Équations, inéquations, systèmes

Équations, inéquations,
systèmes
0] Équations (rappels)
0.1. Définitions
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Une équation à une inconnue est une égalité dans
laquelle figure un nombre inconnu généralement
désigné par la lettre x.
Résoudre une équation, c'est trouver toutes les
valeurs de cette lettre pour lesquelles l'égalité est
vraie.
Ces valeurs sont appelées les solutions de l'équation.
0.2. Vérification des solutions
Les nombres 2 et 3 sont-ils solutions de l'équation :
7x² – 12x = x3
1 D'une part :
G2 = 7 × 2² – 12 × 2
G2 = 7 × 4 – 24
G2 = 28 – 24
G2 = 4
D'autre part :
D2 = 2 3
D2 = 8
Puisque G2 ≠ D2, alors 2 n'est pas solution de l'équation.
2 D'une part :
G3 = 7 × 3² – 12 × 3
G3 = 7 × 9 – 36
G3 = 63 – 36
G3 = 27
D'autre part :
D3 = 33
D3 = 27
Puisque G3 = D3, alors 3 est une solution de l'équation.
0.3. Résolution
Quels que soient les nombres a, b, c et d (d ≠ 0) :
Si a = b, alors a + c = b + c
Si a = b, alors a × d = b × d
Pour résoudre une équation du 1er degré, on
regroupe les termes « en x » dans un membre et les
nombres dans l'autre membre.
Exemple : Résoudre l'équation 3x + 5 = 5x + 9
5 – 9 = 5x – 3x
-4 = 2x
4
− =x
2
-2 = x
Vérification :
D'une part
D'autre part
G = 3 × (-2) + 5
D = 5 × (-2) + 9
G = -6 + 5
D = -10 + 9
G = -1
D = -1
L'équation admet une
solution : -2.
1] Équations du second degré
1.1. Équation produit nul
Une équation produit nul est une équation dont un
membre est un produit de facteurs et dont l'autre
membre est zéro.
Exemple : Résoudre l'équation (2x + 1)(x – 3) = 0
Pour qu'un produit soit nul, il faut et il suffit que
l'un au moins de ses facteurs soit nul.
2x + 1 = 0
2x = -1
x= −
1
2
ou
ou
x–3=0
x=3
ou
x=3
L'équation admet 2 solutions : −
1
et 3.
2
1.2. Équations du second degré
Pour résoudre une équation du 2nd degré :
1 on regroupe tous les termes dans un même membre
2 on factorise
3 on résout l'équation produit nul
Exemples :
1 Résoudre l'équation x² = 121
x² – 121 = 0
(x – 11)(x + 11) = 0
Pour qu'un produit soit nul, il faut et il suffit
que l'un au moins de ses facteurs soit nul.
x – 11 = 0
x = 11
ou
ou
x + 11 = 0
x = -11
L'équation admet 2 solutions : 11 et -11.
2 Résoudre l'équation 5(x – 6) = (x – 6)(1 – 2x)
5(x – 6) – (x – 6)(1 – 2x) = 0
(x – 6)[5 – (1 – 2x)] = 0
(x – 6)(5 – 1 + 2x) = 0
(x – 6)(4 + 2x) = 0
Pour qu'un produit soit nul, il faut et il suffit
que l'un au moins de ses facteurs soit nul.
x–6=0
x=6
x=6
ou
ou
ou
4 + 2x = 0
2x = -4
x = -2
L'équation admet 2 solutions : 6 et -2.
2] Inéquations
Dans cette partie, a, b et c désignent trois nombres
quelconques.
2.1. Addition
Les nombres a + c et b + c sont rangés dans le
même ordre que a et b.
Exemple :
Résoudre l'inéquation 9x ≥ -7 + 8x
9x – 8x ≥ -7 + 8x – 8x
x ≥ -7
Les solutions sont tous les nombres qui sont
supérieurs ou égaux à -7.
2.2. Multiplication par un nombre positif
Si c est strictement positif, les nombres a×c et
b×c sont rangés dans le même ordre que a et b.
Exemple :
Résoudre l'inéquation 4x – 3 < -x + 5
4x + x < 5 + 3
5x < 8
5x 8

5 5
8
x
5
Les solutions sont tous les nombres qui sont
8
strictement inférieurs à
.
5
2.3. Multiplication par un nombre négatif
Si c est strictement négatif, les nombres a×c et
b×c sont rangés dans l'ordre contraire de a et b.
Autrement dit, on doit changer le sens d'une
inégalité lorsqu'on multiplie ses 2 membres par un
même nombre strictement négatif.
Exemple :
Résoudre l'inéquation -7x > 42
−7 x 42

−7 −7
x−6
Les solutions sont tous les nombres qui sont
strictement inférieurs à -6.
3] Systèmes d'équations
3.1. Vocabulaire
{
5x  2y =
4
– 2x 
y = −7
est un système de deux équations à deux inconnues.
Le couple (2 ; -3) est solution de ce système car :
H = 5 × 2 + 2 × (-3)
H = 10 – 6
H=4
et
B = -2 × 2 + (-3)
B = -4 – 3
B = -7
Le couple (4 ; 1) n'est pas solution car :
H=5×4+2×1
H = 21 + 2
H = 23
H≠4
3.2. Résolution par substitution
{
– x
3x

–
y
2y
=
=
On exprime y en fonction
de x dans la 1ère équation
{
On remplace y par x + 3
dans la 2nde équation
{
y = x3
{3 x−2 x−6=−4
y = x3
{x −6=−4
y = x3
{x = −46
y = x3
{x = −46
y = x3
{x = 2
y = 23
{x = 2
y = 5
{x = 2
On résout la 2nde équation
On remplace x par 2
dans la 1ère équation
On conclut
3
–4
y = x3
3 x−2 y=−4
y = x3
3 x−2 x3=−4
Le système admet 1
solution : le couple (2 ; 5).
3.3. Résolution par combinaison linéaire
{
4x
3x
On multiplie les 2
membres de
la 1ère équation par -2
On soustrait membre à
membre
On résout la 1ère équation
On remplace x par 3
dans la 2nde équation
On résout la 2nde équation
{
{
{
{
{
{
{
−8 x
3x
x
3x
x
y
= −33
4y=
19
3
19
=
4y=
x
3×3
x
9
7
19
 4 y = −14
4y=
19
−11 x
3x
x
4y
On conclut
– 2y=
4y=
=
4y=
=
4y=
=
=
=
=
3
19
3
19
3
10
3
2,5
Le système admet 1
solution : le couple (3 ;
2,5).