Rappels et Compléments d`Analyse Introduction à l`Algèbre linéaire

UFR de Sciences de Versailles
Licence Sciences et Technologies
Département de Mathématiques
MA100. Semestre 1. Année 2013-14
Rappels et Compléments d’Analyse
Introduction à l’Algèbre linéaire
1
Limites
On pose IR = IR ∪ {+∞, −∞}.
1.1
Quelques Propriétés
Théorème 1.1. Soient f et g deux fonctions définies au voisinage Va de a (a ∈ IR) telles que
∀x ∈ Va
f (x) ≤ g(x),
alors si lim f (x) et lim g(x) existent,
x→a
x→a
lim f (x) ≤ lim g(x).
x→a
x→a
Corollaire 1.1. En particulier si M est un réel tel que f (x) ≤ M
alors lim g(x) ≤ M .
∀x ∈ Va et si lim f (x) existe
x→a
x→a
−1
. On a ∀x ∈ IR⋆ f (x) < 0. On ne
x2
peut pas en conclure que lim f (x) < 0. On peut seulement conclure que lim f (x)≤ 0. Dans cette
Exemple 1.1. Soit f : IR⋆ → IR telle que ∀x ∈ IR⋆ , f (x) =
x→0
x→0
exemple, la limite est égale à la valeur M = 0.
Corollaire 1.2. dit des Gendarmes Soient f , g et h trois fonctions définies au voisinage Va
de a où a ∈ IR. On suppose que
∀x ∈ Va
f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) et lim f (x) = lim h(x) = l ∈ IR
x→a
x→a
alors lim g(x) = l.
x→a
1.2
Opérations sur les limites
Soient f et g deux fonctions de IR dans IR et a ∈ IR tels que lim f (x) = l et lim g(x) = l′ où l
x→a
et l′ appartiennent à IR.
1.2.1
Limite de f (x) + g(x)
On résume les résultats de lim f (x) + g(x) dans le tableau suivant :
x→a
lim f (x) + g(x)
x→a
′
l ∈ IR
l′ = +∞
l′ = −∞
l ∈ IR l = +∞
l+l
′
+∞
+∞
1
l = −∞
−∞
à déterminer
−∞
x→a
1.2.2
Limite de αf (x)
On résume les résultats de lim αf (x) où α ∈ IR⋆ dans le tableau suivant :
x→a
lim αf (x)
x→a
⋆+
α ∈ IR
α ∈ IR⋆−
1.2.3
l ∈ IR
l = +∞ l = −∞
αl
αl
+∞
−∞
−∞
+∞
Limite de f (x)g(x)
On résume les résultats de lim f (x)g(x) dans le tableau suivant :
x→a
lim f (x)g(x)
x→a
l ∈ IR
′
l ∈ IR
ll
l = +∞
Limite de
1
f (x)
On résume les résultats de lim
x→a
lim
x→a
−∞ si l′ > 0
+∞ si l′ < 0
à déterminer si l′ = 0
−∞
+∞
+∞ si l > 0
−∞ si l′ < 0
à déterminer si l′ = 0
+∞
′
l′ = +∞
l′ = −∞
1.2.4
l = −∞
′
1
f (x)
l ∈ IR⋆
1
l
1
dans le tableau suivant :
f (x)
l=0
l = 0+
l = 0−
à déterminer
+∞
−∞
l = +∞ l = −∞
0+
0−
f (x)
f (x)
1
il suffit de remarquer que
= f (x)
puis
g(x)
g(x)
g(x)
appliquer les règles concernant la limite de l’inverse de g(x) puis celle du produit de deux fonctions.
Remarque 1.1. Pour trouver la limite de
1.3
Limite de la Composée de deux fonctions
Théorème 1.2. Soient f une fonction définie au voisinage de x0 ( x0 ∈ IR), g une fonction
définie au voisinage de y0 ( y0 ∈ IR) et z0 ∈ IR.
• Si y0 = +∞
Si lim f (x) = +∞, et si
x→x0
lim g(y) = z0 alors lim g(f (x)) = z0 .
y→+∞
x→x0
On a aussi le même résultat, si on remplace +∞ par −∞.
• Si y0 ∈ IR
Si lim f (x) = y0 , et si lim g(y) = g(y0 ) alors lim g(f (x)) = g(y0 ).
x→x0
1.4
x→x0
y→y0
Interprétation géométrique d’une limite
• Soit a ∈ IR, si lim± f (x) = ±∞, on dit que la droite d’équation : x = a est asymptote
x→a
à la courbe d’équation y = f (x).
• Soit b ∈ IR, si lim f (x) = b, on dit que la droite d’équation : y = b est asymptote à
x→±∞
la courbe d’équation y = f (x).
• Soit c, d ∈ IR, si lim [f (x) − (cx + d)] = 0, on dit que la droite d’équation : y = cx + d
x→±∞
est asymptote oblique à la courbe d’équation y = f (x).
2
f (x)
= ±∞, alors on dit que la courbe d’équation y = f (x) admet une
x
branche parabolique de direction verticale.
f (x)
• Si lim f (x) = ±∞ et si lim
= 0, alors on dit que la courbe d’équation y = f (x)
x→±∞
x→±∞ x
admet une branche parabolique de direction horizontale.
f (x)
= a, et si lim f (x) − ax = ±∞ alors on dit que la courbe
• Soit a ∈ IR⋆ . Si lim
x→±∞
x→±∞ x
d’équation y = f (x) admet une branche parabolique oblique de direction y = ax.
• Si
lim
x→±∞
x=a
y = f (x)
a
0
y = f (x)
y=b
b
y = cx + d
Comment trouver une asymptote ?
Soit f une fonction définie au voisinage de +∞. Pour savoir si la courbe représentative de f
f (x)
. Si cette limite est finie et vaut a et si
admet une symptote en +∞, on calcule lim
x→+∞ x
lim [f (x) − ax] = b (b ∈ IR) alors la droite d’équation y = ax + b est asymptote à la courbe
x→+∞
représentative de f .
On obtient le même résultat, pour trouver une asymptote éventuelle en −∞, en changeant +∞
en −∞.
3
2
Continuité d’une fonction
2.1
Généralités sur les fonctions :
Définition 2.1.
Soient E et F deux ensembles, on appelle fonction de E dans F , toute relation f qui à chaque
élément de E associe au plus un élément dans F . L’ensemble des éléments de E auxquels la
relation f associe exactement un élément dans F est appelé ensemble de définition de f et
souvent noté Df .
Si la fonction f associe à x ∈ E un élément y ∈ F , on dit que y est l’image de
ou que x est un antécédent de y par f . y est alors noté f (x).
x par f
E est appelé ensemble de départ et F ensemble d’arrivée.
Le graphe de f est l’ensemble des couples (x, f (x)) lorsque x parcourt Df .
Définition 2.2. d’une application :
On appelle application de E dans F toute fonction f telle que tout élément de départ admet
exactement une image dans F .
On dira que deux applications f et g sont égales si elles ont même ensemble de départ et
d’arrivée et si ∀x ∈ E f (x) = g(x).
Exemple 2.1.
• Soient E et F deux ensembles et a ∈ F . L’application qui à chaque élément
de E associe l’élément a est appelée application constante et égale à a.
• Soit E un ensemble. L’aplication qui à chaque élément de E associe lui-même est appelée
application identique de E et est notée IE .
• Soit E un ensemble et A une partie de E. On appelle fonction indicatrice de A l’application de E dans {0, 1} qui à x associe 1 si x ∈ A et 0 sinon.
• Soient n un entier naturel et a0 , .., an n + 1 réels. L’application p de IR dans IR qui à chaque
x ∈ IR associe a0 + a1 x+ a2 x2 + ..+ an xn est appelée fonction polynômiale de la variable
réelle et parfois par abus de langage polynôme.
Définition 2.3. Une application f de E dans F est bijective si et seulement si tout élément y de
F admet un unique antécédent dans E. Cela s’écrit aussi :
(∀y ∈ F ) (∃!x ∈ E tq. y = f (x)).
ne x = x′
Définition 2.4. Soit f : E → F une application bijective de E dans F . On définit alors l’application appelée application réciproque de f de F dans E qui à chaque y de F associe son unique
antécédent par f dans E. Cette application réciproque est notée g et vérifie donc :
(∀x ∈ E), (∀y ∈ F ) y = f (x) ⇔ x = g(y).
Propriété 2.1. Soit f une application bijective de E dans F . Alors l’application réciproque de
f , notée g est l’unique application de F dans E telle que f ◦ g = IF et g ◦ f = IE , où IE et
l’application identique de E dans E.
Exemple 2.2.
• Soit E un ensemble, l’application identique de E est bijective et sa bijection
réciproque est elle-même.
4
• L’application ln est bijective de ]0, +∞[ dans IR et son application réciproque est notée exp.
IR → IR
n’est pas bijective. En effet : 32 = (−3)2 et 3 6= −3
• l’application carrée f :
x → x2
donc 9 a deux antécédants.
+
IR
→ IR+
Considérons maintenant l’application h :
. Cette application est bijective
x → x2
√
).
et l’application réciproque est la fonction racine carrée (
2.2
Généralités sur les fonction numériques de la variable réelle :
Définition 2.5. Soit f une fonction de IR dans IR définie sur une partie D de IR. La fonction f
est dite :
i)
croissante sur D si ∀x, x′ ∈ D, (x ≤ x′ =⇒ f (x) ≤ f (x′ )).
ii)
décroissante sur D si ∀x, x′ ∈ D, (x ≤ x′ =⇒ f (x) ≥ f (x′ )).
iii) strictement croissante sur D si ∀x, x′ ∈ D, (x < x′ =⇒ f (x) < f (x′ )).
iv) strictement décroissante sur D si ∀x, x′ ∈ D, (x < x′ =⇒ f (x) > f (x′ )).
v)
monotone sur D si elle est croissante sur D ou décroissante sur D.
vi) strictement monotone sur D si elle est strictement croissante sur D ou
strictement décroissante sur D.
vii)
majorée sur D si ∃M ∈ IR, tq. (∀x ∈ D, f (x) ≤ M ).
viii) minorée sur D si ∃M ∈ IR, tq. (∀x ∈ D, f (x) ≥ m).
ix)
bornée sur D si elle est majorée et minorée sur D.
x)
paire sur D si ∀x ∈ D, −x ∈ D et f (−x) = f (x).
xi)
impaire sur D si ∀x ∈ D, −x ∈ D et f (−x) = −f (x).
xii) périodique si ∃T ∈ IR+∗ , tq. (∀x ∈ D, x + T ∈ D et f (x + T ) = f (x)).
Exemple 2.3.
– Les fonctions sin et cos sont bornées par 1 sur IR et sont 2π périodiques. La
fonction sin est impaire et la fonction cos est paire.
– La fonction carrée est croissante sur IR+ et décroissante sur IR− . Elle est monotone sur IR+ ,
sur IR− mais n’est pas monotone sur IR.
– La fonction f définie sur IR par f (x) = x + 2 est ni paire, ni impaire.
2.3
Premières propriétés des fonctions numériques continues
Définition 2.6. Soit a un réel. Soit f une fonction numérique définie dans un voisinage de a et
contenant a à valeur dans IR. On dit que f est continue en a (resp. à droite en a, resp. à gauche
en a) si lim f (x) = f (a) (resp. si lim+ f (x) = f (a), resp. si lim− f (x) = f (a)).
x→a
x→a
x→a
Définition 2.7. Soit f une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert I de IR. On dit
que f est continue sur I si f est continue en tout point x de I.
Des propriétés des limites, on déduit immédiatement les propriétés suivantes.
Propriété 2.2. f est continue en a si et seulement si f est continue à droite et à gauche en a.
Soient f et g deux fonctions numériques continues en a et α un réel alors f + g, f g et αf sont
continues en a.
1
est continue en a.
Si f (a) 6= 0 alors
f
Soient g une fonction numérique définie sur un intervalle J et f une fonction numérique définie
sur I tel que f (x) ∈ J, ∀x ∈ I. Soit a ∈ I. Supposons que f est continue en a et g est continue en
f (a) alors g ◦ f est continue en a.
5
2.4
Image d’un intervalle par une fonction continue :
Théorème 2.1. Soit [a, b] un segment de IR. Soit f une fonction continue sur [a, b]. Alors f est
bornée sur [a, b] et y atteint ses bornes.
Autrement dit : Il existe deux réels c et d appartenant à [a, b] tels que
f (c) ≤ f (x) ≤ f (d),
∀x ∈ [a, b].
Théorème 2.2. dit des valeurs intermédiaires
Soit f une fonction numérique continue sur [a, b]. Alors toutes les valeurs comprises
entre f (a) et f (b) sont au moins une fois image d’un élément de [a, b].
Autrement dit, si f (a) ≤ k ≤ f (b) (ou f (b) ≤ k ≤ f (a)) alors il existe c ∈ [a, b]
tel que k = f (c).
f (b)
(Cf )
(D)
k
b
a
0
f (a)
La droite d’équation y = k coupe la courbe Cf en au mois un point,
dont l’abscisse est comprise entre a et b.
Théorème 2.3.
Si f est une fonction numérique continue sur [a, b] et strictement croissante
alors f est une application bijective de [a, b] sur [f (a), f (b)].
On a le même résultat, si f est strictement décroissante, en remplaçant [f (a), f (b)] par [f (b), f (a)].
Graphe de la réciproque de f
Si f et g sont réciproques l’une de l’autre alors leurs courbes représentatives respectives
sont symétriques par rapport à la droite y = x.
Preuve. On appelle g la réciproque de l’application bijective f . Soit Cf := {(x, f (x)), tq. x ∈
[a, b]} la courbe représentative de f et Cg celle de g.
x ∈ [a, b] f (x) = y ⇐⇒ y ∈ [f (a), f (b)] x = g(y).
Donc (x, y) ∈ Cf ⇐⇒ (y, x) ∈ Cg .
Donc Cf et Cg sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
6
Théorème 2.4. Extension :
Si f est continue et strictement croissante sur [a, b[ (avec a ∈ IR et b ∈ IR), alors f est bijective
de [a, b[ sur [f (a), l[ où l = lim f (x) ∈ IR.
x→b−
Si f est continue et strictement croissante sur ]a, b[ (avec a ∈ IR et b ∈ IR), alors f est bijective
de ]a, b[ sur [l′ , l[ où l = lim− f (x) ∈ IR et l′ = lim+ f (x) ∈ IR.
x→b
x→a
On obtient des résultats similaires si f est strictement décroissante ou si on considère des intervalles de la forme ]b, a] (avec a ∈ IR et b ∈ IR).
Propriété 2.3. Soit I un intervalle de IR, non vide et non réduit à un point. Soit f une application bijective continue strictement croissante (resp. décroissante) de I sur J. Alors l’application
réciproque de f est alors continue et strictement croissante (resp. décroissante) sur J.
7
3
Dérivée d’une fonction numérique :
3.1
Généralités
Définition 3.1. Soient x0 ∈ IR et f une fonction définie dans un voisinage (resp. à droite, resp. à
gauche) de x0 contenant x0 . On dit que f est dérivable (resp. à droite, resp. à gauche) en x0 si la
f (x) − f (x0 )
admet une limite (resp. à droite, resp. à gauche) en x0 . Cette limite
fonction x 7−→
x − x0
est alors appelée dérivée de f (resp. à droite, resp. à gauche) en x0 et notée f ′ (x0 ) (resp.
fd′ (x0 ), resp. fg′ (x0 )).
f ′ (x0 ) = lim
x→x0
f (x) − f (x0 )
.
x − x0
En posant h = x − x0 , on a une définition équivalente de la dérivée en un point x0 , très souvent
utilisée :
f (x0 + h) − f (x0 )
f ′ (x0 ) = lim
.
h→0
h
Les définitions des limites et dérivées, nous permettent d’énoncer la propriété suivante :
Propriété 3.1. f est dérivable en x0 si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en
x0 et fd′ (x0 ) = fg′ (x0 ).
Définition 3.2. Soient a, b ∈ IR (a 6= b). On dit que f est dérivable sur ]a, b[ si f est dérivable est
tout point de ]a, b[.
Propriété 3.2. Si f est dérivable en x0 ∈ IR, alors f est continue en x0 .
Remarque 3.1. La réciproque de cette proposition est fausse. En effet, soit f : IR −→ IR définie
par f (x) = |x|. f est continue en 0 sans y être dérivable. On peut montrer très facilement que f
est dérivable à droite en 0 et fd′ (0) = 1, que f est dérivable à gauche en 0 et fg′ (0) = −1, et bien
entendu f ne peut être dérivable en 0.
Théorème 3.1. Soit x0 ∈ IR. Si f est dérivable en x0 ∈ I (I : intervalle ouvert), alors
∀x ∈ I, f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) + (x − x0 )ε(x), avec
lim ε(x) = 0.
x→x0
Réciproquement, si f est définie sur I (I : intervalle ouvert), si x0 ∈ I et si a1 ∈ IR tel que
∀x ∈ I, f (x) = f (x0 ) + a1 (x − x0 ) + (x − x0 )ε(x), avec
lim ε(x) = 0.
x→x0
alors f est dérivable en x0 et f ′ (x0 ) = a1 .
On dit que l’application x → f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ) est une approximation affine de f au
voisinage de x0 .
Application :
1
= 1. Donc, on a : ∀x ∈]0, 2[, ln(x) =
1
ln(x)
= 1,
ln(1) + (x − 1) · 1 + (x − 1)ε(x) avec limx→1 ε(x) = 0. On en déduit que lim
x→1 x − 1
c’est-à-dire :
– La fonction ln est dérivable en 1 et ln′ (1) =
8
ln(1 + h)
= 1.
h→0
h
– De même, la fonction exponentielle est dérivable en 0. Donc ∀x ∈ IR, exp(x) = exp(0) + x ·
1 + x · ε(x), avec limx→0 ε(x) = 0. D’où
exp(x) − 1
lim
= 1.
x→0
x
– Enfin, on montre de la même façon que
cos(x) − 1
lim
= 0.
x→0
x
Interprétation géométrique :
lim
L’équation de la tangente à la courbe en un point M (x0 , f (x0 )) est
y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 ).
Position de la tangente par rapport à la courbe :
Remarquons que si au voisinage V du réel x0 , nous avons :
∀x ∈ V ∩] − ∞, x0 [ f (x) − f (x0 ) − f ′ (x0 )(x − x0 ) ≤ 0,
on dit que la courbe représentative de f est au-dessous de sa tangente en x0 , à gauche de x0 . Sur
la figure ci-jointe, au voisinage de x0 , on a : f (x) − f (x0 ) − f ′ (x0 )(x − x0 ) ≥ 0, donc la courbe
représentative de f est au-dessus de sa tangente en x0 , au voisinage de x0 .
f (x)
f (x) − f (x0 ) − f ′ (x0 )(x − x0 )
y = f (x0 ) + f ′ (x0 )(x − x0 )
y = f (x)
x0
3.2
x
x
Opérations sur les dérivées :
Soient f , g, u, trois fonctions dérivables sur I (I : intervalle de IR), telles que u(x) 6= 0, ∀x ∈ I,
1 f
soit h une fonction dérivable sur f (I) et α un réel, alors α · f , f + g, f g, , , h ◦ f sont dérivables
u u
sur I et on a :
Fonction Dérivée de la Fonction
α·f
α · f′
f +g
f ′ + g′
′
f ·g
f · g + f · g′
1
−u′
u
u2
f
f ′ u − u′ f
u
u2
h◦f
f ′ · (h′ ◦ f )
9
IR → IR
. Cette fonction est dérivable sur IR comme la
x → (−x + 3)4 .
composée des fonctions dérivables sur IR, à savoir la fonction puissance h : x → x4 et f : x → −x+3.
Donc g ′ (x) = h′ (f (x)) · f ′ (x). Or f ′ (x) = −1 et h′ (x) = 4x3 , ∀x ∈ IR. Donc g ′ (x) = −(−x + 3)3 =
(x − 3)3 ∀x ∈ IR.
Exemple 3.1. Soit g :
Théorème 3.2. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et bijective de I sur l’intervalle
J. On suppose que f ′ ne s’annule pas sur I, alors g, la bijection réciproque de f , est dérivable sur
def
J et si b ∈ J, on pose a = g(b) et on a :
g ′ (b) =
1
1
= ′
f ′ (a)
f (g(b))
où g est la réciproque de f .
(1)
Preuve. On a admis que si f est continue en a, alors g := f −1 est continue en f (a) = b.
Nous allons montrer que g est dérivable en b et obtenir simultanément sa dérivée en b : Posons
f (x) = y. f étant dérivable en a, on a
∀x ∈ I, f (x) = f (a) + (x − a)f ′ (a) + (x − a)ε(x)
′
avec lim ε(x) = 0.
x→a
C’est-à-dire : ∀x ∈ I, y = b + (x − a)(f (a) + ε(x)).
Comme f ′ (a) + ε(x) tend vers f ′ (a) qui est non nul, lorsque x tend vers a, il existe un voisinage
V de a tel que f ′ (a) + ε(x) 6= 0, ∀x ∈ V .
y−b
,
+ ε(x))
f ′ (a)
1
.
C’est-à-dire : ∀x ∈ V, x − a = ′ (y − b) ×
f (a)
f ′ (a) + ε(x)
′
ε(x)
f (a)
= 1− ′
.
Or ′
f (a) + ε(x)
f (a) + ε(x)
Donc il existe un voisinage W = f (V ) de b tel que
Donc ∀x ∈ V, x − a =
(f ′ (a)


 ∀y ∈ W, g(y) − g(b) =
1
(y − b) + (y − b)ε̃(y)
f ′ (a)
−ε(g(y))

 avec ε̃(y) =
qui tend vers 0 lorsque y tend vers b.
′
f (a)(f ′ (a) + ε(g(y)))
En effet g étant continue en b, lim ε(g(y)) =
y→b
dérivable en b et que g ′ (b) =
1
f ′ (a)
=
lim
x→g(b)=a
1
f ′ (g(b))
(2)
ε(x) = 0. L’égalité (2) signifie que g est
.
Exemple 3.2. Dérivée de la fonction racine : La fonction f : x → x2 est une bijection continue de
IR+ sur IR+ et de réciproque √ . Comme f est dérivable en tout point a de IR+ , avec f ′ (a) = 2a,
√
est dérivable en tout point b = a2 tel que 2a 6= 0. Donc
la fonction
∀b ∈ IR⋆+ ,
√
′
b =
10
1
1
= √ .
2a
2 b
3.3
Quelques dérivées usuelles
Fonction
Fonction constante
x → xn (n ∈ IN⋆ )
1
x→
x
√
x→ x
x → xα
Dérivée
Fonction nulle
x → nxn−1
−1
x→ 2
x
1
x→ √
2 x
x → αxα−1
1
x→
x
exp
− sin
cos
(α ∈ IR⋆ )
x → ln(|x|)
exp
cos
sin
x → tan(x)
3.4
x → 1 + [tan(x)]2 =
1
cos2 (x)
Dérivées et sens de variation
Soit I un intervalle, et soit f : I −→ IR une fonction dérivable sur I. Alors,
(i) f est croissante sur I si et seulement si (∀x ∈ I, f ′ (x) ≥ 0).
(ii) f est décroissante sur I si et seulement si (∀x ∈ I, f ′ (x) ≤ 0).
(iii) f est constante sur I si et seulement si (∀x ∈ I, f ′ (x) = 0).
(iv) Si f ′ > 0 sur I sauf en un nombre fini de points alors f est strictement croissante sur I.
(v) Si f ′ < 0 sur I sauf en un nombre fini de points alors f est strictement décroissante sur I.
Remarque 3.2.
i) Ces résultats ne sont valables que sur un intervalle : soit f : x 7−→ 1x ,
on a f est dérivable sur IR∗ et pour tout x ∈ IR∗ , f ′ (x) = −1
x2 < 0 et pourtant f n’est pas
décroissante sur IR∗ . En effet −1 < 2 et pourtant f (−1) = −1 < f (2) = 1/2.
ii) Si f ′ est strictement positive sur ]a, b[, alors f est strictement croissante sur ]a, b[ ; mais la
réciproque est fausse : la fonction f : x 7−→ x3 est strictement croissante sur IR mais sa
dérivée s’annule en 0.
11
Les Fonctions Puissance et Racine nième
4
4.1
Fonction Puissance x → xn , lorsque n est un entier strictement positif
Soit n ∈ IN⋆ . Alors
4.2
Pour tout x ∈ IR,
xn := x.x...x
| {z } .
n fois
Fonction Puissance x → xn , lorsque n est un entier strictement négatif
Soit n ∈ ZZ−⋆ . Alors
Pour tout x ∈ IR, tq. x 6= 0 xn :=
4.3
Fonction Puissance x → xn , lorsque n = 0
Pour tout x ∈ IR, tq. x 6= 0
4.4
1
1
= −n .
x.x...x
x
| {z }
−n fois
Fonction x →
√
n
x0 := 1.
x, lorsque n ∈ IN⋆
IR+ → IR+
est une application continue strictex
→ xn
n
ment croissante telle que lim x = +∞ et 0n = 0. Donc d’après le théorème (2.4), l’application
x→+∞
√
est bijective de [0, +∞[ sur [0, +∞[. Son application réciproque est notée n .
⋆
Soit n ∈ IN . L’application puissance
√
Pour tous x, y ∈ IR+ , on a l’équivalence : x = n y ⇔ xn = y
√
Remarque 4.1. • Si
tout x ∈ IR+ , 1 x = x.
√ n = 1 alors pour
√
• Si n = 2, on écrit x à la place de 2 x et on dit racine carrée de x au lieu de racine deuxième
de x.
√
• Soit a un réel, alors a? a toujours un sens et
√
Si a ≥ 0 alors √a? = a,
Si a ≤ 0 alors
a? = −a.
• Si n = 3, on dit racine cubique de x au lieu de racine troisième de x.
√
Attention : Le symbole n x n’a de sens que si n ∈ IN⋆ et si x ∈ IR+ .
Exercice 1. Soient a un paramètre réel et n ∈ IN⋆ . Résoudre l’équation d’inconnue réelle x :
xn = a.
IR → IR
est continue strictement croissante sur IR
– Cas n impaire : L’application g :
x → xn
(g ′ (x) = nxn−1 > 0, ∀x ∈ IR⋆ ) telle que lim xn = +∞ et lim xn = −∞. Donc d’après le
x→+∞
x→−∞
théorème (2.4), l’application est bijective de IR dans IR, c’est-à-dire que, pour chaque a ∈ IR,
il existe un seul x ∈ IR tel que xn√= a. L’équation xn = a admet donc une seule solution.
– Si a ≤ 0 alors la solution x = n a.
– Si a < √
0 alors (−x)n = −a
√ et −a > 0. On se trouve à nouveau dans le cas précédent. Donc
n
−x = −a, d’où x = − n −a.
12
n
– Cas n paire : Remarquons que xn est toujours positif ou nul, donc si a < 0 l’équation
√ x =a
n’admet aucune solution. Donc on suppose
maintenant que a√
≥ 0 et on
√a alors ( a)? = a.
√
a)?
=
0
⇔
(x
−
a)(x
+
a) = 0 ⇔ x =
– √
Cas n = 2 : x?
=
a
⇔
x?
−
(
√
a ou x = − a.
Si a ≥ 0
alors
x? = a
⇔
x=
√
√
a ou x = − a.
– Cas n paire général : Posons n = 2k. xn = a ⇔ (x?)k = a. Or x? et a sont
tous les deux positifs ou nuls, donc
d’après la définition de la racine k ième , l’équation
√
k
k
(x?) = a est équivalente p
à x? = a. On se
dans la sitation du cas précédent,
p retrouve
√
√
√
k
k
d’oùp
x? = k a ⇔
x
=
a
ou
x
=
−
a.
p√
p√
√
√
√
√
Or ( k a)2k = (( k a)?)k = k a)k = a. Cela signifie que ( k a) = 2k a = n a.
On conclut par :Si n est paire et a ≥ 0 alors
√
√
xn = a ⇔ x = n a ou x = − n a.
6
y = x1 3
y = x( 3 )
y=x
y =√x2
y= x
5
4
3
2
1
0
4.5
4.5.1
0
1
2
3
4
5
6
Puissance par un Rationnel d’un Nombre Réel Strictement Positif
Cas d’un rationnel strictement positif
p
où p, q ∈ IN⋆ .
q
√
p
xr (= x q ) := q xp .
Soit r un rationnel strictement positif. Alors r s’écrit r =
Pour x réel strictement positif, on pose :
i) La définition de xr est indépendante du représentant pq de r.
√
√
p
p′
q′
En effet : Si r = = ′ avec p, p′ , q, q ′ ∈ IN⋆ , posons α = q xp et α′ = xp′ . Alors
q
q
qq′
′
′
′
′
α = (αq )q = (xp )q = xpq
′
′
qq′
= α′qq . De plus α et α′ sont tous
′
′
′
′qq
′q q
p q
p′ q . Or pq = p q donc α
α
= (α ) = (x ) = x
les deux positifs, ils sont donc égaux.
√
r
r
ii) Si le rationnel r est en fait un entier strictement positif, alors r = d’où x 1 = 1 xr = xr .
1
Cela signifie que la définition de la puissance par un rationnel strictement positif coïncide
avec celle de la puissance par un entier, lorsque le rationnel est un entier. Heureusement
d’ailleurs ! ! !
Remarque 4.2.
13
On dit que la définition de la puissance par un rationnel est une généralisation de la puissance
par un entier.
4.5.2
Cas d’un rationnel strictement négatif
Si r est un rationnel strictement négatif, on pose :
Pour tout x réel strictment positif,
4.6
xr :=
1
.
x−r
Puissance par un Réel
Lorsque y est un réel,
Pour tout x réel strictement positif, on pose
xy := exp(y ln(x)),
où exp et ln désignent respectivement les fonctions exponentielle et logarithme népérien.
Remarque 4.3. Si y est en fait un rationnel, alors les définitions de la puisance par un rationnel
et par un réel coïncident (cf. le cours sur la fonction logarithme et exponenetielle).
4.7
Propriétés Calculatoires des Puissances
′
+⋆
Pour tous a, b ∈ IR
4.8
, et r, r′ ∈ IR,
ar ar = ar+r
′
′
(ar )r = arr
r
a
r−r ′
′ = a
r
a
′
(ab)r = ar br
a r
b
ar
= r.
b
.
Tangente à la courbe x → xr en x0 = 0, lorsque r > 0
Soit r ∈ IR+⋆ . Soit Cr la courbe représentative de l’application fr : x ∈ IR+⋆ → xr . Cette
application se prolonge par continuité en 0 car lim xr = 0. Donc on pose fr (0) := 0. De plus on
x→0+
a les résultats suivants :
• Si r > 1 la fonction fr est dérivable sur [0, +∞[, et la courbe Cr présente une tangente
horizontale (y = 0) à l’origine.
fr (x) − fr (0)
1
• Si r < 1 la fonction fr est dérivable sur ]0, +∞[, et lim+
= lim+ 1−r = +∞.
x
x→0
x→0 x
On dit alors que la courbe Cr présente une tangente verticale (x = 0) à l’origine.
• Si r = 1, la fonction fr est l’application identique. La tangente à la courbe Cr est donc la
droite d’équation y = x.
5
La Fonction Valeur Absolue
Définition 5.1. Valeur absolue d’un réel x : |x|
Si x ≥ 0 |x| = x
Si x ≤ 0 |x| = −x
Propriété 5.1. la fonction valeur absolue qui à x ∈ IR associe |x| est une foncton continue sur
IR et dérivable sur [0, +∞[ (c’est-à-dire sur ]0, +∞[ et à droite en 0) et sur ] − ∞, 0] mais n’est
pas dérivable en 0.
14
Preuve. | · | est continue et dérivable sur ]0, +∞[ (car pour tout x ∈]0, +∞[, |x| = x), de même
sur ] − ∞, 0[ (car pour tout x ∈] − ∞, 0[, |x| = −x).
Etude en 0 :
)
Si x ≥ 0 |x| = x
d’où lim |x| = 0
x→0+
donc lim |x| = 0.
Si x ≤ 0 |x| = −x
d’où lim |x| = 0
x→0
x→0−
Donc | · | est continue en 0.
Si x ≥ 0 |x| = x
Si x ≤ 0 |x| = −x
d’où
lim |x|/x = 1
x→0+
d’où
lim |x|/x = −1
x→0−
)
donc | · | n’est pas dérivable en 0.
Cependant | · | est dérivable à droite en 0 et sa dérivée à droite en 0 est égale à 1. De même | · |
est dérivable à gauche en 0 et sa dérivée à gauche en 0 est égale à −1.
Propriété 5.2. Pour tous nombre réels x et y on a :
i) |x| ≥ 0,
√
ii) x2 = |x|.
et
−|x| ≤ x ≤ |x|
|x| > 0 ⇔ x 6= 0.
1
1
iii) xy| = |x||y|
et
si x 6= 0 alors =
.
x
|x|
iv) |x + y| ≤ |x| + |y| (Inégalité Triangulaire).
v) |x − y| ≥ |x| − |y|.
Propriété 5.3. Soit r un réel strictement positif. Pour tout réel x on a les équivalences.
|x| < r ⇔ −r < x < r
|x| ≤ r ⇔ −r ≤ x ≤ r
Preuve. La preuve des deux propriétés est laissée en exercice.
y
1
−2
−1
0
1
2
3
4
5
x
−1
Graphe de la fonction valeur absolue |
15
|
6
La Fonction Logarithme Népérien
6.1
Définition
Il existe une unique fonction notée ln :]0, +∞[→ IR telle que
(
1
ln′ (x) = , ∀x ∈]0, +∞[
x
et ln(1) = 0.
Cette fonction s’appelle la fonction logarithme.
6.2
Propriétés algébriques
Pour tous réels strictement positifs a et b et tout entier relatif n :
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
1
ln( ) = ln(b−1 ) = − ln(b)
b
a
ln( ) = ln(a) − ln(b)
b
ln(an ) = n ln(a)
√
1
Si n ∈ IN⋆ alors ln( n a) = ln(a1/n ) = ln(a).
n
6.3
Variations et courbe représentative de x → ln(x) :
i) La fonction ln est définie sur ]0, +∞[.
ii) La fonction ln est strictement croissante sur ]0, +∞[.
iii)
lim ln(x) = −∞
x→0+
et
lim ln(x) = +∞
x→+∞
log(x)
exp(x)
x
4
2
0
-2
-4
-4
-2
0
2
4
Remarque 6.1. Dans un repère orthonormal, les courbes représentatives de ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d’équation y = x.
16
6.4
Des Limites à connaître
Pour tout entier n strictement positif :
lim
x→+∞
7
ln(x)
= 0+
xn
lim xn ln(x) = 0−
lim
x→0+
x→0+
ln(1 + x)
=1.
x
La Fonction Exponentielle
7.1
Introduction
Pourquoi ln est-elle une bijection ? Par définition de ln, ln est la primitive de x → x1 sur IR⋆+
telle que ln(1) = 0. Donc ln est continue (puisque dérivable) sur IR⋆+ , strictement croissante car
sa dérivée est positive. Donc ln est une bijection de ]0, +∞[ sur ]l, l′ [ où l = lim ln(x) = −∞ et
x→0+
l′ = lim ln(x) = +∞. C’est donc une bijection de ]0, +∞[ sur ] − ∞, +∞[. On appelle exp sa
x→+∞
réciproque. exp est donc strictement croissante et continue sur IR.
7.2
Définition
On appelle la fonction exponentielle, notée exp, la bijection réciproque de ln.
∀x ∈]0, +∞[, ∀y ∈ IR, ln(x) = y ⇔ x = exp(y).
Donc
7.3
Propriétés algébriques
exp(ln(x)) = x,
ln(exp(x)) = x,
quelque soit le réel x > 0.
quelque soit le réel x.
Pour tous réels a et b, exp(a + b) = exp(a) × exp(b) .
Conséquences : Pour tous réels a et b et tout entier relatif n,
exp(−x) =
1
,
exp(x)
exp(a − b) =
exp(a)
,
exp(b)
exp(na) = (exp(a))n
17
7.4
Variations et courbe représentative de x → exp(x) :
10
exp(x)
log(x)
x
8
6
4
2
0
-2
-4
-2
0
2
4
i) La fonction exp est définie sur IR.
ii) La fonction exp est dérivable sur IR et exp′ (x) = exp(x), ∀x ∈ IR .
Or exp(x) > 0 pour tout réel x. Donc la fonction exp est strictement croissante sur IR.
iii)
7.5
lim exp(x) = 0
x→−∞
et
lim exp(x) = +∞
x→+∞
Fonction Puissance de base a (a > 0)
IR+ → IR+
est une bijection. Sa fonction réciproque
x → xn
√
.
est appelée fonction racine nième et notée n
⋆
On rappelle que si n ∈ IN , la fonction
∀x, y ∈ IR+ ,
xn = y
⇐⇒
x =
n√
y.
Soient a un réel strictement positif. On appelle fonction puissance de base a, la fonction
IR → IR
x → exp(x ln a) que l’on note ax .
∀a > 0 et b ∈ IR,
ab
:=
exp(b ln a).
n
1
1
Pour tout a > 0 et n ∈ IN⋆ , (a1/n )n = (exp( ln a))n = exp( ln a) = a, et exp( ln a) > 0, on a
n
n
n
donc le résultat suivant :
√
∀n ∈ IN⋆ , ∀a ∈ IR⋆+ , n a = a1/n .
7.6
Le Nombre e et La Notation ex
• Le nombre exp(1) est noté e et on a e ∼ 2, 718.
• En prenant a = e, la fonction puissance de base e est la fonction exponentielle :
∀x ∈ IR, ex = exp(x ln(e)) = exp(x).
Pour tout réel x, on note :
ex = exp(x).
18
Ainsi les propriétés précedemment énoncées s’écrivent maintenant :
e0 = 1,
e1 = e.
Pour tous réels x et y, et tout réel strictement positif a,
ax+y = ax × ay
1
a−x = x
a x
a
ax−y = y
a
axy = (ax )y
7.7
Des Limites à connaître
Pour tout réel b strictement positif :
ex
= +∞
x→+∞ xb
lim
lim |x|b ex = 0
x→−∞
ex − 1
=1.
x→0
x
lim
19
8
8.1
Calcul Intégral
Aire et Intégrale
Définition 8.1. Soit P un plan muni d’ un repère orthogonal (O,~i, ~j). On appelle unité d’aire
(notée en abrégé u.a.), l’unité de mesure des aires telle que l’aire du rectangle (OIJK) = 1 u.a,
~ = ~i, OK
~ = ~j et OJ
~ = ~i + ~j.
où OI
Soient a et b deux réels tels que a < b. Soit f une fonction continue et positive sur le segment
Z b
[a, b]. On appelle intégrale de f de a à b, que l’on note
f (t)dt, l’aire, exprimée en u.a. du
a
domaine suivant :
D = {M (x, y) ∈ P, tq. a ≤ x ≤ b et 0 ≤ y ≤ f (x)}.
(D est le domaine délimité par la courbe de f , l’axe des absisses et les deux droites verticales
d’équations x = a et x = b.)
Les réels a et b s’appellent les bornes de l’intégrale.
Remarque 8.1. La variable t figurant dans l’intégrale est “muette”. Elle peut être remplacée par
Z b
Z b
tout autre lettre :
f (t)dt =
f (x)dx.
a
a
Définition 8.2. Cas d’une fonction négative : Soit P un plan muni d’ un repère orthogonal
(O,~i, ~j). Soient a et b deux réels tels que a < b. Soit f une fonction continue et négative sur le
segment [a, b] alors
Z b
Z b
(−f (t))dt.
f (t)dt = −
a
a
Définition 8.3. Cas d’une fonction de signe quelconque : Soit P un plan muni d’ un repère
orthogonal (O,~i, ~j). Soient a et b deux réels tels que a < b. Soit f une fonction continue sur le
segment [a, b].
On définit deux nouvelles fonctions continues f + et f − par :
f + (x) = max(0, f (x)), f − (x) = min(f (x), 0),
alors ∀x ∈ [a, b], f (x) = f + (x) + f − (x).
On appelle alors intégrale de f de a à b, le réel toujours noté
Z
b
f (x) dx =
a
En d’autres termes,
Z
Z
b
f + (x) dx +
Z
Z
b
f (x) dx tel que
a
b
f − (x) dx.
a
a
b
f (x) dx se calcule en comptant positivement l’aire des domaines où f est
a
positive et négativement l’aire des domaines où f est négative.
8.2
Premières Propriétés de l’intégrale d’une fonction sur un segment
Propriété 8.1. Si f et g sont continues sur [a, b] alors :
f ≤ g sur [a, b]
⇒
Z
b
a
f (x) dx ≤
Z
b
g(x) dx.
a
Remarque 8.2. f ≤ g sur [a, b] signifie que f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b].
20
Propriété 8.2. Inégalité Triangulaire Soit f une fonction continue sur un segment [a, b] (a <
b). Alors
Z
Z b
b
f
(t)dt
≤
|f (t)|dt.
(3)
a
a
Propriété 8.3. Relation de Chasles Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soient
a, b, c ∈ I, alors
Z b
Z c
Z b
f (t)dt =
f (t)dt +
f (t)dt.
(4)
a
8.3
a
c
Notion de Primitive d’une fonction continue
Définition 8.4. Soit f une fonction continue sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur
I toute fonction F dérivable sur I telle que F ′ = f sur I.
Exemple 8.1. On considère la fonction f définie sur IR par : ∀x ∈ IR, f (x) = x + cos(x). Alors F
x2
+ sin(x) est une primitive de f sur IR. Remarquons que G définie
définie par : ∀x ∈ IR, F (x) =
2
x2
+ sin(x) − 3 est aussi une primitive de f sur IR. Donc si une fonction f
par : ∀x ∈ IR, G(x) =
2
admet une primitive, elle en admet une infinité.
Théorème 8.1. Soient F et G deux primitives d’une fonction f définie sur un intervalle I. Alors
F et G ne diffèrent que d’une constante, c’est-à-dire : il existe une constante c (c ∈ IR) telle que
pour tout x ∈ I.
F (x) = G(x) + c,
8.4
Théorème Fondamental du Calcul Intégral :
Théorème 8.2.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit x0 ∈ I. La fonction F définie sur I par :
Z x
f (t)dt
F (x) =
x0
est l’unique primitive de f sur I s’annulant en x0 .
Autrement dit, F est l’unique fonction dérivable dur I telle que F (x0 ) = 0 et pour tout réel x ∈ I :
F ′ (x) = f (x).
Corollaire 8.1. Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I.
Alors pour tous a et b dans I :
Z
a
b
f (t)dt = F (b) − F (a).
b
Notation : Le réel F (b) − F (a) se note très souvent [F (t)]a .
Remarque 8.3. Le choix de la primitive F n’influe pas le résultat de l’intégrale. En effet, si F
et G sont deux primitives d’une même fonction f sur I, elles ne diffèrent que d’une constante :
∀x ∈ I, F (x) = G(x) + C. Donc F (b) − F (a) = G(b) − G(a).
Propriété 8.4. Linéarité de l’intégrale
Soient f et g deux fonctions continues sur un segment [a, b] et k un réel. Alors
Z
a
b
(f (t) + g(t)) dt =
Z
a
b
f (t) dt +
Z
b
g(t) dt
a
et
Z
a
21
b
(kf (t)) dt = k
Z
a
b
f (t) dt.
(5)
8.5
Parité et Périodicité
Propriété 8.5. Soit f Zune fonction continue
Z a sur un intervalle symétrique [a, b].
a
f (t) dt.
f (t) dt = 2
• Si f est paire alors :
0
−a
Z a
• Si f est impaire alors :
f (t) dt = 0.
−a
Propriété 8.6. Soit f une fonction continue sur IR et périodique de période T (T > 0). Alors
pour tout réel a :
Z a+T
Z T
f (t) dt =
f (t) dt.
a
8.6
0
Intégration par Parties :
Définition 8.5. On dit qu’une fonction est de classe C 1 sur un intervalle I si elle est dérivable
dur I et si sa dérivée est continue sur I.
Théorème 8.3. Soient u et v deux fonctions de classe C 1 sur [a, b], alors :
Z
a
b
′
u(t)v (t) dt =
b
[u(t)v(t)]a
22
−
Z
a
b
u′ (t)v(t) dt.
(6)
9
Suites Numériques
9.1
Raisonnement par récurrence
Propriété 9.1.
Soient n un entier naturel et P(n) une propriété dépendant de n. Soit n0 ∈ IN.
Si les deux énoncés suivants sont vrais, à savoir :
i) - P(n0 ) est vraie,
ii) - Pour chaque k entier plus grand ou égal à n0 , si P(k) est vraie alors P(k + 1) est vraie,
alors la propriété P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n0 .
Ce raisonnement s’appelle raisonnement par récurrence.
Exemple 9.1. Démontrons par récurrence que ∀n ∈ IN, Sn :=
Posons la propriété suivante : P(n) : Sn :=
2
i) S0 := 3 × 0 + 1 = 1 et
n
X
n
X
(3p + 1) =
p=0
2
(3k + 1) =
k=0
3n2 + 5n + 2
.
2
3n + 5n + 2
.
2
3×0 +5+2
= 1. Donc P(0) est vraie.
2
ii) Soit k un entier naturel tel que P(k) est vraie. Calculons Sk+1 :=
k+1
X
(3p + 1).
p=0
Sk+1 = Sk + (3(k + 1) + 1). Or d’après l’hypothèse sur P(k), on a : Sk =
donc
3k 2 + 5k + 2 + 2 ((3(k + 1) + 1))
Sk+1 =
2
3(k 2 + 2k + 1) + 5(k + 1) + 2
=
2
3(k + 1)2 + 5(k + 1) + 2
=
.
2
Donc la propriété P(k + 1) est vraie.
3k 2 + 5k + 2
,
2
On vient donc de démontrer par récurrence que la propriété P(n) est vraie pour tout n ∈ IN.
9.2
Généralités sur les suites
Définition 9.1. On appelle suite réelle une famille
de réels indexée par des entiers naturels, c’est
IN −→ IR
à dire une application de IN dans IR. La suite x :
est notée (xn )n∈IN ou (xn ).
n 7−→ x(n)
La suite est dite :
i) constante si ∀n ∈ IN, xn+1 = xn .
ii) croissante si ∀n ∈ IN, xn+1 ≥ xn .
iii) décroissante si ∀n ∈ IN, xn+1 ≤ xn .
iv) strictement croissante si ∀n ∈ IN, xn+1 > xn .
v) strictement décroissante si ∀n ∈ IN, xn+1 < xn .
vi) monotone si elle est croissante ou décroissante.
vii) strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
viii) majorée si ∃M ∈ IR, ∀n ∈ IN, xn ≤ M .
ix) minorée si ∃m ∈ IR, ∀n ∈ IN, xn ≥ m.
x) bornée si elle est majorée et minorée.
xi) stationnaire si elle est constante à partir d’un certain rang ie : ∃N ∈ IN, ∀n > N ,
xn+1 = xn .
23
Exemple 9.2. On définit la suite (xn ) par ∀n ∈ IN, xn = 2n . On a alors : x0 = 1, x2 = 4, x3 = 8.
On définit la suite (yn ) par y0 = 1 et ∀n ∈ IN, yn+1 = 3 ∗ yn − 1. La suite (yn ) est définie par
récurrence. On a : y1 = 2, y3 = 5, y4 = 3 ∗ 5 − 1 = 14.
Définition 9.2. Suites extraites
On appelle suite extraite ou sous-suite de la suite (xn ) une suite de la forme (xϕ(n) ) où
ϕ : IN −→ IN est une application strictement croissante.
Exemple 9.3. (x2n ), (x2n+1 ), (xn2 ), sont des suites extraites de la suite (xn ). (x2n ) est appelée
sous-suite des rangs pairs de la suite (xn ) et la suite (x2n+1 ) est appelée sous-suite des rangs
impairs de la suite (xn ).
Remarque 9.1. Si ϕ : IN −→ IN est une application strictement croissante alors ∀n ∈ IN, ϕ(n) ≥
n. En effet : ϕ(0) ≥ 0 et supposons par récurrence que ϕ(n) ≥ n pour un n fixé, alors ϕ(n + 1) >
ϕ(n) donc ϕ(n + 1) ≥ ϕ(n) + 1 ≥ n + 1. Donc ϕ(n + 1) ≥ n + 1.
9.3
Convergence d’une suite réelle
Définition 9.3. Soit (xn ) une suite réelle et soit l un réel. On dit que la suite (xn ) converge
vers l si xn est aussi voisin que l’on veut de l à partir d’un certain rang, c’est à dire :
∀ε > 0, ∃n0 ∈ IN∗ / ∀n ≥ n0 , |xn − l| < ε.
S’il n’existe aucun réel l tel que (xn ) converge vers l, on dit que (xn ) diverge.
Théorème 9.1.
i) Toute suite convergente est bornée.
ii) Toute suite extraite d’une suite convergente est convergente et tend vers la même limite.
Remarque 9.2. Pour montrer qu’une suite diverge, il suffit d’en extraire deux suites qui convergent
vers deux limites différentes.
Exemple 9.4.
i) Soit (xn ) la suite définie par : ∀n ∈ IN, xn = (−1)n . La suite extraite (x2n )
est constante et tend vers 1. D’autre part, la suite (x2n+1 ) est aussi constante et tend vers
−1. On déduit alors que la suite (xn ) est divergente.
ii) Soit (xn ) la suite définie par : ∀n ∈ IN∗ , xn = cos((n +
1
n )π).
On a :
lim x2n = 1 et
n→+∞
lim x2n+1 = −1, d’où (xn ) est divergente.
n→+∞
Remarque 9.3. La réciproque de la propriété précédente est en général fausse. En effet, on peut
trouver une suite divergente qui admet deux suites extraites convergeant vers la même limite.
Par exemple, soit xn = cos((n + (−1)n ) π3 ) ; x6n = cos((6n + 1) π3 ) = cos(2nπ + π3 ) = 1/2 et
x6n+4 = cos((6n + 4 + 1) π3 ) = cos(2nπ + 5π
3 ) = 1/2. Cependant, la suite (xn ) est divergente car
x6n+3 = cos((6n + 3 − 1) π3 ) = cos(2nπ + 2π
3 ) = −1/2.
Cependant, on a le résultat suivant :
Propriété 9.2. Soit (xn ) une suite réelle telle que les deux suites extraites (x2n ) et (x2n+1 )
convergent vers la même limite l. Alors la suite (xn ) converge vers l.
Définition 9.4. Limites infinies Soit (xn ) une suite réelle. On dit que (xn ) tend vers +∞ si xn
est aussi grand que l’on veut à partir d’un certain rang, c’est à dire :
∀A ∈ IR, ∃ N0 ∈ IN /∀n > N0 , xn > A.
On note lim xn = +∞.
n→+∞
On dit que (xn ) tend vers −∞ si :
∀A ∈ IR, ∃ N0 ∈ IN /∀n > N0 , xn < A
et on note lim xn = −∞.
n→+∞
24
9.4
Opérations sur les limites
On pose IR = IR ∪ {+∞, ∞}. Si l ∈ IR, on pose l + (+∞) = +∞, l + (−∞) = −∞, (+∞) +
(+∞) = (+∞), (−∞) + (−∞) = (−∞), (−1) ∗ (+∞) = (−∞), (−1) ∗ (−∞) = (+∞), si l > 0,
1
1
1
1
l ∗ (+∞) = (+∞) et l ∗ (−∞) = (−∞),
= 0,
= 0, + = +∞, − = −∞.
+∞
−∞
0
0
l
1
′
Soient l, l ∈ IR, ′ = l ∗ ′ . Les opérations suivantes ne sont pas définies : 0 ∗ (+∞), 0 ∗ (−∞),
l
l
(+∞) + (−∞).
Théorème 9.2. Soient l, l′ ∈ IR. Soient (xn ) et (yn ) deux suites telles que
′
lim xn = l et
n→+∞
lim yn = l . Alors
n→+∞
lim xn + yn = l + l′
n→+∞
lim xn ∗ yn = l ∗ l′
1
1
=
lim
n→+∞ xn
l
n→+∞
lorsque l + l′ est bien défini
lorsque l ∗ l′ est bien défini
1
lorsque est bien défini et xn 6= 0 ∀n ∈ IN
l
Théorème 9.3. limites et inégalités. Soient (xn ) et (yn ) deux suites convergentes. Si ∀n ∈
IN xn ≤ yn alors lim xn ≤ lim yn .
n→+∞
n→+∞
Remarque 9.4. Même si on a ∀n ∈ IN xn < yn on peut avoir lim xn = lim yn car le passage
n→+∞
aux limites “élargit les inégalités”. En effet, si ∀n ∈ IN,
on a : ∀n ∈ IN xn < yn et lim xn = lim yn = 1.
n→+∞
n→+∞
1
xn = 1 − n+1
et ∀n ∈ IN,
1
yn = 1 + n+1
,
n→+∞
Théorème 9.4. Encadrement par des suites de même limite
Soient (xn ), (yn ) et (zn ) trois suites telles que ∀n ∈ IN xn ≤ yn ≤ zn .
Si (xn ) et (zn ) convergent vers la même limite l ∈ IR alors la suite (yn ) est convergente et
lim yn = l aussi.
n→+∞
Exemple 9.5. Soit (yn ) la suite définie par : ∀n ∈ IN∗ yn = cosn n . On a ∀n ∈ IN∗ −1 ≤ cos n ≤ 1,
1
−1
1
d’où −1
= lim
= 0, on déduit que lim yn = 0.
lim
n ≤ yn ≤ n et comme n→+∞
n→+∞ n
n→+∞
n
Théorème 9.5. Extension à l’infini Soient (xn ) et (yn ) deux suites réelles telles que ∀n ∈
IN xn ≤ yn .
i) Si lim xn = +∞ alors lim yn = +∞.
n→+∞
ii)
Si
n→+∞
lim yn = −∞ alors
n→+∞
lim xn = −∞.
n→+∞
Théorème 9.6. d’existence de limites
Toute suite croissante majorée est convergente.
Toute suite décroissante minorée est convergente.
Théorème 9.7.
i) Toute suite croissante non majorée tend vers +∞.
ii) Toute suite décroissante non minorée tend vers −∞.
Définition 9.5.
Deux suites sont dites adjacentes si :
i) l’une est croissante et l’autre est décroissante, et
ii) leur différence tend vers 0.
Théorème 9.8. Deux suites adjacentes convergent et admettent la même limite.
Remarque 9.5. Si l désigne la limite commune des deux suites adjacentes (xn ) et (yn ), alors on
a : ∀n ∈ IN xn ≤ l ≤ yn . xn et yn sont des approximations de l à (yn − xn ) près.
25
9.5
9.5.1
Quelques suites particulières
Suites arithmétiques
Lemme 9.1. Soit n un entier naturel non nul.
1 + 2 + 3 + .. + n =
n
X
i=1
=
n(n + 1)
.
2
Preuve.
Posons Sn
Sn
Sn + Sn
2Sn
Sn
:= 1 + 2 + .. + n)
= n + (n − 1) + (n − 2) + .. + 1
= (n + 1) + (n + 1) + (n + 1) + .. + (n + 1)
{z
}
|
n fois
= n(n + 1)
n(n + 1)
=
.
2
Définition 9.6. On appelle suite arithmétique de raison r ∈ IR toute suite (xn ) telle que
∀n ∈ IN, xn+1 = xn + r.
Propriété 9.3. Soit xn une suite arithmétique de raison r ∈ IR, alors pour tout n ∈ IN, on
a : xn = x0 + nr.
Preuve. Soit xn une suite arithmétique de raison r. Soit Pn : xn = x0 +nr. P0 est vraie. Supposons
Pn vraie pour un entier naturel n, alors xn+1 = xn + r = x0 + nr + r = x0 + (n + 1)r donc Pn+1 . Le
raisonnement par récurrence nous permet de dire que la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ IN.
9.5.2
Suites géométriques
Lemme 9.2. Soit n un entier naturel et q ∈ IR⋆ .
q 0 + q 1 + .. + q n

 1 − q n+1
i
q =
=
1−q

n+1
i=0
n
X
si q 6= 1
si q = 1.
Preuve. Posons Sn = q 0 + q 1 + .. + q n alors
Sn
qSn
Sn − qSn
(1 − q)Sn
Sn
1 + q + q 2 + ..q n ,
q + q 2 + .. + q n+1 ,
1 − q n+1 ,
1 − q n+1 ,
1 − q n+1
, si q 6= 1.
=
1−q
=
=
=
=
Définition 9.7. On appelle suite géométrique de raison q ∈ IR⋆ toute suite (xn ) telle que :
∀n ∈ IN,
xn+1 = q.xn .
Propriété 9.4. Soit xn une suite géométrique de raison q ∈ IR, alors pour tout n ∈ IN, on
a : xn = x0 q n .
26
Preuve. Soit xn une suite géométrique de raison q. Soit Pn : xn = x0 q n . P0 est vraie. Supposons
Pn vraie pour un entier naturel n, alors xn+1 = qxn = qx0 q n = x0 q n+1 donc Pn+1 est vraie. Le
raisonnement par récurrence nous permet de dire que la propriété Pn est vraie pour tout n ∈ IN.
Théorème 9.9. Limites d’une suite géométrique Soit xn une suite géométrique de raison
q ∈ IR⋆ , alors on a :
i) Si |q| < 1, lim xn = 0.
n→+∞
ii) Si q > 1,
lim xn = +∞.
n→+∞
iii) Si q ≤ −1, (xn ) n’a pas de limite.
iv) Si q = 1, lim xn = x0 . (La suite (xn ) est constante.)
n→+∞
27
10
10.1
Résolution de Systèmes Linéaires - Méthode de Gauss
Généralités
Définition 10.1.
– On appelle système linéaire de n équations à p inconnues, un ensemble
de n équations, de la forme :

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1p xp = b1
première ligne (L1 )


 a x
+ a22 x2 + . . . + a2p xp = b2
deuxième ligne (L2 )
21 1
(S)
, (7)
···



an1 x1 + an2 x2 + . . . + anp xp = bn
nième ligne (Ln )
où les inconnues sont x1 , x2 , . . . , xp
et les réels donnés sont : a11 , a12 , .., a1p , a21 , a22 , .., a2p , . . . , an1 , an2 , .., anp , b1 , b2 , . . . , bn .
– On dit que le p-uplet (x1 , .., xp ) est solution du sytème (S) si (x1 , .., xp ) vérifie chacune des
(toutes les) équations L1 , .., Ln du système (S).
– On appelle système homogène associé à (S) le système 
(S) 
avec b1 = b2 = · · · = bn = 0.
b1
 b2 
 
– On appelle second membre du système (S) la colonne  .  du système (S).
 .. 
bn
– On dit qu’un système (S) est carré si n = p c’est-à-dire si le nombre d’inconnues est égal
au nombre d’équations.
– On dit qu’un système carré (S) est diagonale si (S) s’écrit :

a11 x1 +
0
+
...
... ... ... ... +
0
= b1




0
+
a
x
+
0
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
+
0
=
b2

22
2

0
+
0
+
a
x
+
0
.
.
.
.
.
.
+
0
=
b3
33
3
(S)
(8)

..


.



0
+
0
+
0
+ ... +
0 + ann xn = bn
– On dit qu’un sytème

a11 x1





 0
0
(S)

..


.



0
carré (S) est triangulaire supérieure si (S) s’écrit :
+
+
+
a12 x2
a22 x2
0
+
0
+
...
+
...
+ a33 x3
... ... ... ... +
... ... ... ... +
+ ... ... ... +
+
+
0
...
+
0
a1p xp
a2p xp
a3p xp
=
=
=
b1
b2
b3
+ ann xn
=
bn
(9)
– De la même manière, on dit qu’un sytème carré (S) est triangulaire inférieure si (S)
s’écrit :
(S)









a11 x1
a21 x1
a31 x1
..
.





a
x


 n−1,1 1
an1 x1
+
+
+
0
a22 x2
a32 x2
+
+
...
...
+
0
+
0
+ a33 x3
+
+
+
...
...
0
+
+
+
0
0
...
+
+
+
0
0
0
+
+
+
+
an−1,n−2 xn−2
an,n−2 xn−2
+
+
an−1,n−1 xn−1
an,n−1 xn−1
+
+
0
ann xn
...
...
=
=
=
b1
b2
b3
= bn−1
=
bn
(10)
Propriété 10.1. Le système (S) (cf. (7)) est équivalent au nouveau système dans lequel on effectue l’une des opérations suivantes :
28
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
on multiplie une ligne de (S) par un coefficient non nul
on remplace la ligne (Lr ) de (S) par (Lr ) + c(Li ) où r et i sont des numéros de ligne
et c un réel quelconque. On parle de combinaisons linéaires des lignes Lr et Li .
on échange deux lignes du système (S).
on échange deux colonnes du système (S), ce qui signifie que l’on change l’ordre
des inconnues (c’est une manipulation qui peut, pour un humain, s’avérer source d’erreur).
Preuve.
(i) Posons (L′i ) = c(Li ) où c 6= 0. Alors (L′i ) est la ligne
(L′i ) cai1 x1 + . . . + caip xp = cbi .
Donc si (Li ) est vraie alors cLi (= L′i ) est vraie et si (L′i ) est vraie alors 1c L′i (= Li ) est vraie.
On en déduit donc l’équivalence entre les deux systèmes.
(ii) Remplaçons la ligne L2 par L2 + cL1 . Posons (L′2 ) = (L2 ) + c(L1 ). Alors (L′2 ) est la ligne
(L′2 )
(a21 + ca11 )x1 + . . . + (a2p + ca1p )xp = b2 + cb1 .
Donc si (L1 ) et (L2 ) sont vraies alors les égalités L′2 = L2 + cL1 et L1 sont vraies.
Réciproquement, si (L1 ) et (L′2 ) sont vraies alors (L1 ) et L2 = (L′2 ) − c(L1 ) est vraie. On en
déduit donc l’équivalence entre les deux systèmes.
(iii) évident.
(iv) évident.
Remarque 10.1. Il est très important d’effectuer l’opération (ii) sur une seule ligne ou si vous
voulez l’effectuer sur plusieurs lignes de vérifier que le nouveau système est équivalent au système
initial. Par exemple :


= −2 L1 − L2
 1x1 + 2x2 + x3 = 0 L1
 −2x1
3x1 + 2x2 + x3 = 2 L2 ⇔
2x1 + x2
= 2 L2 − L3
(S)


−x2
= 0 L3 − L1
 x1 + x2 + x3 = 0 L3
= 1
 x1
+ x2
= 0
⇔

x2
= 0
Le système a donc une infinité de solutions qui sont {(1, 0, x3 ), x3 ∈ IR}. Or si on reprend la
première équation du système (S), on s’aperçoit que 1 + 2 × 0 + x3 n’est pas égal à 0. En effet,
le système initial n’est pas équivalent au deuxième. Si on procède correctement, on trouve
une seule solution qui est (1, 0, −1).
10.2
La Méthode de Décomposition du Pivot de Gauss
La méthode de Gauss consiste à résoudre un système linéaire en utilisant les propriétés
d’échanges et de combinaisons linéaires vues dans le paragraphe précédent afin d’obtenir un système “triangulaire” (ou “presque” triangulaire lorsque le système n’est pas carré) équivalent au
système initial. Précisons que cette méthode est automatique, c’est-à-dire s’applique de la même
manière à tout système. On parle de l’algorithme de Gauss.
Avant de décrire cet algorithme, résolvons des systèmes triangulaires :
Propriété 10.2. Supposons que a11 6= 0, a22 6= 0, .. et ann 6= 0. Alors le système diagonale (8)
bn
b1 b2
,
,...,
).
admet l’unique solution (
a11 a22
ann
Propriété 10.3. Supposons que a11 6= 0, a22 6= 0, .. et ann 6= 0. Alors le système triangulaire
supérieure (9) admet l’unique solution (x1 , x2 , .., xn ) tel que
bn
ann
bi − ai,i+1 xi+1 − ai,i+2 xi+2 − .. − ai,n xn
xi =
pour i allant de n − 1 à 1.
aii
xn =
29
Exemple 10.1.

 2x1 − 2x2 + x3
0
+ 3x2 − 8x3
(S)

− x3

+
=
 2x1
⇔
0
+ x2
=

x3 =

= −7
 2x1
= −5 ⇔
0

= −1
−6
1
1.
+
+
3x2
x3
= −7 + 2x2 − x3
=
−5 + 8x3
=
1
L’unique solution est donc (−3, 1, 1).
Exercice 2. Montrer que si a11 6= 0, a22 6= 0, .. et ann 6= 0. Alors le système triangulaire inférieure
(10) admet une unique solution (x1 , x2 , .., xn ) (Calculer x1 , puis x2 en fonction de x1 , puis xi en
fonction de x1 , · · · , xi−1 ).
Description de l’algorithme de Gauss sur un exemple :

1ier pivot




0
x1

(S1 )
2x1


4x1



6x1
Première Etape : Si le 1ier pivot est
nouveau 1ier pivot soit non nul.

1ier pivot




2
x1

0x1
(S1 ) ⇔


4x1



6x1
−x2
+5x2
+11x2
+17x2
+3x3
+7x3
+10x3
+2x4
+x4
+2x4
−4x4
= 1
= −3
= −5
= 1
(L1 )
(L2 )
(L3 )
(L4 )
nul, échanger L1 avec L2 , L3 ou L4 de telle sorte que le
+5x2
−x2
+11x2
+7x2
+3x3
+7x3
+10x3
+x4
+2x4
+2x4
−4x4
=
=
=
=
−3 (L1 ← L2 )
1 (L2 ← L1 )
−5
(L3 )
1
(L4 )
Seconde Etape : A l’aide du 1ier pivot non nul, ajouter à L2 , L3 et L4 un nombre de fois L1 afin
de faire disparaître l’inconnue x (c’est-à-dire l’inconnue sous le 1ier pivot) dans les lignes L , L
1
2
et L4 .
(S1 ) ⇔













2x1
0x1
0x1
0x1
+5x2
2ieme pivot
-1 x2
+1x2
+1x3
+2x2
+1x3
+3x3
+2x4
+0x4
−7x4
+x4
=
=
=
=
−3 (L1 )
1
(L2 )
(S2 )
1 (L3 ← L3 − 2L1 ) 


10 (L4 ← L4 − 3L1 ) 
Troisième étape : On recommence l’étape 1 et 2 avec le sous-système (S2 ).
• Première étape : Le deuxième pivot est non-nul donc on ne fait rien.
• Deuxième étape : On ajoute à L3 et L4 un nombre de fois L2 .

+3x3 +x4 = −3 (L1 )
2x1 +5x2


 0x

−x
+2x4 = 1 (L2 )

1
2

3ieme
pivot
(S1 ) ⇔
0x1 +0x2


+2x4 = 2 (L3 ← L3 + L2 )
+ 1 x3


0x

1 +0x2

+1x3
−3x4 = 12 (L4 ← L4 + 2L2 )
On recommence avec le sous-système 2 × 2 (S3 ).
• Première étape : Le troisième pivot est non-nul donc on ne fait rien.
30










(S3 )
3
• Deuxième étape : On ajoute


 2x1

0x1
(S1 ) ⇔
0x

1


0x1
à L4 un nombre de fois L3 .
+5x2
−x2
+0x2
+0x2
+3x3
+1x3
+0x3
+x4
+2x4
+2x4
−5x4
=
=
=
=
−3
(L1 )
1
(L2 )
2
(L3 )
10 (L4 ← L4 − L3 )
On aboutit à un système triangulaire, que l’on résout par substitution.

x4 = −2



 x3 = 2 − 2x4 = 2 + 4 = 6
(S1 ) ⇔
x2 = 2x4 − 1 = −4 − 1 = −5



 x1 = 1 (−3 − 5x2 − 3x3 − x4 ) = 3
2
L’unique solution du système (S1 ) est (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (3, −5, 6, −2).
Autre exemple et nouvelle présentation
On considère le système suivant,à 3 inconnues et 4 équations :

x1
+x2
+x3 = 1



x1 +5x2 +5x3 = 5
, où m est un paramètre réel
(Sm )
2x1 +5x2 +5x3 = 5



−x2
−x3 = m
On symbolise le système (Sm ) de la façon suivante (c’est juste une notation) :

1
1
1 | 1 (L1 )



1
5
5 | 5 (L2 )
(Sm )
2
5
5 | 5 (L3 )



0 −1 −1 | m (L4 )
On applique l’algorithme de Gauss, et on obtient les étapes suivantes :


1
1
1 | 1 (L1 )
1
1
1






0
4
4 | 4 (L2 ← L2 − L1 )
0
1
1
(Sm ) ⇐⇒
⇐⇒
0
3
3 | 3 (L3 ← L3 − 2L1 )
0
1
1






0
−1
−1
|
m
(L
)
0
−1
−1
4

1 1 1 |
1
(L1 )



0 1 1 |
1
(L2 )
⇐⇒
0
0
0
|
0
(L3 ← L3 − L2 )



0 0 0 | m + 1 (L4 ← L4 + L2 )
La décomposition de Gauss est terminée. On obtient :

x1 +x2 +x3



x2 +x3
(Sm ) ⇐⇒
0



0
=
1
=
1
=
0
= m+1
|
|
|
|
1
1
1
m
(L1 )
(L2 ← L2 /4)
(L3 ← L3 /3)
(L4 )
(L1 )
(L2 )
(L3 )
(L4 )
On peut immédiatement discuter les solutions en fonction du paramètre m :
– Si m 6= −1, alors l’équation
– si m = −1, alors le système
x1 +x2
(Sm ) ⇐⇒
x2
(L4 ) n’est pas réalisée, donc l’ensemble des solutions est vide.
(Sm ) est équivalent à L1 et L2 . Nous obtenons :
+x3 = 1 (L1 )
x1 = 0 (L1 ← L1 − L2 )
⇐⇒
+x3 = 1 (L2 )
x2 + x3 = 1 (L2 )
L’ensemble des solutions est donc : (x1 , x2 , x3 ) = (0, 1 − x3 , x3 ) où x3 est un réel quelconque.
On a donc autant de solutions que de réels x3 .
31
Un autre exemple
On considère le système

5x



x
(Sa )
 2x


3x
suivant,à 3 inconnues et 4 équations :
+5y
+y
−3y
−2y
+4z
−z
+2z
+z
=
=
=
=
−5
1
,
a
2
où a est un paramètre réel
Remarquons d’abord que le paramètre a est en 3ième ligne et qu’il est préférable de le faire
apparaître en dernière ligne. D’autre part, en échangeant les lignes (L1 ) et (L2 ), le premier pivot
est donc 1. Avec la notation sous forme de “matrice”, on a


5
5
4 | −5 (L1 )


1
1 −1 | 1 (L1 ← L2 )




1
1 −1 | 1 (L2 )
5
5
4 | −5 (L2 ← L1 )
⇐⇒
⇐⇒
2
−3
2
|
a
(L
)


3
−2
1 | 2 (L3 ← L4 )
3




3 −2
1 | 2 (L4 )
2 −3 +2 | a (L4 ← L3 )

1



0

0


0

1



0
0



0

1



0
0



0
1 −1 |
1
0
9 | −10
−5
4 | −1
−5
4 | a−2
(L1 )
(L2 ← L2 − 5L1 )
(L3 ← L3 − 3L1 )
(L4 ← L4 − 2L1 )
1 −1 |
1
−5
4 | −1
0
9 | −10
−5
4 | a−2
(L1 )
(L2 ← L3 ) pivot nul, donc on échange la ligne 2 et la ligne 3
(L3 ← L2 )
(L4 )
1 −1 |
1
−5
4 | −1
0
9 | −10
0
0 | a−1
(L1 )
(L2 )
(L3 )il n’y a rien à faire
(L4 ← L4 − L2 )
⇐⇒
La décomposition de Gauss est terminée. On obtient :

+x2
−x3

 x1

−5x2 +4x3
(Sa ) ⇐⇒
9x3



0
=
=
=
=
1
−1
−10
a−1
(L1 )
(L2 )
(L3 )
(L4 )
On peut immédiatement discuter les solutions en fonction du paramètre a :
– Si a 6= 1, alors l’équation (L4 ) n’est pas réalisée, donc l’ensemble des solutions est vide.
– si a = 1, alors le système (Sa ) est équivalent à L1 et L2 et L3 . Nous obtenons :

+x2
−x3 =
1
(L1 )
 x1
−5x2 +4x3 = −1 (L2 )
(Sa ) ⇐⇒

9x3 = −10 (L3 )
⇐⇒











10
x3 = −
9
−1 + 40/9
31
x2 = −
=−
5
45
31 10
26
x1 = 1 +
−
=
45
9
45
(L3 )
(L2 )
(L1 )
Il n’y a qu’une solution qui est donc : (x1 , x2 , x3 ) = (
32
On résout par remontée.
26 −31 −10
,
,
).
45 45
9
⇐⇒
Un dernier exemple
On considère le système suivant, à 4 inconnues et

 2x +5y +4z
x +5y +6z
(S)

x
+2z
Avec la notation sous forme de “matrice”, on


 1 +0
 2 +5 +4 +5 | 4
1 +5
1 +5 +6 +12 | 6 ⇐⇒


2 +5
1
0 +2 +5 | 2

 1
0

0
+0 +2 +5 | 2
+5 +4 +7 | 4
+5
0 −5 | 0
On obtient donc :

 x
+5y
(S) ⇐⇒



 z = 1 − 3t
5t
⇐⇒
y=
=t

5

x=t
+5t =
+12t =
+5t =
4
6
2
a
+2 +5 | 2
+6 +12 | 6
+4 +5 | 4
(L1 )
(L2 ← L2 − L1 )
(L3 ← L3 − 2L1 )
+2z
+4z
z
3 équations :
+5t = 2 (L1 )
+7t
=
4
+3t
=
1

 1
⇐⇒
0

0
(L1 ← L3 )
(L2 )
(L3 ← L1 )
⇐⇒
+0 +2 +5 | 2 (L1 )
+5 +4 +7 | 4 (L2 )
0 −4 −12 | −4 (L3 ← L3 − L2 )


 z = 1 − 3t
−4z − 7t + 4
⇐⇒
y=

5

x = −2z − 5t + 2
(L2 )
(L3 /(−4))
(L3 )
(L3 )
(L2 )
(L1 )
(L2 )
(L1 )
L’ensemble des solutions est : {(x, y, z, t) = (t, t, 1 − 3t, t), tq. t ∈ IR}.
10.3
Application de la Méthode de Gauss - Cadre Général :
Description de la méthode du Pivot de Gauss dans le cas général
On considère un système linéaire (S) à n (n ≥ 1) équations et p (p ≥ 2) inconnues que l’on
symbolise par la matrice et le second membre suivant :
a11
..
.
···
......
...
a1p
..
.
b1
..
.
an1
···
anp
bn
.
(11)
On va procéder par itérations successives, plus précisément, on va faire des opérations sur les lignes
(et parfois sur les colonnes) du système avec la contrainte de toujours obtenir un autre système
équivalent au premier.
1ière étape :
• Si la matrice associée au système est nulle alors dans ce cas la décomposition est faite.
• Si le système n’a qu’une équation alors on change l’ordre des inconnues de telle sorte que le
coefficient placé devant la première inconnue soit non nul. Et la décomposition est finie.
Sinon,
• Si le système a plus d’une équation et que la matrice associée au système est non nulle, alors dans
ce cas, on échange la 1ière colonne avec une colonne non nulle, ce qui revient à changer l’ordre de
deux inconnues dans le système.
La 1ière colonne étant non nulle, on échange deux lignes du nouveau système afin d’avoir un
coefficient non nul tout en haut à gauche dans la nouvelle matrice. Appelons toujours a11 ce
33
coefficient (non nul). En faisant les combinaisons suivantes sur les lignes du nouveau système, on
obtient le système suivant :(S) ⇐⇒

a11 x1




 0x1
..

.



 0x1
+a12 x2
·····················
(a22 −
a21
a11 a12 )x2
(an2 −
an1
a11 a12 )x2
···
..
.
···
..
.
+(a2p −
(anp −
+a1p xp
a21
a11 a1p )xp
..
.
an1
a11 a1p )xp
=
b1
=
..
.
=
b2 −
(L1 )
(L2 ← L2 − ( aa21
)L1 )
11
an1
a11 b1


(Ln ← Ln − ( aan1
)L1 ) 
11
....
..
bn −




a21
a11 b1
(S2 )
2ième étape :
On recommence l’étape 1, avec le sous système S2 qui a m − 1 équations et n − 1 inconnues.
Définition 10.2. Soient b1 , b2 , .., bn n réels. On appelle combinaison linéaire de b1 , b2 , .., bn
tout réel x de la forme :
x = α1 b1 + α2 b2 + .. + αn bn ,
où α1 , .., αn sont des réels.
Théorème 10.1. Tout système linéaire (S) (cf. (7)) à n (n ≥ 1) équations et p (p ≥ 2) inconnues
est équivalent à un système linéaire de la forme suivante :
a′11 x1
0
..
.
..
.
0
..
.
0
+a′12 x2
+a′22 x2
0
..
.
···
···
..
.
+a′1r xr
+a′2r xp
..
.
···
..
.
0
···
..
.
+a′rr xr
···
···
0
0
..
.
···
···
···
···
···
···
···
···
+a′1p xp
+a′2p xp
..
.
= b′1
= b′2
..
..
.
.
= b′r
+a′rp xp
0
..
.
···
..
.
0
..
.
=
..
.
0
···
0
=
(12)
b′r+1
..
.
b′n
avec a′11 , a′22 , · · · , a′rr différents de 0, r ≤ min(n, p). On notera que b′1 , b′2 , .., b′n sont des combinaisons linéaires de b1 , b2 , .., bn .
Preuve. L’algorithme du pivot de Gauss permet de démontrer le théorème.
Corollaire 10.1. Résolution du système homogène avec p > n
Supposons que le système homogène ait plus d’inconnue que d’équations, alors le système homogène admet une infinité de solutions.
Preuve. Après avoir mis le système linéaire homogène sous la forme (12) du théorème 10.1, on
a : r ≤ min(n, p) = n < p. Et le système initial est équivalent à



xr







 xr−1










=
=
..
.
..
.
x1
=
−a′r,r+1 xr+1 − · · · − a′rp xp
a′rr
−a′r−1,r xr − · · · − a′r−1,p xp
a′r−1,r−1
.
..
.
−a′1,2 x2 − · · · − a′1,p xp
a′11
Donc x1 , x2 , .., xr s’expriment en fonction des variables xr+1 , · · · , xp . On a donc une infinité de
solutions.
34
Corollaire 10.2. Résolution du système carré n = p homogène
Après avoir mis le système carré homogène sous la forme (12) du théorème 10.1, on a :
• Soit n = p = r, auquel cas le système admet l’ unique solution (0, · · · , 0).
• Soit r < n alors le système admet une infinité de solution.
Preuve. • cas n = r : Dans ce cas, le système est triangulaire et grâce à la propriété 10.3, on
obtient l’unique solution (0, · · · , 0).
• cas r < n : Dans ce cas,
xr
xr−1
..
.
x1
−a′r,r+1 xr+1 − · · · − a′rn xn
a′rr
−a′r−1,r xr − · · · − a′r−1,n xn
=
a′r−1,r−1
.
.. ..
. .
−a′1,2 x2 − · · · − a′1,n xn
=
a′11
=
Donc x1 , x2 , .., xr s’expriment en fonction des variables xr+1 , · · · , xn . On a donc une infinité de
solutions.
Corollaire 10.3. La conséquence du précédent corollaire est le fait qu’un système linéaire carré
homogène mis sous la forme du théorème 10.1 (décomposition de Gauss) admet l’unique solution
(x1 = 0, .., xn = 0) si et seulement si les éléments diagonaux de la décomposition de Gauss sont
tous non nuls (c’est-à-dire si r = n).
Exercice 3. Traiter le cas non homogène pour n = p = 5, avec r = 2 puis r = 5
Traiter le cas n = 2 et p = 3.
Traiter le cas n = 3 et p = 2.
35
11
11.1
l’Espace Vectoriel Réel
IR
n
L’ensemble IRn et ses propriétés :
Etant donné un entier naturel non nul n, on définit l’ensemble suivant :
IRn = {(x1 , x2 , .., xn ),
Soient ~x = (x1 , .., xn ) et ~y = (y1 , .., yn ) ∈ IRn ,
~x = ~
y
⇐⇒
x1 , x2 , ..., xn ∈ IR}




x1 = y1
x2 = y2
.
..
xn = yn
et
et



et
Sur IRn , on définit l’addition notée +, comme étant l’ application de IRn × IRn dans IRn , qui à
~x = (x1 , .., xn ) et ~
y = (y1 , .., yn ) associe l’élément noté ~x + ~y défini par :
~x + ~y
=
(x1 + y1 , x2 + y2 , .., xn + yn ) ∈ IRn .
L’addition sur IRn possède les propriétés suivantes :
1) ∀~x, ~y ∈ IRn ~x + ~y = ~y + ~x l’addition est commutative
2) ∀~x, ~y, ~z ∈ IRn (~x + ~y ) + ~z = ~x + (~y + ~z) l’addition est associative
3) On note ~0 l’élément (0, 0, .., 0) ∈ IRn , alors ∀~x ∈ IRn ~x + ~0 = ~0 + ~x = ~x
on dit que ~0 est un élément neutre dans IRn pour l’addition.
4) si ~x ∈ IRn , on note −~x l’élément défini par :
−~x
=
alors
(−x1 , −x2 , .., −xn ),
~x + (−~x) = (−~x) + x = ~0
∀~x ∈ IR,
on dit que −~x est l’opposé de ~x.
Pour résumer les quatre propriétés ci-dessus, on dit que (IRn , +) est un groupe commutatif (on dit
aussi groupe abélien).
Pour tout ~x ∈ IRn et tout réel α, on note α · ~x, l’élément de IRn défini par
α · ~x
=
(αx1 , αx2 , .. , αxn ).
Nous avons alors les propriétés suivantes :
5)
6)
7)
8)
∀α, β ∈ IR, ∀~x ∈ IRn (α + β) · ~x = α · ~x + β · ~x
∀α, β ∈ IR, ∀~x ∈ IRn (αβ) · ~x = α · (β · ~x)
∀α ∈ IR, ∀~x, ~y ∈ IRn α · (~x + ~y) = α · ~x + α · ~y
∀~x ∈ IRn , 1 · ~x = ~x
Pour résumer les propriétés de 1 à 8, on dit que (IRn , +, ·) est un espace vectoriel réel. Les
éléments de IRn seront appelés vecteurs et ~0 est appelé vecteur nul.
Attention : Le produit interne de deux vecteurs n’a en général pas de sens dans
IRn .
Quelques conséquences :
Si ~x, ~y ∈ IRn , on notera ~x − ~y le vecteur ~x + (−~y ).
1) ∀~x ∈ IRn , ∀α ∈ IR α · (−~x) = (−α) · ~x = −(α · ~x).
36

 α · (−~x) = (α(−x1 ), α(−x2 ), .., α(−xn ))
= (−αx1 , −αx2 , .., −αxn )
= (−α) · ~x
En effet, si ~x = (x1 , .., xn ), on a

= −(αx1 , αx2 , .., αxn )
= −(α · ~x).
∀~x, ~y ∈ IRn , ∀α ∈ IR,
2) On en déduit que
et que
3) ∀~x ∈ IRn ,
4) ∀α ∈ IR,
α · (~x − ~y ) = α · ~x − α · ~y,
∀α, β ∈ IR, ∀~x ∈ IRn ,
(α − β) · ~x = α · ~x − β · ~x.
0 · ~x = ~0
α · ~0 = ~0
5) Soient α ∈ IRn et ~x ∈ IRn , si α · ~x = ~0 alors α = 0 ou ~x = ~0.
En effet : si α · ~x = ~0 alors (αx1 , αx2 , .., αxn ) = (0, 0, .., 0), donc αx1 = 0 et αx2 = 0 et .. et αxn =
0. Soit on a α = 0 alors la conclusion est réalisée, soit on α 6= 0 alors x1 = 0 et x2 = 0 et .. et xn =
0 alors ~x = ~0.
Sous-espaces Vectoriels de IRn
11.2
Définition 11.1. On dit que E est un sous-espace vectoriel de IRn si les propriétés suivantes
sont vérifiées :
i) E est non vide
ii) ∀~x ∈ E, ∀~y ∈ E,
iii) ∀~x ∈ E, ∀α ∈ IR,
Remarque 11.1.
~x + ~y ∈ E. E est dit stable par addition.
α · ~x ∈ E. E est dit stable par multiplication par un réel.
i) ∀~x ∈ E,
−~x ∈ E :
En effet, ∀~x ∈ E, (−1) · ~x ∈ E. Or (−1) · ~x = −(1 · ~x) = −~x.
ii) ~0 appartient à tout sous-espace vectoriel de IRn
En effet, E est non vide donc il existe un vecteur ~x de E. Donc 0 · ~x ∈ E. Or 0 · ~x = ~0, donc
~0 ∈ E.La contraposée de cette remarque permet parfois de montrer qu’un ensemble n’est
pas un sous-espace vectoriel de IRn , à savoir :
si ~0 6∈ E, alors E n’est pas un sous-espace vectoriel de IRn .
Exemple 11.1.
i) {~0} et IRn sont des sous-espaces vectoriels de IRn .
ii) Dans IR3 (l’espace), les droites et les plans passant par l’origine sont des sous-espaces vectoriels de IR3 .
11.2.1
Intersection et Réunion de 2 Sous-espaces Vectoriels
Théorème 11.1.
L’intersection de deux sous-espaces vectoriels de IRn est un sous-espace vectoriel de IRn .
La réunion de deux sous-espaces vectoriels de IRn n’ est pas en général un sous-espace
vectoriel de IRn
Preuve. 1) - Soient E et F deux sous-espaces vectoriels de IRn .
• ~0 ∈ E et ~0 ∈ F donc ~0 ∈ E ∩ F . E ∩ F est donc non-vide.
• ∀~x, ~y ∈ E ∩ F ~x, ~y ∈ E et ~x, ~y ∈ F , donc ~x + ~y ∈ E et ~x + ~y ∈ F . D’où ~x + ~y ∈ E ∩ F .
• On procède de même pour la stabilité par multiplication par un scalaire.
37
2) - Dans IR2 , E = {~x = (x1 , x2 )/ x1 = 0} et F = {~x = (x1 , x2 )/ x2 = 0} sont deux sousespaces vectoriels de IR2 . (0, 1) ∈ E donc aussi dans E ∪ F . (1, 0) ∈ F donc aussi dans E ∪ F . Or
(0, 1) + (1, 0) = (1, 1) 6∈ E ∪ F . Donc E ∪ F n’est pas stable par addition.
11.3
Combinaisons Linéaires
Définition 11.2. Soient ~x1 , .., ~xp p vecteurs (p ∈ IN⋆ ) de IRn . On appelle combinaison linéaire
des vecteurs ~x1 , .., ~xp , tout vecteur ~x de la forme
~x = α1 · ~x1 + .. + αp · ~xp =
p
X
i=1
αi · ~xi , où α1 , .., αp ∈ IR.
Théorème 11.2. et Définition L’ensemble des combinaisons linéaires de ~x1 , .., ~xp est un sousespace vectoriel de IRn qui contient {~x1 , .., ~xp }.
On note cet ensemble Vect{~x1 , .., ~xp } et on l’appelle sous-espace vectoriel engendré par
{~x1 , .., ~xp }.
Si F = Vect{~x1 , .., ~xp } on dit aussi que {~x1 , .., ~xp } engendre F .
Preuve. Posons F , l’ensemble des combinaisons linéaires de ~x1 , .., ~xp . Montrons que F est un
sous-espace vectoriel de IRn qui contient ~x1 , .., ~xp .
On a {~x1 , .., ~xp } ⊂ F car ∀i ∈ {1, .., p}, ~xi = 1 · ~xi ∈ F . Donc F n’est pas vide, et par construction
F est stable par addition et par multiplication par un scalaire. Donc F est un sous-espace vectoriel
de IRn .
Propriété 11.1. Soient ~x1 , .., ~xp , p vecteurs de IRn . Si ~x1 est combinaison linéaire de ~x2 , .., ~xp ,
alors Vect{~x1 , .., ~xp } = Vect{~x2 , .., ~xp }.
Preuve. Le sous-espace vectoriel Vect{~x2 , .., ~xp } est inclus dans Vect{~x1 , .., ~xp }, car toute combinaison linéaire de ~x2 , .., ~xp est combinaison lineaire de ~x1 , ~x2 , .., ~xp .
Réciproquement, Soit ~u un élément de Vect{~x1 , .., ~xp }, alors ~u = α1 · ~x1 + α2 · ~x2 + .. + αp · ~xp ,
où α1 , .., αp sont des réels. De plus, comme ~x1 = β2 ~x2 + .. + βp ~xp (avec β1 , ..βp ∈ IR), on obtient
que : ~u = (α1 β2 + α2 ) · ~x2 + (α1 β3 + α3 ) · ~x3 + .. + (α1 βp + αp ) · ~xp .. Donc ~u ∈ Vect{~x2 , .., ~xp }.
Donc Vect{~x1 , .., ~xp } ⊂ Vect{~x2 , .., ~xp }. D’où l’égalité.
11.4
Famille libre
C’est la généralisation à plusieurs vecteurs d’une famille de deux vecteurs non colinéaires.
Définition 11.3. Soient {~x1 , .., ~xp } une famille de vecteurs de IRn (p ∈ IN⋆ ). On dit que la famille
{~x1 , .., ~xp } est une famille libre (ou aussi linéairement indépendante) si la propriété suivante
est vraie :
(~
α1 · ~x1 + .. + α
~ p · ~xp = ~0 ⇒ α1 = 0 et .. et αp = 0).
p
X
αi · ~xi = ~0 ⇒ (α1 , .., αp ) = (0, .., 0),
∀(αi )pi=1 ∈ IRp
∀α1 , .., αp ∈ IR,
c’est-à-dire
i=1
.
c’est-à-dire, l’équation vectorielle α
~ 1 · ~x1 + .. + α
~ p · ~xp = ~0, d’inconnues réelles α1 , .., αp
n’a que la seule solution α1 = .. = αp = 0
Une famille qui n’est pas libre est dite liée ou linéairement dépendante, c’est-à-dire que :
Il existe α1 , .., αp ∈ IR, tq. α
~ 1 · ~x1 + .. + α
~ p · ~xp = ~0 et au moins l’un des α1 , α2 , ..αp est non-nul.
Remarque 11.2. Remarquons que quelque soient les vecteurs ~x1 , .., ~xp ∈ IRn , l’équation vectorielle α
~ 1 · ~x1 + .. + α
~ p · ~xp = ~0, d’inconnues réelles α1 , .., αp a toujours la solution α1 = .. = αp = 0.
38
Propriété 11.2.
i) Soit ~x ∈ IRn , {~x} forme une famille libre si et seulement si ~x 6= ~0.
ii) Les éléments d’une famille libre sont tous non-nuls.
6=0
z}|{
En effet : Si ~xp = ~0 alors 0 ·~x1 + 0 ·~x2 + .. + 1. ·~xp = ~0. D’où la famille n’est pas libre. Donc
par contraposé, si la famille est libre alors xp 6= 0 (et de même pour les autres vecteurs).
iii) Les éléments d’une famille libre sont tous distincts.
En effet, si ~x1 = ~x2 alors |{z}
1 ·~x1 + (−1) ·~x2 + 0 · ~x3 + .. + 0 · ~xp = ~0, ce qui montre
| {z }
6=0
6=0
que la famille n’est pas libre.
iv) Toute sous-famille d’une famille libre est libre.
v) Toute sur-famille d’une famille liée est liée.
Théorème 11.3. Une famille (~xi )pi=1 est liée si et seulement si l’un des ~xi est combinaison linéaire
des autres vecteurs de la famille.
Preuve. • Si l’un des ~xi vérifie :
~xi =
p
X
j = 1
j 6= i
αj · ~xj alors en posant αi = −1, on a
avec αi 6= 0. Donc la famille est liée.
• Si la famille est liée, il existe β1 , .., βp ∈ IR non tous nuls tels que :
(pour des raisons d’écriture) que ce soit β1 (β1 6= 0), alors −β1 · ~x1 =
p
X
βj
( ) · ~xj . Donc ~x1 est combinaison linéaire de ~x2 , .., ~xp .
β
1
j=2
p
X
j=1
p
X
j=2
p
X
j=1
αj · ~xj = ~0
βj · ~xj = ~0. Supposons
βj · ~xj ,
d’où
~x1 =
Théorème 11.4. Soit E un sous-espace vectoriel de IRn . On suppose que {~x1 , .., ~xp } est une
famille libre de E. Alors si ~x n’est pas combinaison linéaire de {~x1 , .., ~xp }, la famille {~x, ~x1 , .., ~xp }
est libre.
Preuve. Soient λ1 , .., λp , λ ∈ IR tels que
λ1 · ~x1 + .. + λp · ~xp + λ · ~x = ~0.
(13)
−λp
−λ1
· ~x1 + .. +
· ~xp , donc ~x est combinaison
λ
λ
linéaire de {~x1 , .., ~xp }, ce qui est contraire à l’hypothèse. Donc λ = 0.
On a donc λ1 · ~x1 + .. + λp · ~xp = ~0. La famille {~x1 , .., ~xp } étant libre, on a λ1 = .. = λp = 0, ce qui
montre que (13) implique λ1 = .. = λp = λ = 0. La famille {~x, ~x1 , .., ~xp } est donc libre.
Supposons par l’absurde que λ 6= 0. Alors ~x =
11.5
Famille génératrice et base d’un sous-espace vectoriel
Définition 11.4. Soient E un sous-espace vectoriel de IRn et {~x1 , .., ~xp } une famille de vecteurs
de E. On dit que la famille {~x1 , .., ~xp } est une famille génératrice de E si tout élément de E
s’écrit comme combinaison linéaire de la famille (~xi )pi=1 , c’est-à-dire si Vect{~x1 , .., ~xp } = E.
On dit qu’une famille (~xi )pi=1 appartenant au sous-espace vectoriel E de IRn est une base de E,
si cette famille est libre et génératrice de E.
Exemple 11.2.
de IR3 .
~ 1 ,OM
~ 2 ,OM
~ 3 , non coplanaires forment une base
i) Dans IR3 , trois vecteurs OM
39
ii) Considérons la famille des n vecteurs de IRn : ~e1 = (1, 0, .., 0), ~e2 = (0, 1, .., 0),.., ~en =
(0, 0, .., 1). Alors la famille (~e1 , ~e2 , .., ~en ) est une base de IRn , appelée base canonique de
IRn .
En effet, tout ~x ∈ IRn s’écrit ~x = (x1 , x2 , .., xn ) = x1 · ~e1 + .. + xn · ~en . La famille (~e1 , .., ~en )
est donc génératrice de IRn .
Cette famille est également libre : En effet
Soit α1 , .., αn ∈ IR tel que α1 · ~e1 + .. + αn · ~en = ~0, alors (α1 , α2 , .., αn ) = (0, 0, .., 0), d’où
α1 = 0 et α2 = 0,.., et αn = 0.
iii) La famille {(1, 1, 2), (1, 0, 1), (1, −1, 0)} n’est pas une famille génératrice de IR3 . Montrons le
par l’absurde.
Supposons que cette famille soit génératrice de IR3 alors ∀~x ∈ IR3 , il existe α1 , α2 , α3 ∈ IR
tel que
~x = α1 · (1, 1, 2) + α2 · (1, 0, 1) + α3 · (1, −1, 0)
alors ~x = (α1 + α2 + α3 , α1 − α2 , 2α1 + α2 )
Posons ~x = (x1 , x2 , x3 ) alors on a

 x1 = α1 + α2 + α3
.
x2 = α1 − α2

x3 = 2α1 + α2
alors x1 + x2 − x3 = 0. Donc si x1 + x2 − x3 6= 0 (par exemple si ~x = (1, 1, 1)), le vecteur ~x
n’est pas combinaison linéaire de la famille. Donc la famille n’est pas génératrice de IR3 .
iv) Cette famille n’est pas non plus libre, en effet :
1 ·(1, 1, 2) + (−2) · (1, 0, 1) + 1 · (1, −1, 0) = ~0.
|{z}
6=0
Théorème 11.5. Soit E un sous-espace vectoriel de IRn . (~e1 , .., ~ep ) est une base de E si et seulement si tout vecteur ~x de E s’écrit de manière unique sous la forme
~x = α1 · ~e1 + .. + αp · ~ep ,
où α1 , .., αp ∈ IR.
(14)
Le p_uplet (α1 , .., αp ) s’appelle composantes ou coordonnées de ~x par rapport à la base
(~e1 , .., ~ep ) (ici l’ordre dans lequel sont décrits les éléments de la base (~e1 , .., ~ep ) a son importance).
Preuve. Soit (~e1 , .., ~ep ) une base de E, alors tout vecteur ~x de E s’écrit sous la forme : ~x =
α1 · ~e1 + .. + αp · ~ep , avec α1 , .., αp ∈ IR. Si il existe deux décompositions de ~x alors :
~x = α1 · ~e1 + .. + αp · ~ep = β1 · ~e1 + .. + βp · ~ep d’où
(α1 − β1 ) · ~e1 + .. + (αp − βp ) · ~ep = ~0 d’où
α1 = β1 et ... et αp = βp car (~e1 , .., ~ep ) est une famille libre.
La décomposition est donc unique.
Réciproquement, si tout vecteur ~x de E se décompose sous la forme (14), la famille (~e1 , .., ~ep ) est
génératrice de E. D’autre part,
∀(α1 , .., αp ) ∈ IR,
α1 · ~e1 + .. + αp · ~ep = ~0
⇒ α1 · ~e1 + .. + αp · ~ep = 0 · ~e1 + .. + 0 · ~ep
⇒ α1 = 0 et .. et αp = 0
( d’après l’unicité de la décomposition.)
La famille (~e1 , .., ~ep ) est donc libre.
Corollaire 11.1. Soient E un sous-espace vectoriel de IRn et λ un réel.
Si ~x, ~y ∈ E ont respectivement pour coordonnées (α1 , .., αp ) et (β1 , .., βp ) dans la base (~e1 , .., ~ep )
de E, alors λ~x ( resp. ~x + ~y ) a pour coordonnées (λα1 , .., λαp ) ( resp. (α1 + β1 , .., αp + βp ) ) dans
la base (~e1 , .., ~ep ).
Preuve. A faire en TD.
40
11.6
Dimension d’un sous-espace vectoriel
Théorème 11.6. admis Soit n ∈ IN⋆ . Tout sous-espace vectoriel de IRn différent de {~0}, admet
au moins une base.
Théorème 11.7.
Supposons qu’une base d’un sous-espace vectoriel E de IRn ait exactement p éléments. Alors
i)- toute famille libre de E admet au plus p éléments et
ii)-toute famille génératrice de E admet au moins p éléments.
Preuve. Soit {~e1 , .., ~ep } une base de E.
~ de r éléments avec r > p et
i)- Montrons-le par la contraposée. Considérons une famille{f~1 , ..,
fr } 
 
f11
f1r
   
montrons alors que la famille n’est pas libre : en effet, si on note  ... ,.., ...  les coordonnées
fp1
fpr
~
~
respectives de f1 , .., fr dans la base {~e1 , e~2 , .., e~p }, alors
   
 
0
f1r
f11
 ..   .. 
 .. 
~
~
~
α1 · f1 + .. + αr · fr = 0 ⇔ α1  .  + .. + αr  .  =  . 


 α1 f11 + .. + αr f1p = 0
........
.
....


α1 fp1 + .. + αr fpr = 0
fp1
fpr
0
⇔
On obtient donc un système linéaire à p équations et r inconnues α1 , .., αr avec r > p, donc d’après
le corollaire (10.1), ce système admet une infinité de solutions α1 , .., αr . Donc la famille {f~1 , .., f~r }
n’est pas libre.
ii)- Soit {f~1 , .., f~r } une famille génératrice de E de r éléments tel que r < p. Montrons que
ceci est absurde.
Tout d’abord, si la famille {f~1 , .., f~r } n’est pas une famille libre, alors l’un des vecteurs f~i , 1 ≤ i ≤ r
est combinaison linéaire des autres (cf. théorème (11.3)). On classera les vecteurs de telle sorte
que f~r soit celui qui est combinaison linéaire des autres, on aura alors, d’après la propriété (11.1),
E = Vect{f~1 , .., f~r } = Vect{f~1 , .., f~r−1 }. On recommence le même processus avec la sous-famille
{f~1 , .., f~r−1 } qui est génératrice de E. Donc en supprimant suffisamment de vecteurs on obtient
E = Vect{f~1 , .., f~r′ } avec r′ ≤ r < p et telle que la famille {f~1 , .., f~r′ } soit libre. Etant aussi génératrice de E, elle est donc une base de E. Donc d’après i), toute famille libre de E admet au
plus r′ éléments. Or {~e1 , .., ~ep } est une famille libre de E qui admet p > r′ éléments. Donc ceci est
absurde. Donc toute famille génératrice de E admet r éléments avec r ≥ p.
Corollaire 11.2. Toute base d’un sous-espace vectoriel de IRn admet au plus n éléments.
Preuve. On a déjà vu que IRn possède une base possédant n éléments. Or toute base de E est
en particulier une famille libre de E et est aussi une famille libre de IRn , donc d’après le théorème
précédent, cette famille admet au plus n éléments.
Corollaire 11.3. et définition Toutes les bases d’un sous-espace vectoriel E de IRn , non réduit
à {0}, admettent le même nombre d’éléments. On appelle dimension du sous-espace vectoriel
E de IRn le nombre d’éléments de chaque base de E.
Preuve. Soient B et B ′ deux bases de E. On sait alors que les deux bases ont chacune au plus n
éléments. Soient p et p′ le nombre d’éléments de chacune de ses deux bases. D’abord p ≤ p′ car B
est une famille libre de E et B ′ est une base de E. De même, en inversant les rôles de B et B ′ , on
a : p′ ≤ p. Donc p = p′ .
41
Théorème 11.8. Soit E un sous-espace vectoriel de IRn de dimension p ≥ 1. Soit F une famille
de p vecteurs de E. Alors
F est une famille libre de E
F est une famille génératrice de E.
⇐⇒
Autrement dit, si on sait que dim(E) = p, alors une famille contenant p éléments de E est une
base de E si et seulement si cette famille est libre ou génératrice de E.
Preuve. 1) Montrons par l’absurde que F libre ⇒ F génératrice de E.
Soit {~e1 , .., ~ep } une famille libre de E et supposons, par l’absurde, que cette famille ne soit pas
génératrice de E, alors il existe ~x ∈ E tel que ~x n’est pas combinaison linéaire de ~e1 , .., ~ep . Donc
d’après le théorème 11.4, la famille {~e1 , .., ~ep , ~x} est libre. Donc p + 1 ≤ dim(E) = p, ce qui est
absurde. Donc {~e1 , .., ~ep } est une famille génératrice de E.
2) Montrons que F génératrice de E ⇒ F libre.
Soit {~e1 , .., ~ep } une famille génératrice de E, et supposons par l’absurde que {~e1 , .., ~ep } n’est pas
libre. Donc l’un des vecteurs ~e1 , .., ~ep est combinaison linéaire des autres, notons le ~ep . Alors
E = Vect{~e1 , .., ~ep } = Vect{~e1 , .., ~ep−1 }. Donc {~e1 , .., ~ep−1 } est une famille génératrice de E qui
a p − 1 éléments, donc p − 1 ≥ dim(E) = p, ce qui est absurde. Donc toute famille à p éléments
génératrice de E est libre.
Théorème 11.9. Soient E et F deux sous-espaces vectoriels de IRn tels que F ⊂ E alors dim F ≤
dim E.
De plus, si F ⊂ E et si dim F = dim E alors F = E.
Preuve. • Si F est non réduit à {~0} (sinon le résultat est immédiat), soient p = dim F et {~x1 , .., ~xp }
une base de F . Alors {~x1 , .., ~xp } est aussi une famille libre de E donc p ≤ dim E (cf. théorème
11.7).
• Si de plus dim F = dim E, montrons par l’absurde que E ⊂ F (on a déjà F ⊂ E).
Si E 6⊂ F , alors ∃ ~x ∈ E tel que ~x 6∈ F . Donc ~x n’est pas combinaison linéaire de {~x1 , .., ~xp } (qui
est une famille libre de E). D’où {~x, ~x1 , .., ~xp } est une famille libre de E (cf. théorème 11.7) donc
p + 1 ≤ dim E = p, ce qui est impossible. Donc E ⊂ F .
Définition 11.5.
Toute droite vectorielle est un sous-espace vectoriel de IRn de dimension 1.
Tout plan vectoriel est un sous-espace vectoriel de IRn de dimension 2.
Tout hyperplan de IRn est un sous-espace vectoriel de IRn de dimension (n − 1).
42