y , E(Y ) et V (Y ).
Exerie 54
Soit X une V.a.d. , suivant une loi de Poisson de paramètre λ.
(b) Soient k et n dans N. Calculer P(X = k | Y = n).
(c) Déterminer la loi de X.
1. Calculer, en fonction de λ, la probabilité que X soit nul sachant qu’il est pair.
2. Une ligne de transmission entre émetteur et récepteur transporte des données représentées par 1024 octets (soit 8 192 bits).
La probabilité que la transmission d’un bit soit erronée est estimée à 10−5 et on admet que les erreurs sont indépendantes les
unes des autres. On contrôle la qualité de la transmission avec
un calcul de parité (checksum) sur le nombre de 1 envoyés :
⊲ si il y a un nombre impair d’erreurs, un message d’erreur
apparaît
⊲ sinon, c’est à dire si il y a un nombre pair d’erreurs, la transmission est acceptée.
Calculer la probabilité qu’il n’y ait aucune erreur sachant que
la transmission est acceptée.
Exerie 51 (⋆)
Dans une cantine, des élèves viennent dans la tranche 12h-13h de
manière aléatoire. Le nombre X d’élèves passant dans la tranche
12h-12h30 suit une loi de Poisson de paramètre λ > 0. La cantine
dispose de deux rampes : A et B et chaque élève choisit de manière
indépendante sa rampe, avec une probabilité égale à p ∈]0, 1[ de
choisir la rampe A.
On note Y le nombre d’élèves passant dans la tranche 12h-12h30
et choisissant la rampe A.
1. Soit n ∈ N. Déterminer la loi conditionnelle de la variable Y
sachant X = n.
2. Déterminer la loi de Y .
Exerie 55
On suppoe qu’à la naissance, la probabilité qu’un nouveau né soit
1
Une région comporte dix hôpitaux, chacun ayant une capacité opé- un garçon est égale à 2 . On suppose que tous les couples ont des
ratoire journalière de 10 patients. Le nombre de personnes se pré- enfants jusqu’à obtenir un garçon pour la première fois. Quelle est
sentant chaque jour pour être opérées dans chacun de ces hôpitaux la proportion de garçons en moyenne dans la population ?
suit une loi de Poisson de paramètre 8, ces nombres étant indépenExerie 56
dants d’un hôpital à l’autre. Pour un jour donné J :
Dans une collection de 20 roches, 10 sont de type basalte et 10 sont
1. Quelle est la probabilité qu’un hôpital donné soit obligé de re- de type granite. Cinq roches sont choisies au hasard (sans remise)
fuser un patient ?
pour des fins d’analyses chimiques. Soit X le nombre de roches de
2. Quelle est la probabilité que l’un au moins des hôpitaux soit type basalte dans l’échantillon.
obligé de refuser un patient ?
1. Préciser la loi de probabilité de X et son espérance.
Exerie 52
3. On suppose maintenant qu’un hôpital saturé a la possibilité
de se « délester » sur un autre qui ne l’est pas. Quelle est la
probabilité pour qu’un patient ne puisse pas se faire opérer ce
jour J ?
2. Calculez la probabilité que l’échantillon contienne seulement
des roches de même type.
Exerie 57
Un insecte pond des oeufs en une journée suivant une loi de Poisson
P(λ). Chaque oeuf à une probabilité d’éclore avec une probabilité
Un quartier comporte cinq boulangeries, chacune ayant la capacité p, indépendante des autres oeufs. Soit Z le nombre d’oeufs qui ont
de préparer cinq fraisiers pour un jour. Pour chaque boulangerie, le éclos en une journée.
nombre de clients par jour désirant un fraisier suit une loi de Pois- 1. Donner la loi de Z.
son de paramètre 4, ces nombres étant indépendants d’une boulan2. En déduire l’espérance de Z.
gerie à l’autre. Pour un jour :
Exerie 53
1. quelle est la probabilité qu’une boulangerie ne puisse pas four- Exerie 58
nir de fraisier à un client ?
Des lots de 25 appareils sont assujettis au plan d’échantillonnage
2. quelle est la probabilité que l’une au moins des boulangeries ne suivant : un échantillon de 5 appareils est choisi sans remise et le lot
puisse pas fournir un client ?
est refusé si 3 ou plus sont défectueux ; autrement le lot (diminué
9
2. Exprimer Xk à l’aide des Yi .
des appareils défectueux de l’échantillon) est accepté. Si on suppose
que le lot contient 4 appareils défectueux calculer :
3. Déterminer la loi de Xk .
1. la probabilité que le lot soit accepté
2. la taille moyenne des lots acceptés
3. une approximation de la probabilité calculée en 1) à l’aide de Exerie 63
Vecteurs aléatoires
Soient (Xi,j )16i,j6n une famille de n2 V.a.d. mutuellement indépendantes définies sur un espace probabilisé (Ω, A , P). On supδ−1 + δ1
pose
que
chaque
X
a
pour
loi
.
i,j
Exerie 59
2
La probabilité qu’un transistor d’un certain type fonctionne pen- On note M = (Xi,j )16i,j6n la matrice aléatoire. Calculer
dant plus de 500 heures est égale à 0.2. Si on teste 20 transistors E(det(M)).
de ce type, quelle est la probabilité que
la loi binômiale.
Exerie 64
1. exactement 4 transistors fonctionnent pendant plus de 500 On lance deux dés équilibrés et on note U et U les résultats
1
2
heures
obtenus pour chaque dé. On pose X = min(U1 , U2 ) et Y =
2. au plus 6 des 20 transistors fonctionnent pendant plus de 500 max(U1 , U2 ).
heures.
1. Déterminer la loi de X, puis E(X).
3. entre 4 et 6 au sens large transistors fonctionnent pendant
2. Exprimer X + Y en fonction de U1 et U2 . En déduire E(Y ).
plus de 500 heures
3. Exprimier XY en fonction de U1 et U2 . En déduire
Cov(X, Y ).
Exerie 60
Soit X une V.a.d. telle que X ∼ B(n, p). Déterminer la loi de
Exerie 65
n − X.
On considère une suite de parties indépendantes de « pile » ou
« face ». La probabilité d’obtenir « pile » vaut p ∈]0, 1[.
Exerie 61
tout n ∈ N∗ , on note Tn le numéro de l’épreuve amenant le
Le nombre de pannes X d’un appareil pendant une période de Pour
ème
« pile ». Enfin, on pose A1 = T1 et An = Tn − Tn−1 .
t heures est une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de n
moyenne 0.8t. Une compagnie fait la location de l’appareil à 400 1. Quelle est la loi de T1 ? Calculer E(T1 ) et V (T1 ).
euros par heure et le repare au coût de 100X 2 :
2. Soit n > 2. Montrer que les V.a.d. A1 , · · · , An sont mu2
tuellement indépendantes et de même loi.
1. Exprimer E(X ) en fonction de t.
2. Exprimez le profit moyen pour une période de t heures en fonction de t.
Exerie 66
3. Pour quelle valeur de t ce profit est-il maximum en moyenne et Soit (X, Y ) un couple de V.a.d. dont la loi conjointe est donnée
par :
que vaut-il ?
Y \ X -1
0
1
-1
0 1/4 0
Exerie 62
0
1/4
0 1/4
Soit n ∈ N∗ . On considère n urnes contenant des boules blanches
1
0 1/4 0
en proportion égale à p ∈]0, 1[.
1. Calculer la covariance Cov(X, Y ).
Voici le protocole expérimental :
• à l’étape 1 : on pioche une boule avec remise dans chaque 2. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
urne et on compte X1 le nombre de boules blanches piochées ; pour
3. Déterminer les lois marginales.
chaque urne ayant fourni une boule blanche, on la supprime ;
• à l’étape 2 : on pioche une boule avec remise dans les urnes
restantes : on note X2 le nombre de boules blanches obtenues à Exerie 67 (⋆)
Soient p ∈]0, 1[. et (X, Y ) : Ω → N2 un couple de V.a.d. dont
cette étape.
la loi est :
• on réitère ce processus pour les urnes restantes.
On définit ainsi une suite (Xk )k∈N∗ de variables aléatoires.
∀(i, j) ∈ N2 , P(X = i, Y = j) = a pi+2j .
1. Montrer que presque sûrement, au bout d’un nombre fini
1. Déterminer la valeur de a.
d’étapes, toutes les urnes seront supprimées.
On note Yi , pour 1 6 i 6 n, la variable aléatoire indiquant 2. Déterminer les lois marginales et les espérances associées.
le numéro de l’étape où l’urne numéro i est supprimée.
3. Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?
10
4. Pour tout (i, j) ∈ {1, · · · , n + 1}2 , on pose : bi,j =
P(X = i | Y = j).
4. Calculer Cov(X, Y ).
5. Soient λ et µ dans R. On pose f : (x, y) → eλ x+µ y .
Tracer l’ensemble :
n
o
F = (λ, µ) ∈ R2 | f (X, Y ) a une espérance finie .
(a) Déterminer la matrice B
Mn+1(R).

(b) Montrer que le vecteur U = 
Exerie 68
Soit (X, Y ) : Ω → N2 un couple de variables aléatoires dont la
loi est :
∀(i, j) ∈ N2 , P(X = i, Y = j) = p2 q i+j ,
avec p + q = 1 et 0 < p < 1.
1.
2.
3.
4.
=
un vecteur propre de B.
Exerie 71
Soient X et Y deux
G (p) et Y ∼ G (q).
V.a.d.
(bi,j )16i,j6n+1
P(X = 1)
..
.
P(X = n + 1)
∈

 est
indépendantes et telles que X ∼
Déterminer les lois marginales puis E(X) et V (X).
1. Déterminer la loi de min(X, Y ) et la loi de max(X, Y )
Calculer Cov(X, Y ).
2. Déterminer la loi de X + Y .
Déterminer la loi de X + Y .
Soit n ∈ N. On pose U = max{X, Y }. Déterminer la
loi conditionnelle de U sachant {X + Y = 2n + 1} et Exerie 72
Soient X et Y deux V.a.d. indépendantes telles que X ∼ P(λ)
reconnaître une loi usuelle.
et Y ∼ P(µ).
1. Déterminer la loi de X + Y .
2. Soit n ∈ N. Déterminer la loi conditionnelle de X sachant
X + Y = n.
Exerie 69
Soit p ∈]0, 1[. On dispose d’un dé à 2 faces 0 ou 1, donnant 1 avec
une probabilité égale à p. On lance ce dé jusqu’à obtenir 1 pour la
deuxième fois. Soit X le nombre de 0 obtenus alors.
Exerie 73
1. Déterminer la loi de X.
Soient p ∈]0, 1[, n ∈ N∗ , puis X1 , · · · , Xn des V.a.d. indépen2. Montrer que X admet une espérance et la calculer.
dantes suivant la loi B(p). On pose Sn = X1 + · · · + Xn .
3. On procède à l’expérience suivante : si X prend la valeur n,
on place n + 1 boules numérotées de 0 à n dans une urne et 1. Déterminer la loi de Sn .
on tire ensuite une boule de cette urne. On note Y le numéro 2. Déterminer la loi du couple (X1 , Sn ).
obtenu.
3. Quelle est la loi conditionnelle de X1 sachant {Sn = k},
avec k ∈ N.
(a) Déterminer la loi de Y .
4. Quelle est la loi conditionnelle de Sn sachant {X1 = k},
(b) Calculer E(Y ).
avec k ∈ N.
4. On pose Z = X − Y .
(a) Donner la loi de Z.
(b) Vérifier que Z et Y sont indépendantes.
Exerie 70
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé, puis deux variables X et Y
définies de Ω vers {1, · · · , n + 1} avec n > 2. On pose pour tout
(i, j) ∈ {1, · · · , n + 1}2 , ai,j = P(X = i, Y = j).
On suppose que :
(
1
, si |i + j − n + 2| = 1
ai,j =
.
2n
0 , sinon
Exerie 74
Un serveur brise en moyenne trois verres et une assiette par mois
et ceci indépendamment. Notons X le nombre de verres cassés et
Y le nombre d’assiettes cassées par ce serveur par mois, les deux
variables suivant des lois de Poisson.
1. Donner les lois de probabilité des variables aléatoires X et Y .
2. Quelle est la loi de X + Y ? Justifier de deux manières différentes, directement et par les fonctions génératrices.
3. Calculer la probabilité d’un mois sans assiette ni verre cassé ?
4. Ce serveur maladroit casse aussi des bols. La variable Z égale
au nombre de bols cassés involontairement par an suit une loi
de poisson de paramètre 5. Si le soir du 31 décembre, notre
serveur n’a pas cassé au moins 5 verres dans l’année, il fête cela
en brisant des bols pour avoir au moins le minimum de 5 bols
cassés sur l’année. Donner la loi de probabilité et l’espérance
de W , où W représente le nombre de bols cassés par an.
1. Vérifier que l’on a bien défini la loi du couple (X, Y ).
2. Montrer que la matrice A = (ai,j )16i,j6n+1 ∈ Mn+1 (R)
est diagonalisable
3. Déterminer les lois marginales du couple (X, Y ).
11
(a) Montrer que :
Exerie 75
P(A) =
Soient n urnes numérotées de 1 à n. Dans chaque urne se trouvent
p boules numérotées de 1 à p. On tire une boule au hasard dans
chaque urne et on note Xk le numéro de la boule tirée dans la k ème
urne. On pose Y = min(X1 , · · · , Xn ).
1. Déterminer la fonction de répartition FY : t 7→ P(Y 6 t)
de la variable Y .
Exerie 76
Soit (Ω, A , P) un espace probabilisé. Soit A un événement de probabilité p. On parle de succès lorsque l’événement A se réalise et
d’échec, sinon.
Soit n ∈ N∗ .
On réalise une succession d’expériences de manière indépendante et
on compte le nombre X d’échecs rencontrés avant l’obtention d’un
nème succès.
tiÆve
). Vérifier qu’on a bien :
+∞
X
loi
biÆn mi ale
n=0
n
∗
∀i ∈ N , Xn+1 + · · · + Xn+i 6= 0
o
.
(d) Montrer que P(T = +∞) = 0.
(e) Conclure. On dit alors que
.
la
m ar h e
e
st
r éur-
r ente
4. On prend d = 1.
n éga-
P(X = k) = 1.
k=0
2. Déterminer E(X) et V (X).
P ({Sn = 0}∩
n
(b) Montrer que les événements {Sn = 0} et ∀i ∈
o
N∗ , Xn+1 + · · · + Xn+i 6= 0 sont indépendants.
(c) Montrer que P ∀i ∈ N∗ , Xn+1 + · · · + Xn+i 6=
0 = P(∀i ∈ N∗ , Si 6= 0) = P(T = +∞).
2. En déduire la loi de Y .
1. Déterminer la loi de X (loi appelée
+∞
X
1
2n
(a) Montrer que P(S2n = 0) = n
.
n
4
(b) Montrer que la marche sur Z est récurrente.
5. On prend d = 2.
3. Calculer GX .
Exerie 77 (⋆)
Soient d ∈ N∗ , puis (e1 , · · · , ed ) la base canonique de Rd et
enfin (Xn : Ω → Zd )n∈N∗ une suite de variables mutuellement
indépendantes ayant toute la même loi que la V.a.d. X telle que :
(a) Montrer que P(S2n = 0) =
2
X
n 1
n
2n
.
k
n
16n
k=0
2
1
2n
(b) Montrer que P(S2n = 0) =
.
n
4n
(c) Montrer que la marche sur Z2 est récurrente.
1
.
2d
Principe de réflexion
On pose X0 = 0Rd et pour tout n ∈ N, Snn = X0 + · · · + Xn . Exerie 78 (⋆)
On pose pour tout ω ∈ Ω, T (ω) = inf n ∈ N∗ | Sn (ω) = 1. Soient s ∈ Z, puis p ∈ N∗ et s ∈ Z. On appelle che0
p
o
min
γ
reliant
le
point
(0,
s
)
à
(p,
sp ), toute application
0
0Rd , avec par convention inf(∅) = +∞.
γ : {0, · · · , p} → Z2 telle que γ(0) = (0, s0 ), γ(p) =
(p, sp ) et pour tout i entre 0 et p − 1, on a γ(i) = (i, si ) et
1. Expliquer à quoi correspond la variable T .
γ(i
+ 1) = (i + 1, si+1), avec |si+1 − si | = 1.
+∞
X
2. On suppose que la série
P(Sn = 0) est convergente.
(a) Déterminer le nombre total de chemins possibles reliant
∀k ∈ {1, · · · , d}, P(X = ±ek ) =
n=0
Montrer que la probabilité que Sn revienne une infinité de
fois en 0 est nulle. On dit alors que
.
la
m ar h e
e
st
tr aÆn-
si ente
[indiation : on exprimera et événement en fontion
des événements {Sn = 0}.℄
3. On suppose que la série
+∞
X
P(Sn = 0) est divergente. On
n=0
veut montrer que la probabilité que Sn revienne une infinité
de fois en 0 vaut 1. On note A : « la marche ne passe qu’un
nombre fini de fois en 0 ».
12
(0, s0) à (p, sp ).
(b) On suppose que s0 et sp sont positifs ou nuls. Montrer
qu’il existe exactement autant de chemins reliant (0, s0 )
à (p, sp ) et touchant l’axe des abscisses que de chemins
reliant (0, s0) à (p, −sp ).
2. Soit n > 1 un entier. On considère un sac contenant contenant n boules blanches et n boules noires. On pioche les 2n
boules les unes après les autres. Quelle est la probabilité de
l’événement suivant : au ours des tirages suessifs,
le nombre de boules blanhes sorties est toujours supérieur ou égal au nombre de boules noires sorties. 4. Soit A un événement. On réalise plusieurs fois et de manière
indépendante la même expérience et on note Nn le nombre de
fois sur les n premières fois où l’événement A s’est réalisé.
Nn
Quelle est la limite probable du quotient
, lorsque n tend
n
vers +∞ ?
Exerie 79
Deux candidats A et B ont respectivement obtenu 600 et 400
voix.
1. Quelle est la probabilité qu’au cours du dépouillement, le candidat A ait toujours été gagnant ou ex æquo ?
2. Quelle est la probabilité qu’au cours du dépouillement, le can- Exerie 82
didat A ait toujours été strictement gagnant ?
Soit (Xn )n∈N∗ une suite de V.a.d. dans L3 (Ω) mutuellement
indépendantes et identiquement distribuées.
Exerie 80 (⋆)
1. Montrer que chaque Xn est dans L2 (Ω), puis que les nombres
E(Xn ) et σ(Xn ) sont des constantes. On note m et σ ces
constantes.
On considère une pièce de monnaie donnant « pile » avec une probabilité de p ∈]0, 1[. Dasn toute les suite, on notera q = 1 − p la
probabilité d’avoir « face ».
2. Écrire la formule de Taylor avec reste intégral à l’ordre 2 entre
On lance cette pièce de monnaie une infinité de fois.
0 et θ pour la fonction f : θ 7→ eiθ .
Au cours des lancers indépendants, on dit qu’on a une alternane 3. En déduire que pour tout t ∈ R :
de résultat si on a obtenu deux résultats consécutifs différents. On
X1 +···+Xn −n m 2
√
it
appelle haîne maximale sans alternane, une série de lancers
σ n
lim E e
= e−t /2 .
n→+∞
consécutifs ayant tous donné le même résultat, cette série étant de
longueur maximale.
Pour toute expérience ω, on note Lk (ω) la longueur de la Exerie 83 (⋆)
k ème chaîne maximale sans alternance. Par exemple, si ω = On dit qu’une suite de V.a.d. (Xn )n∈N converge en probabilité
P P P F P P F P F P F P F P P P F · · ·, alors L1 (ω) = 3, vers une V.a.d. X si :
L2 (ω) = 1, L3 (ω) = 2, etc., ce qui serait également le cas avec
∀ε > 0, lim P(|Xn − X| > ε) = 0.
l’expérience ω = F F F P F F P F P F P F P F F F P · · ·
n→+∞
P
1. Montrer que presque sûrement, il y a une infinité d’alternances
On note dans ce cas Xn −→ X.
de résultat.
P
P
1. Montrer que si Xn −→ X et Yn −→ Y , alors Xn +
2. Déterminer la loi de L .
1
P
Yn −→ X + Y .
3. Déterminer la loi conjointe de (L1 , L2 ), puis la loi de L2 .
P
P
4. Déterminer la loi conjointe de (L1 , L3 ).
2. Montrer que si Xn −→ X, alors Y Xn −→ Y X.
5. Les variables L1 et L2 sont-elles indépendantes ?
3. Soit f : R → R une fonction uniformément continue. MonP
6. Les variables L1 et L3 suivent-elles la même loi ?
4. Le résultat précédent reste-t-il vrai si l’on enlève le mot uni-
formément ?
Probabilités et convergences
Exerie 81 (⋆)
P
trer que si Xn −→ X, alors f (Xn ) −→ f (X).
Exerie 84
Soit (Xn )n∈N∗ une suite de V.a.d. indépendantes et de même loi
On dit qu’une suite de V.a.d. (Xn )n∈N converge presque sûrement
que X. On suppose que la variable X 4 admet une espérance. On
vers une V.a.d. X si :
pose pour tout n ∈ N∗ , Sn = X1 + · · · + Xn − n · E(X).
P
ω ∈ Ω | lim Xn (ω) = X(ω)
= 1.
1. Soit ε > 0. Montrer que :
n→+∞
Sn p.s.
1 E(Sn4 )
On note dans ce cas Xn −→ X.
∀n ∈ N, P > ε 6 4 ·
.
p.s.
p.s.
p.s.
n
ε
n4
Montrer que si Xn −→ X et Yn −→ Y , alors Xn + Yn −→
X + Y et idem avec le produit.
+∞
X
E(Sn4 )
2. Montrer que la série
, est convergente.
Exerie 85
n4
n=1
Soient p ∈]0, 1[, puis (Un )n∈N∗ une suite de variables mutuellimite lement indépendantes suivant
3. En déduire que l’événement : la
la loi B(p). On pose pour tout
X1 + · · · + Xn
∗
n
∈
N
,
Y
=
U
U
et
S
n
n n+1
n = Y1 + · · · + Yn .
lim
existe et vaut E(X) est
n→+∞
n
1. Déterminer la loi de Yn .
de probabilité égale à 1.
13
2. À quelle condition sur 1 6 n < m, les variables Yn et Ym Montrer que la fonction génératrice de SN vérifie :
sont-elles indépendantes ?
GSN = GN ◦ GX .
Sn
3. Calculer E(Yn Ym ) puis E
.
n
Exerie 90
4. Montrer qu’il existe une constante C telle que :
Une poule pond X œufs par jour, où X ∼ P(λ). Chaque œuf
∗
éclot avec probabilité égale à p ∈]0, 1[ et les éclosions sont indé∀n ∈ N , V (Sn ) 6 C n.
pendantes.
Soit K le nombre de poussins par jour.
Sn
5. Montrer que la suite de variables
converge en 1. Calculer la fonction génératrice de K.
n n∈N∗
2. En déduire que K suit encore une loi de Poisson, dont on préprobabilité vers une constante à préciser.
cisera le paramètre.
3. Retrouver directement ce résultat en évaluant P(K =
Fonctions génératrices
k | X = n).
Exerie 86 (⋆)
1. Quelle est la fonction génératrice de la loi uniforme U sur Exerie 91
{2, · · · , 12}.
Le temps discret de trajet d’un tramway suit la loi :
2. Soient X1 et X2 deux V.a.d. à valeurs dans {1, · · · , 6}.
λk
En étudiant les racines de GX1 GX2 , montrer que la loi de
∀k ∈ N∗ , P(X = k) = a k 2 .
k!
X1 + X2 n’est pas la loi U .
1. Calculer a, sachant que λ = 20.
3. Peut-on piper deux dés à six faces de façon à rendre équipro2. Déterminer GX .
bables toutes les sommes possibles ?
3. Calculer E(X) et V (X) de deux manières différentes (directement et avec GX ).
Exerie 87
Le temps d’attente suit la loi une loi géométrique de moyenne
Soient X0 , · · · , Xn des variables aléatoires indépendantes et de
10 minutes en période normale et de 5 minutes en période de
même loi définies sur un espace probabilisé (Ω, A , P).
pointe. En période de pointe, le temps discret de trajet suit la
Soit N : Ω → R une variable telle que N ∼ B(n, p), indépenloi :
dante des variables Xk .
µk
N
X
P(Y = k) = b 2
k
On pose U =
Xk .
avec µ = 25.
k=1
itU
Exprimer la fonction caractéristique
ϕ
(t)
=
E
e
,
en
foncU
4. Est-il plus rapide, en moyenne, de voyager en période de
tion de ψX0 (t) = E eitX0 .
pointe ?
Exerie 88
Soit (Xn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes et Exerie 92
de même loi B(p) définies sur un espace probabilisé (Ω, A , P). Soient X et Y indépendantes, avec X ∼ B(p) et Y ∼ P(λ).
Soit N : Ω → R une variable telle que N ∼ P(λ), indépen- On pose Z = X Y .
dante des variables Xn , avec λ > 0.
1. Déterminer la loi de Z.
N
X
2. Déterminer GZ .
Xk .
On pose V =
k=1
1. Calculer la fonction génératrice GV .
2. En déduire la loi de V .
Exerie 93
Soit X : Ω → N une variable aléatoire.
1. Déterminer en fonction de GX , les fonctions GX+1 et G2X .
3. Retrouver directement ce résultat.
2. Plus généralement, si a et b sont deux réels, déterminer GaX+b
à l’aide de la fonction GX .
3. Retrouver alors le fait que E(aX + b) = a E(X) + b et
V (aX + b) = a2 V (X).
Exerie 89
Soit (Xn )n∈N une suite de V.a.d. définies sur un espace probabilisé (Ω, A , P) à valeurs dans R, mutuellement indépendantes et
suivant la même loi que X : Ω → R.
Soit N : Ω → N une variable indépendante des Xn . On pose Exerie 94
2
SN = X0 + · · · + XN −1 .
Soit g : s 7→ a e1+s .
14
1. Déterminer a pour que g soit la fonction génératrice d’une
variable aléatoire X : Ω → N.
2. Déterminer alors la loi de X, puis E(X) et V (X).
Exerie 95
t
.
1 + t2
1. Déterminer a pour que g soit la fonction génératrice d’une
variable aléatoire X : Ω → N.
Soit g : t 7→ a
2. Déterminer alors la loi de X, puis E(X) et V (X).
X
3. Déterminer la loi de Y = .
2
Exerie 96
Soit p ∈]0, 1[, puis (X, Y ) un couple de V.a.d. telles que :
ln(1 − pst)
∀(s, t), G(X,Y ) (s, t) = E sX tY = ξ
.
1 − (1 − p)t
1. Calculer ξ.
2. Déterminer la loi marginale de X, puis E(X) et V (X).
3. Montrer que X et Y − X sont indépendantes.
4. Donner la loi de Y − X.
5. Donner la loi du couple (X, Y ).
15