Rappels et Compléments d`Analyse Introduction à l`Algèbre linéaire

UFR de Sciences de Versailles Département de Mathématiques
Licence Sciences et Technologies MA100. Semestre 1. Année 2013-14
Rappels et Compléments d’Analyse
Introduction à l’Algèbre linéaire
1 Limites
On pose IR =IR ∪ {+∞,−∞}.
1.1 Quelques Propriétés
Théorème 1.1. Soient fet gdeux fonctions définies au voisinage Vade a(a∈IR) telles que
∀x∈Vaf(x)≤g(x),
alors si lim
x→af(x)et lim x→ag(x)existent, lim x→af(x)≤lim x→ag(x).
Corollaire 1.1. En particulier si Mest un réel tel que f(x)≤M∀x∈Vaet si lim
x→af(x)existe
alors lim
x→ag(x)≤M.
Exemple 1.1. Soit f:IR⋆→IR telle que ∀x∈IR⋆, f(x) = −1
x2. On a ∀x∈IR⋆f(x)<0. On ne
peut pas en conclure que lim
x→0f(x)<0. On peut seulement conclure que lim x→0f(x)≤0. Dans cette
exemple, la limite est égale à la valeur M= 0.
Corollaire 1.2. dit des Gendarmes Soient f,get htrois fonctions définies au voisinage Va
de aoù a∈IR. On suppose que
∀x∈Vaf(x)≤g(x)≤h(x)et lim
x→af(x) = lim x→ah(x) = l∈IR
alors lim
x→ag(x) = l.
1.2 Opérations sur les limites
Soient fet gdeux fonctions de IR dans IR et a∈IR tels que lim
x→af(x) = let lim x→ag(x) = l′où l
et l′appartiennent à IR.
1.2.1 Limite de f(x) + g(x)
On résume les résultats de lim
x→af(x) + g(x)dans le tableau suivant :
lim
x→af(x) + g(x)l∈IR l= +∞l=−∞
l′∈IR l+l′+∞ −∞
l′= +∞+∞à déterminer
l′=−∞ −∞
1

1.2.2 Limite de αf(x)
On résume les résultats de lim
x→aαf(x)où α∈IR⋆dans le tableau suivant :
lim
x→aαf(x)l∈IR l= +∞l=−∞
α∈IR⋆+αl +∞ −∞
α∈IR⋆−αl −∞ +∞
1.2.3 Limite de f(x)g(x)
On résume les résultats de lim
x→af(x)g(x)dans le tableau suivant :
lim
x→af(x)g(x)l∈IR l= +∞l=−∞
l′∈IR ll′
+∞si l′>0
−∞ si l′<0
à déterminer si l′= 0
−∞ si l′>0
+∞si l′<0
à déterminer si l′= 0
l′= +∞+∞ −∞
l′=−∞ +∞
1.2.4 Limite de 1
f(x)
On résume les résultats de lim
x→a
1
f(x)dans le tableau suivant :
lim
x→a
1
f(x)l∈IR⋆l= 0 l= 0+l= 0−l= +∞l=−∞
1
là déterminer +∞ −∞ 0+0−
Remarque 1.1. Pour trouver la limite de f(x)
g(x)il suffit de remarquer que f(x) g(x)=f(x)1 g(x)puis
appliquer les règles concernant la limite de l’inverse de g(x)puis celle du produit de deux fonctions.
1.3 Limite de la Composée de deux fonctions
Théorème 1.2. Soient fune fonction définie au voisinage de x0(x0∈IR), gune fonction
définie au voisinage de y0(y0∈IR) et z0∈IR.
•Si y0= +∞
Si lim
x→x0
f(x) = +∞,et si lim
y→+∞g(y) = z0alors lim x→x0
g(f(x)) = z0.
On a aussi le même résultat, si on remplace +∞par −∞.
•Si y0∈IR
Si lim
x→x0
f(x) = y0,et si lim
y→y0
g(y) = g(y0)alors lim
x→x0
g(f(x)) = g(y0).
1.4 Interprétation géométrique d’une limite
•Soit a∈IR, si lim
x→a±f(x) = ±∞, on dit que la droite d’équation : x=aest asymptote
à la courbe d’équation y=f(x).
•Soit b∈IR, si lim
x→±∞ f(x) = b, on dit que la droite d’équation : y=best asymptote à
la courbe d’équation y=f(x).
•Soit c, d ∈IR, si lim
x→±∞[f(x)−(cx +d)] = 0, on dit que la droite d’équation : y=cx +d
est asymptote oblique à la courbe d’équation y=f(x).
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•Si lim
x→±∞
f(x)
x=±∞, alors on dit que la courbe d’équation y=f(x)admet une
branche parabolique de direction verticale.
•Si lim
x→±∞ f(x) = ±∞ et si lim x→±∞
f(x)
x= 0, alors on dit que la courbe d’équation y=f(x)
admet une branche parabolique de direction horizontale.
•Soit a∈IR⋆. Si lim
x→±∞
f(x)
x=a, et si lim
x→±∞ f(x)−ax =±∞ alors on dit que la courbe
d’équation y=f(x)admet une branche parabolique oblique de direction y=ax.
y=cx +d
y=bb
0
y=f(x)
a
x=a
y=f(x)
Comment trouver une asymptote ?
Soit fune fonction définie au voisinage de +∞. Pour savoir si la courbe représentative de f
admet une symptote en +∞, on calcule lim
x→+∞
f(x)
x. Si cette limite est finie et vaut aet si
lim
x→+∞[f(x)−ax] = b(b∈IR)alors la droite d’équation y=ax +best asymptote à la courbe
représentative de f.
On obtient le même résultat, pour trouver une asymptote éventuelle en −∞, en changeant +∞
en −∞.
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2 Continuité d’une fonction
2.1 Généralités sur les fonctions :
Définition 2.1.
Soient Eet Fdeux ensembles, on appelle fonction de Edans F, toute relation fqui à chaque
élément de Eassocie au plus un élément dans F. L’ensemble des éléments de Eauxquels la
relation fassocie exactement un élément dans Fest appelé ensemble de définition de fet
souvent noté Df.
Si la fonction fassocie à x∈Eun élément y∈F, on dit que yest l’image de xpar f
ou que xest un antécédent de ypar f.yest alors noté f(x).
Eest appelé ensemble de départ et Fensemble d’arrivée.
Le graphe de fest l’ensemble des couples (x, f(x)) lorsque xparcourt Df.
Définition 2.2. d’une application :
On appelle application de Edans Ftoute fonction ftelle que tout élément de départ admet
exactement une image dans F.
On dira que deux applications fet gsont égales si elles ont même ensemble de départ et
d’arrivée et si ∀x∈E f(x) = g(x).
Exemple 2.1. •Soient Eet Fdeux ensembles et a∈F. L’application qui à chaque élément
de Eassocie l’élément aest appelée application constante et égale à a.
•Soit Eun ensemble. L’aplication qui à chaque élément de Eassocie lui-même est appelée
application identique de Eet est notée IE.
•Soit Eun ensemble et Aune partie de E. On appelle fonction indicatrice de Al’appli-
cation de Edans {0,1}qui à xassocie 1si x∈Aet 0sinon.
•Soient nun entier naturel et a0, .., ann+ 1 réels. L’application pde IR dans IR qui à chaque
x∈IR associe a0+a1x+a2x2+..+anxnest appelée fonction polynômiale de la variable
réelle et parfois par abus de langage polynôme.
Définition 2.3. Une application fde Edans Fest bijective si et seulement si tout élément yde
Fadmet un unique antécédent dans E. Cela s’écrit aussi :
(∀y∈F) (∃!x∈Etq. y=f(x)).
ne x=x′
Définition 2.4. Soit f:E→Fune application bijective de Edans F. On définit alors l’applica-
tion appelée application réciproque de fde Fdans Equi à chaque yde Fassocie son unique
antécédent par fdans E. Cette application réciproque est notée get vérifie donc :
(∀x∈E),(∀y∈F)y=f(x)⇔x=g(y).
Propriété 2.1. Soit fune application bijective de Edans F. Alors l’application réciproque de
f, notée gest l’unique application de Fdans Etelle que f◦g=IFet g◦f=IE, où IEet
l’application identique de Edans E.
Exemple 2.2. •Soit Eun ensemble, l’application identique de Eest bijective et sa bijection
réciproque est elle-même.
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•L’application ln est bijective de ]0,+∞[dans IR et son application réciproque est notée exp.
•l’application carrée f:IR →IR
x→x2n’est pas bijective. En effet : 32= (−3)2et 36=−3
donc 9a deux antécédants.
Considérons maintenant l’application h:IR+→IR+
x→x2. Cette application est bijective
et l’application réciproque est la fonction racine carrée (√).
2.2 Généralités sur les fonction numériques de la variable réelle :
Définition 2.5. Soit fune fonction de IR dans IR définie sur une partie Dde IR. La fonction f
est dite :
i)croissante sur Dsi ∀x, x′∈D,(x≤x′=⇒f(x)≤f(x′)).
ii)décroissante sur Dsi ∀x, x′∈D,(x≤x′=⇒f(x)≥f(x′)).
iii)strictement croissante sur Dsi ∀x, x′∈D,(x < x′=⇒f(x)< f(x′)).
iv)strictement décroissante sur Dsi ∀x, x′∈D,(x < x′=⇒f(x)> f(x′)).
v)monotone sur Dsi elle est croissante sur Dou décroissante sur D.
vi)strictement monotone sur Dsi elle est strictement croissante sur Dou
strictement décroissante sur D.
vii)majorée sur Dsi ∃M∈IR, tq. (∀x∈D,f(x)≤M).
viii)minorée sur Dsi ∃M∈IR, tq. (∀x∈D,f(x)≥m).
ix)bornée sur Dsi elle est majorée et minorée sur D.
x)paire sur Dsi ∀x∈D,−x∈Det f(−x) = f(x).
xi)impaire sur Dsi ∀x∈D,−x∈Det f(−x) = −f(x).
xii)périodique si ∃T∈IR+∗, tq. (∀x∈D,x+T∈Det f(x+T) = f(x)).
Exemple 2.3. – Les fonctions sin et cos sont bornées par 1sur IR et sont 2πpériodiques. La
fonction sin est impaire et la fonction cos est paire.
– La fonction carrée est croissante sur IR+et décroissante sur IR−. Elle est monotone sur IR+,
sur IR−mais n’est pas monotone sur IR.
– La fonction fdéfinie sur IR par f(x) = x+ 2 est ni paire, ni impaire.
2.3 Premières propriétés des fonctions numériques continues
Définition 2.6. Soit aun réel. Soit fune fonction numérique définie dans un voisinage de aet
contenant aà valeur dans IR. On dit que fest continue en a(resp. à droite en a, resp. à gauche
en a) si lim
x→af(x) = f(a)(resp. si lim
x→a+f(x) = f(a), resp. si lim
x→a−f(x) = f(a)).
Définition 2.7. Soit fune fonction numérique définie sur un intervalle ouvert Ide IR. On dit
que fest continue sur Isi fest continue en tout point xde I.
Des propriétés des limites, on déduit immédiatement les propriétés suivantes.
Propriété 2.2. fest continue en asi et seulement si fest continue à droite et à gauche en a.
Soient fet gdeux fonctions numériques continues en aet αun réel alors f+g,fg et αf sont
continues en a.
Si f(a)6= 0 alors 1
fest continue en a.
Soient gune fonction numérique définie sur un intervalle Jet fune fonction numérique définie
sur Itel que f(x)∈J, ∀x∈I. Soit a∈I. Supposons que fest continue en aet gest continue en
f(a)alors g◦fest continue en a.
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