La fiche de cours de M. Haguet

Le calcul littéral
1) Règles d'écritures (simplifications)
a) le signe
×
°
Le signe
×
n'est pas obligatoire entre un nombre et une lettre.
°
Le signe
×
n'est pas obligatoire entre deux lettres.
Exemples :
x×y=xy
3×a=3a
6×a×b=6ab
4x
×
3y = 4
×
x
×
3
×
y = 4
×
3
×
x
×
y =12 xy
°
cas particulier: 1
×
x = 1 x = x -1
×
x = -1x = -x
b) notation puissances
définition : soit
x
un nombre relatif et
n
un entier positif non nul.
Alors
xn
=
x×x×x××x
exemples :
x4=x×x×x×x
25
= 2
×
2
×
2
×
2
×
2
×
2 = 64
−3
3
=(-3)
×
(-3)
×
(-3) = -27
−3
4
= (-3)
×
(-3)
×
(-3)
×
(-3) = 81
règle de calcul : soit
x
un nombre relatif et
m
et
n
deux entiers positifs non nuls.
xm×xn
=
xmn
(
xn
xm
=
x×x×x××x
×
x×x×x××x
=
xmn
)
x2×x3=x23=x5
103×105=108
convention :
x0=1
x1=x
(100 = 1 50 = 1 54890 = 1 101 = 10 51 = 5 54891 = 5489)
récapitulatif : soit
x
un nombre relatif et
m
et
n
deux entiers positifs .
xn
=
x×x×x××x
x0=1
x1=x
xm×xn
=
xmn
2) Utilisation de la calculatrice
3) Réduire une expression
Définition : Réduire une expression littérale, c'est rassembler tous les termes constitués des mêmes lettres.
Exemples :
A = 2x² + 3x – 9 + 5x² – 7x + 2 B = 3x + 2y – 8 + 2xy – 5x +3y – 4
A = 2x² + 5x² + 3x – 7x – 9 + 2 B = 3x – 5x + 2y + 3y + 2xy – 8 – 4
A = 7x² – 2 x – 7 B = – 2x + 5y + 2xy – 12
n facteurs x
n facteurs xm facteurs x
n facteurs x

4) Développement (distributivité)
a) Simple développement
Soit k,a et b 3nombres (ou lettres)
k× ab =k×ak×b
AABCD = AD
×
AB AABCD = AAEFD + AEBCF
= k
×
( a + b ) = k
×
a + k
×
b
k× a−b =k×a−k×b
AAEFD = AD
×
DF AAEFD = AABCD – AEBCF
= k
×
( a – b ) = k
×
a – k
×
b
Exemples : 3 (2x – 5) = 3
×
2x – 3
×
5 4x (2x + 4) = 4x
×
2x + 4x
×
4 2x (x² + 6x – 7) = 2x
×
x² + 2x
×
6x – 2x
×
7
= 6x – 15 = 8x² + 16x = 2x3 + 12x² – 14x
b) double développement
Soit a, b, c et d 4 nombres , alors on a :
ab × cd =ac ad bc bd
AABCD = AB
×
AD
= (a + b)
×
(c + d)
AABCD = AAEOH + AHOGD + AEBFO + AOFGC
= ac + ad + bc + bd
Exemples :
A = (2x + 4) (3x + 5)
A = 2x
×
3x + 2x
×
5 + 4
×
3x + 4
×
5
A = 6x² + 10x + 12x + 20
A = 6x² + 22x + 20
B = (-2x – 5) (-x +3)
B = -2x
×
(-x) – 2x
×
(+3) – 5
×
(-x) – 5
×
(+3)
B = 2x² – 6x + 5x – 15
B = 2x² – x – 15
c) suppression des parenthèses
°
Précédée d'un « + » : Si une expression entre parenthèses est précédée d'un signe "+" (et non suivie d'une
×
ou
÷
), on
peut supprimer les parenthèses et le signe + sans rien changer.
°
Précédée d'un «
−
» :Si une expression entre parenthèses est précédée d'un signe "–" (et non suivie d'une
×
ou
÷
), on
peut supprimer les parenthèses et le signe – à la condition de changer le signe de tous les termes situés
à l'intérieur des parenthèses.
°
Exemples :
A = 2x² – 3x + 5 – (-5 x² + 2x – 3)
A = 2x² – 3x + 5 + 5 x² – 2x + 3
A = 2x² + 5 x² – 3x – 2x + 5 + 3
A = 7x² – 5x + 8
B = 3a + 2b + ( 5a – b)
B = 3a + 2b + ( +5a – b)
B = 3a + 2b – 5a + b
B = -2a + 3b
C = 3x (2x – 4) – (3x² – 5x + 3)
C = 3x (2x – 4) – (+3x² – 5x + 3)
C = 6x² – 12x – 3x² + 5x – 3
C = 3x² – 7x – 3
k
a
b
AB
CD
E
F
k
a b
AB
CD
E
F
c
a b
AB
CD
E
G
d
OF
H

5) Réduire une somme (ou différence) de 2 produits
Exemple : Développer et réduire
A = 3x (2x – 1) – (5 – 2x ) (x + 2)
A = [3x (2x – 1)] – [(5 – 2x ) (x + 2)]
A = [6x² – 3x ] – [ 5x + 10 – 2x² – 4x]
A = (6x² – 3x) – ( -2x² + x + 10)
A = 6x² – 3x + 2x² – x – 10
A = 8x² – 4x – 10
1- On développe les produits (sans oublier de mettre les développements entre parenthèses)
2- On supprime les parenthèses
3- On réduit l'expression