Variables Aléatoires à Densité
publicité
Variables Aléatoires à Densité De la densité 1. Soit f (t) = 2t si t 2 [0; 1] et 0 sinon. a) Montrer que f est une densité b) Déterminer P (X > 0:5) c) Déterminer la fonction de répartition associée. 2. Soit f (t) = ln (t) si 0 t 1 et 0 ailleurs. Déterminer pour que f soit une densité de probabilité. Soit X de densité f: Déterminer P (X 2 < 1) : Déterminer la fonction de répartition de X: 3. Soit X une variable aléatoire de densité f telle que : f (x) = 3x x<1 4 si x 1 et f (x) = 0 si a) Déterminer sa fonction de répartition. b) Calculer PX>a (X < x) avec a; x 2 R Fonction de répartition 4. Soit F dé…nie par F (x) = 1=x si x < 1 et 1 si x 1: Montrer que F est une fonction de répartition de variable aléatoire à densité. En déterminer une densité. Calculr P (X > 3) et P (X < 1) p 5. Soit F (x) = 0 si x 0 et F (x) = x si x 2 [0; 1] et F (x) = 1 si x 1 Montrer que F est une fonction de répartition de variable aléatoire à densité. Fonction d’une variable aléatoire 6. Soit X une variable aléatoire ayant une densité f continue sur R. Déterminer une densité de Y = eX . 7. X a une densité de probabilité f dé…nie par : f (x) = xe x 2=2 si x 0 et f (x) = 0 si x < 0 a) Véri…er que f est une densité de probabilité. b) Montrer que Y = X 2 est une variable aléatoire à densité et en donner une densité. 8. X suit la loi uniforme sur [ 1; 2]. Déterminer la loi de Y = X 2 . Espérance 9. a; ; sont des constantes véri…ant : a > 0 et > 1: f est la fonction dé…nie par : f (x) = a) Calculer si x a et f (x) = 0 si x < a x pour que f soit la densité d’une variable aléatoire X. b) Calculer les moments d’ordre r de X, lorsqu’ils existent. 10. Soit f (x) = 3x2 si x 2 [0; 1] et 0 sinon. a) Montrer que f est une densité. Soit X de densité f: b) Montrer que X a une espérance et une variance et les calculer. Loi Normale 11. Soit X une variable suivant la loi N (5; 2). Calculer : P (X < 6); P (X > 2); P (j X Variables aléatoires à densité 4 j< 3) Page 1/8 12. Calculer I = R +1 1 x2 e (x 1) 2=2 dx en posant t = x 1 et en utilisant la loi N (0; 1). 13. On suppose que Y suit la loi normale N (m; v) et X = eY a) Exprimer la fonction de répartition de X en fonction de m; v et de la fonction de répartition de ' de la loi normale centrée réduite. b) En déduire une densité de X. 14. Soit X une variable suivant la loi normale centrée réduite. Montrer que Z =j X jest une variable aléatoire à densité et en donner une densité, l’espérance et la variance. Opérations spéciales 15. Soit a 2 R+ et soient X et Y deux variables aléatoires uniformes sur [0; a] indépendantes. On pose U = sup(X; Y ) et V = inf(X; Y ). Déterminer les lois de U et V . 16. X suit une loi uniforme sur [0,1]. Déterminer les lois de : U = sup(X; 1 X) et V = inf(X; 1 X) Montrer que U est à densité et déterminer une densité et l’espérance.. Comment montrer que V est à densité ? Calculer U + V et en déduire l’espéance de V . 17. X suit la loi exponentielle de paramètre . On note Y la partie entière de X, et Z = X Y. a) Déterminer Y ( ):Y est-elle une variable à densité ? Déterminer la loi de Y . Reconnaître la loi de Y + 1. b) Calculer P (Z x=Y = k) pour k 2 [[0; +1[[ c) En déduire la fonction de répartition de Z. Montrer que Z est une variable à densité. d) Calculer l’espérance de X et Y . En déduire l’espérance de Z. e) Retrouver E(Z) en utilisant une densité de Z EDHEC 2010 (fonction d’une VAD, simulation) 8 < 1 On considère la fonction f dé…nie sur R par : f (x) = 2x2 :0 1. si x 1 ou x 1 .[1)] sinon a) Véri…er que f est une fonction paire. b) Montrer que f peut être considérée comme une fonction densité de probabilité. Dans la suite, on considère une variable aléatoire X dé…nie sur un espace probabilisé ( ; A; P ), admettant f comme densité. On note FX la fonction de répartition de X. 2. La variable aléatoire X admet-elle une espérance ? 3. On pose Y = ln(jXj) et on admet que Y est une variable aléatoire, elle aussi dé…nie sur l’espace probabilisé ( ; A; P ). On note FY sa fonction de répartition. a) Montrer que, pour tout réel x, on a : FY (x) = FX (ex ) FX ( ex ). b) Montrer, sans expliciter la fonction FY , que Y est une variable aléatoire à densité, puis donner une densité de Y et véri…er que Y suit une loi exponentielle dont on donnera le paramètre. c) Montrer que, si x est positif, alors 1 e x appartient à [0; 1[ et montrer que, si x est strictement négatif, alors 1 e x est strictement négatif. Variables aléatoires à densité Page 2/8 d) On considère une variable aléatoire U suivant la loi uniforme sur [0; 1[. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire Z = ln(1 U ) et reconnaître la loi de Z. e) Simulation informatique de la loi de Y . On rappelle qu’en Turbo Pascal, la fonction random permet de simuler la loi uniforme sur [0; 1[. Compléter la déclaration de fonction suivante pour qu’elle simule la loi de Y . Function expo :real ; Begin expo := --------- ; End ; EML 2008 (fct d’une VAD, interprètation) Les parties I et II sont indépendantes. Partie I : Étude d’une variable aléatoire 1. Soit h la fonction dé…nie sur l’intervalle [0; 1] par : 8x 2 [0; 1] ; h (x) = x 2 x a) Montrer que h est une bijection de [0; 1] sur [0; 1] et, pour tout y 2 [0; 1], exprimer h 1 (y) : b) Déterminer deux réels R1 c) Calculer 0 h (x) dx. et véri…ant : 8x 2 [0; 1] ; h (x) = + 2 x 2. Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle [0; 1] a) Donner l’espérance et la variance de la variable aléatoire X. b) Pour tout réel y de [0; 1] déterminer la probabilité de l’événement c) Montrer que la variable aléatoire Y = de Y: X 2 X X 2 X y admet une densité et déterminer une densité d) Montrer que Y admet une espérance E (Y ) et déterminer - Partie II : Étude d’un temps d’attente Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Une réunion est prévue entre n invités que l’on note I1 ; I2 ; In . Chaque invité arrivera entre l’instant 0 et l’instant 1. Pour tout entier k tel que 1 k n, on modélise l’instant d’arrivée de l’invité Ik par une variable aléatoire Tk de loi uniforme sur l’intervalle [0; 1]. On suppose de plus que, pour tout réel t, les n événements (T1 t), (T2 t), (Tn t), sont indépendants. 1. Soit un réel t appartenant à [0; 1]. Pour tout entier k tel que 1 k variable aléatoire de Bernoulli prenant la valeur 1 si l’événement (Tk valeur 0 sinon. On note St = B1 + B2 + + Bn : Variables aléatoires à densité n, on note Bk la t) est réalisé et la Page 3/8 a) Que modélise la variable aléatoire St ? b) Déterminer la loi de la variable aléatoire St . 2. Soit R1 la variable aléatoire égale à l’instant de la première arrivée. a) Soit un réel t appartenant à [0; 1]. Comparer l’événement (R1 > t) et l’événement (St = 0) b) Montrer que la variable aléatoire R1 admet une densité et en déterminer une. 3. Soit R2 la variable aléatoire égale à l’instant de la deuxième arrivée. Montrer que la variable aléatoire R2 admet une densité et en déterminer une. EDHEC 2007 (Normale, covariance) On admet que si Z1 et Z2 sont deux variables aléatoires à densité, dé…nies sur le même espace probabilisé, alors leur covariance, si elle existe, est dé…nie par : Cov (Z1 ; Z2 ) = E (Z1 Z2 ) E (Z1 ) E (Z2 ) On admet également que si Z1 et Z2 sont indépendantes alors leur covariance est nulle. On considère deux variables aléatoires réelles X et U dé…nies sur le même espace probabilisé ( ; A; P) ; indépendantes, X suivant la loi normale N (0; 1) et U suivant la loi discrète uniforme sur f 1; 1g : On pose Y = U X et on admet que Y est une variable aléatoire à densité , dé…nie elle aussi sur l’espace probabilisé ( ; A; P) : 1. a) En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que : P (Y x) = P ([U = 1] \ [X 1] \ [X x]) + P ([U = x]) b) En déduire que Y suit la même loi que X: 2. a) Calculer l’espérance de U puis montrer que E (XY ) = 0 b) En déduire que Cov (X; Y ) = 0. 3. a) Rappeler la valeur de E (X 2 ) et en déduire que R +1 0 b) Montrer, grace à une intégrationpar parties que Z A x2 8A 2 R+ : x4 e 2 dx = A3 e x2 e A2 2 x2 2 +3 0 R +1 Z = 1 2 p A x2 e 2 x2 2 dx 0 3p 2 : 2 d) Etablir …nalement que X possède un moment d’ordre 4 et que E (X 4 ) = 3 c) En déduire que l’intégrale 4. 0 x4 e x2 2 dx converge et vaut a) Véri…er que E (X 2 Y 2 ) = 3 b) Déterminer Cov (X 2 ; Y 2 ) c) En déduire que X 2 et Y 2 ne sont pas indépendantes. Montrer alors que X et Y ne le sont pas non plus. d) Cet exercice a permis de montrer qu’un résultat classique concernant les variables discrètes est encore valable pour les variabales à densité. Lequel ? Variables aléatoires à densité Page 4/8 EML 2006 (loi Normale, limite centrée) Partie A 1. Soit U une variable aléatoire à densité suivant une loi normale d’espérance nulle et de variance 12 a) Rappeler une densité de U b) En utilisant la dé…nition de la variance de U; montrer que l’intégrale p Z +1 2 x2 convergente et que x e dx = 4 0 Z +1 x2 e x2 dx est 0 8x 0; F (x) = 0 2 8x > 0; F (x) = 1 e x 2. Montrer que la fonction F dé…nit une fonction de répartition de variable aléatoire dont on déterminera une densité f: 3. Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité. p a) Montrer que X admet une espérance E (X) et que E (X) = : 2 b) Déterminer, pour tout réel y; la probabilité P (X 2 y) : On distinguera les cas y 0 et y > 0: c) Montrer que la variable aléatoire X 2 suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre. En déduire que X admet une variance V (X) et calculer V (X) Soit F la fonction dé…nie sur R par : Partie B 1. Soit Z une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p: Ainsi, pour tout k 2 N ; P (Z = k) = p (1 p)k 1 Rappeler la valeur de l’espérance E (Z) et celle de la variance V (Z) de la variable aléatoire Z: 2. Soient un entier n supérieur ou égal à 2; et n variables aléatoires indépendantes Z1 , Z2 , : : : , Zn , suivant toutes le loi géométrique de paramètre p: 1 + Zn ) : on considère la variable aléatoire Mn = (Z1 + Z2 + n a) Déterminer l’espérance m et l’écart-type n de Mn Z 1 x2 b) Montrer que lim P (0 Mn m e 2 dx n ) existe et exprimer sa valeur à l’aide de n!+1 0 EML 2003 (min, max, espérance) Z +1 1 p dx est convergente et calculer sa valeur. x x 2 8 < f (x) = 0 si x < 2 1 1. Soit f : R ! R la fonction dé…nie par : si x > 2 : f (x) = p x 2x Montrer que f dé…nit une densité de probabilité. Montrer que l’intégrale Variables aléatoires à densité Page 5/8 2. Soit X une variable aléatoire réelle admettant f pour densité. a) Déterminer la fonction de répartition de X. b) La variable aléatoire X admet-elle une espérance ? On considère trois variables aléatoires indépendantes T1 , T2 et T3 , chacune de même loi que X. 3. On condidère la variable aléatoire U = inf (T1 ; T2 ; T3 ) dé…nie par : 8t 2 R; (U > t) = (T1 > t) \ (T2 > t) \ (T3 > t) a) Déterminer la fonction de répartition G de U . b) Montrer que U admet une densité et déterminer une densité g de U . c) Montrer que U admet une espérance et calculer E (U ). 4. On considère la variable aléatoire V = sup (T1 ; T2 ; T3 ) dé…nie par : 8t 2 R; (V 6 t) = (T1 6 t) \ (T2 6 t) \ (T3 6 t) a) Déterminer la fonction de répartition H de V . b) Montrer que V admet une densité et déterminer une densité h de V . c) La variable aléatoire V admet-elle une espérance ? ESC 2001 (série/intégrale, partie entière) 1. On pose pour tout entier naturel n non nul l’intégrale : In = Z 1 Z +1 ln (t) dt tn A ln (t) dt et en déduire que I1 est divergente. t 1 b) Montrer grâce à une intégration par parties que pour tout entier n 2, l’intégrale In 1 converge et vaut (n 1)2 ln (t) c) Etudier les variations de la fonction f dé…nie sur [2; +1[ par f (t) = 2 t p et donner sa limite en +1. (On donne e 1; 65) +1 X ln (k) d) En déduire grâce à I2 , que converge (On ne cherchera pas à calculer cette série). 2 k k=2 a) Calculer pour A 1 l’intégrale ( 0 si t < 1 4 ln (t) si t 1 t3 a) Montrer que g est continue sur R et constitue une densité de probabilité. ( On utilisera les résultats de la question 1(b).) On nomme dans toute la suite X une variable aléatoire admettant la densité g. 2. On considère la fonction g dé…nie sur R par : b) Etudier l’existence et la valeur éventuelles de l’espérance E (X). Variables aléatoires à densité Page 6/8 c) La variable X admet-elle une variance ? 3. Etude d’une variable discrète dé…nie à partir de X. G (t) = 0 si t < 1 2ln(t) 1 G (t) = 1 si t 1 t2 t2 Montrer que G est dérivable sur R puis justi…er que G est la fonction de répartition de la variable aléatoire X. On note Z la variable aléatoire discrète dé…nie par : a) On considère la fonction G dé…nie sur R par Z( )=N Z = bXc et partie entiere de X On rappelle que si x 2 R+ et k 2 N ; bxc = k , k x < k + 1: b) Montrer que pour tout entier naturel k, P (Z = k) = G(k + 1) G(k). c) En déduire par récurrence sur l’entier naturel n que : n X kP (Z = k) = (n + 1) [1 G (n + 1)] + k=0 n X (1 G (k + 1)) k=0 2lnk k2 e) Déduire de l’ensemble des résultats obtenus que Z admet une espérance. d) Montrer que (1 G(k)) est équivalent en +1 à EML 2001 (nombre et heure d’arrivée, récurrence) 1. Pour tout entier naturel n, on considère la fonction fn : R ! R dé…nie par : 8 < e t tn si t > 0 8t 2 R; fn (t) = : n! 0 si t 6 0 a) Soit n 2 N. Montrer que lim t2 fn (t) = 0. t!+1 +1 R En déduire que l’intégrale fn (t) dt est convergente. 0 b) Montrer : c) En déduire : 8n 2 N ; 8n 2 N; 8x 2 [0; +1[; +1 R Rx 0 fn (t) dt = e x xn Rx + fn 1 (t) dt. n! 0 fn (t) dt = 1 0 d) Montrer que, pour tout entier naturel n, la fonction fn est la densité de probabilité d’une variable aléatoire. 1. Pour tout entier naturel n, on dé…nit la variable aléatoire Xn admettant fn pour densité de probabilité. a) Montrer que, pour tout entier naturel n, l’espérance E(Xn ) et la variance V (Xn ) véri…ent : E(Xn ) = n + 1 V (Xn ) = n + 1 Variables aléatoires à densité Page 7/8 b) Dans cette question, on suppose que n = 4. On donne les valeurs approchées à 10 suivantes : Z4 f4 (t) dt ' 0; 37 0 Z6 0 f4 (t) dt ' 0; 71 Z8 2 f4 (t) dt ' 0; 90 0 Tracer l’allure de la courbe représentative de la fonction de répartition de X4 . Déterminer une valeur décimale approchée de la probabilité P (X4 > 4) et une valeur décimale approchée de la probabilité P (4 < X4 6 8). 3. Pour tout réel t > 0, on dé…nit la variable aléatoire Yt égale au nombre de voitures arrivant à un péage d’autoroute de l’instant 0 à l’instant t. On suppose que la variable aléatoire Yt suit une loi de Poisson de paramètre t. a) Rappeler, pour tout réel t > 0, les valeurs de l’espérance et de la variance de Yt . Pour tout entier naturel n non nul, on dé…nit la variable aléatoire réelle Zn , prenant ses valeurs dans R+ , égale à l’instant d’arrivée de la nieme voiture au péage à partir de l’instant 0. b) Soient t 2]0; +1[ et n 2 N . Justi…er l’égalité de l’événement (Zn 6 t) et de l’événement (Yt > n) c) En déduire, pour tout entier naturel n non nul, la fonction de répartition de la variable aléatoire réelle Zn . d) Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, la variable aléatoire Zn admet fn comme densité de probabilité. Variables aléatoires à densité 1 Page 8/8
