Chapitre 10

Polynômes & Fractions rationnelles
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Piste de ski
B. Aoubiza
IUT Belfort-Montbéliard
Département GTR
13 novembre 2002

Table des matières
I Polynômes 2
10.1 Définitionetnotations.......................................... 3
10.2Opérationssurlespolynômes ...................................... 3
10.2.1 Opérationsurlespolynômes—Sommededeuxpolynômes.................. 3
10.2.2 Opérationsurlespolynômes—Produitd’unpolynômeparunscalaire ........... 4
10.2.3 Opérationsurlespolynômes—Produitdedeuxpolynômes ................. 4
10.3Divisioneuclidienneoudivisionselonlespuissancesdécroissantes.................. 4
10.3.1 Divisioneuclidienne—Algorithmed’Euclide.......................... 5
10.3.2 Division euclidienne — Division par (x−a).......................... 5
10.3.3 Division euclidienne — Division par (x−a)(x−b)....................... 6
10.3.4 Divisioneuclidienne—Ordredemultiplicitédesracinesd’unpolynôme........... 6
10.4Factorisationd’unpolynôme....................................... 7
10.4.1 Factorisation d’un polynôme — Factorisation dans C[X]................... 7
10.4.2 Factorisation d’un polynôme — Factorisation dans R[X]................... 7
10.5Divisionsuivantlespuissancescroissantes ............................... 8
10.6FormuledeTaylorpourunpolynôme.................................. 9
II Fractions rationnelles 11
10.7 Définitionsetnotations ......................................... 12
10.8Décompositionenélémentssimples................................... 13
10.8.1 Décompositionenélémentssimples—Elémentssimples.................... 13
10.8.2 Décompositionenélémentssimples—Théorèmefondamental ................ 13
10.8.3 Décompositionenélémentssimples—Exemples........................ 16
10.9Graphedesfonctionsrationnelles.................................... 18
10.10Comportementasymptotiqued’unefonctionrationnelle ....................... 19
10.10.1 Fonction rationnelle au voisinage de ∓∞ ............................ 19
10.10.2 Graphe de des fractions an
bm
xr.................................. 21
1

Première partie
Polynômes
2

10.1 Définition et notations
Dèfinition 1 On appelle polynôme à coefficients complexes une application de Cdans Cqui à xassocie :
P(x)=a0+a1x+a2x2+···+anxnoù a0,a
1,a 2,··· et ansont des nombres complexes.
Si nest le plus grand entier tel que an6=0.nest dit le degré de Pet on note : d◦P=n.
Remarque 1 Polynôme nul
P(x)=0équivaut à ai=0 pour tout i.
Remarque 2 Par convention : d◦0=−∞.
Notations :
R[X]: ensemble des polynômes à coefficients dans R;
C[X]: ensemble des polynômes à coefficients dans C.
Exemple 1 :
polynôme constant :P(x) = 1124
polynôme linéaire :P(x)=2x+1
polynôme quadratique :P(x)=x2+√5x+2/3
polynôme cubique :P(x)=πx3+1
Remarque 3 Un polynôme peut être donner sous une autre forme. Par exemple
P(x)=(x−1)(x−2)(x2+3)
10.2 Opérations sur les polynômes
10.2.1 Opération sur les polynômes — Somme de deux polynômes
Soient deux polynômes P(x)et Q(x)tels que
P(x)=a0+a1x+a2x2+···+anxnd◦P=n
Q(x)=b0+b1x+b2x2+···+bmxmd◦Q=m
La somme P(x)+Q(x)est un polynôme ayant pour coefficients ci=ai+bison degré est tel que :
½d◦(P+Q)=sup(n, m)si n 6=m
d◦(P+Q)≤sup(n, m)si n =m
Exemple 2 Soient P(x)=1−x+x2et Q(x)=−x2. Calculer la somme de ces deux polynômes.
Solution : Leur somme est donnée par
P(x)+Q(x)=(1−x+x2)+(−x2)=1+x
Notons que d◦(P+Q)≤sup(n, m)
Exemple 3 Soient P(x)=1+x+x2et Q(x)=x−x3.CalculerlasommeP(x)+Q(x).
Solution : Leur somme est donnée par
P(x)+Q(x)=(1+x+x2)+(x−x3)=1+2x+x2−x3
et noter que d◦(P+Q) = sup(n, m)
Propriétés de l’opération somme
Soient P, Q et Rtrois polynômes, on vérifie facilement qu’on a les propriétés suivantes :
(P+Q)+R=P+(Q+R);P+Q=Q+P;P+0=P;P+(−P)=0
3

10.2.2 Opération sur les polynômes — Produit d’un polynôme par un scalaire
Soit P(x)=a0+a1x+a2x2+···+anxnun polynôme de d◦P=net λun complexe
λP (x)=λa0+λa1x+λa2x2+···+λanxn
Propriétés du produit d’un polynôme par un scalaire
Soient Pet Qdeux polynômes, on vérifie facilement qu’on a les propriétés suivantes :
1.P =P;λ(µP )=(λµ)P;λ(P+Q)=λP +λQ ;(λ+µ)P=λP +µP
10.2.3 Opération sur les polynômes — Produit de deux polynômes
Soient deux polynômes P(x)et Q(x)tels que
P(x)=a0+a1x+a2x2+···+anxnd◦P=n
Q(x)=b0+b1x+b2x2+···+bmxmd◦Q=m
Le produit de ces deux polynômes est donné par
P(x)Q(x)=c0+c1x+c2x2+···+cn+mxn+mSon degré ≤m+n
Les coefficients sont tels que :
c0=a0b0;c1=a0b1+a1b0;c2=a0b2+a1b1+a2b0;c3=a0b3+a1b2+a2b1+a3b0;···
En général, la formule donnant ces coefficients est
cp=X
i+j=p
aibj(0 ≤i≤net 0≤j≤m)
Notons que
P(x)Q(x)=0=⇒P(x)=0 ou Q(x)=0
Exemple 4 Soient P(x)=1+x+x2et Q(x)=x−x3.CalculerleproduitP(x).Q(x).
Solution : Le produit de ces deux polynôme est donné par :
P(x).Q(x)=(1+x+x2)(x−x3)=c0+c1x+c2x2+c3x3+c4x4+c5x5où
c0=a0b0=0;
c1=a0b1+a1b0=1;
c2=a0b2+a1b1+a2b0=1;
c3=a0b3+a1b2+a2b1+a3b0=0;
c4=a0b4+a1b3+a2b2+a3b1+a4b0=−1;
c5=a0b5+a1b4+a2b3+a3b2+a4b1+a5b0=−1.Soit
P(x).Q(x)=x+x2−x4−x5
Noter qu’on peut déterminer ce polynôme produit sans passer par la formule du calcul des coef-
ficients.
Remarque 4 Pour le calcul des coefficients du polynôme produit, la formule ci-dessus donne un algorithme
très simple à programmer.
10.3 Division euclidienne ou division selon les puissances décrois-
santes
Théorème 1 Soient A(x)et B(x)deux polynômes tel que B(x)6=0. Alors il existe un couple unique de
polynômes (Q, R)tel que : ½A(x)=B(x)Q(x)+R(x)Q:lequotient
d◦R<d
◦BR:lereste
Remarque 5 Ce théorème assure l’existence des polynômes Q(x)et R(x)mais il ne nous donne pas leurs
expressions. Nous verrons ci-dessous comment les obtenir.
Cas particulier :SiR(x)=0alors A(x)=B(x)Q(x)et on dit que A(x)est divisible par B(x).
4