Probabilités et variables aléatoires discrètes

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Probabilités et variables aléatoires discrètes
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Soit X: Ω →Rune variable aléatoire. On appelle
X, la fonction :
FX:R→R
x7→ P(X6x).
1. Montrer que la fonction FXest croissante et déterminer les
limites de FXen ±∞.
2. Montrer que la fonction FXest continue à droite. Est-elle
continue à gauche ?
3. Montrer que deux ont la même loi si et seulement si
elles ont la même fonction de répartition.
4. Exprimer à l’aide de la fonction FXles quantités suivantes :
P(2 6X < 4) et P(X>5).
Soit F:R→Rune fonction telle que :
•la fonction Fest continue à droite et croissante
•lim
−∞ F= 0 et lim +∞F= 1.
Pour tout u∈]0,1[, on pose :
G(u) = infnx∈R|F(x)>uo.
1. Vérifier que la fonction Gest bien définie sur ]0,1[.
2. Montrer que pour tout (x, u)∈R×]0,1[,F(x)>u⇐⇒
x>G(u).
3. Soit Uune variable aléatoire uniforme sur [0,1]. Quelle est la
fonction de répartition de la variable G(U)?
Un marchand de glace propose dix parfums au choix pour des glaces
en cornet. Trois enfants choisissent au hasard et indépendamment
un des parfums proposés.
1. Calculer la probabilité que les trois élèves choisissent des par-
fums tous différents.
2. Déterminer la loi et l’espérance de la variable Xégale au
nombre de parfums choisis par les trois enfants. Interpréter
le résultat.
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On considère une population Ωde 1000 habitants composée de 450
femmes et de 550 hommes.
Un laboratoire pharmaceutique teste trois médicaments, notés A,
Bet C. Voici les résultats :
•le médicament Aest efficace à 70% sur les hommes et 75%
sur les femmes
•le médicament Best efficace à 45% sur les hommes et 35%
sur les femmes
•le médicament Cest efficace à 90% sur les hommes et 25%
sur les femmes.
L’efficacité des médicaments est indépendante d’une personne à
l’autre.
1. On choisit au hasard une personne Pdans la population Ω.
(a) Quelle est la probabilité que le médicament Asoit effi-
cace sur cette personne P? Même question pour les deux
autres médicaments.
(b) On constate que le médicament Aest efficace sur la per-
sonne P. Quelle est la probabilité que la personne Psoit
une femme ?
(c) On constate que le médicament Bn’est pas efficace sur
la personne P. Quelle est la probabilité que la personne
Psoit un homme ?
2. On choisit deux personnes différentes P1et P2au hasard dans
la population Ω.
(a) Quelle est la probabilité que P1et P2soient de même
sexe ?
(b) Quelle est la probabilité que le médicament Csoit efficace
sur les deux personnes ?
(c) On constate que le médicament Aest efficace sur les deux
personnes. Quelle est la probabilité que les deux personnes
soient des hommes ?
(d) Sachant que P1est une femme et que P2est un homme,
⊲quelle est la probabilité que le médicament Bsoit ef-
ficace sur les deux personnes ?
⊲quelle est la probabilité que le médicament Cne soit
efficace que seulement sur une seule des deux personnes
P1ou P2?
3. On teste un médicament sur toute la population Ωchoisi de
manière équiprobable.
(a) On constate que le médicament est efficace sur tout le
monde. Quelle est la probabilité que ce médicament soit le
médicament Asoit le médicament B? soit le médicament
C?
(b) On constate que le médicament est efficace sur toutes les
femmes et inefficace sur tous les hommes. Déterminer les
probabilités que ce médicament soit le médicament A,B
ou C.
4. On utilise le médicament A.
(a) Quelle est la probabilité que le médicament soit effi-
cace sur exactement 300 hommes et sur exactement 400
femmes ?
(b) Quelle est la probabilité que le médicament soit inefficace
sur au moins deux personnes de la population Ω?

5. On prend une boîte de médicaments A,Bou Cavec une pro-
portion de 30% de médicaments A,50% de médicaments B
et donc de 20% de médicaments C. On choisit une personne
au hasard dans Ωet un cachet de médicament dans la boïte au
hasard. Quelle est la probabilité que le médicament soit efficace
sur la personne choisie ?
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Montrer que si Xest une dans L1(Ω) avec E(|X|) = 0,
alors X= 0 presque sûrement.
|X|>1
n
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On considère un triangle ABC et une marche aléatoire sur les som-
mets de ce triangle.
À l’instant n= 0, le marcheur est en A.
À une étape n,
•si le marcheur est en A, il va en Bavec une probabilité 1
3et
en Cavec une probabilité 2
3
•si le marcheur est en B, il va en Aavec une probabilité 1
2et
en Cavec une probabilité 1
2
•si le marcheur est en C, il va en Aavec une probabilité 1
2et
en Bavec une probabilité 1
2
On note an,bnet cnles probabilités que le marcheur soit respecti-
vement en A, en Bou en Cà l’étape n.
1. Déterminer les relations de récurrence reliant ces probabilités.
2. Déterminer la matrice Massociée à ces relations.
3. Déterminer an, bnet cnen fonction de n.
4. Calculer lim
n→+∞an,lim n→+∞bnet lim n→+∞cn.
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Soient (Ω,A,P)un espace probabilisé, puis (An)n∈Nune suite
d’événements.
1. Exprimer sous forme d’intersections ou de réunions d’événe-
ments An, les événements suivants :
•B=An
•C=An
2. On suppose que
+∞
X
n=0
P(An)est convergente. Montrer que
P(C) = 0.
3. On suppose que la série
+∞
X
n=0
P(An)est divergente et que les
événements Ansont mutuellement indépendants. Montrer que
P(C) = 1.
4. Un singe immortel devant un ordinateur tape aléatoirement
sur les touches. Montrer qu’à un moment donné, il écrira exac-
tement l’énoncé de cet exercice.
Un canal de transmission transmet des bits avec erreur selon le mo-
dèle suivant : il transmet fidèlement un bit avec probabilité pet de
façon erronée avec probabilité 1−pavec p∈]0,1[. On considère
ncanaux en série, et que chaque canal fonctionne indépendamment
des autres. On note Xkle bit reçu en sortie du k`eme canal et X0
le bit à l’entrée du premier canal. On désire calculer la probabilité
qu’au bout des ncanaux, le signal reste inchangé.
1. Que vaut P(Xk+1 = 1 |Xk= 0) et P(Xk+1 = 1 |Xk=
1) ?
2. Posons An=P(Xn= 1)
P(Xn= 0) .
Étudier la suite (An)n∈N.
3. En déduire la probabilité qu’un bit soit fidèlement transmis au
bout de ncanaux. Que dire de cette probabilité lorsque ntend
vers +∞?
Deux laboratoires pharmaceutiques proposent chacun leur vaccin
contre une maladie. On dispose des données suivantes :
•un quart de la population a utilise le vaccin Aet un cinquième
le vaccin B
•lors d’un épidémie, on constate que sur 1000 malades, 8ont
utilisé le vaccin Aet 6le vaccin B.
On choisit un indiviu au hasard et on note :
⊲M: « l’individu est malade »
⊲V: « l’individu est vacciné ».
On appelle le nombre :
λ=probabilité qu’un individu non vacciné soit malade
probabilité qu’un individu vacciné soit malade
1. Calculer λpour chaque vaccin Aou B.
2. Conclusion ?
Soient A1,···, An,névénements dans un espace probabilisé
(Ω,A,P). Montrer que :
P n
\
k=1
Ak!>
n
X
k=1
P(Ak)−(n−1).
Soit X: Ω →Nune admettant une espérance finie non
nulle m. Montrer que :
∀λ > 0,P(X>λ m)61
λ.

On jette trois fois un dé à six faces. On obtient ainsi les trois coef-
ficients a,bet cd’un polynôme P(X) = aX2+bX +c.
1. Quelle est la probabilité que P(X)admette deux racines
réelles ?
2. Quelle est la probabilité que P(X)admette une racine
double ?
3. Quelle est la probabilité que P(X)soit irréductible dans
R[X]?
Deux joueurs Aet Bse lancent un défi. Les joueurs vont lancer un
dé à 10 faces chacun à leur tour en commençant par A.
Si Atire un nombre supérieur à 5, il gagne. Si Btire un nombre
supérieur à 4, il gagne.
Quelle est la probabilité que Agagne dans ce jeu ?
Une maladie affecte statistiquement une personne sur 1000. Un
test de dépistage permet de détecter la maladie avec une fiabilité de
99%, mais il y a 0.2% de chances que le test donne un faux positif
(i.e. une personne est déclarée malade sans l’être).
1. Une personne est testée positivement. Quelle est la probabilité
qu’elle soit réellement malade ?
2. Une personne est testée négativement. Quelle est la probabilité
qu’elle soit quand même malade ?
Dans une urne contenant nboules blanches et nboules noires, on
effectue ntirages de deux boules simultanément et sans remise.
1. Quelle est la probabilité pnque tous les tirages soient bico-
lores ?
2. Quelle est la probabilité qnque tous les tirages soient unico-
lores ?
3. Montrer que pour tout n∈N∗,22n−1
n62n
n64n.
4. Calculer lim
n→+∞pnet lim n→+∞qn. Interprétation ?
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Soit X: Ω →Rune admettant un moment fini d’ordre
2.
1. Montrer que Xa une espérance finie.
2. Montrer les inégalités :
|E(X)|6E(|X|)et E(X)26EX2.
3. Que peut-on dire de Xsi on a égalité ?
Soit X: Ω →Rune variable aléatroire finie admettant une
espérance finie.
Montrer que l’application f:a7→ E(|X−a|)est polygo-
nale, continue et admet un minimum atteint en un point a0tel que
P(X < a0)61
26P(X6a0).
Une usine fabrique des pièces, avec une proportion de 5% de pièces
défectueuses. Le contrôle des fabrications est tel que :
•si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 96%.
•si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité
98%.
On choisit une pièce au hasard et on la contrôle.
1. Quelle est la probabilité qu’il y ait une erreur de contrôle ?
2. Quelle est la probabilité qu’une pièce acceptée soit mauvaise ?
Une information est transmise à l’intérieur d’une population. Avec
une probabilité égale à p, c’est l’information correcte qui est trans-
mise à chaque étape d’une personne à une autre. Avec une probabi-
lité 1−p, c’est l’information contraire qui est transmise. On note
pnla probabilité que l’information transmise après nétapes soit
correcte.
1. Déterminer pnen fonction de n.
2. Calculer lim
n→+∞pn. Interpréter.
Une particule se trouve à l’instant 0au point d’abscisse a∈
{0,···, N}sur un segment gradué de 0àN>1.
À chaque instant, elle fait un bond de +1 avec la probabilité p∈
0,1
2ou un bond de −1avec la probabilité q= 1 −p. Le
processus se termine lorsque la particule atteint une des extrémités
du segment.
1. Écrire un algorithme en pseudo-code qui simule cette marche
aléatoire.
2. On note uala probabilité pour que la particule partant de a,
le processus s’arrête en 0.
(a) Que vaut u0et uN?
(b) Montrer que si 0< a < N, alors ua=p ua+1 +
q ua−1.
(c) En déduire l’expression exacte de ua.
3. On note vala probabilité pour que la particule partant de a, le
processus s’arrête en N. Reprendre les questions précédentes.
4. Calculer ua+va. Que peut-on en déduire ?

Soit n>1un entier. On choisit de manière équiprobable un entier
pdans {1,···, n}.
Pour tout entier m∈ {1,···, n}, on note Aml’événement :
« l’entier mdivise p». On note enfin p1,···, prles diviseurs pre-
miers de n.
1. Exprimer l’événement B: « p∧n= 1 » en fonction des Apk.
2. Pour tout m∈ {1,···, n}, calculer P(Am).
3. Montrer que les événements Ap1,···, Aprsont mutuellement
indépendants.
4. Calculer P(B).
5. On note ϕ(n) = Card((Z/nZ)∗). Montrer la formule :
ϕ(n) = n
r
Y
k=1 1−1
pk.
Soit X: Ω →Rune variables aléatoire.
Soit I⊂Rtel que : ∀x∈I,P(X=x)>0. Montrer que I
est fini ou dénombrable et que ces deux cas sont possibles.
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Soient pet qdes réels dans ]1,+∞[tels que : 1
p+1 q= 1.
1. Montrer que si uet vsont des réels positifs ou nuls, alors :
u v 6up
p+vq q.
2. Soient u1,···, unet v1,···, vndes nombres complexes.
Montrer que :
n
X
k=1
|ukvk|6 n
X
k=1
|uk|p!1
p n
X
k=1
|vk|q!1
q
.
n
X
k=1
|uk|p=
n
X
k=1
|vk|q= 1
3. Soient X: Ω →Ret Y: Ω →Rdeux définies
sur un même espace probabilisé (Ω,A,P)et telles que Xet
Yadmettent des moments finis d’ordre pet d’ordre q.
Montrer l’inégalité de Hölder :
E(|X Y |)6(E(|X|p))1
p(E(|Y|q))1 q.
4. On identifie les dans Lp(Ω) avec leur classe d’équiva-
lence modulo la relation « être presque sûrement égal à ».
Montrer que sur Lp(Ω), l’application k · kp:X7→
(E(|X|p))1
pest une norme.
λ|u+v|p6λ|u| |u+v|p−1+λ|v| |u+v|p−1
On joue à « pile » ou « face » avec une pièce non équilibrée. Cette
pièce a deux fois plus de chance de produire « pile ». Les lancers
sont supposés indépendants.
1. On note Xle nombre de lancers nécessaires pour obtenir pour
la première fois « pile-face » consécutivement. Calculer la loi
de Xpuis E(X).
2. Soit r∈N∗. On note Yle nombre de lancers nécessaires pour
obtenir rfois « pile »au cours des lancers. Calculer la loi de Y
puis E(Y).
Une rampe verticale de spots nommés de bas en haut S1,S2,S3,
S4change d’état de la manière suivante :
•à l’instant t= 0, le spot S1est allumé.
•si, à l’instant t=n, (où n∈N∗), le spot S1est allumé, alors
un (et un seul) des spots S1,S2,S3,S4s’allume à l’instant
t=n+ 1, et ceci de manière équiprobable.
•si, à l’instant t=n, le spot Skpour k∈ {2,3,4}est
allumé, le spot Sk−1s’allume à l’instant t=n= 1.
On pourra remarquer qu’à chaque instant, un et un seul spot est
allumé. On note Xla variable aléatoire représentant le premier ins-
tant (s’il existe) où le spot S2s’allume, et +∞sinon.
1. Calculer la probabilité pour que le spot S1reste constamment
allumé jusqu’à l’instant n.
2. Calculer la probabilité des événements (X= 1) et (X= 2).
3. Calculer la probabilité des événements (X=n), pour n>3.
4. Déterminer l’espérance de X.
Soit n>2. On considère deux indépendantes X1
et X2définies sur (Ω,A,P)et suivant la loi uniforme sur
{1,2,···, n}. On fixe un entier a∈ {1,···, n}et on pose :
∀ω∈Ω, Y (ω) = X1(ω), si X2(ω)6a
X2(Ω), sinon .
1. Déterminer la loi de Y.
2. Calculer E(Y)et la comparer avec E(X1).
3. Pour quelles valeurs de a, la quantité E(Y)est-elle maxi-
male ?
Pour toute X: Ω →Rprenant un nombre fini de valeurs,
on définit l’entropie de Xpar :
H(X) = −X
x∈X(Ω)
P(X=x) ln(P(X=x)),
avec la convention 0 ln 0 = 0.
1. Calculer H(X)lorsque Xest constante.

2. Déterminer H(X)lorsque Xest équidistribuée.
3. Trouver la valeur maximale de H(X)lorsque Xdécrit toutes
les variables aléatoires prenant au maximum nvaleurs pos-
sibles.
On dispose d’une urne contenant Nboules indiscernables au tou-
cher et numérotées de 1àN. On effectue à partir de cette urne,
ntirages successifs d’une boule, avec remise, et on note Xle plus
grand nombre obtenu.
1. Que vaut P(X6k)? En déduire la loi de X.
2. Calculer E(X).
3. Calculer lim
N→+∞
1
N
N−1
X
k=0 k
Nn
.
4. En déduire la valeur de lim
N→+∞
E(X)
N.
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Soit X: Ω →Zune définie sur un espace probabilisé
(Ω,A,P). On définit la
Xpar la fonction ϕX:t7→ EeitX .
1. Montrer que la fonction ϕXest définie et continue sur R.
2. Soit x0∈X(Ω). Montrer que 1
2πZ2π
0
ϕX(t)e−itx0dt =
P(X=x0).
3. En déduire que deux à valeurs entières ont la même loi
si et seulement si elles ont même fonction caractéristique.
4. On suppose que Xest dans L2(Ω). Calculer E(X)et V(X)
à l’aide de la fonction caractéristique.
Un fumeur essaie de réduire sa consommation. On admet qu’il fonc-
tionne toujours selon les conditions suivantes :
•s’il reste un jour sans fumer, il fume le lendemain avec une
probabilité de 40%
•s’il fume un jour, il fumera le lendemain avec une probabilité
de 20%.
On note pnla probabilité qu’il fume le n`eme jour.
1. Calculer pnen fonction de p1.
2. Calculer lim
n→+∞pn.
3. Interpréter le résultat.
Certains gènes peuvent avoir deux états : D(allèle dominant) et r
(allèle récessif). Les couples de gènes sur des paires de chromosomes
n’ayant pas forcément les mêmes allèles, un individu peut avoir l’un
des trois génotypes suivants : DD,Dr ou rr.
Lors d’un appariement entre deux individus, l’enfant récupère un
allèle de chacun de ses deux parents.
Si l’un des parents a le génotype DD et l’autre Dr, l’enfant sera
de type DD ou Dr avec des probabilités de 1
2.
Si l’un des parents a le génotype Dr et l’autre Dr, l’enfant sera
de type DD,Dr ou rr avec des probabilités respectives de 1
4,1 2
et 1
4.
On note pn,qnet rn, les proportions des génotypes DD,Dr et rr
de la génération n.
1. Donner les formules de récurrence pour pn,qnet rn.
2. Donner la matrice Aassociée à cette relation de récurrence.
3. Que peut-on dire des suites (pn)n∈N,(qn)n∈Net (rn)n∈N?
Un industriel fabrique des tablettes de chocolat. Pour promouvoir
la vente, il décide d’offrir des places de cinéma dans la moitié des
tablettes. Parmi les tablettes gagnantes, 60% permettent de gagner
une place de cinéma et 40% exactement deux places de cinéma.
On note Xla variable aléatoire indiquant le nombre de places de
cinéma gagnées.
1. Déterminer la loi de X,E(X),V(X)et la fonction généra-
trice GX(·).
2. Soit n∈N∗. Un client achète ntablettes de chocolat. On
note Yle nombre de places de cinéma gagnées. Reprendre les
calculs de la question 1).
Un joueur lance une pièce de monnaie donnant « pile « (en abrégé
Pet Fpour « face ») avec une probabilité égale à p∈]0,1[.
On note Xle nombre de lancers nécessaires pour qu’il obtienne
PPF pour la première fois.
1. Déterminer la loi de X, puis E(X)et V(X).
On lance une fois la pièce et on obtient P.
2. Sachant cet événement, reprendre la question 1).
Soient net pdans N∗.
Une urne contient nboules blanches, 2nboules noires et une boule
rouge.
Un joueur tire un nombre au hasard entre 1et p, avec équiprobabi-
lité. On note Xle nombre tiré.
1. Déterminer la loi de X,E(X)puis V(X).
2. Le joueur peut alors tirer avec remise Xboules de l’urne. On
note Yle nombre de boules rouges obtenues. Déterminer la loi
de Y.
3. Reprendre la question 2) avec des tirages ans remise, lorsque
16p62n+ 1.