Espaces probabilisés

Lycée Jean Perrin
Classe de TSI2
Exercices série 12
Espaces probabilisés
Exercice 1
Soit Ω un univers. A, B et C trois évènements. Traduire en termes ensemblistes (en utilisant uniquement les symboles
d'union, d'intersection et de passage au complémentaire, ainsi que A, B, C ) les évènements suivants :
1. Seul A se réalise.
2. A et B se réalisent, mais pas C .
3. Les trois évènements se réalisent.
4. Au moins l'un des trois évènements se réalise.
5. Au moins deux des trois évènements se réalisent.
6. Aucun ne se réalise.
7. Au plus l'un des trois se réalise.
8. Exactement deux des trois se réalisent.
[pr001]
Exercice 2
Soit (Ω, P ) un espace probabilisé. A et B deux évènements.
1. Si P (A) = 0, 9 et P (B) = 0, 8, montrer que P (A ∩ B) > 0, 7.
2. Montrer que pour tous évènements A et B : P (A ∩ B) > P (A) + P (B) − 1.
3. Généraliser :
n
∀A1 , · · · , An ∈ P(Ω),
P (A1 ∩ · · · ∩ An ) >
X
P (Ai ) − (n − 1)
i=1
[pr002]
Exercice 3
Deux amis footballeurs, Pierre et Paul, se livrent à une séance de pénaltys. La probabilité que Pierre marque lorsqu'il
tire un pénalty est égale à 2/3, pour Paul elle est égale à 1/2. Chacun tire un pénalty à son tour, en commençant par
Paul, et le premier qui marque a gagné. Quelle est la probabilité que Pierre gagne ?
[pr003]
Exercice 4
Le gérant d'un magasin d'informatique a reçu un lot de boîtes de DVD. 5% des boîtes sont abîmées.
Le gérant estime que :
60% des boîtes abîmées contiennent au moins un DVD défectueux.
98% des boîtes non abîmées ne contiennent aucun DVD défectueux.
Un client achète une boîte du lot. On désigne par A l'évènement "la boîte est abîmée", et par D l'évènement "la boîte
achetée contient au moins un DVD défectueux".
1. Donner les probabilités de P (A), P (A), PA (D), P (D|A), P (D|A) et P (D|A).
2. Le client constate qu'un des DVD acheté est défectueux. Quelle est la probabilité pour qu'il ait acheté une boîte
abîmée ?
[pr004]
Exercice 5
On considère une urne contenant 4 boules blanches et 3 boules noires. On tire une à une et sans remise 3 boules de
l'urne. Quelle est la probabilité pour que la première boule tirée soit blanche, la seconde blanche, et la troisième noire ?
[pr005]
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Exercice 6
Un questionnaire à choix multiples propose 4 réponses pour chaque question. Soit p la probabilité pour qu'un étudiant
connaisse la bonne réponse à une question donnée. S'il ignore la réponse, il choisit au hasard l'une des réponses proposées.
Quelle est pour le correcteur la probabilité qu'un étudiant connaisse vraiment la bonne réponse lorsqu'il l'a donnée ?
[pr006]
Exercice 7
Une usine fabrique des pièces avec une proportion de 0, 05 de pièce défectueuses. Le contrôle des fabrications est tel que :
Si la pièce est bonne, elle est acceptée avec la probabilité 0, 96.
Si la pièce est mauvaise, elle est refusée avec la probabilité 0, 98.
On choisit une pièce au hasard et on la contrôle. Quelle est la probabilité :
1. Qu'il y ait une erreur de contrôle ?
2. Qu'une pièce acceptée soit mauvaise ?
[pr007]
Exercice 8
Une compagnie d'assurances répartit ses clients en trois classes R1 , R2 et R3 : les bons risques, les risques moyens, et les
mauvais risques. Les eectifs de ces trois classes représentent 20% de la population totale pour la classe R1 , 50% pour
la classe R2 , et 30% pour la classe R3 . Les statistiques indiquent que les probabilités d'avoir un accident pour l'une de
ces trois classes sont respectivement de 0, 05, 0, 15 et 0, 30.
1. Quelle est la probabilité pour qu'une personne choisie au hasard dans la population ait un accident dans l'année ?
2. Si M.Martin n'a pas eu d'accident cette année, quelle est la probabilité qu'il soit un bon risque ?
[pr008]
Exercice 9
1. Soient A, B et C trois évènements. Montrer que :
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
2. On dispose de 3 composants électriques C1 , C2 et C3 dont la probabilité de fonctionnement est pi , et de fonctionnements totalement indépendants les uns des autres. Donner la probabilité de fonctionnement du circuit (c'est à
dire lorsque le courant passe)
(a) si les composants sont disposés en série.
(b) si les composants sont disposés en parallèle.
(c) si le circuit est mixte : C1 est disposé en série avec le sous-circuit constitué de C2 et C3 en parallèle.
[pr014]
Exercice 10
1. Une urne contient 12 boules numérotées de 1 à 12. On en tire une au hasard, et onconsidère les évènements :
A
= {tirage d'un nombre pair}
B
= {tirage d'un multiple de 3}
Les événements A et B sont-ils indépendants ?
2. Reprendre la question avec une urne contenant 13 boules.
[pr011]
Exercice 11
La probabilité pour une population d'être atteinte d'une maladie A est p donné ; dans cette même population, un
individu peut être atteint par une maladie B avec une probabilité q donnée aussi ; on suppose que les maladies sont
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indépendantes : quelle est la probabilité d'être atteint par l'une et l'autre de ces maladies ? Quelle est la probabilité
d'être atteint par l'une ou l'autre de ces maladies ?
[pr012]
Exercice 12
On considère une urne U contenant 9 boules blanches et 1 boule noire, et une urne V contenant 3 boules blanches et
7 boules noires. On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, et on eectue deux tirages avec remise dans
l'urne U si le dé amène l'as, ou dans l'urne V si le dé n'amène pas l'as.
On considère les évènements U : on tire dans l'urne U , V : on tire dans l'urne V , Bi : la ième boule est
blanche et Ni : la ième boule est noire pour i = 1, 2.
1. Les évènements B1 et N2 sont-ils indépendants ?
2. Sachant que l'on a obtenu une boule banche puis une boule noire, de quelle urne est-il plus probable qu'on les ait
tiré ?
[pr054]
Exercice 13
On dispose de N + 1 urnes U0 , U1 , . . . , UN , l'urne Ui contenant i boules blanches et N − i boules noires. On choisit une
urne au hasard et on prélève successivement dans cette urne des boules, avec remise dans l'urne après chaque tirage.
On considère les événements suivants :
pour tout i ∈ {0, . . . , N }, Ai : choisir l'urne Ui ;
pour tout n > 1, Bn : le n-ème tirage amène une boule blanche ;
pour tout n > 1, Cn : les n premiers tirages amènent n boules blanches .
1. Quelle est la probabilité que les n premiers tirages amènent n boules blanches ?
2. Sachant que les n premiers tirages ont amené n boules blanches, quelle est la probabilité qu'un tirage supplémentaire amène encore une boule blanche ?
3. Déterminer la limite de ces probabilités lorsque N tend vers +∞.
[pr055]
Exercice 14
Une famille, soucieuse de bien gérer ses dépenses, étudie l'évolution de sa consommation de nourriture. Elle a constaté
que si un mois donné elle a dépassé son budget, la probabilité qu'elle le dépasse le mois suivant est égale à 51 ; si un
mois donné elle n'a pas dépassé son budget, la probabilité qu'elle le dépasse le mois suivant est égale à 25 .
On suppose que la probabilité qu'elle ait dépassé son budget le premier mois est égale à 12 . . On note, pour tout entier
n > 1, An l'événement La famille dépasse son budget le n-ème mois et pn la probabilité de An .
1. Utilisant le système complet d'événements (An , An ), trouver une relation liant pn+1 et pn pour tout entier n > 1.
2. En déduire l'expression de pn en fonction de n, pour tout entier n > 1, puis la limite de pn lorsque n tend vers
+∞.
[pr057]
Exercice 15
Soit (Ω, P ) un espace probabilisé, et deux évènements A et B .
1. Montrer que si A et B sont indépendants, alors A et B , A et B , A et B sont indépendants.
2. Généralisation : Montrer que si on a n évènements mutuellement indépendants A1 , A2 , . . . , An , alors A1 , A2 , . . . , An
sont mutuellement indépendants.
En déduire que A1 , A2 , . . . , An sont mutuellement indépendants.
3. En déduire que :
!
P
n
[
i=1
Ai
=1−
n
Y
1 − P (Ai )
i=1
Trois chasseurs aperçoivent un canard d'eau et tirent simultanément. Leurs probabilités d'atteindre
le canard sont respectivement 12 , 13 et 14 . Calculer la probabilité que le canard d'eau soit touché.
Application :
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[pr053]
Exercice 16
Un train se compose de 10 wagons citernes contenant un produit dangereux. Chacun des wagons peut avec une probabilité
de 0, 1 (et indépendamment des autres) avoir un défaut. Avant le départ, les wagons sont examinés par deux contrôleurs.
Chacun d'eux vérie tous les wagons, sans échanger d'information avec son collègue pendant le contrôle. On admet que
chaque contrôleur peut déceler le défaut (s'il y en a un) d'un wagon donné avec une probabilité égale à 0, 7. Un seul
défaut sut pour que le train soit retardé. Trouver les probabilités des évènements suivants :
1. Le train est retardé.
2. Le train part avec au moins un wagon défectueux.
[pr015]
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