Intégration sur un segment (1/2)

Intégration sur un segment (1/2)
1. Montrer que
R1
0
(1 − t2 )n dt >
R1
0
(1 − t)n dt. En déduire une minoration de
2. Démontrer que pour n non nul, 1 6
√
1 + xn 6
r
1 + (1 +
R1
0
(1 − t2 )n dt.
1
1 n
) sur [1; 1 + ]. Etudier alors la convergence de la suite
n
n
R 1+1/n √
un = 1
1 + xn dx.
3. Soit f une
fonction continue Rsur [a; b] et g une fonction continue par morceaux et positive sur [a; b]. Montrer : ∃c ∈
Rb
b
[a; b],
f
(x)g(x)dx = f (c) a g(x)dx
a
4. Soit f une fonction continue sur [a; b]. Montrer
5. Soit f continue sur [0; 1] telle que
R1
0
f (x)dx =
6. Etudier les limites des suites suivantes :
est positive) ou (f est négative)].
1
. Montrer qu'il existe un réel c tel que f (c) = c.
2
1
2π
nπ
π
+ · · · + sin
sin + sin
n
n
n
n
1
1
1
un = n
+
+
·
·
·
+
(n + 1)2
(n + 2)2
(n + n)2
a)
d)
R
Rb
b
a f (x)dx = a |f (x)|dx ⇒ [(f
un =
√
√ 1 √
1 + 2 + ··· + n
un = √
n
1
e) un = r+1 (1r + 2r + · · · + nr )
n
c)
b)
un =
k=n
Y
1+
k=1
k
n
1
n
où r ∈ Q et r > 0
7. Calculer les intégrales suivantes (résultats entre parenthèses):
R1
1
x2
− ln(1 + x))dx (rep : e + − ln(4))
b)
x(x + 2 − e)ex dx (rep : 0)
0
2
6
R1 x−2
R π/4
1
1
1 π
1
c)
dx (rep : − ln(3) − )
d)
cos4 x sin2 xdx ( rep : ( + ))
0 (2x − 3)2
0
4
6
16 4
3
R2
15
x3
dx (rep :
)
e)
1 (1 + x4 )2
136
R
√
8. Pour tout entier n on pose In = 01 xn 1 − xdx. Calculer I0 et I1 . Montrer : ∀n ∈ N∗ , (3 + 2n)In = 2nIn−1
a)
R1
0
(ex +
9. Soit f la fonction dénie par : f : x →
(a) On pose f1 (x) =
(b) On pose f2 (x) =
R 1+x
8
>
<−1
1
>
:
0
si x < 0
si x > 0 .
sinon
1−x
f (t)dt. Tracer la représentation graphique de f1 . En quels points f1 est-elle dérivable?
1−x
f1 (t)dt. f2 est-elle dérivable sur R ? Tracer sa représentation graphique.
R 1+x
R
10. On pose, pour tout entier naturel n, In = 0π/2 (sin x)n dx.
(a) Calculer I0 et I1 . Donner une relation de récurrence entre In et In−2 . En déduire la valeur de In selon la parité de
n.
I
(b) Montrer que la suite (In ) est décroissante. En déduire lim n−1
n→+∞ In
√
π
. En déduire lim In et lim In n
n→+∞
n→+∞
2
π
(d) Montrer que : lim 2n(I2n )2 = .
n→+∞
2
" 2 #
1.3.5. . . . (2n − 1)
1
En déduire que : lim n
=
(formule de Wallis)
n→+∞
2.4.6 . . . 2n
π
(c) Montrer : ∀n > 1,
11.
nIn In−1 =
Intégrations par parties successives
(a) Montrer que si u et v sont de classe C n , alors
Z
b
h
ib
u(x)v (n) (x)dx = (uv (n−1) − u0 v (n−2) + · · · + (−1)n−1 u(n−1) v)(x)
Z
+ (−1)n
a
a
R
b
u(n) (x)v(x)dx
a
R
(b) Calculer x2 e3x dx ainsi que 0π x3 cos xdx.
R
(c) Montrer que si Pn est un polynôme de degré n, alors il existe un polynôme Qn de même degré tel que : Pn (x)eωx dx =
Qn (x)eωx .
12. Quelques intégrales ou primitives à calculer
:
√
2
R
R1
x
x
−
1
−
x
π
a) √
eArcsinx dx (rep :
eArcsinx + K) b)
ln(1 + x2 )dx
(rep : + ln(2) − 2)
2√
x
2 2
c) 1 √
dx (rep :
)
3
1+x
√
R1
x
4 2
5
√
e) 0
dx (rep :
− )
3
3
1+ 1+x
R1
dx
g) 0 √
x 1 + x2
1 − x2
R2
0
2
R
xdx
√
√
x+1 x+3
d)
√
R5 x−1
f) 1
dx (rep : 4 − 2Arctan(2))
r x √
Rx
√
1− t
4
h) 1
dt (rep : − (1 − x)3/2 )
t
3