Thème 1. Limite d`une fonction en un point

Thème 1. Limite d’une fonction en un point
Donner la définition formel (δ,ǫ) de
lim
x→af (x) =l
et l’expliquer. Esquisse d’un calcul de limite qui utilise cette définition. Présentation d’un exemple
de fonction possédant une limite réelle en un point et d’un exemple de fonction qui n’en possède
pas. Propriétés des limites.
1 Définition
Il s’agit de définir la notion de la limite ldes valeurs d’une fonction quand xtend vers un nombre donné a.
Définition La fonction fapproche la limite l près de asignifie : pour tout ǫ > 0, il existe un δ > 0 tel que, pour
tout x, si |x−a|< δ, alors |f (x) −l|< ǫ.
Le nombre lapproché par fprès de as’écrit :
l:=lim
x→af (x)
Explication Cette définition dit que, si cette limite existe, alors quelle que soit la valeur choisie pour ǫ, aussi petite
qu’elle soit, il est possible de trouver une valeur pour δ, telle que
si xappartient à l’intervalle ]a −δ;a+δ[, alors f (x) appartient à l’intervalle ]l −ǫ;l+ǫ[.
f (x)
l+ǫ
l−ǫ
l
a
a−δ
a+δ
|
x
En choisissons un nombre ǫ, on déter-
mine un intervalle ]l−ǫ;l+ǫ[ sur l’axe
(0y). En cherchant les pré-images de
l−ǫet l+ǫ(suivre les lignes en trai-
tillés), on trouve les extrémités d’un
intervalle Itel que si x∈I, alors
f (x) ∈]l −ǫàl+ǫ[. L’intervalle
]a −δ;a+δ[ sera choisi de telle ma-
nière qu’il soit inclus dans I.
Exemple Montrons, par exemple, que la lim
x→23x−1=3·2−1=5, ou,
de manière plus général : lim
x→xo
mx +b=mxo+b. On choisit ǫtel que
(mxo+b) −ǫ < m ·x+b < (mxo+b) +ǫ
-
-f (x)
mxo+b
(mxo+b) −ǫ
(mxo+b) +ǫ
ou plus succinctement, |mx +b−(mxo+b)|< ǫ. Après simplification,
|m(x −xo)|< ǫ
|m||x−xo|< ǫ
|x−xo|<ǫ
|m|=δpour tout x6= xo|
] [
x
xo
xo−δ xo+δ
Exemple de fonction sans limite en un point La fonction f (x) =1
xn’a pas de limite en 0, c’est-à-dire
lim
x→0
1
xn’existe pas.
En effet, il n’existe pas de nombre ltel que pour tout intervalle Jautour de l, il existe un intervalle Iautour
de 0, tel que si x∈I, alors f (x) ∈J, car proche de 0, f (x) peut prendre des valeurs arbitrairement grandes,
donc des valeurs en-dehors de l’intervalle J.
1

2 Propriétés des limites
Théorème Soit fet gdes fonctions admettant une limite en aet λun nombre réel, alors
1. lim
x→a[f (x) +g(x)] =lim x→af (x) +lim x→ag(x) (la limite d’une somme est la somme des limites, si chacune
des limites individuelles existe)
2. lim
x→a[f (x) −g(x)] =lim x→af (x) −lim x→ag(x)
3. lim
x→a[λf (x)] =λlim x→af (x)
4. lim
x→a[f (x) ·g(x)] =lim x→af (x) ·lim x→ag(x)
5. lim
x→a
f (x)
g(x) =lim
x→af (x)
lim
x→ag(x) si lim
x→ag(x) 6= 0
L’exemple lim
x→23x−1=3·2−1 peut être généralisé sans problème à n’importe quelle fonction affine
f (x) =ax +b
lim
x→x0
ax +b=axo+b
Avec les propriétés des limites, on peut montrer que la limite de tout polynôme en un point s’obtient en
substituant à xla valeur du point limite. On dit que tout polynôme est continu en tout point de R.
Exemples
(1) lim
x→xo
x2
Puisque lim
x→xo
x=xo, alors en utilisant la propriété 1 sur les limites, on a
lim
x→xo
x2=lim
x→xo
x·x=lim
x→xo
x·lim
x→xo
x=xo·xo=x2
o
(2) lim
x→xo3x2+2x−5
Puisque lim
x→xo3x2=3x2
oet lim
x→xo2x−5=2xo−5, il est possible d’appliquer la propriété 1 sur la limite,
lim
x→xo3x2
|{z}
f (x)
+2x−5
|{z }
g(x)
=lim
x→xo3x2+lim
x→xo2x−5=3x2
o+2xo−5
(3) lim
x→xo
x3=lim
x→xo
x2·x
En utilisant la propriété 4 sur la limite, sachant que lim
x→xo
x2et lim
x→xo
xexistent, on trouve
lim
x→xo
x3=lim
x→xo
x2·lim
x→xo
x=x2
o·xo=x3 o
Pour les puissances plus élevées, on procède de la même manière.
(4) lim
x→xo5x3+x2−2
En recourant aux différentes propriétés sur la limite, on a
lim
x→xo5x3+x2−2=lim
x→xo5x2·lim
x→xo
x+lim
x→xo
x2−lim
x→xo−2=5x2
o·xo+x2 o−2=5x3 o+x2 o−2.
2

Thème 2. Limite d’une fonction en un point
(Donner la définition formel (δ,ǫ) de lim
x→af (x) =let l’expliquer. Démontrer lim
x→0
sin(x)
x=1)
1 Définition de la limite
Définition La fonction fapproche la limite lprès de aou, plus brièvement, fa pour limite len a, signifie :
pour tout ǫ > 0, il existe un δ > 0 tel que, pour tout x, si |x−a|< δ, alors |f (x) −l|< ǫ.
Notation Le nombre lapproché par fprès de as’écrit : lim
x→af (x)
Interprétation
Pour n’importe quelle valeur choisie pour ǫ > 0, il
est possible de trouver une valeur pour δ > 0, de
sorte que pour tout nombre xchoisi dans l’inter-
valle ]a −δ;a+δ[, son image f (x) appartiendra
à l’intervalle ]l −ǫ;l+ǫ[
2 Preuve de lim
x→0
sin(x)
x=1
(a) Le domaine de la fonction f (x) =sin(x)
xest R∗
(b) Cette fonction est paire, car f (−x) =sin(−x)
−x=−sin(x) −x=sin(x) x=f (x).
(c) L’aire Ad’un secteur d’angle x(en radians) et de rayon rest donnée par la formule : A=x
2·r2.
En effet, l’angle d’un secteur est proportionnel à l’aire du secteur (si l’angle est doublé, l’aire est aussi doublé).
On peut ainsi écrire la proportion
angle secteur
aire secteur =x A=2π π r 2⇒A=πr 2·x 2π=x 2r2
Puisque la fonction est paire, lim
x→0−
f (x) =lim
x→0+
f (x). On se contentera de chercher lim
x→0+
f (x), c’est-à-dire, on
ne va considérer que des angles positifs. En comparant les aires des triangles △OBI,△OT I et du secteur BOI, on a
pour 0 < x < π /2 :
aire △OBI à aire secteur BOI à aire △OT I
sin(x) ·1
2àx 2·12àtan(x) ·1 2·2
sin(x) à x à sin(x)
cos(x) ·1
sin(x) (> 0 car sin(x) ∈]0,π/2[)
1àx
sin(x) à1 cos(x) passage à l’inverse
1ásin(x)
xácos(x)
x
OI
1
B
T
On a de plus lim
x→0+
1=1 et lim
x→0+
cos(x) =cos(0)=1 (car le cosinus est une fonction continue). Grâce au
théorème des « deux gendarmes », on peut conclure que lim
x→0+
sin(x)
x=1 et ainsi que lim
x→0
sin(x)
x=1.
3

4

Thème 3. Extension de la notion de limite d’une
fonction
Quelles sont les différentes extensions de la notion de limite, exemples à l’appui. Opérations
algébriques et limites. Discussion des cas indéterminés (??). Donner la liste de ces cas. Comment
sont-ils résolus? (différence entre cas avec expressions rationnelles et irrationnelles)
1 Extension de la notion de limite
1.1 Limites à l’infini
La première extension envisa-
geable est celle concernant les
valeurs arbitrairement grande
de x. Ainsi, pour f (x) =
1
x, quand xest suffisamment
grand, 1
xest proche de 0. De
même, quand xest suffisam-
ment grand, g(x) =sin 1
xest
proche de 0.
f (x) =1
x
g(x) =sin 1
x
Définition Soit fune fonction définie sur un intervalle ouvert ]a,∞[. Alors lim
x→∞ f (x) =lsignifie que pour tout
ǫ > 0, il existe un nombre Ntel que, pour tout x,
si x > N , alors |f (x) −l|< ǫ
(c’est-à-dire que si xest arbitrairement grand, alors f (x) est arbitrairement proche de l).
Remarque On remarquera que lim
x→∞ f (x) =let lim
t→0+
f1
t=lsont des limites équivalentes.
Définition On peut définir de manière semblable lim
x→−∞ f (x) =lou définir lim x→−∞ f (x) =lpar lim x→∞ f (−x) =l.
Un premier résultat, assez facile à trouver ou intuitivement aisément acceptable, est
lim
x→±∞
1
xk=0 pour k∈N∗
2 Limites infinies
Une autre modification de la notion de limite considère les situations
où une fonction fprend des valeurs arbitrairement grande quand x
est suffisamment proche d’un point asans que x=a.
Le graphique ci-contre représente une fonction qui illustre cette dé-
finition. On a pris f (x) =1
(x −3)2;fn’est pas défini en x=3
et prend des valeurs arbitrairement grandes au voisinage de ce point.
Comme le dénominateur est au carré, toutes les valeurs de fsont
positives, et on a ainsi lim
x→3f (x) = +∞.
f (x) =1
(x −3)2
Définition Soit fune fonction définie sur un intervalle ouvert autour de asauf en a. Alors lim
x→af (x) = +∞ signifie
que pour tout N, il existe un δ > 0 tel que, pour tout x
si 0 <|x−a|< δ , alors f (x) > N
5