Les fonctions Une fonction est une relation où tout élément de l

Les fonctions
Une fonction est une relation où tout élément de l'ensemble de départ a au plus une image. Mais
c'est hors programme, donc je vais définir autrement une fonction.
Définition d'une fonction.
Une fonction f de l'ensemble A dans l'ensemble B associe à un élément a de A ou rien ou un
unique élément b de B. b est appelé l'image de a et on le note f (a) donc b=f (a).
N.B. Ne pas confondre la fonction, f, et l'image de x, f (x) .
Ensemble de définition d'une fonction.
L'ensemble de définition de la fonction f , noté D f , est l'ensemble des éléments de l'ensemble de
départ qui ont une image.
En secondaire, on se limite à étudier les fonctions réelles à variable réelle donc de ℝ dans ℝ .
L'ensemble de définition peut s'écrire D f ={ x ∈ℝ , f (x ) existe } .
Listes des fonctions usuelles.
Fonctions puissances dont l'exposant est un entier strictement positif.
La fonction identité, f est définie par f ( x)=x (la fonction qui ne fait rien).
La fonction carré, f est définie par f (x)=x 2
La fonction carré, f est définie par f (x)=x 3
La fonction puissance n, f est définie par f ( x)=x n , n∈ℕ*
Fonctions puissances dont l'exposant est un entier strictement négatif.
1
−1
La fonction inverse, f est définie par f (x)=x =
x
1
−2
La fonction inverse du carré, f est définie par f ( x)=x = 2
x
1
−n
*
La fonction inverse de la puissance n, f est définie par f ( x)=x = n , n∈ℕ
x
Les fonctions monôme, f est définie par f (x)=a x n , n∈ℕ* , n est le degré.
Cas particuliers :
la fonction nulle, pas de degré, f est définie par f (x)=0
les fonctions constantes non nulles, f est définie par f (x)=a , a≠0 , degré 0
les fonctions linéaires, degré 1, f est définie par f (x)=a x , a≠0
les fonctions puissances dont l'exposant est un entier strictement positif
Les fonctions polynômes, somme de monômes (voir cours).
Un monôme est un polynôme particulier.
Les fonctions rationnelles, rapport de polynômes (voir cours).
1
−n
*
f définie par f ( x)=x = n , n∈ℕ est une fonction rationnelle.
x
La fonction racine carrée, f est définie par f ( x)= √ x
On peut écrire : f ( x)= √ x=x
1
2
La fonction logarithme népérien, f ( x)=ln x
La fonction exponentielle, f (x)=ex
Composition de fonctions (limite cours).
Exemples :
le carré du double, h est définie par h(x )=(2x)2=4 x 2
f est la fonction double définie par f (truc)=2 truc
g est la fonction carré définie par g(machin)=machin2
le carré du double de x est donc h( x )=g ( f ( x) )
Si on raisonne avec x 2 et 2 x on est foutu, je vous rappelle que x 2 et 2 x
ne sont pas des fonctions et donc on résonne !!
Ici on remplace machin par f (x) donc le carré du double de x est h(x )=g ( f (x) )
En math, on note h=g ∘ f , on lit f rond g et h( x )=g ∘f (x )=g ( f (x) )
Logiquement, en math comme en français l'ordre est le même.
le double du carré, k est définie par k ( x )=2 x 2
Comme ci-dessus, k =f ∘ g et k ( x )=f ∘ g( x )=f ( g (x) ) =f (x 2 )=2 x2
Donc parlons français, le raisonnement ce fait avec des mots.
N.B. La notation h=g ∘ f est hors-programme.
On verra par contre la notation g(u) où u est une fonction (voir cours dérivée)
A savoir faire absolument. Trouver l'ensemble de définition.
Les fonctions polynômes sont définies sur tout ℝ .
Si f est définie par f (x )=an x n +...+a2 x 2+a1 x +a 0 , n∈ℕ* , alors Df =ℝ
Fonctions rationnelles et autres fonctions avec un dénominateur (variable).
x 1
g
f = où h n'est pas constante ( f définie par f ( x)= = x est un polynôme et même
2 2
h
une fonction linéaire)
Modèle de rédaction.
Ensemble de définition.
f ( x) existe si h (x)≠0
Résolution de l'équation :
…
Ensembles des solution S = …
D f =ℝ−S={ x ∈ℝ , x ∉S }
On verra qu'on peut en général noter Df sous forme d'union d'intervalles.
Exemple.
Etude de la fonction f définie par f (x)=
1 x 2−4
10 x−3
Ensemble de définition.
f (x) existe si le dénominateur (variable, on ne s'occupe pas de
nulle, x−3≠0
On résout l'équation :
x−3=0
x=3 donc 3 n'appartient pas à l'ensemble de définition.
Df =ℝ− { 3 }= ]−∞ ; 3 [ ∪] 3 ; +∞ [
Les fonctions comportant un radical ( signe √ ) .
f (x) existe si la quantité sous le radical est positive (
⩾0 )
Exemple.
Etude de la fonction f définie par f (x)= √ 4 x−2
Ensemble de définition.
f (x) existe si la quantité sous le radical est positive
4 x −2⩾0
4 x ⩾2
2
1
ou mieux car plus simple x⩾
x⩾
4
2
{
Df = x ∈ℝ , x⩾
}[
[
1
1
= ; +∞
2
2
Les fonctions exponentielles sont définis sur tout ℝ .
Les fonctions logarithmes, du type ln u.
f (x) existe si u est strictement positif, u>0
Exemple.
Etude de la fonction f définie par f (x)=ln ( 4 x−2 )
Ensemble de définition.
f (x) existe si la quantité sous le radical est strictement positive
4 x −2>0
4 x >2
2
1
ou mieux car plus simple x>
x>
4
2
1
) n'est pas
10
{
Df = x ∈ℝ , x>
Voir les exercices.
}]
1
1
= ; +∞
2
2
[