Mathématiques 3e

Mathématiques 3e
Livret de corrigés
Rédaction :
Nicole Cantelou
Hélène Lecoq
Fabienne Meille
Jean-Denis Poignet
Coordination :
Jean-Denis Poignet, responsable de formation
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2
2
Séquence
1
SÉQUENCE 1
PROBABILITÉS
Ce que tu devais faire Les commentaires du professeur
Séance 1
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e
1)
 4
 5
 6
 3
1)
• Il y a trois modèles disponibles en deux couleurs chacun soit au
total 3
× 2 donc 6 jouets différents.
Si on note M1, M2, et M3 les trois modèles et C1, C2 les deux
couleurs, les possibilités sont :
(M1,C1) pour modèle 1 en couleur 1,
(M1,C2), (M2,C1), (M2,C2), (M3,C1), (M3,C2).
Il y a donc bien 6 possibilités.
2)
 20 %
 25 %
 5 %
 0,2 %
2)
• En effet,
1 20 1 20
5 20 5 100
×
= =
× soit 20%.
• On peut aussi écrire que :
,
=
1
0 2
5 et 0,2 c’est 20 %
(il suffit de multiplier 0,2 par 100 pour obtenir le pourcentage).
• On peut encore écrire que : 1 100
100 20
5 5
= =×
Le pourcentage cherché est donc 20 %.
3)
 730
 0,46
 46 %
 2,13
Pour obtenir la fréquence, on divise le nombre de « pile » par le
nombre total de lancers (revois éventuellement ton programme de
statistiques de 5e ou de 4e).
,
230
0 46
500 = La fréquence est 0,46.
Cette fréquence s’exprime en pourcentage 46 %
(il suffit de multiplier 0,46 par 100 pour obtenir le pourcentage).
4)
 0,1
 0,3
 0,7
 0,5
Si la pièce n’est pas truquée, on s’attend au bout d’un très grand
nombre de lancers à obtenir à peu près autant de « pile » que de
« face ».
Le nombre de « pile » est alors à peu près la moitié du nombre
total de lancers. La fréquence est donc environ de
1
2
soit 0,5.
La probabilité d’obtenir pile est le nombre vers lequel la
fréquence va se rapprocher si on fait de plus en plus de lancers.
La probabilité d’obtenir « pile » est donc 0,5.
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3
3
Séquence 1
EXERCICE 1
Jeu de Pauline :
La probabilité de tirer la boule verte est
1
3
.
Dans ce jeu, il y a trois « possibilités » (en probabilité, on dira
trois issues) :
• tirer la boule verte
• tirer la boule bleue
• tirer la boule rouge
On a autant de chances de tirer chacune de ces trois boules.
La probabilité de tirer la boule verte est donc d’une chance sur 3,
c’est-à-dire 1 divisé par 3 donc
1
3
.
La probabilité de tirer la boule bleue est aussi
1
3
.
La probabilité de tirer la boule rouge est également
1
3
.
Jeu de Nadia :
La probabilité d’obtenir un « deux » en lançant un dé
à six faces est
1
6
.
Dans ce jeu, il y a six issues :
• obtenir le 1
• obtenir le 2
• obtenir le 3
• obtenir le 4
• obtenir le 5
• obtenir le 6
On a autant de chance (si le dé n’est pas truqué !) d’obtenir le 1,
le 2, le 3, le 4, le 5 ou le 6.
La probabilité d’obtenir le 2 est donc d’une chance sur six soit
1
6
.
EXERCICE 2
Jeu d’Aurélie :
Aurélie tire une boule dans une boîte qui en contient
5.
La boîte contient exactement 2 boules jaunes.
Aurélie a donc 2 chances sur 5 de tirer une boule
jaune, soit une probabilité de gagner de
2
5
.
Jeu d’Andry :
Andry tire une boule dans une boîte qui en contient 8.
La boîte contient exactement 3 boules vertes.
Andry a donc 3 chances sur 8 de tirer une boule verte,
soit une probabilité de gagner de
3
8
.
On compare
2
5
et
3
8
:
2 2 16
5 5 0
8
8
4
×
= =
×
3 3 15
8 8 0
5
5
4
×
= =
×
15 16
40 40
< donc
3 2
8 5
<
La probabilité de gagner d’Aurélie est plus grande que
celle d’Andry, c’est donc Aurélie qui a le plus de
chances de gagner.
Pour savoir qui d’Aurélie et d’Andry a le plus de chances de
gagner, on calcule la probabilité qu’a chacun de gagner puis on
compare les probabilités (car une probabilité est un nombre !).
Le jeu d’Aurélie comporte cinq issues (il y a 5 boules au total).
2 des ces 5 issues correspondent au tirage d’une boule jaune.
On a en fait divisé le nombre d’issues correspondant aux boules
jaunes par le nombre total d’issues.
Le jeu d’Andry comporte 8 issues (il y a 8 boules au total).
3 des ces 8 issues correspondent au tirage d’une boule verte.
On a en fait divisé le nombre d’issues correspondant aux boules
vertes par le nombre total d’issues.
Pour comparer les deux fractions, on peut soit les mettre au même
dénominateur, soit utiliser la calculatrice.
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4
4
Séquence
1
EXERCICE 3
1) La partie coloriée en rouge représente un quart de
la roue. La probabilité pour que l’aiguille s’arrête dans
la partie coloriée en rouge est donc d’une chance sur
quatre soit
1
4
.
1 1 25
4 4 100
25
25
×
= =
×
La probabilité pour que l’aiguille s’arrête dans la
partie coloriée en rouge est de 25 %.
2) La partie coloriée en rouge représente trois
huitièmes de la roue. La probabilité pour que l’aiguille
s’arrête dans la partie coloriée en rouge est donc de
trois chances sur 8 soit
3
8
.
12,5
12,5
3 3 37,5
8 8 100
×
= =
×
La probabilité pour que l’aiguille s’arrête dans la
partie coloriée en rouge est de 37,5 %.
1)
La zone rouge occupe le quart de la zone totale, la probabilité
cherchée est le quotient de l’aire de la surface rouge par l’aire de
la surface totale, soit
1
4
.
En effet, si on faisait tourner un très très grand nombre de fois la
roue, la fréquence de l’arrêt de l’aiguille dans la zone rouge
finirait par être égale au quotient de l’aire de la zone rouge par
l’aire totale.
On peut exprimer une probabilité (comme tout autre nombre)
sous la forme d’un pourcentage. Pour cela, on peut écrire la
fraction avec le dénominateur 100, ou bien par exemple écrire :
=× =
1 100
25
4 4
100
ou encore :
,
=
1
4
0 25
0,25 × 100 = 25
EXERCICE 4
1) On s’intéresse à la probabilité de tirer une carte
bien précise parmi 52 cartes. La probabilité de tirer le
trois de cœur est donc d’une chance sur 52 soit
1
52
.
1)
La probabilité de tirer par exemple le 7 de pique (ou en fait
n’importe quelle carte) d’un jeu de 52 cartes est
1
52
.
2) On s’intéresse à la probabilité de tirer un trèfle. On
sait qu’il y a 13 cartes de trèfles (as, 2, 3, …, roi) et
que le nombre total de cartes dans le jeu est 52.
Il y a donc 13 chances sur 52 de tirer un trèfle, soit
une probabilité de
13
52
de tirer un trèfle.
13 113
13
1
52 4 4
×
= =
×
La probabilité de tirer un trèfle est
1
4
.
2) Si on essaie de définir comment on calcule une probabilité, on
se rend compte sur cet exemple que l’on divise le nombre d’issues
correspondant à l’événement (ici : tirer un trèfle) par le nombre
total d’issues.
Remarque : on pouvait procéder différemment. Comme il y a
autant de cœurs, de trèfles, de piques et de carreaux,
l’événement « tirer un trèfle » revient à tirer une couleur parmi 4.
Il y a donc une chance sur quatre d’obtenir un trèfle.
La probabilité cherchée est donc de
1
4
.
3) On s’intéresse à la probabilité de l’événement
« tirer un roi ». Il y a quatre rois dans le jeu de 52
cartes. Il y a donc quatre chances sur 52, soit une
probabilité de
4
52
de tirer un roi.
4
4
4 1 1
52 13 13
×
= =
×
3)
On divise le nombre d’issues correspondant à l’événement (ici :
tirer un roi) par le nombre total d’issues.
On n’oublie pas de simplifier au maximum le résultat.
La probabilité de tirer un roi est
1
13
.
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5
Séquence 1
Séance 2
EXERCICE 5
1)
a)
Dans un jeu de 52 cartes, il y a 13 cœurs et 13 trèfles.
Il y a donc 26 chances sur 52 de tirer un cœur ou un
trèfle.
La probabilité de tirer un cœur ou un trèfle est donc
26
52
soit
1
2
.
1)
a)
On peut aussi procéder de la façon suivante :
Comme il y a autant de cœurs, de trèfles, de piques et de carreaux,
l’événement « tirer un cœur ou un trèfle » revient à tirer deux
couleurs parmi 4. Il y a donc deux chances sur quatre d’obtenir un
cœur ou un trèfle, soit une probabilité de
2
4
soit
1
2
de tirer un cœur
ou un trèfle.
Remarque :
On sait que la probabilité de tirer un cœur est
1
4
.
On sait que la probabilité de tirer un trèfle est aussi
1
4
.
'' '
= +
1 1 1
2 4 4
probabilité d obtenir
probabilité d obtenir probabilité d obtenir
un coeur ou un trèfle un coeur un trèfle
b)
Dans un jeu de 52 cartes, il y a 4 valets et 4 dames.
Il y a donc 8 chances sur 52 de tirer un valet ou une
dame.
La probabilité de tirer un valet ou une dame est donc :
52 13
4
8 2
4
×
=
×
soit
2
13
.
b)
Remarque :
On sait que la probabilité de tirer un valet est
4
52
.
On sait que la probabilité de tirer une dame est aussi
4
52
.
' ' '
= +
8 4 4
52 52 52
probabilité d obtenir probabilité d obtenir pr
obabilité d obtenir
un valet ou une dame un valet un dame
c)
Dans les deux cas a) et b), il suffit d’additionner les
probabilités « d’obtenir ceci » et « d’obtenir cela »
pour obtenir la probabilité « d’obtenir ceci ou cela ».
Il semble donc que ce que dit Andry est vrai.
Cependant, nous n’avons pas démontré ce résultat,
donc on ne peut pas affirmer que ce que dit Andry est
toujours vrai.
c)
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