trigonométrie des triangleS

SOLUTIONS 7
Chapitre
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7.2 Exercices
1. a) En utilisant les rapports trigonométriques, on obtient
tan , tan
45 45 9° = = °= +
CD
AD d’où AD CD x
tan , tan .60 60
° = = °=
CD
BD d’où BD CD x
En soustrayant la seconde équation de la première, on obtient
CD CD
tan –tan45 60 9 ° ° =.
La mise en évidence de
CD
donne
CD 1 1
tan –tan45 60 9
° °
=et CD 1 1
tan
–
tan
, ...=
° °
=
9
45 60
21 2942
Ce résultat et les rapports trigonométriques appropriés donnent
BD CB et AC
= = =
12 29 24 59 30 11, , , , .
b) En utilisant les rapports trigonométriques, on obtient
tan
, , .
30 9 3 15 59
15 59 9 24 59
° = = °= =
= + = + =
BC
AC , d’où AC
BC
tan 30
AD AC CD
Comme AB est l’hypoténuse d’un triangle rectangle ayant un angle de 30°,
AB est le double du côté opposé à l’angle de 30°; donc AB = 18 et
cCD
BD , d’où BD CD
os45 45 9 2 12 73° = = °= =
cos , .
c) On connaît deux côtés et l’angle opposé au plus grand de ces deux côtés. Il
n’y a pas d’ambiguïté : il existe une seule solution, qu’on calcule à l’aide
de la loi des sinus :
a c c
aA sin sin , sin sin , . A C d’où sin C = ° =
5
742 0 478
Ainsi, ∠C = arcsin(0,478) = 28,55° et ∠B = 109,45°. De plus,
ba = =
°
=
sin
sin
sin
sin , .
B
A
7
42 9 86
°
109,45
AB
C
60˚
45˚
D
9x
A
B
C
30˚ 45˚
D
9
42°
A
B
C
c = 5
b
a = 7
TRIGONOMÉTRIE
des TRIANGLES
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Chapitre 7 Trigonométrie des triangles 121
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d) On donne deux angles et le côté opposé à l’un des deux. Il n’y a pas d’am-
biguïté, car le troisième angle est uniquement déterminé :
∠B = 180° – (58° + 27°) = 95° et a
c
= =
°
°=
sin
sin
sin
sin
A
C
6 58
27 11 21
De plus, b
c
= =
°
°=
sin
sin
sin
sin
B
C
6 95
27 13 17
e) Comme on connaît trois côtés, la solution est unique. On détermine d’abord
l’angle opposé au plus grand côté en utilisant la loi des cosinus :
cos – – ; B
B arccos
=+=+=−=−
∠ =
a c b
ac
2 2 2
2
49 25 81
70
7
70
1
10
−
=
1
10 95,739...°.
sin sin sin ...
sin
A B
A arcsin
= = °
∠ =
a
b
7
995,739
7
950 703,
Donc,
, ...°95 74 ...°=
∠A = 50,70°, ∠B = 95,74 et ∠C = 33,56°.
f) Comme on connaît deux côtés et l’angle qu’ils déterminent, la solution est
unique. En appliquant la loi des cosinus, on obtient
a2 = 25 + 64 – 80 cos 40° = 27,716... et a = 5,264... Et selon la loi des sinus,
on obtient
sin
,, …
°5 40
5 264… 0 610
Puisque le sinus est positif entre 0° et 180°, on doit examiner les deux pos-
sibilités :
∠C = arcsin(0,610...) = 37,623...° ou ∠C = 180° – 37,623...° = 142,376...°.
La deuxième valeur est à éliminer, car elle ne respecte pas la loi des sinus.
On accepte ∠C = 37,62° de sorte que ∠B = 102,38°.
2. On calcule d’abord le rayon, qui est aussi le côté AO du triangle rectangle AOB.
Dans le triangle AOB, on connaît le côté adjacent à l’angle de 30° et on cherche
le côté opposé à cet angle. On utilise donc le rapport de la tangente
tan
,
,30
7 5
° =
r
d’où r = 7,5 tan 30° = 4,33 cm.
On estime donc le diamètre à 8,66 cm.
3. Dans le triangle AOB, on connaît le côté adjacent à l’angle de 30° et on cherche
l’hypoténuse. On utilise donc le rapport du cosinus :
cos , cos ,30
5 5
30 5 77° = = °
=
rr d’où cm.
On estime le diamètre à 11,5 cm.
58°
A
B
C
27°
c = 6
a
b
A
B
C
a = 7
b = 9
c = 5
A
B
C
a
b = 8
c = 5
40°
r
A
O
B
7,5 cm
15 cm
30°
10 cm
r
A
O
B
5 cm
30°
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Chapitre 7 Trigonométrie des triangles 122
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4. En abaissant la hauteur BH, on détermine sur le côté AC deux segments de
longueurs respectives x et b + x. Comme les triangles ABH et CBH sont
rectangles en H, selon le théorème de Pythagore, c2 = h2 + x2 et
a2 = h2 + (b + x)2
= h2 + b2 + 2bx + x2
= b2 + h2 + x2 + 2bx
= b2 + c2 + 2bx puisque c2 = h2 + x2.
Dans le triangle ABH, et, par
substitution, on obtient a2 = b2 + c2 – 2bc cos A.
5. Dans le triangle CBD, on a tan 6 = BD
CD
Dans le triangle ABD, on a
tan
tan ( ) tan .
40
40 00 40
° = +
°+ + = + °
=BD
AD et, puisque AD AC CD
=BD
AC CD =BD 5 CD , d’où BD 5 CD
Donc,
CD 5 CD
CD 5 CD
tan ( )tan
tan tan tan
68 0 40
68 0 40 40
° = + °
° = ° + °°
° ° = °
° °
( )
=
CD CD 5
CD 5
tan – tan tan
tan – tan
68 40 0 40
68 40 00 40
0 40
68 40
tan
tan
tan – tan
.
°
=°
CD 5
Et, puisque BD BD= °tan ,68 on obtient par substitution
BD
5
m.=
°
° °
° =
0 40
68 40 68 63 4737
tan
tan – tan tan , ...
On estime que la hauteur de l’édifice est de 63 m.
6. Dans le triangle ACH, on a tan , tan
.
48
700 700
48
° = = °HB donc, AH
Dans le triangle BCH, tan , tan
.
39
700 700
39
° = = °HB donc, AH
Ainsi, AB AH HB 1 494, 7 m.= + =
°
+
°
=
700
48
700
39tan tan
On estime que la largeur du lac est de 1 490 m.
50 m
A
B
C D
40°68°
αβ
700 m
L
É
V
I
S
-
L
A
U
Z
O
N
A
C
B
H
α = 48°β = 39°
A
H
180°– A
B
C
c
h
xb
a
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Chapitre 7 Trigonométrie des triangles 123
© Groupe Modulo inc., 2010, Mathématiques appliquées aux technologies du bâtiment et du territoire, 2e édition, Solutions détaillées
7. On cherche AC AD CD
=
– .
Dans le triangle CBD, on a
tan ,
tan tan
.58
58 58
° = =
°
=
°
BD
CD
d’où CD BD 95
Dans le triangle ABD, on a
tan ,
tan tan
.35
35 35
° = =
°
=
°
BD
AD
d’où AD BD 95
et AC AD CD 95 95
= =
° °
=–
tan
–
tan
, ...
35 58
76 3
On estime que la distance entre les deux chaloupes est de 76 m.
8. Dans le triangle ABC, on a
tan ,,,, ...
.
α α= 
= °
18 5
35
18 5
35 27 8596 d’où = arctan
Ainsi, θ = 2α = 55,7193...°. On estime que l’angle mesure
55,72°.
9. Comme on connaît les trois côtés du triangle ABC, on peut trouver
l’angle α en ayant recours à la loi des cosinus.
cos
arccos
α
α
=+ −
× ×
=+ −
× ×
26 23 45
2 26 23
26 23 45
2 26
2 2 2
2 2 2
223 133 284
= °, ...
On a alors θ = 360° – 2α = 93,431...°.
On a CF CB BO OF 2 BO OF
= + + = + + =
6 54, d’où
Dans le triangle OBE, on a ∠OBE = θ/2 = 46,715...° et
On a donc
On estime que le rayon r de la sphère est de 11,8 cm.
14 cm
10 cm
8 cm
51 cm
18,5
45 cm
35 cm
αA
B
C
26 cm
54 cm
45 cm
23 cm
θα
A
O
C
B
26 cm
54 cm
45 cm
23 cm
θ
A
C
B
F
O
E
D
95 m
β
α
α = 35° β = 58°
B
DA
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Chapitre 7 Trigonométrie des triangles 124
© Groupe Modulo inc., 2010, Mathématiques appliquées aux technologies du bâtiment et du territoire, 2e édition, Solutions détaillées
10. L’angle CAB mesure 36° et, en appliquant la loi des cosinus au triangle
ABC, on calcule la longueur du deuxième câble :
CB = + × × ° =60 20 2 20 60 36 45 369
2 2 – cos , ...
On estime que la longueur du second câble est CB m.
=
45 4,
La hauteur du pylône est la longueur
CD or
CD CE DE
, –
.=
Dans le triangle ACE, on a
et, dans le triangle ADE, on a
DE
m.
= °
40 1 12 8 5336 8 5, tan , ... ,
Par conséquent, CD m.= = ≈44 5886 8 5336 36 055 36 1, ... – , ... , ... ,
On peut également procéder de la façon suivante.
Dans le triangle ACE, on a
et, dans le triangle ADE, on a
AD AE
cos12 m.= °
=
°
= =
40 1478
12 41 0447 41 0
, ...
cos , ... ,
En appliquant la loi des cosinus au triangle ACD, on obtient
CD = + × × °
=
60 41 044 7 2 41 044 7 60 36
36 055
2 2
, – , cos
, m.0 36 1... ,=
11. En appliquant la loi des cosinus, on a AB
2
2 2
13 7 2 13 7 39
169 49 182 39
76 559
= + × × °
= + °
=
– cos
– cos
, 4...
d’où AB m.= = ≈76 5594 8 7498 8 75, ... , ... ,
12. Dans le triangle ABC, ∠A = 62° – 48° = 14°,
∠B = 180° – (28° + 14°) = 138° et a =
CB m.=60
La loi des sinus donne
b a b
b
sin sin
,
sin sin
sin
sin
.
B A
d’où
1 1
et =
1
=
°
=
°
°
°38
60
4
60 138
4
De plus, sin , sin48 48° = = °
h
b
h bd’où et, par substitution, on obtient
h=
° °
°
= ≈
60 138 48
14
123 3276 123
sin sin
sin
, ... m.
h
A
EB
D
C
δ
20m
12°48°
60 m
13 m
7 m
39°
A
B
C
20˚
48˚
62˚
A
B
D
E
b
a
h
c
C
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