Le calcul littéral 1) Règles d'écritures (simplifications) a) le signe × ° Le signe × n'est pas obligatoire entre un nombre et une lettre. ° Le signe × n'est pas obligatoire entre deux lettres. x × y = xy Exemples : 3× a= 3 a ° cas particulier: 1 × x = 1 x = x 6× a× b= 6 ab 4x × 3y = 4 × x × 3 × y = 4 × 3 × x × y =12 xy -1 × x = -1x = -x b) notation puissances définition : soit x un nombre relatif et n un entier positif non nul. Alors x n = x × x × x × × x n facteurs x 4 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 64 exemples : x = x × x × x× x −33 =(-3) × (-3) × (-3) = -27 −34 = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) = 81 règle de calcul : soit x un nombre relatif et m et n deux entiers positifs non nuls. x m × x n = x m n ( x n x m = x × x × x × × x × x × x × x × × x = x m n ) n facteurs x x 2 × x3 = x 2 3 = x 5 convention : x 0 = 1 x 1 = x m facteurs x 10 3 × 10 5 = 10 8 (100 = 1 50 = 1 54890 = 1 101 = 10 51 = 5 54891 = 5489) récapitulatif : soit x un nombre relatif et m et n deux entiers positifs . x n = x × x × x × × x x0= 1 x1= x n facteurs x x m × x n = x m n 2) Utilisation de la calculatrice 3) Réduire une expression Définition : Réduire une expression littérale, c'est rassembler tous les termes constitués des mêmes lettres. Exemples : A = 2x² + 3x – 9 + 5x² – 7x + 2 A = 2x² + 5x² + 3x – 7x – 9 + 2 A = 7x² –2x – 7 B = 3x + 2y – 8 + 2xy – 5x +3y – 4 B = 3x – 5x + 2y + 3y + 2xy – 8 – 4 B = – 2x + 5y + 2xy – 12 4) Développement (distributivité) a) Simple développement B E A Soit k,a et b 3nombres (ou lettres) k k ×a b= k ×a k ×b D a b F C AABCD = AAEFD + AEBCF = k ×a + k ×b AAEFD = AD × DF = k × (a–b) AAEFD = AABCD – AEBCF = k×a – k×b B E A AABCD = AD × AB = k × (a+b) k k ×a −b= k ×a− k ×b D F b C a Exemples : 3 (2x – 5) = 3 × 2x – 3 × 5 = 6x – 15 4x (2x + 4) = 4x × 2x + 4x × 4 = 8x² + 16x 2x (x² + 6x – 7) = 2x × x² + 2x × 6x – 2x × 7 = 2x3 + 12x² – 14x b) double développement Soit a, b, c et d 4 nombres , alors on a : E A H AABCD = AB × AD = (a + b) × (c + d) B c F O AABCD = AAEOH + AHOGD + AEBFO + AOFGC = ac + ad + bc + bd d D a G a b × c d = ac ad bc bd b C Exemples : A = (2x + 4) (3x + 5) A = 2x × 3x + 2x × 5 + 4 × 3x + 4 × 5 A = 6x² + 10x + 12x + 20 A = 6x² + 22x + 20 B = (-2x – 5) (-x +3) B = -2x × (-x) – 2x × (+3) – 5 × (-x) – 5 × (+3) B = 2x² – 6x + 5x – 15 B = 2x² – x – 15 c) suppression des parenthèses ° Précédée d'un « + » : Si une expression entre parenthèses est précédée d'un signe "+" (et non suivie d'une × ou ÷ ), on peut supprimer les parenthèses et le signe + sans rien changer. ° Précédée d'un « − » :Si une expression entre parenthèses est précédée d'un signe "–" (et non suivie d'une × ou ÷ ), on peut supprimer les parenthèses et le signe – à la condition de changer le signe de tous les termes situés à l'intérieur des parenthèses. ° Exemples : A = 2x² – 3x + 5 – (-5 x² + 2x – 3) A = 2x² – 3x + 5 + 5 x² – 2x + 3 A = 2x² + 5 x² – 3x – 2x + 5 + 3 A = 7x² – 5x + 8 B = 3a + 2b + ( 5a – b) B = 3a + 2b + ( +5a – b) B = 3a + 2b – 5a + b B = -2a + 3b C = 3x (2x – 4) – (3x² – 5x + 3) C = 3x (2x – 4) – (+3x² – 5x + 3) C = 6x² – 12x – 3x² + 5x – 3 C = 3x² – 7x – 3 5) Réduire une somme (ou différence) de 2 produits Exemple : Développer et réduire A = 3x (2x – 1) – (5 – 2x ) (x + 2) A = [3x (2x – 1)] – [(5 – 2x ) (x + 2)] A = [6x² – 3x ] – [ 5x + 10 – 2x² – 4x] A = (6x² – 3x) – ( -2x² + x + 10) A = 6x² – 3x + 2x² – x – 10 A = 8x² – 4x – 10 1- On développe les produits (sans oublier de mettre les développements entre parenthèses) 2- On supprime les parenthèses 3- On réduit l'expression