Chap.04 1− Cosinus, sinus, tangente a. Définition Dans un triangle

− Troisième −
TRIGONOMETRIE
Chap.04
Côté opposé
1− Cosinus, sinus, tangente
a. Définition
à l’angle d
P
Hypoténuse
Dans un triangle rectangle,
le Cosinus d’un angle aigu est égal au quotient
côté Adjacent
;
Hypoténuse
P
le Sinus d’un angle aigu est égal au quotient
côté Opposé
;
Hypoténuse
la Tangente d’un angle aigu est égal au quotient
Côté adjacent
à l’angle d
P
côté Opposé
.
côté Adjacent
Voici un moyen mnémotechnique pour retenir les formules : CAH SOH TOA = « casse-toi »
A
Dans un triangle ABC rectangle en A,
BC est l’hypoténuse ;
AB (ou BA) est le côté adjacent à l’angle a
ABC ;
C
B
AC (ou CA) est le côté opposé à l’angle a
ABC.
On a donc les relations trigonométriques suivantes :
BA
AC
cos ABC =
sin ABC =
BC
BC
tan ABC =
AC
AB
b. Propriété
Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont des nombres compris entre 0 et 1.
La tangente d’un angle est un nombre positif qui peut être plus grand que 1.
Exemples :
Angles aigus
Cosinus
Sinus
Tangente
− Chap.04 −
10°
0,985…
0,174…
0,176…
30°
0,866…
0,5
0,577…
1
45°
0,707…
0,707…
1
60°
0,5
0,866…
1,732…
80°
0,174…
0,985…
5,671…
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− Troisième −
c. Exemples
Enoncé 1
ABC est un triangle rectangle en C.
Donner la valeur exacte de BC, puis son arrondi à 1 mm près.
Solution
Dans le triangle ABC rectangle en C, on a :
BC
tan a
CAB =
AC
0,577
tan 30° BC
=
1
4
0,577
BC = 4 x tan 30°
B
Je cherche le côté
opposé à a
CAB
30°
C
A
4 cm
Remarque : tan 30° ≈ 0,577
On remplace et on rajoute 1 en dénominateur.
Je connais le côté
adjacent à a
CAB
Produit en croix
La valeur exacte de BC est (4xtan30°) cm.
BC ≃ 2,3
La valeur approchée de BC à 1 mm près est 2,3 cm (ou 23 mm).
Enoncé 2
ABC est un triangle rectangle en A.
Donner la valeur exacte de BC, puis son arrondi à 1 mm près.
Solution
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a :
AB
cos a
ABC =
BC
cos 40° 5
0,766
=
1
BC
5
BC =
cos 40°
0,766
C
Je cherche
l’hypoténuse
A
40°
5
Remarque : cos 40° ≈ 0,766
B
Je connais le côté
On remplace et on rajoute 1 en dénominateur.
adjacent à a
ABC
Produit en croix
La valeur exacte de BC est
BC ≃ 6,5 cm
Enoncé 3
La valeur approchée de BC à 1 mm près est 6,5 cm (ou 65 mm).
ABC est un triangle rectangle en B tel que : AC = 2 cm et BC = 1,3 cm.
Déterminer la mesure de l’angle BAC au degré près.
A
Je connais
l’hypoténuse
Solution
Dans le triangle ABC rectangle en B, on a :
BC
sin a
BAC =
AC
1,3
sin a
BAC =
2
donc
− Chap.04 −
5
cm.
cos 40
a
BAC ≃ 40,5
?
B
2
1,3
C
La mesure de l’angle a
BAC au degré près est 41°.
2
Je connais le côté
opposé à a
BAC
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− Troisième −
2− Formules liant le cosinus, le sinus et la tangente
Dans un triangle rectangle, en considérant x la mesure de l’un des angles aigus, on a :
tan x =
(cos x)² + (sin x)² = 1
sin x
pour x ≠ 0°
cos x
Démonstration :
C
Dans le triangle ABC rectangle en B,
x désigne l’angle aigu a
BAC
x
B
(cos x)2 + (sin x)2 =
AB
AC
2
+
BC
AC
A
BC
sin x
AC BC AC
=
=
x
cos x
AB AC AB
AC
2
AB2 BC2
+
AC2 AC2
AB2 + BC2
=
AC2
=1
Car le triangle ABC est rectangle en B
D’après le théorème de Pythagore on a :
AB2 + BC2 = AC2
=
=
BC x AC
AC x AB
BC
AB
= tan x
=
EXERCICE TYPE
Enoncé :
Calcule la valeur exacte de sin d
A et tan d
A sachant que d
A est un angle aigu et cos d
A = 0,8.
Solution :
On sait que
(cos d
A )2 + (sin d
A )2 = 1
(0,8)2 + (sin d
A )2 = 1
0,64
+ (sin d
A )2 =1
(sin d
A )2 = 1 – 0,64 = 0,36
sin d
A =
0,36
On sait aussi que tan d
A =
− Chap.04 −
sin d
A
cos d
A
=
0,6
0,8
donc
sin d
A = 0,6
donc
tan d
A = 0,75
3
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