Série 9: Corrigé

Introduction `a l’Astrophysique
S´erie 9: Corrig´e
Laboratoire d’Astrophysique http://lastro.epfl.ch
Ecole Polytechnique F´ ed´ erale de Lausanne
Semestre de printemps 2012
Exercice 1 : Absorption dans les amas ouverts
Puisque nous travaillons avec des petits angles nous pouvons exprimer le diam` etre
lin´ eaire Dd’un amas en fonction de son diam` etre angulaire θselon :
D=θ r (1)
o` urest la distance ` a l’amas. Etant donn´ e l’´ egalit´ e entre les diam` etres lin´ eaires des deux
amas, nous d´ eduisons que D1=α r1= 3α r2et donc le rapport de distance entre les
deux amas r1/r2= 3 (o` u les indices 1 et 2 se r´ ef` erent ` a chacun des deux amas).
On peut ensuite utiliser ce rapport de distance et l’ins´ erer dans l’expression du module
de distance pour les 2 amas. Cela donne :
m1−M1= 16 mag = 5 log(r1)−5 + a r1(2)
m2−M2= 11 mag = 5 log r1
3−5 + ar1 3.(3)
En combinant ces deux ´ equations on trouve ais´ ement que r1= 2.60 kpc. Le deuxi` eme
amas est situ´ e` a une distance 3 fois plus petite r2= 868 pc. En remplac¸ant cette va-
leur dans l’expression du module de distance, on trouve que le taux d’extinction a=
1.51 mag/kpc. Cette valeur est typique de l’extinction rencontr´ ee dans le plan de notre
Galaxie. Si nous avions n´ eglig´ e l’absorption, nous aurions trouv´ e comme distance ` a par-
tir du module de distance : r1= 15.8kpc et r2= 1.58 kpc.
Exercice 2 : Taux de formation d’´etoiles dans la Galaxie
a) Notre Galaxie est une galaxie spirale pour laquelle la majorit´ e du gaz et de la
poussi` ere sont contenus dans un fin disque d’environ 20 kpc de rayon. C’est ` a
partir de ce gaz que les ´ etoiles naissent et c’est effectivement dans cette r´ egion
que le gros de la formation stellaire de la Galaxie se produit. Le taux de formation
stellaire (SFR) donn´ e dans l’´ enonc´ e´ etant exprim´ e en unit´ e de surface, il nous suffit
de multiplier le SFR par la surface du disque pour obtenir la masse stellaire form´ ee
par ann´ ee :
M= (5 Mpc−2Gyr−1)·π(2 ×104pc)2·(10−9Gyr/yr)=6.28 M/yr (4)
b) Le nombre d’´ etoiles qui naissent chaque ann´ ee dans le disque, si on consid` ere des
´
etoiles naines M0V de ∼0.5Mest donc d’une douzaine d’´ etoiles.
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S´ erie 9: Corrig´ e
Exercice 3 : Vitesse relative dans la Voie Lact´ee
a) Partons des ´ equations :
vr= (ω−ω0)R0sin l(5)
vt= (ω−ω0)R0cos l−ωD . (6)
D´ eveloppons ωen s´ erie du premier ordre :
ω'ω0+dω
dRR0
(R−R0)⇒ω−ω0'dω
dRR0
(R−R0)
Nous obtenons alors :
vr=dω
dRR0
(R−R0)R0sin l(7)
vt=dω
dRR0
(R−R0)R0cos l−ω0D . (8)
O` u nous avons utilis´ e l’approximation ω'ω0dans le terme ne faisant pas interve-
nir la diff´ erence (ω−ω0). Nous introduisons les constantes d’Oort :
A=−R0
2dω dRR0
(9)
B=−R0
2dω dRR0
−ω0,(10)
dans les deux ´ equations (7) et (8), ce qui donne :
vr=−2A(R−R0) sin l(11)
vt=−2A(R−R0) cos l+ (B−A)D . (12)
Pour des ´ etoiles dans le voisinage du Soleil, DR0, on d´ eduit que θest petit et
donc R0=Dcos l+Rcos θ'Dcos l+R, donc :
R−R0=−Dcos l . (13)
En substituant (13) dans les ´ equations (11) et (12), nous obtenons :
vr= 2AD cos lsin l(14)
vt= 2AD cos2l+ (B−A)D . (15)
Nous ins´ erons les propri´ et´ es trigonom´ etriques suivantes :
2 cos lsin l= sin 2l(16)
cos2l=1
2(1 + cos 2l),(17)
dans les ´ equations (14) et (15) respectivement. Nous avons ainsi d´ emontr´ e :
vr=AD sin 2l(18)
vt=AD cos 2l+B D . (19)
b) Depuis le Soleil, nous mesurons vten fonction de l, elle atteint une valeur maxi-
male en l= 0◦et 180◦, et une minimale en l= 90◦et 270◦. Ainsi vtest bien
proportionnelle ` acos 2l.
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