Variables Aléatoires à Densité

Variables Aléatoires à Densité
De la densité
1. Soit f(t) = 2tsi t2[0;1] et 0sinon.
a) Montrer que fest une densité
b) Déterminer P (X > 0:5)
c) Déterminer la fonction de répartition associée.
2. Soit f(t) = ln (t)si 0t1et 0 ailleurs.
Déterminer pour que fsoit une densité de probabilité.
Soit Xde densité f: Déterminer P(X2<1) :Déterminer la fonction de répartition de X:
3. Soit Xune variable aléatoire de densité ftelle que : f(x)=3x4si x1et f(x)=0si
x < 1
a) Déterminer sa fonction de répartition.
b) Calculer PX>a (X < x)avec a; x 2R
Fonction de répartition
4. Soit Fdé…nie par F(x) = 1=x si x < 1et 1si x 1:
Montrer que Fest une fonction de répartition de variable aléatoire à densité. En déterminer
une densité.
Calculr P (X > 3) et P (X < 1)
5. Soit F(x) = 0 si x0et F(x) = pxsi x2[0;1] et F(x) = 1 si x1
Montrer que Fest une fonction de répartition de variable aléatoire à densité.
Fonction d’une variable aléatoire
6. Soit Xune variable aléatoire ayant une densité fcontinue sur R. Déterminer une densité
de Y=eX.
7. Xa une densité de probabilité fdé…nie par : f(x) = xex2=2si x0et f(x) = 0 si x < 0
a) Véri…er que fest une densité de probabilité.
b) Montrer que Y=X2est une variable aléatoire à densité et en donner une densité.
8. Xsuit la loi uniforme sur [1;2]. Déterminer la loi de Y=X2.
Espérance
9. a; ;  sont des constantes véri…ant : a > 0et  > 1:
fest la fonction dé…nie par : f(x) = 
xsi xaet f(x) = 0 si x<a
a) Calculer pour que fsoit la densité d’une variable aléatoire X.
b) Calculer les moments d’ordre rde X, lorsqu’ils existent.
10. Soit f(x) = 3x2si x2[0;1] et 0sinon.
a) Montrer que f est une densité. Soit Xde densité f:
b) Montrer que Xa une espérance et une variance et les calculer.
Loi Normale
11. Soit Xune variable suivant la loi N(5;2). Calculer : P(X < 6); P (X > 2); P (jX4j<3)
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12. Calculer I=R+1
1 x2e(x1)2=2dx en posant t=x1et en utilisant la loi N(0;1).
13. On suppose que Ysuit la loi normale N(m; v)et X=eY
a) Exprimer la fonction de répartition de Xen fonction de m; v et de la fonction de
répartition de 'de la loi normale centrée réduite.
b) En déduire une densité de X.
14. Soit Xune variable suivant la loi normale centrée réduite.
Montrer que Z=jXjest une variable aléatoire à densité et en donner une densité, l’espérance
et la variance.
Opérations spéciales
15. Soit a2R
+et soient Xet Ydeux variables aléatoires uniformes sur [0; a]indépendantes.
On pose U= sup(X; Y )et V= inf(X; Y ).
Déterminer les lois de Uet V.
16. Xsuit une loi uniforme sur [0,1]. Déterminer les lois de : U= sup(X; 1X)
et V= inf(X; 1X)
Montrer que Uest à densité et déterminer une densité et l’espérance..
Comment montrer que Vest à densité ? Calculer U+Vet en déduire l’espéance de V.
17. Xsuit la loi exponentielle de paramètre . On note Yla partie entière de X, et Z=XY.
a) Déterminer Y():Y est-elle une variable à densité ? Déterminer la loi de Y. Reconnaître
la loi de Y+ 1.
b) Calculer P (Zx=Y =k)pour k2[[0;+1[[
c) En déduire la fonction de répartition de Z. Montrer que Zest une variable à densité.
d) Calculer l’espérance de Xet Y. En déduire l’espérance de Z.
e) Retrouver E(Z)en utilisant une densité de Z
EDHEC 2010 (fonction d’une VAD, simulation)
On considère la fonction fdé…nie sur Rpar : f(x) = 8
<
:
1
2x2si x 1ou x1
0sinon
.[1)]
1. a) Véri…er que fest une fonction paire.
b) Montrer que fpeut être considérée comme une fonction densité de probabilité.
Dans la suite, on considère une variable aléatoire Xdé…nie sur un espace probabilisé (;A; P ),
admettant fcomme densité. On note FXla fonction de répartition de X.
2. La variable aléatoire Xadmet-elle une espérance ?
3. On pose Y= ln(jXj)et on admet que Yest une variable aléatoire, elle aussi dé…nie sur
l’espace probabilisé (;A; P ). On note FYsa fonction de répartition.
a) Montrer que, pour tout réel x, on a : FY(x) = FX(ex)FX(ex).
b) Montrer, sans expliciter la fonction FY, que Yest une variable aléatoire à densité, puis
donner une densité de Yet véri…er que Ysuit une loi exponentielle dont on donnera le
paramètre.
c) Montrer que, si xest positif, alors 1exappartient à [0;1[ et montrer que, si xest
strictement négatif, alors 1exest strictement négatif.
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d) On considère une variable aléatoire Usuivant la loi uniforme sur [0;1[. Déterminer la
fonction de répartition de la variable aléatoire Z=ln(1 U)et reconnaître la loi de
Z.
e) Simulation informatique de la loi de Y. On rappelle qu’en Turbo Pascal, la fonction
random permet de simuler la loi uniforme sur [0;1[. Compléter la déclaration de fonction
suivante pour qu’elle simule la loi de Y.
Function expo :real ;
Begin
expo := --------- ;
End ;
EML 2008 (fct d’une VAD, interprètation)
Les parties Iet II sont indépendantes.
Partie I : Étude d’une variable aléatoire
1. Soit hla fonction dé…nie sur l’intervalle [0; 1] par :
8x2[0; 1] ; h (x) = x
2x
a) Montrer que hest une bijection de [0; 1] sur [0; 1] et, pour tout y2[0; 1], exprimer
h1(y):
b) Déterminer deux réels et véri…ant : 8x2[0; 1] ; h (x) = +
2x
c) Calculer R1
0h(x)dx.
2. Soit Xune variable aléatoire suivant la loi uniforme sur l’intervalle [0; 1]
a) Donner l’espérance et la variance de la variable aléatoire X.
b) Pour tout réel yde [0; 1] déterminer la probabilité de l’événement X
2Xy
c) Montrer que la variable aléatoire Y=X
2Xadmet une densité et déterminer une densité
de Y:
d) Montrer que Yadmet une espérance E(Y)et déterminer -
Partie II : Étude d’un temps d’attente
Soit nun entier supérieur ou égal à 2. Une réunion est prévue entre ninvités que l’on note
I1; I2 ; In.
Chaque invité arrivera entre l’instant 0et l’instant 1.
Pour tout entier ktel que 1kn, on modélise l’instant d’arrivée de l’invité Ikpar une variable
aléatoire Tkde loi uniforme sur l’intervalle [0; 1]. On suppose de plus que, pour tout réel t, les n
événements (T1t),(T2t),(Tnt), sont indépendants.
1. Soit un réel tappartenant à [0; 1]. Pour tout entier ktel que 1kn, on note Bkla
variable aléatoire de Bernoulli prenant la valeur 1si l’événement (Tkt)est réalisé et la
valeur 0sinon.
On note St=B1+B2+ +Bn:
Variables aléatoires à densité Page 3/8

a) Que modélise la variable aléatoire St?
b) Déterminer la loi de la variable aléatoire St.
2. Soit R1la variable aléatoire égale à l’instant de la première arrivée.
a) Soit un réel tappartenant à [0; 1]. Comparer l’événement (R1> t)et l’événement
(St= 0)
b) Montrer que la variable aléatoire R1admet une densité et en déterminer une.
3. Soit R2la variable aléatoire égale à l’instant de la deuxième arrivée.
Montrer que la variable aléatoire R2admet une densité et en déterminer une.
EDHEC 2007 (Normale, covariance)
On admet que si Z1et Z2sont deux variables aléatoires à densité, dé…nies sur le même espace
probabilisé, alors leur covariance, si elle existe, est dé…nie par :
Cov (Z1; Z2) = E(Z1Z2)E(Z1)E(Z2)
On admet également que si Z1et Z2sont indépendantes alors leur covariance est nulle.
On considère deux variables aléatoires réelles Xet Udé…nies sur le même espace probabilisé
(;A;P) ;indépendantes, Xsuivant la loi normale N(0;1) et Usuivant la loi discrète uniforme
sur f1;1g:
On pose Y=UX et on admet que Yest une variable aléatoire à densité , dé…nie elle aussi sur
l’espace probabilisé (;A;P) :
1. a) En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que :
P (Yx) = P ([U= 1] \[Xx]) + P ([U=1] \[X x])
b) En déduire que Ysuit la même loi que X:
2. a) Calculer l’espérance de Upuis montrer que E(XY ) = 0
b) En déduire que Cov (X; Y ) = 0.
3. a) Rappeler la valeur de E(X2)et en déduire que R+1
0x2ex2
2=1
2p2
b) Montrer, grace à une intégrationpar parties que
8A2R+:ZA
0
x4ex2
2dx =A3eA2 2+ 3 ZA
0
x2ex2
2dx
c) En déduire que l’intégrale R+1
0x4ex2
2dx converge et vaut 3
2p2:
d) Etablir …nalement que Xpossède un moment d’ordre 4et que E(X4) = 3
4. a) Véri…er que E(X2Y2) = 3
b) Déterminer Cov (X2; Y 2)
c) En déduire que X2et Y2ne sont pas indépendantes. Montrer alors que Xet Yne le
sont pas non plus.
d) Cet exercice a permis de montrer qu’un résultat classique concernant les variables dis-
crètes est encore valable pour les variabales à densité. Lequel ?
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EML 2006 (loi Normale, limite centrée)
Partie A
1. Soit Uune variable aléatoire à densité suivant une loi normale d’espérance nulle et de
variance 1
2
a) Rappeler une densité de U
b) En utilisant la dé…nition de la variance de U; montrer que l’intégrale Z+1
0
x2ex2dx est
convergente et que Z+1
0
x2ex2dx =p
4
Soit Fla fonction dé…nie sur Rpar : 8x0; F (x) = 0
8x > 0; F (x) = 1 ex2
2. Montrer que la fonction Fdé…nit une fonction de répartition de variable aléatoire dont on
déterminera une densité f:
3. Soit Xune variable aléatoire admettant fpour densité.
a) Montrer que Xadmet une espérance E(X)et que E(X) = p
2:
b) Déterminer, pour tout réel y; la probabilité P (X2y):On distinguera les cas y0
et y > 0:
c) Montrer que la variable aléatoire X2suit une loi exponentielle dont on précisera le
paramètre.
En déduire que Xadmet une variance V(X)et calculer V(X)
Partie B
1. Soit Zune variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre p:
Ainsi, pour tout k2N;P (Z=k) = p(1 p)k1
Rappeler la valeur de l’espérance E(Z)et celle de la variance V(Z)de la variable aléatoire
Z:
2. Soient un entier nsupérieur ou égal à 2;et nvariables aléatoires indépendantes Z1,Z2,: : : ,
Zn, suivant toutes le loi géométrique de paramètre p:
on considère la variable aléatoire Mn=1
n(Z1+Z2+ +Zn):
a) Déterminer l’espérance met l’écart-type nde Mn
b) Montrer que lim
n!+1P (0 Mnmn)existe et exprimer sa valeur à l’aide de Z1
0
ex2
2dx
EML 2003 (min, max, espérance)
Montrer que l’intégrale Z+1
2
1
xpxdx est convergente et calculer sa valeur.
1. Soit f:R! Rla fonction dé…nie par : 8
<
:
f(x) = 0 si x < 2
f(x) = 1
xp2xsi x>2
Montrer que fdé…nit une densité de probabilité.
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