Mathématiques 3e

Mathématiques 3e
Livret de corrigés
Rédaction :
Nicole Cantelou
Hélène Lecoq
Fabienne Meille
Jean-Denis Poignet
Coordination :
Jean-Denis Poignet, responsable de formation
Ce cours est la propriété du Cned. Les images et textes intégrés à ce cours sont la propriété de leurs auteurs et/ou ayants droit
respectifs. Tous ces éléments font l’objet d’une protection par les dispositions du code français de la propriété intellectuelle ainsi que
par les conventions internationales en vigueur. Ces contenus ne peuvent être utilisés qu’à des fins strictement personnelles. Toute
reproduction, utilisation collective à quelque titre que ce soit, tout usage commercial, ou toute mise à disposition de tiers d’un cours
ou d’une œuvre intégrée à ceux-ci sont strictement interdits.
©Cned-2009
© Cned – Académie en ligne
2 Séquence 1
SÉQUENCE 1
PROBABILITÉS
Ce que tu devais faire
Les commentaires du professeur
Séance 1
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4
e
1)
• Il y a trois modèles disponibles en deux couleurs chacun soit au
total 3 × 2 donc 6 jouets différents.
1)
4
Si on note M1, M2, et M3 les trois modèles et C1, C2 les deux
couleurs, les possibilités sont :
(M1,C1) pour modèle 1 en couleur 1,
(M1,C2), (M2,C1), (M2,C2), (M3,C1), (M3,C2).
Il y a donc bien 6 possibilités.
5
6
3
2)
2)
20 %
• En effet,
25 %
1 20×1
20
=
=
soit 20%.
5 20×5 100
• On peut aussi écrire que :
1
= 0 , 2 et 0,2 c’est 20 %
5
5%
(il suffit de multiplier 0,2 par 100 pour obtenir le pourcentage).
0,2 %
• On peut encore écrire que : 100 ×
3)
Le pourcentage cherché est donc 20 %.
Pour obtenir la fréquence, on divise le nombre de « pile » par le
nombre total de lancers (revois éventuellement ton programme de
statistiques de 5e ou de 4e).
730
230
= 0 , 46
500
0,46
1 100
=
= 20
5
5
La fréquence est 0,46.
Cette fréquence s’exprime en pourcentage 46 %
(il suffit de multiplier 0,46 par 100 pour obtenir le pourcentage).
46 %
2,13
4)
Si la pièce n’est pas truquée, on s’attend au bout d’un très grand
nombre de lancers à obtenir à peu près autant de « pile » que de
« face ».
Le nombre de « pile » est alors à peu près la moitié du nombre
0,1
0,3
total de lancers. La fréquence est donc environ de
1
soit 0,5.
2
0,7
0,5
La probabilité d’obtenir pile est le nombre vers lequel la
fréquence va se rapprocher si on fait de plus en plus de lancers.
La probabilité d’obtenir « pile » est donc 0,5.
2
© Cned – Académie en ligne
– Cned, Mathématiques 3e
3
Séquence 1
EXERCICE 1
Jeu de Pauline :
La probabilité de tirer la boule verte est
1
.
3
Dans ce jeu, il y a trois « possibilités » (en probabilité, on dira
trois issues) :
• tirer la boule verte
• tirer la boule bleue
• tirer la boule rouge
On a autant de chances de tirer chacune de ces trois boules.
La probabilité de tirer la boule verte est donc d’une chance sur 3,
c’est-à-dire 1 divisé par 3 donc
1
.
3
La probabilité de tirer la boule bleue est aussi
1
.
3
La probabilité de tirer la boule rouge est également
1
.
3
Dans ce jeu, il y a six issues :
Jeu de Nadia :
La probabilité d’obtenir un « deux » en lançant un dé • obtenir le 1
• obtenir le 2
1
• obtenir le 3
à six faces est .
6
• obtenir le 4
• obtenir le 5
• obtenir le 6
On a autant de chance (si le dé n’est pas truqué !) d’obtenir le 1,
le 2, le 3, le 4, le 5 ou le 6.
La probabilité d’obtenir le 2 est donc d’une chance sur six soit
EXERCICE 2
Jeu d’Aurélie :
Aurélie tire une boule dans une boîte qui en contient
5.
La boîte contient exactement 2 boules jaunes.
Aurélie a donc 2 chances sur 5 de tirer une boule
2
jaune, soit une probabilité de gagner de .
5
Jeu d’Andry :
Andry tire une boule dans une boîte qui en contient 8.
La boîte contient exactement 3 boules vertes.
Andry a donc 3 chances sur 8 de tirer une boule verte,
3
soit une probabilité de gagner de .
8
2
3
On compare et :
5
8
2 2 × 8 16
3 3 × 5 15
=
=
=
=
5 5 × 8 40
8 8 × 5 40
1
.
6
Pour savoir qui d’Aurélie et d’Andry a le plus de chances de
gagner, on calcule la probabilité qu’a chacun de gagner puis on
compare les probabilités (car une probabilité est un nombre !).
Le jeu d’Aurélie comporte cinq issues (il y a 5 boules au total).
2 des ces 5 issues correspondent au tirage d’une boule jaune.
On a en fait divisé le nombre d’issues correspondant aux boules
jaunes par le nombre total d’issues.
Le jeu d’Andry comporte 8 issues (il y a 8 boules au total).
3 des ces 8 issues correspondent au tirage d’une boule verte.
On a en fait divisé le nombre d’issues correspondant aux boules
vertes par le nombre total d’issues.
Pour comparer les deux fractions, on peut soit les mettre au même
dénominateur, soit utiliser la calculatrice.
15 16
3 2
<
donc
<
40 40
8 5
La probabilité de gagner d’Aurélie est plus grande que
celle d’Andry, c’est donc Aurélie qui a le plus de
chances de gagner.
Cned, Mathématiques 3e
–
3
© Cned – Académie en ligne
4 Séquence 1
EXERCICE 3
1) La partie coloriée en rouge représente un quart de
la roue. La probabilité pour que l’aiguille s’arrête dans
la partie coloriée en rouge est donc d’une chance sur
1
quatre soit .
4
1 1 × 25 25
=
=
4 4 × 25 100
La probabilité pour que l’aiguille s’arrête dans la
partie coloriée en rouge est de 25 %.
1)
La zone rouge occupe le quart de la zone totale, la probabilité
cherchée est le quotient de l’aire de la surface rouge par l’aire de
la surface totale, soit
1
.
4
En effet, si on faisait tourner un très très grand nombre de fois la
roue, la fréquence de l’arrêt de l’aiguille dans la zone rouge
finirait par être égale au quotient de l’aire de la zone rouge par
l’aire totale.
On peut exprimer une probabilité (comme tout autre nombre)
sous la forme d’un pourcentage. Pour cela, on peut écrire la
fraction avec le dénominateur 100, ou bien par exemple écrire :
1
100
× 100 =
= 25
4
4
ou encore :
1
= 0 , 25
4
0,25 × 100 = 25
2) La partie coloriée en rouge représente trois
huitièmes de la roue. La probabilité pour que l’aiguille
s’arrête dans la partie coloriée en rouge est donc de
3
trois chances sur 8 soit .
8
3 3 × 12,5 37,5
=
=
8 8 × 12,5 100
La probabilité pour que l’aiguille s’arrête dans la
partie coloriée en rouge est de 37,5 %.
EXERCICE 4
1) On s’intéresse à la probabilité de tirer une carte
bien précise parmi 52 cartes. La probabilité de tirer le
1
.
trois de cœur est donc d’une chance sur 52 soit
52
2) On s’intéresse à la probabilité de tirer un trèfle. On
sait qu’il y a 13 cartes de trèfles (as, 2, 3, …, roi) et
que le nombre total de cartes dans le jeu est 52.
Il y a donc 13 chances sur 52 de tirer un trèfle, soit
13
une probabilité de
de tirer un trèfle.
52
13 13 × 1 1
=
=
52 13 × 4 4
1
La probabilité de tirer un trèfle est .
4
3) On s’intéresse à la probabilité de l’événement
« tirer un roi ». Il y a quatre rois dans le jeu de 52
cartes. Il y a donc quatre chances sur 52, soit une
4
probabilité de
de tirer un roi.
52
4 ×1
4
1
=
=
52 4 × 13 13
La probabilité de tirer un roi est
4
© Cned – Académie en ligne
– Cned, Mathématiques 3e
1
.
13
1)
La probabilité de tirer par exemple le 7 de pique (ou en fait
n’importe quelle carte) d’un jeu de 52 cartes est
1
.
52
2) Si on essaie de définir comment on calcule une probabilité, on
se rend compte sur cet exemple que l’on divise le nombre d’issues
correspondant à l’événement (ici : tirer un trèfle) par le nombre
total d’issues.
Remarque : on pouvait procéder différemment. Comme il y a
autant de cœurs, de trèfles, de piques et de carreaux,
l’événement « tirer un trèfle » revient à tirer une couleur parmi 4.
Il y a donc une chance sur quatre d’obtenir un trèfle.
La probabilité cherchée est donc de
1
.
4
3)
On divise le nombre d’issues correspondant à l’événement (ici :
tirer un roi) par le nombre total d’issues.
On n’oublie pas de simplifier au maximum le résultat.
5
Séquence 1
Séance 2
EXERCICE 5
1)
a)
Dans un jeu de 52 cartes, il y a 13 cœurs et 13 trèfles.
Il y a donc 26 chances sur 52 de tirer un cœur ou un
trèfle.
La probabilité de tirer un cœur ou un trèfle est donc
26
1
soit .
52
2
1)
a)
On peut aussi procéder de la façon suivante :
Comme il y a autant de cœurs, de trèfles, de piques et de carreaux,
l’événement « tirer un cœur ou un trèfle » revient à tirer deux
couleurs parmi 4. Il y a donc deux chances sur quatre d’obtenir un
cœur ou un trèfle, soit une probabilité de
2
1
soit
de tirer un cœur
4
2
ou un trèfle.
Remarque :
On sait que la probabilité de tirer un cœur est
1
.
4
1
.
4
1
1
1
=
+
2
4
4
probabilité d ' obtenir probabilité d ' obtenir probabilité d ' obtenir
un coeur ou un trèfle
un coeur
un trèfle
On sait que la probabilité de tirer un trèfle est aussi
b)
Dans un jeu de 52 cartes, il y a 4 valets et 4 dames.
Il y a donc 8 chances sur 52 de tirer un valet ou une
dame.
La probabilité de tirer un valet ou une dame est donc :
4× 2
8
2
=
soit
.
52 4 × 13
13
b)
Remarque :
c)
Dans les deux cas a) et b), il suffit d’additionner les
probabilités « d’obtenir ceci » et « d’obtenir cela »
pour obtenir la probabilité « d’obtenir ceci ou cela ».
Il semble donc que ce que dit Andry est vrai.
Cependant, nous n’avons pas démontré ce résultat,
donc on ne peut pas affirmer que ce que dit Andry est
toujours vrai.
c)
On sait que la probabilité de tirer un valet est
4
.
52
4
.
52
8
4
4
=
+
52
52
52
probabilité d ' obtenir probabilité d ' obtenir probabilité d ' obtenir
un valet ou une dame
un valet
un dame
On sait que la probabilité de tirer une dame est aussi
Cned, Mathématiques 3e
–
5
© Cned – Académie en ligne
6 Séquence 1
2)
a)
4
1
soit
.
52
13
13
1
La probabilité de tirer un cœur est
soit .
52
4
Je cherche à calculer la probabilité de tirer un valet ou
un cœur :
Il y a 4 valets dans le jeu de cartes.
Il y a 13 cœurs dans le jeu de cartes.
Les cartes qui sont soit un valet, soit un cœur sont au
nombre de 16 (attention : il ne faut pas compter deux
fois le valet de cœur !).
La probabilité de tirer un valet ou un cœur est donc
16 4 × 4
4
=
soit
.
52 4 × 13
13
b)
Le contre-exemple auquel pense Aurélie est sans
doute celui donné par la question précédente :
4
,
La probabilité de tirer un valet est
52
13
,
la probabilité de tirer un cœur est
52
16
la probabilité de tirer un valet ou un cœur est
.
52
Cette dernière probabilité n’est pas la somme des
4 13 17
deux précédentes car :
+
=
.
52 52 52
La probabilité de tirer un valet est
Les cartes qui sont soit un valet, soit un cœur sont :
le valet de pique, le valet de trèfle, le valet de carreaux, le valet de
cœur, puis les cartes de cœur suivantes :
l’as, le 2, le 3, le 4, le 5, le 6, le 7, le 8, le 9, le 10 (on ne recompte pas
le valet de cœur, car on l’a déjà compté), la dame et le roi soit au
total 16 cartes (et non 17 !).
Il faut faire attention à ne pas compter deux fois le valet de cœur !
Si on ajoute les deux probabilités, on ne trouve pas
16
17
mais
.
52
52
C’est dû au fait que la probabilité d’avoir un valet de cœur est
comptée deux fois.
Il n’y a donc pas égalité car les événements « tirer un valet » et « tirer
un cœur » peuvent se produire en même temps : c’est le cas si on tire
le valet de cœur.
Conclusion :
La probabilité d’obtenir un événement A ou B n’est pas toujours
égale à la probabilité d’obtenir A plus celle d’obtenir B.
Il y a égalité (comme dans les questions a et b du 1) lorsque les
événements « obtenir A » ou « obtenir B » ne peuvent pas se
produire en même temps (on dit alors qu’ils sont incompatibles).
EXERCICE 6
1)
Il y a 4 gommettes bleues.
Il y a au total 15 gommettes.
La probabilité d’obtenir une gommette bleue est
4
.
15
Il y a 5 gommettes vertes.
La probabilité d’obtenir une gommette verte est
soit
1
.
3
6
© Cned – Académie en ligne
– Cned, Mathématiques 3e
1)
On peut bien entendu, et c’est même plus simple, calculer directement
la probabilité cherchée en divisant le nombre d’issues favorables par
le nombre total d’issues.
Le nombre de cas favorables est le nombre de gommettes bleues ou
vertes. On les compte. On en trouve 9.
On compte le nombre total de gommettes. On en trouve 15.
La probabilité cherchée est donc
5
15
9
3
soit
.
15
5
7
Séquence 1
Les événements « prendre une gommette bleue » et
« prendre une gommette verte » sont incompatibles.
La probabilité de l’événement : « la gommette est
4 5
9
3
soit
donc .
bleue ou verte » est donc
+
15 15
15
5
2)
6 gommettes sont carrées.
La probabilité pour qu’une gommette soit un carré est
6
2
soit .
15
5
2)
On peut aussi calculer la probabilité cherchée en divisant le nombre
d’issues correspondant à l’événement par le nombre total d’issues.
Le nombre d’issues correspondant à l’événement est le nombre de
gommettes carrées ou triangulaires. Il y en a 12.
La probabilité cherchée est donc
12
4
soit
15
5
.
6 gommettes sont des triangles.
La probabilité pour qu’une gommette soit un triangle
6
2
soit .
est
15
5
Les événements « prendre une gommette carrée » et
« prendre une gommette triangulaire » sont
incompatibles.
La probabilité de l’événement : « la gommette est un
carré ou un triangle » est donc :
6 6
12
4
soit
c’est-à-dire .
+
15 15
15
5
3)
Il y a 8 gommettes qui sont soit un disque, soit jaunes.
La probabilité de l’événement : « la gommette est un
8
disque ou la gommette est jaune » est donc
.
15
EXERCICE 7
1)
Il y a au total 5 boîtes.
Il y a une chance sur 5 pour que la boule soit dans la
1
boîte 1, soit une probabilité de pour que la boule
5
soit dans la boîte 1.
2)
Comme la boule se cache dans une des 5 boîtes,
l’événement va obligatoirement se produire !
Le nombre d’issues correspondant à l’événement
est 5.
Le nombre total d’issues est 5.
La probabilité que la boule se trouve dans une des 5
5
boîtes est donc de soit 1.
5
3)
Il ne fallait pas ajouter la probabilité d’avoir un disque et la
probabilité d’avoir une gommette jaune.
En effet, les deux événements ne sont pas incompatibles (c’est-à-dire
qu’ils peuvent se produire en même temps) : c’est le cas lorsqu’on
prend la gommette qui est un disque jaune !
1)
Il y a une issue qui correspond à l’événement et un nombre total de 5
issues.
2)
On dit alors que l’événement est certain.
On peut aussi répondre à cette question de la façon suivante :
Les événements : « la boule se trouve dans la boîte 1 », ou « dans la
boîte 2 », ou « dans la boîte 3 », ou « dans la boîte 4 », ou « dans la
boîte 5 » sont incompatibles les uns avec les autres donc, d’après la
propriété précédente, la probabilité cherchée est la somme des
probabilités de chacun des événements.
1
La probabilité de chacun des événements est .
5
1 1 1 1 1
1
+ + + + = 5× = 1.
La probabilité est donc :
5 5 5 5 5
5
La probabilité est donc 1.
Cned, Mathématiques 3e
–
7
© Cned – Académie en ligne
8 Séquence 1
3)
3)
Cet événement est impossible puisque il y a forcément
une boule dans une des cinq boîtes !
Les cinq issues sont :
• la boule se trouve dans la boîte 1
• la boule se trouve dans la boîte 2
• la boule se trouve dans la boîte 3
• la boule se trouve dans la boîte 4
• la boule se trouve dans la boîte 5.
Aucune issue ne correspond à l’événement « la boule
ne se trouve dans aucune des 5 boîtes ».
0
La probabilité de cet événement est donc soit 0.
5
Conclusion générale :
Un événement est impossible quand aucun cas ne correspond à cet
événement. Sa probabilité est donc 0 divisé par le nombre total de
cas : elle est donc égale à 0.
Un événement est certain quand tous les cas correspondent à cet
événement. Sa probabilité est donc le nombre total de cas divisé par
lui-même. Elle est donc égale à 1.
EXERCICE 8
1)
Une seule face porte le numéro 12.
Le dé possède 12 faces « équitables ».
1
.
La probabilité d’obtenir 12 est donc
12
1)
2)
2)
L’événement contraire à « obtenir 12 » est
l’événement « obtenir moins de 12 ».
L’événement « obtenir moins de 12 » peut aussi se
traduire par l’événement « obtenir 1, ou 2, ou 3, …,
ou 11 ».
Le nombre d’issues correspondant à cet événement est
11.
Le nombre total d’issues est 12.
11
La probabilité de cet événement est donc .
12
3)
La somme de la probabilité de l’événement
« obtenir 12 » et de la probabilité de l’événement
1 11 12
contraire est :
soit 1.
+ =
12 12 12
8
© Cned – Académie en ligne
– Cned, Mathématiques 3e
3)
Remarque :
La somme de la probabilité d’un événement et de celle de son
contraire est toujours égale à 1.
En effet, un événement et son événement contraire sont toujours
incompatibles.
La probabilité de E « plus » la probabilité du contraire de E
est donc égale à la probabilité de « E ou son contraire ».
L’événement « E ou son contraire » correspond à toutes les issues, il
est donc certain : sa probabilité est donc de 1.
9
Séquence 1
EXERCICE 9
1)
Le nombre total de pièces d’Ali est : 5 + 4 + 7 + 2 + 4 + 3 soit 25 pièces.
5
1
soit .
25
5
4
• Ali a 4 pièces de 2 centimes, donc la probabilité pour qu’il prenne une de ces pièces est
.
25
7
• Ali a 7 pièces de 5 centimes, donc la probabilité pour qu’il prenne une de ces pièces est
.
25
2
.
• Ali a 2 pièces de 10 centimes, donc la probabilité pour qu’il prenne une de ces pièces est
25
4
• Ali a 4 pièces de 50 centimes, donc la probabilité pour qu’il prenne une de ces pièces est
.
25
3
• Ali a 3 pièces de 1 €, donc la probabilité pour qu’il prenne une de ces pièces est
.
25
• Ali a 5 pièces de 1 centime, donc la probabilité pour qu’il prenne une de ces pièces est
Les commentaires du professeur :
On commence par calculer le nombre total de pièces d’Ali.
2)
2)
Il y a 16 pièces de 1, 2 ou 5 centimes parmi les 25 pièces au total.
Ali a 5 + 4 + 7 soit 16 pièces de 1, 2 ou 5 centimes.
La probabilité de tirer une pièce de 1, 2 ou 5 centimes
16
est
.
25
3)
L’événement « tirer une pièce de plus de 5 centimes »
est le contraire de l’événement « tirer une pièce de 5
centimes ou moins ».
La probabilité de tirer une pièce de 1, 2 ou 5 centimes
16
.
est
25
La probabilité de l’événement contraire est donc :
16 25 16
9
1−
=
−
soit
.
25 25 25
25
EXERCICE 10
3)
La somme de la probabilité de « prendre une pièce de plus de 5
centimes » et de la probabilité de l’événement contraire est égale à 1.
La probabilité de « tirer une pièce de plus de 5 centimes » est donc :
1 moins la probabilité de « tirer une pièce de moins de 5 centimes »
Il y a au total 12 boules dans la boîte.
a) Il y a 4 boules vertes.
La probabilité de tirer une boule verte est donc
4
1
soit .
12
3
a)
On divise le nombre d’issues correspondant à l’événement « tirer une
boule verte » par le nombre total d’issues.
On fait de même pour les questions b), c) et d).
Cned, Mathématiques 3e
–
9
© Cned – Académie en ligne
10Séquence 1
b) Il y a 2 boules bleues.
La probabilité de tirer une boule bleue est donc
2
1
soit .
12
6
c) Il y a 3 boules jaunes.
La probabilité de tirer une boule jaune est donc
3
1
soit .
12
4
d) Il y a 2 boules roses.
b)
c)
d)
La probabilité de tirer une boule rose est donc
2
soit
12
1
.
6
e)
1ère méthode :
L’événement contraire à « tirer une boule verte, ou
bleue, ou jaune, ou rose » est « tirer une boule
rouge ».
Il y a une boule rouge.
1
La probabilité de tirer la boule rouge est donc
.
12
La probabilité de « tirer une boule verte, ou bleue, ou
1 12 1
11
jaune, ou rose » est donc : 1 − = −
soit
.
12 12 12
12
e)
1ère méthode :
Comme la probabilité de tirer une boule verte, ou une boule bleue, ou
une boule jaune, ou une boule rose plus la probabilité de son
événement contraire est égale à 1,
la probabilité de tirer une boule verte, ou une boule bleue, ou une
boule jaune, ou une boule rose est :
1 moins la probabilité de l’événement contraire
1
soit 1 –
12
2ème méthode :
2ème méthode :
Les évènements « tirer une boule verte », « tirer une
Comme les événements sont incompatibles les uns les autres, il suffit
d’ajouter les probabilités.
boule bleue », « tirer une boule jaune » et « tirer une
boule rose » sont incompatibles les uns les autres donc
pour calculer la probabilité cherchée, on additionne
les probabilités de tirer une boule verte, une boule
bleue, une boule jaune, une boule rose.
4
2 3
2 11
+ + + =
12 12 12 12 12
La probabilité cherchée est bien
10 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
11
.
12
Il y avait également une 3ème méthode. On pouvait calculer la
probabilité cherchée en divisant le nombre d’issus correspondant à
l’événement par le nombre total d’issues.
Le nombre de boules vertes, bleus, jaunes ou roses est 11.
11
La probabilité cherchée est donc
.
12
11
Séquence 1
Séance 3
EXERCICE 11
a) Le petit carré bleu foncé a pour côté 4 cm.
Son aire est donc 16 cm2.
La grande cible est un carré de côté 2 × (2 + 3 + 3) soit
16 cm. Son aire est donc 256 cm2.
Comme l’archer tire parfaitement au hasard, la
probabilité qu’il tire dans le petit carré bleu foncé
16 × 1
16
1
=
soit
.
est :
256 16 × 16
16
b) Le carré « du milieu » a pour côté 2 × (2 + 3) soit
10 cm. Son aire est 100 cm2.
L’aire de la zone qui vaut 5 points est l’aire du carré
« du milieu » moins l’aire du petit carré, soit :
100 – 16 donc 84 cm2.
a)
On ne peut pas dans ce cas compter le nombre d’issues.
Par contre, on peut calculer le quotient de l’aire du petit carré bleu
foncé par l’aire du grand carré (qui représente la grande cible) :
comme l’archer tire au hasard et toujours dans la cible, ce quotient
est la probabilité pour que la flèche soit dans le petit carré bleu
foncé.
b)
La probabilité cherchée est le quotient de l’aire de la zone qui
rapporte 5 points par l’aire de la grande cible.
La difficulté est donc ici de ne pas se tromper dans le calcul de
l’aire de la zone qui vaut 5 points (ce n’est pas un carré !).
La probabilité pour que l’archer tire dans la zone à 5
84 4 × 21
21
=
soit
.
points est :
256 4 × 64
64
c) L’aire de la zone qui vaut 1 point est celle du très
grand carré moins celle du « carré du milieu », soit
256 – 100 donc 156 cm2.
La probabilité pour que l’archer tire dans le zone à 1
156 4 × 39
39
point est :
=
soit
.
256 4 × 64
64
c)
On peut aussi utiliser l’événement contraire de l’événement
« rapporter 1 point ». C’est l’événement « rapporter 5 points ou 10
points ».
Comme les événements « rapporter 5 points » ou « rapporter 10
points » sont incompatibles, la probabilité de « rapporter 1 point »
est :
84 
100 256 100 156 39
 16
1−
+
 = 1 − 256 = 256 − 256 = 256 = 64
 256 256 
EXERCICE 12
On ne peut pas non plus dans ce cas de figure compter le nombre
d’issues favorables.
L’aire du disque bleu est :
2
r2
r2
r
π×  = π× 2 = π×
4
2
2
L’aire du grand disque est : π × r 2
Comme le point se promène au hasard sur l’écran, la
On peut par contre calculer le quotient de l’aire du disque bleu par
probabilité pour que ce point soit dans le disque bleu est l’aire du grand disque.
le quotient de l’aire du disque bleu par l’aire du grand
disque, soit :
r2 r2
π×
2
2
4 = 4 =r × 1 = r =1
4 r2 4× r2 4
π × r2 r2
La probabilité cherchée est
1
.
4
Cned, Mathématiques 3e
–
11
© Cned – Académie en ligne
12Séquence 1
EXERCICE 13
1) Je n’arrive pas à résoudre ce problème, il me semble
très compliqué !
2)
nombre de fois où le centre du disque
est dans le carré et où le disque ne
touche pas le bord du carré
13
nombre de fois où le centre du disque
est dans le carré
20
1) Cet exercice semble effectivement complexe !
2) On commence par chercher une approximation de la probabilité
cherchée par l’expérience. En fait, cette probabilité correspond à la
fréquence avec laquelle la pièce ne touche pas le bord du carré si
on faisait un nombre infini de lancers.
On ne peut pas la déterminer de façon exacte par l’expérience, mais
on peut tenter de s’en approcher.
De façon générale, plus on fait d’essais, plus on va se rapprocher
de la probabilité cherchée.
Bien entendu, tu n’as pas forcément trouvé les mêmes valeurs que
les nôtres dans le tableau de la colonne de gauche.
13
c’est-à-dire 0,65 est une
20
approximation de la probabilité cherchée.
On peut dire que
3) J’ai effectué une simulation d’environ 500 lancers et
j’ai obtenu 319 lancers pour lesquels la pièce ne touche
pas le bord.
La nouvelle approximation de la probabilité obtenue est
319
donc
soit 0,638.
500
4)
a) Dire que le disque ne touche pas le bord du carré
revient à dire que le centre du disque se trouve dans un
carré de même centre que le grand carré, mais de 8 cm
de côté.
b) Comme la pièce est lancée au hasard, la probabilité
pour que la pièce ne touche pas le bord est donc le
quotient de l’aire du carré hachuré par celle du grand
82
64
carré soit :
=
= 0,64 .
2
100
10
12 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
3)
Tu n’as pas obtenu la même approximation que celle donnée cicontre. Ce qui est important, c’est de voir que plus on fait d’essais,
plus la fréquence a l’air de s’approcher d’une fréquence « limite »
qui est la probabilité recherchée et qui semble être environ 0,64.
4)
On voit dans cette question que l’on peut prouver le résultat à l’aide
d’un raisonnement sur les aires.
b)
On mène ici le même type de raisonnement que celui mené dans
l’exercice 11.
13
Séquence 1
Séance 4
EXERCICE 14
1) La probabilité d’obtenir chacune des faces est
1
.
6
1)
Remarque : les issues étant des événements incompatibles les uns
avec les autres, la somme des probabilités des issues est la
probabilité d’avoir toutes les issues possibles, c’est-à-dire 1.
La somme des probabilités notées sur les branches d’un tel arbre
est donc toujours égale à 1.
2) La probabilité d’obtenir chacune des lettres est
1
.
4
2) On vérifie bien que la somme des probabilités notées au-dessus
des branches est égale à 1.
Conclusion : On a compris à la fin de cet exercice comment
représenter un arbre de probabilités. Ceci étant, on ne voit pas pour
l’instant quel est son intérêt !
EXERCICE 15
1)
Avant de représenter l’arbre des probabilités, je calcule
la probabilité de chacune des issues :
• tirer une boule portant le numéro 1 :
Il y a quatre boules portant le numéro 1 et il y a 10
Quand une probabilité peut s’écrire sous forme décimale, on l’écrit
boules au total. La probabilité de tirer une boule portant sous cette forme (ici 0,4) plutôt que sous la forme d’une fraction
4
4
(ici
).
le numéro 1 est donc
soit 0,4.
10
10
• tirer une boule portant le numéro 2 :
Il y a une boule portant le numéro 2.
1
soit 0,1.
La probabilité cherchée est donc
10
Cned, Mathématiques 3e
–
13
© Cned – Académie en ligne
14Séquence 1
• tirer une boule pourtant le numéro 3 :
Il y a 2 boules portant le numéro 3.
2
La probabilité cherchée est donc
soit 0,2.
10
• tirer une boule pourtant le numéro 4 :
Il y a 3 boules portant le numéro 4.
3
La probabilité cherchée est donc
soit 0,3.
10
La somme des quatre probabilités est 0,4 + 0,1 + 0,2 + 0,3 = 1.
On trouve bien 1.
2)
La probabilité de tirer une boule portant le numéro 1, 2,
ou 3 est 0,4 + 0,1 + 0,2 soit 0,7.
2)
Une fois l’arbre représenté, on peut répondre facilement aux
questions posées.
Les issues étant des événements
incompatibles les uns avec les autres, la
probabilité de tirer une boule portant le
numéro 1, ou le numéro 2, ou le numéro 3
est la somme des probabilités d’obtenir la
boule 1, la boule 2 et la boule 3.
Il suffit donc d’ajouter les probabilités des
trois branches correspondant à
l’événement.
On peut également utiliser l’événement contraire à
l’événement « tirer une boule portant le numéro 1, 2 ou
3 ». C’est « tirer une boule portant le numéro 4 ».
La probabilité cherchée est donc 1 – 0,3 soit 0,7.
3)
3)
La probabilité de tirer une boule portant un numéro pair On additionne les probabilités de la branche de la boule 2 et de la
est 0,1 (probabilité de tirer 2) + 0,3 (probabilité de tirer boule 4.
4) soit 0,4.
« tirer une boule portant un nombre impair » est
l’événement contraire à l’événement « tirer un boule
portant un nombre pair ».
La probabilité cherchée est donc 1 – 0,4 soit 0,6.
14 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
On peut aussi directement utiliser l’arbre de probabilités. La
probabilité cherchée est 0,4 + 0,2 soit 0,6.
15
Séquence 1
EXERCICE 16
1)
1)
Il y a 6 lettres au total et il y a deux « e ». La probabilité
2
1
Il faut faire bien attention : on a par exemple deux fois plus de
d’obtenir un « e » est donc soit .
6
3
chances d’obtenir un « e » que d’obtenir un « a ».
1
La probabilité de chacune des autres lettres est .
6
On n’oublie pas de vérifier que la somme des probabilités notées
au-dessus de chacune des branches est égale à 1.
1 2 1 1 1 6
+ + + + = =1
6 6 6 6 6 6
2)
2) La probabilité d’obtenir une voyelle est la somme de Il suffit ensuit de bien lire l’arbre de probabilités pour répondre à la
question.
la probabilité d’obtenir « a », d’obtenir « e » et
1 2 1 4 2
d’obtenir « u » soit :
+ + = = .
6 6 6 6 3
2
La probabilité d’obtenir une voyelle est donc .
3
La probabilité d’obtenir une consonne est la probabilité
de l’événement contraire, soit :
2 3 2
1
1 − = − c’est-à-dire .
3 3 3
3
Cned, Mathématiques 3e
–
15
© Cned – Académie en ligne
16Séquence 1
Séance 5
EXERCICE 17
1)
Pour « étendre » la formule calculée pour la case A1 aux cases A2 à
A30, il suffit de cliquer une fois sur la case A1.
La case est alors entourée d’un cadre noir et un petit carré noir
apparaît dans le coin inférieur droit de la case.
Il faut alors cliquer sur ce petit carré et, sans relâcher le bouton
gauche de la souris, placer le pointeur de la souris dans la case
A30.
On relâche ensuite le bouton gauche de la souris.
30 nombres apparaissent alors dans les cases A1 jusqu’à A30.
1)
2) Les 30 nombres trouvés sont tous compris entre 0 et 2)
1.
3) J’appuie sur la touche F9. Les nombres changent,
mais ils sont toujours compris entre 0 et 1.
3)
Si tu regardes bien les 30 nombres affichés par le tableur, ils
semblent être tirés au hasard.
Conclusion générale :
La fonction ALEA() du tableur permet d’afficher un nombre pris
au hasard entre 0 et 1.
EXERCICE 18
1)
Ce nombre semble être tiré au hasard entre 1 et 2.
Ce n’est pas étonnant car on a vu dans l’exercice
précédent que :
0 < ALEA() < 1
On en déduit que :
0 + 1 < ALEA() + 1 < 1 + 1
soit :
1 < ALEA() + 1 < 2
Le nombre ALEA() + 1 est donc compris entre 1 et 2.
1)
ALEA() est un nombre. Cette écriture doit te paraître étrange.
En fait, c’est le résultat que renvoie la fonction ALEA.
On utilise une propriété des inégalités vue en 4e :
alors a + c < x + c < b + c
Si a < x < b
Comme le nombre ALEA() est tiré au hasard entre 0 et 1, le nombre
ALEA() + 1 est lui aussi un nombre tiré au hasard, mais lui est
compris entre 1 et 2.
2)
Ce nombre semble être tiré au hasard entre 0 et 10.
Je peux prouver que 10 × ALEA() est compris entre 0
et 10.
On sait que : 0 < ALEA() < 1
D’où : 10 × 0 < 10 × ALEA() < 10 × 1
0 < 10 × ALEA() < 10
2)
Le nombre 10 × ALEA() est donc compris entre 0 et
10.
Comme le nombre ALEA() est tiré au hasard entre 0 et 1, le nombre
10× ALEA() est lui aussi un nombre tiré au hasard, mais il est
compris entre 0 et 10.
16 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
On utilise une propriété des inégalités vue en 4e :
c est désignant un nombre strictement positif,
si a < x < b
alors a × c < x × c < b × c
17
Séquence 1
3)
100 × ALEA() est un nombre tiré au hasard compris
entre 0 et 100.
100 × ALEA() + 2 est un nombre tiré au hasard
compris entre 2 et 102.
En effet :
0 < ALEA() < 1
100 × 0 < 100 × ALEA() < 100 × 1
0 < 100 × ALEA() < 100
« =100 × ALEA() + 2 » est la formule permettant au tableur
d’afficher un nombre tiré au hasard entre 2 et 102.
Essaie sur ton tableur afin de contrôler que la formule donne bien le
résultat escompté.
Attention ! La formule « =(ALEA()+2) × 100 » ne donne pas la
même chose :
0 < ALEA() < 1
2 < ALEA() + 2 < 3
2 × 100 < ( ALEA() + 2 ) × 100 < 3 × 100
0 + 2 < 100 × ALEA() + 2 < 100 + 2
2 < 100 × ALEA() + 2 < 102
200 < ( ALEA() + 2 ) × 100 < 300
EXERCICE 19
1) Les 30 nombres affichés sont des entiers compris
entre 1 et 6. De plus, ces nombres semblent être tirés
au hasard.
1)
1 + 6× ALEA() est un nombre tiré au hasard compris entre 1 et 7.
ENT(1 + 6× ALEA()) est la partie entière du nombre :
1 + 6× ALEA().
Ainsi : ENT(1,634 2) = 1 ; ENT(6,5555) = 6
Le résultat de ENT(1 + 6× ALEA()) est un entier tiré au hasard
entre 1 et 6 (1 et 6 compris).
2) Le tableur permet ici de simuler le lancer d’un dé à 6 2) A quoi sert de simuler à l’aide d’un ordinateur ce que l’on peut
faire avec un dé ? A faire des centaines voire des milliers de tirages
faces.
en un simple clic !
3)
a)
Au 1er tirage, on a obtenu 6. La fréquence de 1 obtenue
au bout de 1 tirage est donc de 0 %.
La fréquence de 1 en pourcentage est le nombre de 1 obtenus divisé
par le nombre de tirages multiplié par 100.
0
Au bout de 1 tirage, la fréquence de 1 en % est de × 100 soit 0%.
1
Au 2ème tirage, on a obtenu 3. La fréquence de 1
Au bout de 2 tirages, la fréquence de 1 en % est de
obtenue au bout de 2 tirages est donc de 0 %.
toujours 0%.
Au 3ème tirage, on a obtenu 1. La fréquence de 1
obtenue au bout de 3 tirages est donc d’environ
33,33 %.
Au bout de 3 tirages, la fréquence de 1 en % est de
0
× 100 soit
2
1
× 100 soit
3
environ 33,33%.
Cned, Mathématiques 3e
–
17
© Cned – Académie en ligne
18Séquence 1
b)
Je remarque que plus le nombre de simulations est grand, plus la fréquence de l’événement « obtenir 1 avec le
dé » se stabilise autour de 16 % environ.
35
30
25
20
15
10
5
0
1
91
181 271 361 451 541 631 721 811 901 991
16% est une valeur approchée de la probabilité d’obtenir 1 en lançant un dé à 6 faces.
Je sais calculer cette probabilité : il y a une chance sur 6 d’obtenir 1, la probabilité est donc
1
soit environ
6
16,66 %.
Les commentaires du professeur :
On voit que l’on peut chercher une probabilité en utilisant un tableur. Ici, la probabilité est très simple à calculer, donc l’exercice n’a pas
beaucoup d’intérêt, sauf de bien t’expliquer les manipulations avec le tableur.
Remarque : n’hésite pas à appuyer souvent sur la touche F9 pour « rafraîchir » les données, ce qui revient à faire de nouveaux tirages. Tu
peux voir, si tu as déjà fait tracer le graphique, qu’il se retracera alors pour afficher les nouvelles données.
EXERCICE 20
1)
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 et 12.
18 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
1)
La somme des deux résultats ne peut pas être égale à 1 car les plus
petits résultats que peuvent afficher les dés verts et bleus sont 1 et 1.
La plus petite somme est donc 2.
19
Séquence 1
2)
Les commentaires du professeur :
Voici le type de tableau que l’on peut obtenir. Bien entendu, comme les nombres sont tirés au hasard, tu n’obtiens pas le même sur ton
écran.
Dans la case A1, on a écrit « = ENT(1 + 6* ALEA()) ».
Dans la case B1, on a écrit « = ENT(1 + 6* ALEA()) ».
Dans la case D1, on a écrit « = A1 + B1 ».
Dans notre exemple, pour les dix premiers lancers, on a obtenu 4 lors des lancers 4, 5 et 6.
3
Au bout de 10 lancers, on a donc une fréquence en % de
× 100 soit 30 %.
10
3)
J’ai effectué une simulation de 3 000 lancers. J’obtiens
8,5 % comme valeur approchée de la probabilité
cherchée.
3)
Les résultats semblent se stabiliser aux alentours de la valeur 8,5 %
(environ).
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
7
2
3
4
5
6
7
8
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
10
5
6
7
8
9
10
11
6
7
8
9
10
11
12
résultats du dé vert
résultats du dé bleu
Cned, Mathématiques 3e
–
19
© Cned – Académie en ligne
20Séquence 1
Le nombre total de cas est le nombre de cases du
tableau, soit 6 × 6 donc 36.
Il y a 3 cas correspondant à l’événement « obtenir une
somme de 4 en lançant les deux dés ».
3
1
La probabilité d’obtenir 4 est donc
soit
, c’est-à36
12
dire environ 8,33 %.
Attention ! le raisonnement suivant est faux :
On peut obtenir 2,3, 4, … 12 il y a donc 11 cas possibles.
Il y a donc une chance sur 11 d’obtenir 4, soit une probabilité de
1
.
11
Pourquoi est-il faux ? car les résultats 2, 3, … 12 n’ont pas tous la
même probabilité d’être tirés.
En effet, pour obtenir 2 comme somme, on n’a qu’une possibilité :
obtenir 1 avec chacun des deux dés.
Par contre, pour obtenir une somme de 4, il y a 3 possibilités :
• obtenir 1 sur le dé vert et 3 sur le dé bleu,
• obtenir 3 sur le dé vert et 1 sur le dé bleu,
• obtenir 2 sur le dé vert et 2 sur le dé bleu.
Les commentaires du professeur :
Pour calculer chacune des probabilités, il suffit de compter le nombre de fois où intervient chaque nombre puis de diviser par le nombre
total de possibilités, c’est-à-dire 36.
On contrôle que la somme des probabilités est égale à 1.
Une fois cet arbre constitué, on pourrait facilement répondre à des questions du type « Quelle est la probabilité pour qu’en lançant deux
dés à 6 faces, et en ajoutant les deux résultats obtenus, on obtienne un nombre plus grand que 5 ? ».
20 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
21
Séquence 1
Séance 6
EXERCICE 21
1) Les différents paris
a)
Si on parie sur un numéro, il y a une chance sur 37 de
1
gagner soit une probabilité de
.
37
Les événements « gagner » et « perdre » sont
contraires, donc la probabilité de perdre est :
1 37 1
36
1−
=
−
soit
.
37 37 37
37
b)
Si on parie sur 2 numéros, il y a donc 2 chances sur 37
2
.
de gagner soit une probabilité de
37
La probabilité de perdre est :
2 37 2
35
1−
=
−
soit
.
37 37 37
37
c)
Si on parie sur 3 numéros, il y a donc 3 chances sur 37
3
.
de gagner soit une probabilité de
37
La probabilité de perdre est :
3 37 3
34
1−
=
−
soit
.
37 37 37
37
1)
a)
On suppose bien sûr que la roulette est non truquée, c’est-à-dire
que chaque numéro a la même probabilité de sortir.
b)
c)
2)
2) Exemples de gains et de pertes
a) Si le numéro 5 sort, le joueur gagne 35 fois sa mise,
soit 35 × 10 donc 350 €.
Si le 5 ne sort pas, le joueur perd sa mise, soit 10 €.
a)
Si le joueur gagne, il gagne 350 € et récupère sa mise.
Il gagne beaucoup plus qu’il ne perd, c’est vrai, mais attention, car
on a beaucoup plus de chances de perdre que de gagner !
b) Si l’un des 2 numéros sort, le joueur gagne
17 fois sa mise, soit 17 × 8 donc 136 €.
Si aucun des 2 numéros ne sort, le joueur perd sa mise,
soit 8 €.
b)
Si le joueur gagne, il gagne 136 € et récupère sa mise.
c) Si l’un des 3 numéros sort, le joueur gagne
11 fois sa mise, soit 11 × 5 donc 55 €.
Si aucun des 3 numéros ne sort, le joueur perd sa mise,
soit 5 €.
c)
Si le joueur gagne, il gagne 55 € et récupère sa mise.
Cned, Mathématiques 3e
–
21
© Cned – Académie en ligne
22Séquence 1
3) La mise sur un numéro est-elle rentable ?
a) La probabilité de gagner en pariant sur un numéro est
1
.
37
b) Le joueur va le plus probablement gagner 27 fois sur
ses 1 000 paris.
En effet, pour chaque pari, la probabilité de gagner est
1
1
de
, donc le joueur gagne en moyenne × 1 000
37
37
fois pour 1 000 paris soit environ 27 fois.
3)
a) On a déterminé cette probabilité dans la question 1a).
b) Il faut bien comprendre ici le sens de ce qu’est une probabilité :
1
, cela veut dire que
pour un pari, la probabilité de gagner est
37
plus on joue et plus, en moyenne, la fréquence des parties gagnées
1
. Autrement dit, le nombre de parties
va se rapprocher de
37
1
gagnées va se rapprocher de
fois le nombre de parties jouées.
37
• Un joueur qui gagne 27 paris sur un numéro perd
1 000 – 27 fois soit 973 fois sur 1 000 paris.
Il aura gagné :
27 × 35 × mise – 973 × 1× mise = –28 × mise
Il aura donc perdu 28 fois sa mise.
S’il parie 1 000 fois 1 €, il perd 28 €.
S’il parie 1 000 fois 10 €, il perd 280 €.
S’il parie 1 000 fois 100 €, il perd 2 800 €.
Première constatation : plus un joueur parie des mises
importantes, plus (en moyenne) il perd !
c) Un joueur qui parie 10 000 fois sur un numéro gagne
1
en moyenne
× 10 000 soit environ 270 fois.
37
Il perd alors en moyenne 9 730 fois. Il aura donc gagné
en moyenne :
270 × 35 × mise – 9730 × 1× mise = –280 × mise
Il aura donc perdu 280 fois sa mise !
S’il parie 10 000 fois 1 €, il perd 280 €.
S’il parie 10 000 fois 10 €, il perd 2 800 €.
S’il parie 10 000 fois 100 €, il perd 28 000 €.
d) Le jeu n’est pas du tout rentable pour le joueur,
mais il l’est pour le casino.
4)
a)
Le calcul correspond au calcul qu’on a fait dans les
questions 3b) et c), mais cette fois pour un pari au lieu
de 1 000 ou 10 000.
Pour un pari sur un numéro, un joueur gagne en
1
36
fois et il perd en moyenne
fois.
moyenne
37
37
l’avantage du casino est :
36 1
1
− × 35 =
37 37
37
soit environ 2,7 %.
22 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
Deuxième constatation : Plus un joueur parie de nombreuses fois
sur un numéro, plus il perd !
4)
a)
L’avantage du casino correspond au gain en moyenne du casino sur
un pari.
On peut retrouver alors facilement les résultats pour 10 000 paris
de mise 10 € par exemple !
Le joueur perd environ 2,7 % de 10 € par pari donc 0,27 € par
pari.
S’il parie 10 000 fois, il perd donc en moyenne environ 2 700 €.
On ne trouve pas tout à fait ce que l’on a trouvé dans le 3)a à cause
de l’arrondi que l’on a déterminé avant de faire les calculs.
23
Séquence 1
Cela veut dire qu’en moyenne, sur un pari sur un
numéro, le casino gagne environ 2,7 % de la mise du
joueur.
b)
b)
Pari sur 2 numéros :
35 2
35 − 34 1
− × 17 =
=
37 37
37
37
Pari sur 3 numéros :
34 3
34 − 33 1
− × 11 =
=
37 37
37
37
Les paris sur 2 ou 3 numéros font perdre autant d’argent au joueur
que le pari sur un numéro.
Les trois paris sont donc aussi peu rentables pour le
joueur, qui perd en moyenne 2,7 % de sa mise.
Il faut retenir deux choses. En moyenne :
• plus un joueur joue à la roulette, plus il perd,
• plus un joueur mise gros, plus il perd gros.
La meilleure façon de ne pas perdre d’argent est donc de ne pas
jouer !
Cned, Mathématiques 3e
–
23
© Cned – Académie en ligne
24Séquence 1
Séance 7
EXERCICE 22
1) Les issues sont : (R,P), (R,F), (V,P) et (V,F)
(avec « R » pour rouge, « V » pour vert,
« P » pour pile et « F » pour face).
2) Je sais qu’il y a une chance sur 4 pour que l’aiguille
1
s’arrête devant le rouge, soit un probabilité de .
4
Je sais également que la probabilité d’obtenir pile
1
est .
2
Je n’arrive pas à comprendre comment calculer la
probabilité d’obtenir rouge puis pile, c’est-à-dire la
probabilité d’obtenir (R,P).
1)
2)
3)
3)
4)
4)
Si on jouait 10 000 fois, on obtiendrait environ
1
× 10 000 fois rouge soit environ 2 500 fois rouge.
4
1
, donc sur les 2 500
2
fois où l’on a obtenu rouge, on obtient environ
1
× 2 500 soit 1 250 fois pile.
2
La probabilité de faire pile est
Pour calculer le nombre de fois où l’on a obtenu rouge puis pile, on
1 1
1
1
a calculé × 10 000 × soit × × 10 000
4 2
4
2
Si on jouait 100 000 fois, on obtiendrait environ
1
× 100 000 fois rouge soit environ 25 000 fois rouge.
4
1
, donc sur les 25 000
2
fois où l’on a obtenu rouge, on obtient environ
La probabilité de faire pile est
24 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
Pour calculer le nombre de fois où l’on a obtenu rouge puis pile, on
1 1
1
1
a calculé × 100 000 × soit × × 100 000
4 2
4
2
25
Séquence 1
1
× 25 000 soit 12 500 fois pile.
2
La probabilité d’obtenir rouge puis pile est
1 1
× soit
4 2
1
.
8
5)
1 1
1
La probabilité d’obtenir (R,F) est × soit .
4 2
8
3 1
3
La probabilité d’obtenir (V,P) est × soit .
4 2
8
3 1
3
La probabilité d’obtenir (V,F) est × soit .
4 2
8
Si on jouait N fois (N entier assez grand), le nombre moyen de fois
1 1
où l’on ferait (R,P) serait × × N .
4 2
1 1
Cela revient à dire que la probabilité d’obtenir (R,P) est × .
4 2
Il suffit donc de multiplier la probabilité d’obtenir rouge et la
probabilité d’obtenir pile.
5)
On contrôle que la somme des probabilités est égale à 1 :
1 1 3 3 8
+ + + = =1
8 8 8 8 8
Cet arbre est l’arbre des 4 issues du jeu à deux étapes.
Ce qui précède conduit à admettre que de manière générale, la
probabilité « d’un chemin » est égale au produit des probabilités
rencontrées « le long du chemin ».
EXERCICE 23
On peut aussi représenter un arbre de probabilités :
1)
Les quatre cas possibles sont (P,F), (P,P), (F,P) et (F,F).
Les cas correspondant à l’événement « faire au moins
une fois pile » sont donc (P,F), (F,P) et (P,P).
Il y en a donc 3 sur les quatre.
La probabilité de faire au moins une fois pile est donc
3
.
4
D’où la probabilité de (P,P), de (P,F), de (F,P) et (F,F) est
1 1
×
2 2
1
.
4
Comme les événements (P,P), (P,F) et (F,P) sont incompatibles les
uns les autres, la probabilité d’obtenir au moins une fois pile est la
somme des probabilités de faire (P,P), de faire (P,F) et de faire
1 1 1
3
(F,P) soit + + soit .
4 4 4
4
soit
2) Pauline se trompe et Clément a raison.
Pauline se trompe car elle considère que l’événement
obtenir d’abord pile puis obtenir n’importe quoi ensuite
est aussi probable que d’obtenir « face puis pile » ou
« face puis face ».
Ce n’est pas vrai puisque on peut obtenir « pile puis
2
face » ou « pile puis pile ». La probabilité n’est pas .
3
Cned, Mathématiques 3e
–
25
© Cned – Académie en ligne
26Séquence 1
EXERCICE 24
J’écris T pour Trio de poisson aux petits légumes,
S pour Steak grillé et son gratin de pommes de terre et
M pour Mijoté de sanglier avec des frites,
C pour Crème brûlée et P pour Profiteroles.
Je représente l’arbre de probabilités :
On peut aussi répondre plus simplement et rapidement à cette
question en disant qu’il y a au total 3× 2 soit 6 menus possibles :
(T,C), (T,P), (S,C), (S,P), (M,C), (M,P),
Il y a donc une chance sur 6 d’avoir (S,C) soit une probabilité de
1
.
6
La probabilité de choisir steak puis crème brulée est
1 1
1
× soit .
3 2
6
26 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
27
Séquence 1
Séance 8
EXERCICE 25
Je représente le trajet de la coccinelle à l’aide d’un
arbre.
On peut aussi procéder de la façon suivante :
Si on note (A,B) le parcours correspondant au cas où :
elle parcourt un premier côté, s’arrête en A, puis parcourt un
deuxième côté et s‘arrête en B,
les différentes possibilités de parcours sont :
(A,C) (A,B) (B,A) (B,C)
Il y en a quatre.
• (A,B) correspond à l’événement « la coccinelle arrive en B ».
La probabilité pour que la coccinelle arrive en B est donc
1
.
4
• (B,A) correspond à l’événement « la coccinelle arrive en A ».
La probabilité pour que la coccinelle arrive en A est donc
1
.
4
• (A,C) et (B,C) correspondent à l’événement « la coccinelle arrive
en C ».
Après avoir parcouru deux côtés :
• la probabilité pour que la coccinelle soit en B est
1 1
1
× soit ,
2 2
4
La probabilité pour que la coccinelle arrive en C est donc
2
soit
4
1
.
2
• la probabilité pour que la coccinelle soit en A est
1 1
1
× soit .
2 2
4
La probabilité pour que la coccinelle soit en C est
1 1 1 1 1 1 2
1
× + × = + = soit .
2 2 2 2 4 4 4
2
La coccinelle sera le plus probablement en C.
Remarque : si on utilise la représentation à l’aide d’un arbre, il
suffit de regarder les « chemins » qui mènent à C. Il y en a 2.
La probabilité que la coccinelle
1 1
aille en A puis en C est ×
2 2
1
soit .
4
La probabilité que la coccinelle
1 1
aille en B puis en C est ×
2 2
1
soit .
4
Cned, Mathématiques 3e
–
27
© Cned – Académie en ligne
28Séquence 1
EXERCICE 26
Je représente la situation à l’aide d’un arbre :
« V » représente les gens qui ont voté.
« A » représente les gens qui se sont abstenus.
Pourquoi les données qui sont des fréquences dans l’énoncé sont
présentées ici comme des probabilités ?
Comme 25 % des gens qui votent sont dans la catégorie 18-30 ans,
si on prend une personne au hasard, la probabilité pour qu’elle soit
dans cette catégorie est de 25 chances sur 100, soit 0,25.
On peut écrire dans l’arbre les probabilités exprimées en
pourcentage ou sous forme décimale :
25 % correspond à 0,25, etc.
La probabilité qu’un électeur de 18–30 ans ait voté est
0,25 × 0,68 soit 0,17.
La probabilité qu’un électeur de 30–50 ans ait voté est
0,35 × 0,82 soit 0,287.
On applique ensuite un raisonnement similaire à celui utilisé dans
l’exercice précédent. Ce qui change cette fois, c’est qu’il y a trois
catégories, la somme comporte donc 3 termes :
0,25 × 0,68 ; 0,35 × 0,82 ; 0,4 × 0,75
La probabilité qu’un électeur de 50 ans et plus ait voté
est : 0,4 × 0,75 soit 0,3.
La probabilité pour qu’un électeur ait voté est la somme
de ces probabilités, soit 0,17 + 0,287 + 0,3 donc 0,757
ou encore 75,7 %.
EXERCICE 27
Je représente la situation à l’aide d’un arbre :
1 2
1
× soit .
2 9
9
1 5
5
La probabilité d’obtenir (F , B) est ×
soit
.
2 11
22
La probabilité de tirer la lettre B est la somme de ces deux probabilités
1 5
soit +
.
9 22
1 5
22 × 1 9 × 5 22 + 45
67
+
=
+
=
soit
.
9 22 22 × 9 9 × 22
198
198
La valeur approchée au centième par excès de cette probabilité est 0,34.
La probabilité d’obtenir (P , B) est
28 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
29
Séquence 1
Séance 9
EXERCICE 28
• Je prouve que KBSR est un rectangle :
est droit.
ABCD est un rectangle donc l’angle KAM
Le quadrilatère AKRM a donc trois angles droits, donc
il en a quatre. De plus, comme les côtés opposés d’un
rectangle ont la même longueur, on a : KR = AM.
aussi.
est donc droit, donc l’angle KRS
L’angle KRM
Cet exercice paraît complexe !
On est invité à étudier les périmètres de deux quadrilatères :
le quadrilatère KBSR et le rectangle ABCD.
Pour pouvoir déterminer le périmètre de KBSR, on détermine sa
nature.
On prouve dans un premier temps que KBSR est un rectangle.
On se souvient de la propriété suivante :
« Si un quadrilatère a 3 angles droits, alors c’est un rectangle ».
est droit.
On sait d’après le codage que l’angle BKR
est droit.
Comme ABCD est un rectangle, l’angle KBS
Le quadrilatère KBSR a donc trois angles droits, donc
c’est un rectangle.
• Je prouve que KBSR est un carré :
Comme KR = AM et KB = AM, on a : KB = KR.
Le rectangle KBSR a deux côtés consécutifs de même
longueur, c’est donc un carré.
On prouve dans un 2ème temps que c’est un carré.
On se souvient de la propriété suivante :
« Si un rectangle a deux côtés consécutifs de même longueur, alors
c’est un carré ».
• Je calcule le périmètre de KBSR :
Le périmètre de KBSR est 4 AM.
On exprime le périmètre de KBSR en fonction de AM.
• Je calcule le périmètre de ABCD :
PABCD = 2×(6 + 4) = 20 soit 20 cm.
Le calcul du périmètre de ABCD est simple : ABCD est un rectangle
dont on connaît la longueur et la largeur.
La probabilité pour que le périmètre du quadrilatère
KBSR soit inférieur au quart du périmètre de ABCD est
la probabilité que :
20
4 AM <
4
soit 4 AM < 5
5
c’est-à-dire AM < .
4
5
Si M0 est le point de [AD] tel que AM0 = ,
4
AM 0
la probabilité cherchée est
AD
5
5 1
5
soit 4 = × c’est-à-dire
soit 0,312 5.
4 4 4
16
Ensuite, on traduit la question posée.
Comme M est placé au hasard sur le segment [AD] la probabilité
5
cherchée est la probabilité que AM soit inférieure à soit 1,25.
4
Comme AD = 4, la probabilité cherchée est
1, 25
5
soit
.
4
16
Cned, Mathématiques 3e
–
29
© Cned – Académie en ligne
30Séquence 1
EXERCICE 29
plus de chances d’obtenir face que pile.
autant de chances d’obtenir face que pile.
aucune chance d’obtenir pile.
plus de chance d’obtenir pile que face.
Même si on a fait 10 fois de suite pile, la probabilité de faire pile est
1
encore .
2
Une fois que les lancers sont faits, les résultats sont en fait
« oubliés » : le joueur a deux possibilités qui sont pile ou face, et la
1
probabilité de faire pile est encore .
2
EXERCICE 30
1)
2)
La probabilité pour qu’une peluche soit produite par l’entreprise A et qu’elle soit aux normes est :
0,75 × 0,95 soit 0,712 5.
La probabilité pour qu’une peluche soit produite par l’entreprise B et qu’elle soit aux normes est :
0,25 × 0,93 soit 0,232 5
La probabilité pour qu’une peluche soit aux normes est :
0,712 5 + 0,232 5 soit 0,945 soit 94,5 %.
30 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
31
Séquence 1
JE M’ÉVALUE
1)
1
8
3
8
5
8
1)
Il y a 3 issues qui correspondent à l’événement « obtenir 3 ou
moins » sur un total de 8 issues.
3
La probabilité cherchée est donc .
8
0,125
2)
2)
4
7
5
7
7
3
La probabilité de perdre, c’est 1 moins la probabilité de gagner.
0,57
3)
3)
ne pas obtenir 2 ou ne pas obtenir 3
ne pas obtenir 2 et ne pas obtenir 3
ne pas obtenir 1, 4, 5 ou 6
obtenir 1, 4, 5 ou 6.
4)
oui
non
5)
1
0,5
2
1
3
4
4
6)
1
1
6
6
0
101
7)
1
1
3
2
1
3
4
4
8)
0,7
0,25
0,35
0,5
4)
Ces deux événements ne sont pas incompatibles.
En effet, on peut très bien tirer un valet de trèfle !
5)
Les quatre issues sont (P,P), (P,F), (F,P) et (F,F).
Deux de ces issues correspondent à l’événement : « obtenir une
fois pile et une fois face ».
6)
La probabilité d’obtenir 6 ne dépend pas des résultats des 100
lancers précédents.
7)
C’est la probabilité d’obtenir pile !
8)
Cette probabilité est 0,5 × 0,7 soit 0,35.
9)
0,1
0,2
0,8
0,4
0,12
0,5
0,45
0,55
10)
9)
Cette probabilité est 0,5 × 0,2 soit 0,1.
10)
Cette probabilité est la somme des probabilités calculées dans les
questions 8 et 9, soit 0,35 + 0,1 donc 0,45.
Cned, Mathématiques 3e
–
31
© Cned – Académie en ligne
32Séquence 2
SÉQUENCE 2
NOMBRES
Ce que tu devais faire
Les commentaires du professeur
Séance 1
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4e
1)
quotient : 33
reste : 15
quotient : 40
reste : 1
quotient : 42
reste : – 3
1)
quotient : 40,5 reste : 0
Le reste d’une division euclidienne est un entier à la fois
● supérieur ou égal à 0
● et plus petit que le diviseur.
2)
Les nombres 15 ; 5 et − 3 ne peuvent donc pas être le reste de la
division euclidienne de 81 par 2.
2)
Dire que 7 est un diviseur de 63 signifie qu’il existe un entier n tel
que : 7× n = 63.
7 est un diviseur de 63.
7 est un multiple de 63.
9 est un diviseur de 63.
9 est un multiple de 63.
3)
De même, dire que 9 est un diviseur de 63 signifie qu’il existe un
entier m tel que : 9× m = 63.
Les multiples de 63 sont :
63 × 0 (soit 0) ; 63 × 1 (soit 63) ; 63 × 2 (soit 126 ) ; 63 × 3 ...
Ni 7, ni 9 ne sont donc des multiples de 63.
3)
• 432 et 828 sont pairs, donc on peut simplifier la fraction par 2.
2
• D’après le critère de divisibilité par 3, 432 et 828 sont
divisibles par 3. En effet :
la somme des chiffres de 432 (qui est 9) est divisible par 3
la somme des chiffres de 828 (qui est 18) est divisible par 3.
3
5
• 432 ou 828 ne se termine ni par un 0 ni par un 5.
432 ou 828 n’est donc pas divisible par 5.
• D’après le critère de divisibilité par 9, 432 et 828 sont
divisibles par 9. En effet :
la somme des chiffres de 432 est divisible par 9
la somme des chiffres de 828 est divisible par 9.
9
4)
4)
24
25
37
38
32 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
Le plus grand nombre de fois que l’on peut retrancher 23 à 877
est le quotient euclidien de la division euclidienne de 877 par 23.
877 = 38 × 23 + 3
La réponse est donc 38.
3 est le reste de la division euclidienne.
33
Séquence 2
EXERCICE 1
1) J’ai fait de nombreux tests avec des valeurs différentes de n. A chaque fois, l’entier n2 + n – 1 obtenu était
impair. Ma conjecture est la suivante : « n2 + n – 1 est impair pour n’importe quelle valeur de n ».
Malheureusement, je n’arrive pas à la démontrer !
Les commentaires du professeur :
Ce qui est écrit est un bon début de recherche. En revanche, il aurait fallu écrire les valeurs de n testées, ainsi que les calculs
correspondants de n2 + n – 1.
Il est bien d’écrire ta conjecture. Le plus difficile est ensuite de voir si elle est vraie. Comme on ne peut pas calculer n 2 + n – 1 pour
chaque valeur de n, il va falloir utiliser le calcul littéral. Comment ?
2)
a)
• Si n = 1
n² + n − 1 = 1² + 1 − 1 = 1
• Si n = 2
n² + n − 1 = 2² + 2 − 1 = 6 − 1 = 5
• Si n = 3
n² + n − 1 = 3² + 3 − 1 = 12 − 1 = 11
• Si n = 4
n² + n − 1 = 4² + 4 − 1 = 20 − 1 = 19
Pour n égal à 1 ou 2 ou 3 ou 4, le nombre n² + n − 1 est impair.
b)
A l’aide de la calculatrice
• Si n = 11
n² + n − 1 = 11² + 11− 1 = 131
• Si n = 23
n² + n − 1 = 23² + 23 − 1 = 551
• Si n = 45
n² + n − 1 = 45² + 45 − 1 = 2 069
Pour n égal à 11 ou 23 ou 45, le nombre n² + n − 1 est impair.
Les commentaires du professeur :
On pouvait bien entendu choisir d’autres nombres.
Cned, Mathématiques 3e
–
33
© Cned – Académie en ligne
34Séquence 2
A l’aide d’un tableur
Pour n variant de 1 à 110, n² + n − 1 est impair.
Je suis amené à faire la conjecture suivante :
n² + n − 1 est-il impair pour tout entier n supérieur
ou égal à 1 ?
Pour voir comment utiliser le tableur pour calculer de façon
automatique n2 + n – 1, ouvre le fichier :
sequence2exercice1corrige.
Cela ne prouve pas cependant, que pour tout entier n supérieur ou
égal à 1, il en soit ainsi (en effet, tous les cas n’ont pas été
envisagés).
Si n² + n − 1 est impair pour tout entier n supérieur ou égal à 1,
on ne pourra le prouver qu’en utilisant une lettre : on ne peut pas
calculer n2 + n – 1 pour chaque valeur de n !
3) a) n² + n = n(n + 1)
3) a) n² + n = n × n + n × 1 = n(n + 1)
b) Les deux entiers n et n + 1 sont consécutifs.
b)
← En effet, n + 1 est l’entier qui suit n.
L’un des deux est donc pair.
←
Il s’écrit donc sous la forme du produit de 2 par un
entier.
Si n est pair, il peut s’écrire sous la forme « 2 fois un entier »
n(n+1) peut s’écrire sous la forme : « 2 fois un entier »× (n +1)
n(n + 1) peut donc s’écrire sous la forme d’un produit
de trois entiers, l’un étant 2.
n(n + 1) est donc le produit de 2 par un entier, soit un
nombre pair.
c) On déduit du b) que l’entier n(n + 1) − 1 qui
précède n(n + 1) est impair.
Ainsi, n² + n − 1 est impair.
Conclusion :
Il n’existe pas de valeur de n (n ≥ 1) pour laquelle
n² + n − 1 est pair.
Andry se trompait.
34 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
1
2
3
4 ...
impair pair impair pair ...
Si n est impair, n+1 est alors pair.
n + 1 peut s’écrire sous la forme « 2 fois un entier ».
et n(n+1) peut s’écrire sous la forme : n × « 2 fois un entier ».
35
Séquence 2
EXERCICE 2
1)
Les diviseurs de 36 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36.
Les pavés carrés de la cuisine peuvent donc seulement avoir pour côté :
1 dm ou 2 dm ou 3 dm ou 4 dm ou 6 dm ou 9 dm ou 12 dm ou 18 dm ou 36 dm.
Les commentaires du professeur :
Voici trois méthodes permettant d’obtenir la solution :
A la main
On ne doit couper aucun carreau.
Voir si 17, par exemple, peut être le côté en cm d’un carreau qui convient, revient donc à voir s’il existe un entier qui vérifie :
17 × ... = 36 c’est-à-dire à voir si 17 est un diviseur de 36.
Le côté en dm d’un pavé carré pouvant convenir est un entier inférieur ou égal à 36.
Afin de déterminer toutes les tailles de carreaux possibles, il est essentiel de conduire sa recherche avec méthode.
On essaie donc successivement les nombres entiers 1, 2, 3... et on regarde si chacun d’eux est un diviseur de 36.
● 1 est-il un diviseur de 36 ? Oui. En effet, on peut trouver un nombre entier qui vérifie l’égalité : 1 × ... = 36 (l’entier 36)
L’égalité : 1× 36 = 36 met aussi en évidence que 36 est un diviseur de 36.
● 2 est-il un diviseur de 36 ? 36 se termine par un 6 donc 2 est un diviseur de 36.
L’égalité : 2× 18 = 36 met aussi en évidence que 18 est un diviseur de 36.
● 3 est-il un diviseur de 36 ? La somme des chiffres de 36 est 3 + 6 soit 9. Elle est divisible par 3 donc 3 est un diviseur de 36.
L’égalité : 3× 12 = 36 met aussi en évidence que 12 est un diviseur de 36.
● 4 est-il un diviseur de 36 ? Oui. En effet, on peut trouver un nombre entier qui vérifie l’égalité : 4 × ... = 36 (l’entier 9)
L’égalité : 4× 9 = 36 met aussi en évidence que 9 est un diviseur de 36.
● 5 est-il un diviseur de 36 ? Non. En effet : 36 ne se termine ni par un 0, ni par un 5.
On peut aussi dire : on ne peut trouver un nombre entier qui vérifie l’égalité : 5 × ... = 36
(En effet : 5 × 7 = 35 ; 5 × 8 = 40)
● 6 est-il un diviseur de 36 ? Oui. En effet : 6 × 6 = 36
La recherche méthodique des diviseurs de 36 nous a conduits à l’égalité : 6 × 6 = 36.
Les deux facteurs du produit 6 × 6 sont égaux. On peut arrêter notre recherche de diviseurs à ce niveau. On ne trouvera pas d’autres
diviseurs de 36. En effet, si on continue la recherche, on va trouver 9 ; 12 ; 18 et 36.
Les diviseurs de 36 sont donc : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 36.
Avec un tableur : 1ère méthode
On peut trouver les diviseurs de 36 à l’aide d’un tableur en procédant par exemple comme suit :
• Dans un premier temps, on écrit dans la colonne A les entiers de 1 à 36.
• Dans la colonne B, on demande au tableur, de calculer successivement le quotient de 36 par
chacun de ces entiers. Pour cela, on entre dans la case B1 la formule : « =36/A1 » puis on l’étend.
Les nombres de la colonne A pour lesquels on obtient un quotient entier sont les diviseurs de 36.
Avec un tableur : 2ème méthode
• On écrit dans la colonne A les entiers de 1 à 36.
• Dans la colonne B, on demande au tableur, de calculer le reste de la division euclidienne de 36
par chacun de ces entiers. Les nombres de la colonne A pour lesquels le reste est 0 sont les
diviseurs de 36.
Remarque : pour obtenir avec le tableur le reste de la division euclidienne de 36 par 5, on tape
dans une cellule : « =MOD(36;5) ».
Ici, on entre dans la case B1 la formule : « =MOD(36 ;A1) » puis on l’étend.
Cned, Mathématiques 3e
–
35
© Cned – Académie en ligne
36Séquence 2
2)
Si l’on choisit des pavés carrés de 1 dm de côté, il faudra 36 pavés par côté de la pièce. Le nombre de pavés
à acheter sera donc : 36 × 36 = 1 296
Le montant en euros de la dépense sera : 1,05 × 1 296 = 1 360,8
2 × 18 = 36
Si l’on choisit des pavés carrés de 2 dm de côté, il faudra donc 18 pavés par côté de la pièce. Le nombre de
pavés à acheter sera alors : 18 × 18 = 324
Le montant en euros de la dépense sera : 2,05 × 324 = 664,2
3 × 12 = 36
Si l’on choisit des pavés carrés de 3 dm de côté, il faudra donc 12 pavés par côté de la pièce. Le nombre de
pavés à acheter sera alors : 12 × 12 = 144
Le montant en euros de la dépense sera : 3,10 × 144 = 446,4
C’est donc en achetant des pavés carrés de 3 dm de côté, qu’on va carreler la pièce au moindre coût.
36 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
37
Séquence 2
Séance 2
EXERCICE 3
1)
1)
On entre dans la colonne A les entiers de 1 à 30.
Dans la cellule B1, on entre la formule :
« = 30/A1 »
On étend ensuite cette formule jusqu’à la cellule B30.
Pour voir une animation de la manipulation du tableur pour
répondre à cette question, ouvre le fichier
sequence2exercice3corrige.
2)
a) Les diviseurs de 30 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30.
2)
a)
Il suffit de lister les nombres de la colonne A dont le nombre qui
se trouve à droite est entier.
30
= 7,5
4
7,5 n’est pas un entier. C’est un nombre décimal.
b)
Les nombres décimaux sont les nombres « à virgule » qui ont un
nombre « fini de chiffres après la virgule ».
b)
c)
30
≈ 4,28571429
7
c)
30
n’est pas un nombre entier.
7
30
n’est pas un nombre décimal (la division ne
7
s’arrête jamais »).
Le groupe de chiffres 285714 se répète infiniment après la
virgule.
30
n’est donc pas un nombre décimal.
7
30
Un nombre, comme
, qui peut s’écrire à l’aide d’une fraction
7
est appelé : « nombre rationnel ».
Cned, Mathématiques 3e
–
37
© Cned – Académie en ligne
38Séquence 2
EXERCICE 4
On procède avec méthode de façon à ne pas oublier de diviseurs.
On essaie successivement tous les nombres entiers 1, 2, 3...
On trouve successivement :
Les diviseurs de 60 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60.
1 × 60 = 60
2 × 30 = 60
3 × 20 = 60
4 × 15 = 60
5 × 12 = 60
6 × 10 = 60
On regarde ensuite si 60 est dans la table de 7. Non
On regarde ensuite si 60 est dans la table de 8. Non plus.
On regarde ensuite si 60 est dans la table de 9. Non plus.
On s’arrête ensuite car les diviseurs 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 et 60
ont déjà été donnés dans les 6 premières égalités.
EXERCICE 5
1)
4 est-il un nombre parfait ?
Les diviseurs de 4 sont : 1 ; 2 ; 4.
Ses diviseurs autres que lui-même sont donc :
1 et 2.
La somme de ces diviseurs est 1 + 2 soit 3.
3≠4
4 n’est donc pas un nombre parfait.
1) Recherche des diviseurs de 4
4 = 1× 4
4 = 2× 2 ← On s’arrête vu que les deux facteurs du
produit sont égaux.
• 28 est-il un nombre parfait ?
Les diviseurs de 28 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28.
Ses diviseurs autres que lui-même sont donc :
1 ; 2 ; 4 ; 7 et 14.
La somme de ces diviseurs est 1 + 2 + 4 + 7 + 14
soit 28.
28 est donc un nombre parfait.
Recherche des diviseurs de 28
28 = 1× 28
28 = 2× 14
28 = 4× 7
On s’arrête. La prochaine égalité : 28 = 7× 4 conduit aux
diviseurs 4 et 7 déjà trouvés.
2) On détermine les diviseurs de 496 à l’aide d’un tableur en
utilisant l’une des deux méthodes vues précédemment.
2)
Afin de repérer plus facilement les diviseurs, on peut faire afficher
le mot DIVISEUR sur chaque ligne où il s’en trouve un.
Par exemple, si on a utilisé la méthode « sans » la fonction
« MOD », on écrit dans C1 :
= SI(B1 = ENT(B1) ; « DIVISEUR » ; « » )
La condition demande à l’ordinateur d’afficher dans la cellule
C1 :
. le mot DIVISEUR lorsque B1 est égal à sa partie entière (c’està-dire lorsque B1 est un entier)
. un texte réduit à un espace dans l’autre cas.
On étend ensuite la formule jusqu’à la ligne 496.
38 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
39
Séquence 2
Les diviseurs de 496 autres que lui-même sont :
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 31 ; 62 ; 124 ; 248.
Leur somme est 496.
496 est donc un nombre parfait.
3)
a)
13 + 33 = 1 + 27
donc il est vrai que : 28 = 13 + 33
b)
13 + 33 + 53 + 73 = 1 + 27 + 125 + 343 = 496
3)
a) Attention ! Pour répondre à la question posée, il n’y a qu’une
seule méthode : calculer 13 + 33 et voir si on obtient 28 ou non.
Commencer la solution en écrivant : 28 =13 + 33 ne convient pas,
puisqu’on ne sait pas au début de l’exercice si l’égalité est vraie.
b)
Même type de remarque que précédemment.
donc il est vrai que 496 = 13 + 33 + 53 + 73
4)
a) Les diviseurs de 220 sont :
4)
On détermine les diviseurs de 220 et 284 à l’aide d’un tableur en
utilisant l’une des deux méthodes vues précédemment.
1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 11 ; 20 ; 22 ; 44 ; 55 ; 110 ; 220.
Les diviseurs de 284 sont :
1 ; 2 ; 4 ; 71 ; 142 ; 284.
b) La somme des diviseurs de 220 autres que luimême est :
Les diviseurs de 220 autres que lui-même sont appelés diviseurs
stricts de 220.
1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110
soit 284.
La somme des diviseurs de 284 autres que luimême est : 1 + 2 + 4 + 71 + 142 soit 220.
La somme des diviseurs de 220 autres que luimême est égale à 284 ; la somme des diviseurs de
284 autres que lui-même est égale à 220.
Deux entiers comme 220 et 284 sont dits amiables.
Par définition, deux entiers sont amiables lorsque les deux
conditions suivantes sont vérifiées : la somme des diviseurs stricts
de l’un est égale à l’autre et vice versa.
Cned, Mathématiques 3e
–
39
© Cned – Académie en ligne
40Séquence 2
EXERCICE 6
1)
a)
● Les diviseurs de 32 sont :
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32.
1)
a)
● Les diviseurs de 24 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24
On cherche les nombres présents à la fois dans les deux listes.
d est égal à 1 ou 2 ou 4 ou 8.
b)
● 32 + 24 = 56
1 est un diviseur de 56
2 est un diviseur de 56 (2 × 28 = 56)
4 est un diviseur de 56 (4 × 14 = 56)
8 est un diviseur de 56 (8 × 7 = 56)
d est donc un diviseur de 32 + 24.
● 32 – 24 = 8
1 ; 2 ; 4 et 8 sont des diviseurs de 8.
d est donc un diviseur de 32 – 24.
2)
d’ est un diviseur de 326 donc il existe un entier n tel
que : n × d’ = 326.
b)
On pouvait également rédiger la réponse ainsi :
d est un diviseur de 32 donc il existe un entier n tel que :
n × d = 32.
si d est un diviseur de 24 donc il existe un entier m tel que :
m × d = 24.
D’où : 32 + 24 = n × d + m × d = (n + m) × d
n et m sont entiers donc n + m est un entier.
Comme : (n + m) × d = 32 + 24 et que n + m est entier,
d est un diviseur de 32 + 24.
On a aussi :
32 – 24 = n × d – m × d = (n – m) × d
n et m sont deux entiers. Comme 32 > 24 on a : n > m.
Ainsi n – m est un entier.
Comme : 32 – 24 = (n – m) × d et que n – m est un entier,
d est un diviseur de 32 – 24.
2)
d’ est un diviseur de 248 donc il existe un entier m tel
que : m × d’ = 248.
● 326 + 248 = n × d’ + m × d’ = (n + m) × d’
Comme : (n + m) × d’ = 326 + 248
et que n + m est entier,
d’ est donc un diviseur de 326 + 248.
n et m sont entiers donc n + m est un entier.
● 326 – 248 = n × d – m × d = (n – m) × d
n et m sont entiers donc n – m est un entier.
n – m est un entier.
d’ est donc également un diviseur de 326 – 248.
3)
d est un diviseur de a donc il existe un entier n tel que : n × d = a.
d est un diviseur de b donc il existe un entier m tel que : m × d = b.
● a + b = n × d + m × d = (n + m) × d
Comme : (n + m) × d = a + b et que n + m est entier, d est donc un diviseur de a + b.
● a – b = n × d – m × d = (n – m) × d
n – m est un entier.
d est donc également un diviseur de a – b.
40 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
41
Séquence 2
Séance 3
EXERCICE 7
1)
a)
Les multiples de 5 figurant sur la grille sont :
5 ; 10 ; 15 ; 20.
Les diviseurs de 5 sont 1 et 5.
Je ne peux pas donner 5 qui est déjà entouré.
Je peux donc seulement donner 1 ; 10 ; 15 ; 20.
b)
Les multiples de 8 figurant sur la grille sont : 8 et 16.
Les diviseurs de 8 sont 1 ; 2 ; 4 ; 8.
Je ne peux pas donner 8 qui est déjà entouré.
Je peux donc seulement donner 1 ; 2 ; 4 ; 16.
1)
a)
Je dois donner un nombre de la grille, non entouré, qui soit :
● soit un multiple de 5
● soit un diviseur de 5
b)
Je dois donner un nombre de la grille, non entouré, qui soit :
● soit un multiple de 8
● soit un diviseur de 8
c)
c)
Il n’y a qu’un multiple de 12 sur la grille :
12 lui-même.
Les diviseurs de 12 sont 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 12.
Je ne peux donner aucun des nombres déjà entourés.
Je peux donc seulement donner 2 ; 3 ; 4 ; 6.
Je dois donner un nombre de la grille, non entouré, qui soit :
● soit un multiple de 12
● soit un diviseur de 12
3)
a)
• Il n’y a qu’un multiple de 11 sur la grille :
11 lui-même.
Les diviseurs de 11 sont 1 et 11.
Je ne peux pas donner 11 qui est déjà entouré.
Je peux donc seulement donner 1.
• 17 = 1 × 17 donc 17 est un multiple de 1.
17 n’était pas encore entouré, donc vous aviez le
droit de donner 17.
• Il n’y a qu’un multiple de 17 sur la grille :
17 lui-même.
Les diviseurs de 17 sont 1 et 17.
Je ne peux donner ni 1, ni 17 qui sont déjà entourés.
Je ne peux donc pas donner de nombre. J’ai perdu.
b) • Il n’y a qu’un multiple de 13 sur la grille :
13 lui-même.
Les diviseurs de 13 sont 1 et 13.
Je ne peux pas donner 13 qui est déjà entouré.
Je peux donc seulement donner 1.
Cned, Mathématiques 3e
–
41
© Cned – Académie en ligne
42Séquence 2
• 19 = 1 × 19 donc 19 est un multiple de 1.
19 n’était pas encore entouré, donc vous aviez le
droit de donner 19.
• Il n’y a qu’un multiple de 19 sur la grille : dix-neuf
lui-même.
Les diviseurs de 19 sont 1 et 19.
Je ne peux donner ni 1, ni 19 qui sont déjà entourés.
Je ne peux donc pas donner de nombre. J’ai perdu.
c)
La stratégie menée par la personne qui a joué en
premier est la suivante :
elle propose pour commencer et au tour suivant un
nombre de la grille
• qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même,
• dont le double n’est pas dans la grille.
Pourquoi cette stratégie permet-elle de gagner ?
• la première fois, l’adversaire ne peut jouer que 1,
← En effet :
● le double du nombre proposé par le premier joueur n’est pas
sur la grille, donc les multiples du nombre proposé (en dehors de
lui-même), ne sont pas sur la grille.
● les diviseurs du nombre proposé sont 1 et lui-même
Or, le nombre proposé par le premier joueur ne peut plus être
joué.
• la deuxième fois, il ne peut jouer aucun nombre.
← même raisonnement que précédemment sauf que 1, cette fois,
ne peut plus être choisi.
EXERCICE 8
Des entiers comme 11, 13, 17, 19 qui ont exactement deux
diviseurs : 1 et eux-mêmes, sont appelés nombres premiers.
Voir si un entier est premier, c’est voir s’il a exactement deux
diviseurs : 1 et lui-même.
Les critères de divisibilité peuvent nous aider à répondre à la
question.
a) 35 a un autre diviseur que 1 et lui-même : 5, il n’est
donc pas premier.
b) 2 a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même,
donc 2 est premier.
c) 24 a d’autres diviseurs que 1 et lui-même, par
exemple 2, il n’est donc pas premier.
d) 117 a d’autres diviseurs que 1 et lui-même, par
exemple 9, donc 117 n’est pas premier.
42 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
d) La « somme des chiffres de 117 » est 1 + 1 + 7, soit 9, donc
117 est divisible par 9.
43
Séquence 2
EXERCICE 9
1)
b) Je suis d’accord avec lui : 1 n’admet qu’un seul
diviseur (lui-même), il n’est donc pas premier.
1)
b)
2)
Il a raison. En effet :
● 2 est un nombre premier.
Les multiples de 2 autres que 2 admettent un diviseur
autre que 1 et lui-même : 2. Ils ne sont donc pas
premiers.
● De même, 3 est un nombre premier.
Les multiples de 3 autres que 3 admettent un diviseur
autre que 1 et lui-même : 3. Ils ne sont donc pas
premiers.
2)
En effet : 4 ; 6 ; 8 ; 10 ; 12 ; …
sont des multiples de 2. Comme ils sont différents de 2, ils ne sont
donc pas premiers.
En effet : 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; …
sont des multiples de 3. Comme ils sont différents de 3, ils ne sont
donc pas premiers.
3)
Il a raison. En effet :
Un multiple de 4 s’écrit sous la forme 4 × n , où n est
un entier.
Or, on a : 4 = 2 × 2 .
Ainsi : 4 × n = ( 2 × 2) × n = 2 × (2 × n)
n est un entier, donc 2 × n qui est le produit de deux
entiers est un entier.
Ainsi : 4 × n est le produit de 2 par un entier.
4 × n est donc un multiple de 2.
Or les multiples de 2 ont déjà été barrés.
4)
a) Thomas a raison. En effet :
Si 5 n’était pas premier, il admettrait un diviseur autre
que 1 et lui-même. Ce serait donc un multiple de 2,
ou de 3 ou de 4. Comme 5 n’est pas barré, ce n’est pas
le cas.
5 est donc un nombre premier.
b) Le premier nombre à barrer est 5 × 5 soit 5².
En effet, 5 × 2 ; 5 × 3 ; 5 × 4 ont été barrés
précédemment (respectivement comme multiples de
2, de 3 et de 4).
5)
Les nombres premiers inférieurs à 50 sont donc :
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 ; 37 ; 41 ;
43 ; 47.
5)
Le premier nombre non barré est 7. En raisonnant comme dans le
4)a), on montrerait que 7 est un nombre premier (on l’entoure).
On barre les multiples de 7 (non encore barrés), sauf 7.
Le premier à barrer est 7² (c’est le seul à barrer).
Le premier nombre non encore barré est 11. En raisonnant
comme dans le 4)a), on montrerait que 11 est un nombre premier
(on l’entoure).
On barre les multiples de 11 (non encore barrés), sauf 11. Le
premier à barrer est 11² (soit 121). Il n’est pas écrit dans ma liste.
A présent, il n’y a plus d’entier à barrer. Les entiers non encore
barrés sont tous premiers. Je les entoure.
Cned, Mathématiques 3e
–
43
© Cned – Académie en ligne
44Séquence 2
Les commentaires du professeur :
On doit cette méthode, appelée « crible d’Eratosthène » au célèbre savant de l’antiquité Eratosthène, au IIIème siècle avant J.C.
Il est bon de connaitre par cœur les nombres premiers inférieurs à 20.
EXERCICE 10
1)
a)
156 = 2 × 78 = 2 × 2 × 39 = 2 × 2 × 3 ×13
195
3 × 5 × 13
=
156
2 × 2 × 3 × 13
5
195
5
=
c)
=
156
2× 2 4
b)
1) a)
On est amené à écrire que : 39 = 3 × 13 après avoir remarqué
que la somme des chiffres de 39 est 3 + 9 soit 12. Comme elle est
divisible par 3, l’entier 39 est divisible par 3
b)
c)
Au début de l’exercice, le critère de divisibilité par 3, faisait
apparaître une simplification de la fraction par 3.
1 + 9 + 5 = 15 ; 15 est divisible par 3, donc 195 est divisible par 3.
De même, 1 + 5 + 6 = 12 ; 12 est divisible par 3, donc 156 est
divisible par 3.
195 3 × 65 65
=
=
156 3 × 52 52
Arrivé à ce stade, on ne voit plus comment simplifier la fraction.
En utilisant une décomposition en facteurs premiers de 65 et 52,
une simplification de la fraction par 13 est apparue naturellement.
2)
a)
57 = 3 × 19
76 = 2 × 38 = 2 × 2 × 19
3 × 19
3
57
3
=
=
=
76 2 × 2 × 19 2 × 2 4
b)
85 = 5 × 17
102 = 2 × 51 = 2 × 3 × 17
5 × 17
5
85
5
=
=
=
102 2 × 3 × 17 2 × 3 6
44 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
2)
← 3, 19, 2 sont des nombres premiers
← 5, 17, 2 et 3 sont des nombres premiers.
45
Séquence 2
Séance 4
EXERCICE 11
1) J’ai fait de nombreux essais à l’aide de schémas et
voici ma solution : on peut faire 2 tas contenant
chacun 15 cailloux blancs et 24 cailloux rouges.
2)
a)
● nombre de cailloux blancs par tas × nombre de tas = 30
● nombre de cailloux rouges par tas × nombre de tas = 48
b)
On déduit du a) que le nombre de tas est à la fois un
diviseur de 30 et de 48.
1) On va voir par la suite si ta solution est correcte.
2)
a)
Vu qu’il est possible de répartir en 3 tas identiques les cailloux,
on sait dès maintenant que la réponse proposée ci-dessus
(question 1) n’est pas correcte.
b)
Le nombre de tas est un entier.
Le nombre de cailloux blancs par tas est un entier.
L’égalité :
nombre de cailloux blancs par tas × nombre de tas = 30
met en évidence qu’on peut trouver un entier qui multiplié par le
nombre de tas donne 30.
Cela signifie que le nombre de tas est un diviseur de 30.
En raisonnant comme précédemment, on montrerait que le
nombre de tas est aussi un diviseur de 48.
Le nombre de tas est donc à la fois un diviseur de 30 et de 48.
On dit encore que le nombre de tas est un diviseur commun à 30
et 48.
c)
Les diviseurs de 30 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30.
Les diviseurs de 48 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48.
c)
• Pour trouver le plus grand diviseur commun à 30 et 48, on peut
commencer par chercher les diviseurs de 30, puis ceux de 48.
Recherche des diviseurs de 30
30 = 1 × 30
30 = 2 × 15
30 = 3 × 10
30 = 5 × 6
La prochaine égalité : 30 = 6× 5 conduit aux diviseurs 6 et 5
déjà trouvés. On peut s’arrêter.
Les diviseurs de 30 sont donc :
1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 ; 30.
Recherche des diviseurs de 48
48 = 1 × 48
48 = 2 × 24
48 = 3 × 16
48 = 4 × 12
48 = 6 × 8
La prochaine égalité : 48 = 8× 6 conduit aux diviseurs 6 et 8 déjà
trouvés. On peut s’arrêter.
Les diviseurs de 48 sont donc :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48.
Les diviseurs communs à 30 et 48 sont donc :
1 ; 2 ; 3 ; 6.
Le plus grand diviseur commun à 30 et 48 est donc
6.
• On déduit de ce qui précède que le plus grand
nombre de tas identiques qu’on peut faire est 6.
On le note fréquemment : PGCD(30 ; 48).
Cned, Mathématiques 3e
–
45
© Cned – Académie en ligne
46Séquence 2
4)
4)
On peut simplifier au maximum et en une fois la
30
en la simplifiant par le plus grand
fraction
48
diviseur commun à 30 et 48, soit 6 (d’après ce qui
précède).
6× 5 5
30
=
=
6×8 8
48
5)
a)
Pour simplifier la fraction
30
, on cherche un diviseur commun à
48
son numérateur 30 et à son dénominateur 48.
Important :
← Lorsqu’on simplifie une fraction par le plus grand diviseur
commun au dénominateur et au numérateur, on obtient une
fraction que l’on ne peut plus simplifier.
« Simplifier à l’aide du PGCD, c’est simplifier au maximum »
5)
a)
En raisonnant comme précédemment, on montrerait,
dans ce nouveau cas, que le plus grand nombre de tas
identiques serait le plus grand diviseur commun à 81
et 54.
Déterminons ce nombre.
Les diviseurs de 81 sont :
1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81.
Les diviseurs de 54 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54.
Les diviseurs communs à 81 et 54 sont donc :
1 ; 3 ; 9 ; 27.
nombre de cailloux blancs par tas × nombre de tas = 81
nombre de cailloux rouges par tas × nombre de tas = 54
Le nombre de tas est un diviseur commun à 81 et 54.
Recherche des diviseurs de 81
81 = 1 × 81
81 = 3 × 27
81 = 9 × 9
Les deux facteurs du produit 9 × 9 sont égaux. On peut arrêter
notre recherche.
Les diviseurs de 81 sont donc :
1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81
Recherche des diviseurs de 54
54 = 1 × 54
54 = 2 × 27
54 = 3 × 18
54 = 6 × 9
La prochaine égalité : 54 = 9× 6 conduit aux diviseurs 6 et 9
déjà trouvés. On peut s’arrêter.
Les diviseurs de 54 sont donc :
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18 ; 27 ; 54
Le plus grand diviseur commun à 81 et 54 est donc
27.
Le plus grand nombre de tas identiques, dans ce cas
est 27.
b) On peut simplifier au maximum et en une fois la
b)
81
en la simplifiant par le plus grand
fraction
54
diviseur commun à 81 et 54, soit 27 (d’après ce qui
précède).
27 × 3 3
81
← Lorsqu’on simplifie une fraction par le plus grand diviseur
=
=
27 × 2 2
54
commun au dénominateur et au numérateur, on obtient une
fraction que l’on ne peut plus simplifier.
« Simplifier à l’aide du PGCD, c’est simplifier au maximum »
46 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
47
Séquence 2
EXERCICE 12
a)
Je détermine les diviseurs de 60 :
60 = 1 × 60
60 = 2 × 30
60 = 3 × 20
60 = 4 × 15
60 = 5 × 12
60 = 6 × 10
Les diviseurs de 60 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60.
Je détermine les diviseurs de 42 :
42 = 1 × 42
42 = 2 × 21
42 = 3 × 14
42 = 6 × 7
Les diviseurs de 42 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ; 42.
Le plus grand diviseur commun à 60 et 42 est 6.
PGCD(60 ; 42) = 6.
b)
Je détermine les diviseurs de 24 :
24 = 1 × 24
24 = 2 × 12
24 = 3 × 8
24 = 4 × 6
a)
On établit dans un 1er temps la liste des diviseurs de 60.
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 sont des diviseurs de 60.
Ensuite, d’après la table de 7, celle de 8 et celle de 9 :
7 n’est pas un diviseur de 60. 8 non plus. 9 non plus.
On s’arrête ensuite car les diviseurs 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 ; 60 ont
déjà été mis en évidence dans les 6 premières égalités.
On applique la même méthode pour trouver les diviseurs de 42.
Les diviseurs communs à 60 et 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6.
Le plus grand de ces diviseurs est 6.
b)
Les diviseurs de 24 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 24.
Je détermine les diviseurs de 16 :
16 = 1 × 16
16 = 2 × 8
16 = 4 × 4
Les diviseurs de 16 sont :
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16.
Le plus grand diviseur commun à 24 et 16 est 8.
Cned, Mathématiques 3e
–
47
© Cned – Académie en ligne
48Séquence 2
EXERCICE 13
Clément a raison.
Si 9 était le PGCD de 261 et 359, il diviserait 359.
Or, la somme des chiffres de 359 : 3 + 5 + 9 est
égale à 17.
Comme elle n’est pas divisible par 9, l’entier 359
n’est pas divisible par 9.
Le PGCD de 261 et 359 ne peut donc être égal à 9.
EXERCICE 14
a)
Le PDCD de deux nombres est un diviseur de ces deux nombres.
Ici, 9 n’est pas un diviseur de 359.
9 ne peut donc pas être le PGCD de 261 et 359 !
a)
On peut commencer par déterminer les diviseurs de 167.
Cependant, déterminer les diviseurs de 167 n’est pas très simple.
On peut toutefois s’aider d’un tableur. On remarque alors que
167 a seulement deux diviseurs : 1 et lui-même (il est donc
premier).
On conclut alors que : PGCD (167 ; 167) = 167
On peut éviter de déterminer les diviseurs de 167. En procédant
comme ci-contre, on peut déterminer mentalement le PGCD de
167 et 167.
Les diviseurs communs à 167 et 167 sont tous les
diviseurs de 167. Comme 167 est le plus grand
diviseur de 167, on a : PGCD (167 ; 167) = 167
En raisonnant comme ci-contre, tu pourrais montrer que :
• PGCD (1 001 ; 1 001) = 1 001
• PGCD (751 ; 751) = 751...
Il est essentiel de savoir écrire ces égalités en raisonnant comme
précédemment.
b) On peut commencer par déterminer les diviseurs respectifs de
323 et 646. En s’aidant d’un tableur, on trouve que :
• les diviseurs de 323 sont :
1 ; 17 ; 19 ; 323,
• ceux de 646 sont :
1 ; 2 ; 17 ; 19 ; 34 ; 38 ; 323 ; 646.
D’où on conclut que : PGCD (323 ; 646) = 323
b)
On peut cependant éviter de déterminer les diviseurs respectifs de
323 et 646.
Si l’on remarque que : 646 = 323 × 2, en procédant comme cicontre, on peut déterminer mentalement le PGCD de 323 et 646.
48 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
49
Séquence 2
Le plus grand diviseur de 323 est 323.
Comme 323 divise 646,
323 est le plus grand diviseur commun de 323 et 646.
Ainsi : PGCD (323 ; 646) = 323
En raisonnant comme ci-contre, tu pourrais montrer que :
• PGCD (542 ; 1 084) = 542
• PGCD (443 ; 886) = 443...
Il est essentiel de savoir écrire ces égalités en raisonnant comme
précédemment.
c)
Tous les entiers différents de 0 divisent 0.
Les diviseurs communs à 0 et à 144 sont donc les
diviseurs de 144.
Le plus grand diviseur de 144 est 144.
D’où : PGCD (0 ; 144) = 144
d)
1 a un seul diviseur : 1.
1 divise 59.
1 et 59 ont donc un seul diviseur commun : 1.
D’où : PGCD (1 ; 59) = 1.
EXERCICE 15
Je détermine les diviseurs de 15 :
15 = 1 × 15
15 = 3 × 5
Les diviseurs de 15 sont : 1 ; 3 ; 5 ; 15.
c)
En raisonnant de même, on obtient par exemple :
PGCD(0 ; 1 401) = 1 401
PGCD(873 ; 0) = 873 …
d)
En raisonnant de même, on obtient par exemple :
PGCD(1 000 ; 1) = 1
PGCD(1 ; 3 050) = 1 …
On calcule le PGCD de 15 et 28 à l’aide des listes des diviseurs
de 15 et de 28.
Je détermine les diviseurs de 28 :
28 = 1 × 28
28 = 2 × 14
28 = 4 × 7
Les diviseurs de 28 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ; 28.
Le plus grand diviseur commun à 15 et à 28 est 1.
15 et 28 sont donc premiers entre eux.
EXERCICE 16
Thomas affirme, que dans chacun des cas, les entiers donnés ne
sont pas premiers entre eux.
Il a donc trouvé que les entiers donnés n’avaient pas pour seul
diviseur commun 1.
Il n’était pas difficile d’aboutir à cette conclusion si l’on pensait à
utiliser les critères de divisibilité.
a)
a) 302 et 476 sont pairs donc 302 et 476 ne sont donc D’après les critères de divisibilité, 302 et 476 sont pairs, donc
302 et 476 admettent un autre diviseur commun que 1 : l’entier 2.
pas premiers entre eux.
b)
b) 315 et 1 644 sont divisibles par 3 donc 315 et 1 644 La somme des chiffres de 315 est 3 + 1 + 5 soit 9.
ne sont pas premiers entre eux.
Elle est divisible par 3. Ainsi, 315 est divisible par 3.
La somme des chiffres de 1 644 est 1 + 6 + 4 + 4 soit 15.
Elle est divisible par 3. Ainsi, 1 644 est divisible par 3.
315 et 1 644 admettent un autre diviseur commun que 1 :
l’entier 3.
Cned, Mathématiques 3e
–
49
© Cned – Académie en ligne
50Séquence 2
Séance 5
EXERCICE 17
Aurélie a tort.
4 et 9 sont premiers entre eux.
En effet, les diviseurs de 4 sont 1 ; 2 et 4 et ceux de 9 sont 1 ; 3 et 9.
D’où PGCD(4 ; 9) = 1.
Les nombres 4 et 9 ne sont pas des nombres premiers.
Les commentaires du professeur :
Pour voir si l’affirmation a des chances d’être vraie, on commence par prendre des exemples. On pouvait raisonner avec d’autres
nombres.
Andry a raison.
Soient a et b deux nombres premiers distincts.
a a pour seuls diviseurs 1 et lui-même. b a pour seuls diviseurs 1 et lui-même.
Comme a et b sont distincts, a et b ont un seul diviseur commun : 1. Ils sont donc premiers entre eux.
Les commentaires du professeur :
Pour voir si l’affirmation d’Andry a des chances d’être correcte, on commence par prendre des exemples.
• Prenons par exemple les nombres premiers 2 et 3.
2 a pour seuls diviseurs 1 et lui-même. 3 a également pour seuls diviseurs 1 et 3.
2 et 3 ont donc pour seul diviseur commun 1. Ils sont donc premiers entre eux.
• Prenons maintenant par exemple les nombres premiers 7 et 11.
7 a pour seuls diviseurs 1 et lui-même. 11 a également pour seuls diviseurs 1 et lui-même.
7 et 11 ont donc pour seul diviseur commun 1. Ils sont donc premiers entre eux.
On se demande dans le cas général si la propriété est encore vraie. Vérifier qu’elle l’est pour un très grand nombre d’exemples ne
permet pas de conclure qu’elle est toujours vraie.
Si on veut prouver qu’elle est toujours vraie, on raisonne à l’aide de lettres.
EXERCICE 18
a) Je vois bien que je n’arrive pas à simplifier cette
fraction, mais je n’arrive pas à le justifier !
a) C’est bien là qu’est le problème : comment justifier que l’on ne
peut pas simplifier une fraction ?
b)
b)
Si on pouvait simplifier la fraction
16
par un entier
35
d différent de 1, on aurait :
16 d × n n
avec n et m entiers.
=
=
35 d × m m
On aurait donc :
16 = d × n où n est un entier,
35 = d × m où m est un entier.
d serait donc un diviseur commun à 16 et à 35.
Ainsi, le numérateur et le dénominateur de la fraction
aurait un diviseur commun autre que 1.
50 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
On vient de prouver que si l’on peut simplifier une fraction, c’est
que le numérateur et le dénominateur ont un diviseur commun
autre que 1.
51
Séquence 2
On déduit de la remarque précédente une méthode qui permet de
D’où la méthode suivante :
justifier
qu’une fraction est simplifiée au maximum.
Si 16 et 35 n’ont pas de diviseur commun autre que 1,
alors la fraction ne peut pas être simplifiée.
Je cherche la liste des diviseurs de 16 puis la liste des
diviseurs de 35.
Les diviseurs de 16 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16.
Les diviseurs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35.
Le seul diviseur commun de 16 et de 35 est 1.
16
On ne peut donc pas simplifier la fraction
.
35
2)
a)
Les diviseurs de 96 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 32 ; 48 ; 96.
Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction n’ont que 1
comme diviseur commun, c’est-à-dire s’ils sont premiers entre
eux, alors la fraction ne peut pas être simplifiée.
2)
a)
La liste des diviseurs est longue : il faut faire attention à ne pas en
oublier !
Les diviseurs de 72 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 9 ; 12 ; 18 ; 24 ; 36 ; 72.
Le plus grand diviseur commun à 96 et à 72 est 24.
96 = 24 × 4
72 = 24 × 3
96 24 × 4 4
=
=
72 24 × 3 3
← Lorsqu’on simplifie une fraction par le plus grand diviseur
commun au dénominateur et au numérateur, on obtient une
fraction que l’on ne peut plus simplifier.
« Simplifier par le PGCD, c’est simplifier au maximum »
b)
Les diviseurs de 108 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 27 ; 36 ; 54 ; 108.
Les diviseurs de 135 sont :
1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 27 ; 45 ; 135.
Le plus grand diviseur commun à 108 et à 135 est 27.
108 = 27 × 4
135 = 27 × 5
108 27 × 4 4
=
=
135 27 × 5 5
Cned, Mathématiques 3e
–
51
© Cned – Académie en ligne
52Séquence 2
EXERCICE 19
a)
a)
24 = 1 × 24
35 = 1 × 35
24 = 2 × 12
35 = 5 × 7
On détermine la liste des diviseurs de 24, la liste des diviseurs de
24 = 3 × 8
35.
24 = 4 × 6
Les diviseurs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ;
24.
Les diviseurs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35.
Le seul diviseur commun à 24 et 35 est 1.
D’où : PGCD(24 ; 35) = 1.
24
est donc irréductible.
La fraction
35
b)
b)
30 = 1 × 30
42 = 1 × 42
On détermine la liste des diviseurs de 30, la liste des diviseurs de
30 = 2 × 15
42 = 2 × 21
42.
30 = 3 × 10
42 = 3 × 14
30 = 5 × 6
42 = 6 × 7
Les diviseurs de 30 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ;
15 ; 30.
Les diviseurs de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 14 ; 21 ;
42.
D’où : PGCD(30 ; 42) = 6
30 6 × 5 5
5
La fraction est irréductible.
=
=
42 6 × 7 7
7
EXERCICE 20
Une fraction dont le numérateur et le dénominateur
sont impairs n’est pas nécessairement irréductible.
15 et 21 sont impairs et :
15 3 × 5 5
=
=
21 3 × 7 7
Cet exercice met en évidence que deux nombres impairs ne sont
pas, en général, premiers entre eux.
15 et 2, par exemple, sont impairs et ne sont pas premiers entre
eux.
EXERCICE 21
A l’aide de la touche simplification de fractions de la
calculatrice, j’obtiens :
524 262
=
234 117
Je sais que la fraction donnée par la calculatrice est
irréductible.
La calculatrice a donc simplifié la fraction par le
PGCD de 524 et 234.
524 : 262 = 2
D’où : PGCD(524 ; 234) = 2
52 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
Cette méthode permet de calculer quasiment directement le
PGCD de deux nombres. On verra par la suite que pour de très
grands nombres, cette méthode ne « marche » pas toujours.
53
Séquence 2
Séance 6
EXERCICE 22
1)
● J’essaie de déterminer le PGCD de 6 672 et de
1 835 mais je n’y arrive pas.
1)
En effet, il paraît impossible d’établir les listes de diviseurs de
6 672 et de 1 835.
● J’ai essayé d’utiliser les critères de divisibilité, mais
je ne trouve rien non plus !
● J’ai essayé d’utiliser la touche simplification de
fraction de la calculatrice mais cela ne marche pas !
En effet, les nombres sont trop « grands et compliqués » pour que
la calculatrice simplifie la fraction.
Il semble donc bien que nous soyons bloqués !
2)
Il s’affiche : 3.635967302
La calculatrice ne répond pas à la question posée !
2)
3)
3)
a) J’essaie de démontrer que les diviseurs communs à
6 672 et à 1 835 sont les mêmes que les diviseurs
communs à 1 835 et à 4 837 mais je n’y arrive pas.
a)
L’idée est bonne…
b) 4 837 = 6 672 − 1 835
a est un diviseur commun à 6 672 et 1 835. Or, tout diviseur commun à deux entiers divise leur différence.
Je conclus donc que a divise 4 837. Ainsi, a est un diviseur commun à 1 835 et 4 837.
c) On déduit de l’égalité : 6 672 − 1 835 = 4 837 que : 6 672 = 1 835 + 4 837.
b est un diviseur commun à 1 835 et 4 837. Or, tout diviseur commun à deux entiers divise leur somme.
Je conclus donc que b divise 6 672. Ainsi, b est un diviseur commun à 6 672 et 1 835.
d) On déduit du b) et du c) précédents que les diviseurs communs à 6 672 et 1 835 sont exactement les
mêmes que ceux de 1 835 et 4 837.
Le plus grand diviseur commun à 6 672 et 1 835 est donc égal au plus grand diviseur commun à 1 835 et
4 837, c’est-à-dire : PGCD (6 672 ; 1 835) = PGCD (1 835 ; 4 837).
4)
a)
étape 3 : 3 002 − 1 835 = 1 167 donc PGCD (1 835 ; 3 002) = PGCD (1 835 ; 1 167)
étape 4 : 1 835 − 1 167 = 668 donc PGCD (1 835 ; 1 167) = PGCD (1 167 ; 668)
b)
b)
On peut lire le tableau de la façon suivante :
PGCD(6672 ; 1835)
= PGCD(1835 ; 4837)
= PGCD(1835 ; 3002)
=PGCD(1835 ; 1167)
= PGCD(1167 ; 668)
On retrouve les résultats des étapes 3 et 4.
Cned, Mathématiques 3e
–
53
© Cned – Académie en ligne
54Séquence 2
c)
Calcul du PGCD de 8 et de 1
1 a un seul diviseur : 1. Il divise 8.
1 est donc le seul diviseur commun à 1 et 8.
On a donc : PGCD (8 ; 1) = 1.
d)
On déduit du tableau affiché sur l’écran de l’ordinateur que :
PGCD (6 672 ; 1 835) = PGCD (8 ; 1)
D’après le c), on a donc : PGCD (6 672 ; 1 835) = 1
6 672
est donc irréductible.
La fraction
1 835
Les commentaires du professeur :
Le procédé de calcul que nous avons utilisé pour déterminer le PGCD de
6 672 et 1 835 est appelé algorithme des différences successives
(lorsqu’on répète les mêmes actions à chaque étape pour résoudre un
problème, on dit qu’on met en place un algorithme).
54 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
55
Séquence 2
EXERCICE 23
a) Je calcule le PGCD de 193 et de 87 à l’aide de l’algorithme par soustractions successives :
193 – 87 = 106
106 – 87 = 19
87 – 19 = 68
68 – 19 = 49
49 – 19 = 30
30 – 19 = 11
19 – 11 = 8
11 – 8 = 3
8 – 3 = 5
5 – 3 = 2
3 – 2 = 1
2 – 1 = 1
donc
donc
donc
donc
donc
donc
donc
donc
donc
donc
donc
donc
PGCD (193 ; 87) = PGCD (87 ; 106)
PGCD (87 ; 106) = PGCD (87 ; 19)
PGCD (87 ; 19) = PGCD (19 ; 68)
PGCD (19 ; 68) = PGCD (19 ; 49)
PGCD (19 ; 49) = PGCD (19 ; 30)
PGCD (19 ; 30) = PGCD (19 ; 11)
PGCD (19 ; 11) = PGCD (11 ; 8)
PGCD (11 ; 8) = PGCD (8 ; 3)
PGCD (8 ; 3) = PGCD (3 ; 5)
PGCD (3 ; 5) = PGCD (3 ; 2)
PGCD (3 ; 2) = PGCD (2 ; 1)
PGCD (2 ; 1)
= PGCD (1 ; 1) = 1
193
est donc irréductible.
87
b) Je calcule le PGCD de 124 et de 217 à l’aide de l’algorithme par soustractions successives :
217 – 124 = 93
donc PGCD (124 ; 217) = PGCD (124 ; 93)
124 – 93 = 31
donc PGCD (124 ; 93) = PGCD (93 ; 31)
93 – 31 = 62
donc PGCD (93 ; 31) = PGCD (31 ; 62
62 – 31 = 31
donc PGCD (31 ; 62) = PGCD (31 ; 31) = 31
PGCD(193 ; 87) = 1 donc 193 et 87 sont premiers entre eux. La fraction
En effet, le PGCD de 31 et de lui-même est le plus grand diviseur de 31, soit 31.
Ainsi : PGCD(124 ; 217) = 31.
124 31 × 4 4
124 = 31 × 4 217 = 31 × 7
=
=
217 31 × 7 7
La division de 4 par 7 « ne s’arrête jamais ».
4
n’est donc pas un
7
nombre décimal.
Ainsi,
124
n’est pas un nombre décimal.
217
Les commentaires du professeur : Comme on a simplifié la fraction
124
à l’aide du PGCD de 124 et de 217, on sait que la fraction
217
obtenue est irréductible.
Cned, Mathématiques 3e
–
55
© Cned – Académie en ligne
56Séquence 2
EXERCICE 24
a)
b)
● Je veux afficher dans la cellule A3 le plus petit des deux nombres des cases A2 et B2.
J’entre donc : « =MIN(A2 ; B2) ».
● Je veux afficher dans la cellule B3 le plus grand des deux nombres des cases A2 et B2 moins le plus petit.
J’entre donc : « = MAX(A2 ; B2) – MIN(A2 ; B2) ».
c) Voir la copie d’écran ci-contre.
d)
PGCD (37 ; 37) = 37
592 = 37 × 16
592 37 × 16 16
=
=
259 37 × 7
7
D’où : PGCD (592 ; 259) = 37
259 = 37 × 7
Les commentaires du professeur : Comme on a simplifié la fraction
obtenue est irréductible.
56 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
596
à l’aide du PGCD de 596 et de 259, on sait que la fraction
259
57
Séquence 2
Séance 7
EXERCICE 25
1)
1)
Je trouve qu’il est répétitif d’enlever 76 à chaque fois,
de l’étape 2 à l’étape 11.
Il faudrait essayer d’enlever directement le plus grand
nombre de fois qu’il y a 76 dans 779.
Il y a pourtant une opération qui permet de faire cela, et tu la
Je ne sais pas quelle opération permet d’obtenir ce
connais depuis la 6ème : c’est la division euclidienne !
résultat !
2)
● On a pu enlever 10 fois de suite le nombre 76.
● Effectuer la division euclidienne de 779 par 76,
c’est trouver :
- le plus grand nombre de fois où 76 est
présent dans 779,
- le reste.
779 = 76 × 10 + 19
Le plus grand nombre de fois que l’on peut enlever 76 à 779 est
10. Le reste est alors 19.
● PGCD (779 ; 76) = PGCD(76 ; 779 – 1 × 76) = PGCD(76 ; 779 – 2 × 76) = … = PGCD(76 ; 779 – 10 × 76)
D’où : PGCD (779 ; 76) = PGCD(76 ; 779 – 10 × 76) = PGCD (76 ; 19)
3)
J’effectue la division euclidienne de 57 par 19 :
57 = 3 × 19 + 0
3)
PGCD (57 ; 19) = 19
D’où : PGCD (855 ; 779) = 19
855 = 19 × 45
855 19 × 45 45
=
=
779 19 × 41 41
779 = 19 × 41
855
à l’aide du PGCD de 855
779
et de 779, on sait que la fraction obtenue est irréductible.
Comme on a simplifié la fraction
Cned, Mathématiques 3e
–
57
© Cned – Académie en ligne
58Séquence 2
EXERCICE 26
6 672 =
1 835 =
1 167 =
668 =
499 =
169 =
161 =
8
=
3 × 1 835 + 1 167
1 × 1 167 + 668
1 × 668 + 499
1 × 499 + 169
2 × 169 + 161
1 × 161 + 8
20 × 8
+1
8 ×1
+0
donc
donc
donc
donc
donc
donc
donc
donc
PGCD(6 672 ; 1 835) = PGCD(1 835 ; 1 167)
PGCD(1 835 ; 1 167) = PGCD(1 167 ; 668)
PGCD(1 167 ; 668) = PGCD(668 ; 499)
PGCD(668 ; 499)
= PGCD(499 ; 169)
PGCD(499 ; 169)
= PGCD(169 ; 161)
PGCD(169 ; 161)
= PGCD(161 ; 8)
PGCD(161 ; 8)
= PGCD(8 ; 1)
PGCD(8 ; 1)
= PGCD(1 ; 0) = 1
Ainsi : PGCD(6 672 ; 1 835) = 1
La fraction
6 672
est donc irréductible.
1 835
Les commentaires du professeur :
On s’arrête dès que l’on trouve un reste nul. Le PGCD est alors facile à calculer car : PGCD(1 ; 0) = 1.
EXERCICE 27
772 497
sous forme irréductible.
6 160
Pour cela, je calcule le PGCD de 772 497 et de 6 160 à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
Avant de calculer la somme des deux fractions, j’écris
772 497 = 125 × 6 160 + 2 497
6 160 = 2 × 2 497 + 1 166
2 497 = 2 × 1 166 + 165
1 166 = 7 × 165 + 11
165
= 15 ×
11 + 0
772 497 = 11 × 70 227
donc
donc
donc
donc
donc
6 160 = 11 × 560
PGCD(772 497 ; 6 160) = PGCD(6 160 ; 2 497)
PGCD(6 160 ; 2 497) = PGCD(2 497 ; 1 166)
PGCD(2 497 ; 1 166) = PGCD(1 166 ; 165)
PGCD(1 166 ; 165)
= PGCD(165 ; 11)
PGCD(165 ; 11)
= PGCD(11 ; 0) = 11
d’où :
772 497 11 × 70 227 70 227
=
=
6 160
11 × 560
560
772 497 3 70 227 3 70 227 30 70 257
+
=
+
=
+
=
6 160
56
560
56
560
560
560
La fraction obtenue est-elle irréductible ? Je calcule le PGCD de 70 257 et de 560 à l’aide de l’algorithme
d’Euclide.
70 257 = 125 × 560
560 = 2 × 257
257 = 5 × 46
46 = 1 × 27
27 = 1 × 19
19 = 2 × 8
8=
2×3
3=
1×2
2=
2×1
La fraction
+
+
+
+
+
+
+
+
+
257
46
27
19
8
3
2
1
0
70 257
est irréductible.
560
58 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
donc
donc
donc
donc
donc
donc
donc
donc
donc
PGCD(70 257 ; 560) = PGCD(560 ; 257)
PGCD(560 ; 257)
= PGCD(257 ; 46)
PGCD(257 ; 46)
= PGCD(46 ; 27)
PGCD(46 ; 27)
= PGCD(27 ; 19)
PGCD(27 ; 19)
= PGCD(19 ; 8)
PGCD(19 ; 8)
= PGCD(8 ; 3)
PGCD(8 ; 3)
= PGCD(3 ; 2)
PGCD(3 ; 2)
= PGCD(2 ; 1)
PGCD(2 ; 1)
= PGCD(1 ; 0) = 1
59
Séquence 2
EXERCICE 28
a)
b)
Je veux afficher dans la cellule A3 le plus petit des deux nombres des cases A2 et B2.
J’entre donc : « =MIN(A2 ; B2) ».
Je veux afficher dans la cellule B3 le reste de la division euclidienne du plus grand des deux nombres des
cases A2 et B2 par le plus petit.
J’entre donc : « = MOD(MAX (A2 ; B2);MIN(A2 ; B2)) ».
c)
PGCD(772 497 ; 6 160) = PGCD(11 ; 0) = 11
D’où : PGCD( 772 497 ; 6 160) = 11.
Cned, Mathématiques 3e
–
59
© Cned – Académie en ligne
60Séquence 2
Séance 8
EXERCICE 29
1)
a)
● Je choisis 1 et 2 comme entiers consécutifs.
1 a pour seul diviseur lui-même,
2 a pour diviseurs 1 et 2.
1 est donc le seul diviseur commun à 1 et 2,
d’où 1 et 2 sont premiers entre eux.
1)
a) On choisit au hasard trois exemples de deux entiers
consécutifs.
← 2 est un nombre premier.
Il a donc pour seuls diviseurs 1 et lui-même.
● Je choisis 20 et 21 comme entiers consécutifs.
Les diviseurs de 20 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10 ; 20.
Ceux de 21 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 21.
1 est donc le seul diviseur commun à 20 et 21.
20 et 21 sont donc premiers entre eux.
● Je choisis 48 et 49 comme entiers consécutifs.
Les diviseurs de 48 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48.
Ceux de 49 sont :
1 ; 7 ; 49.
1 est donc le seul diviseur commun à 48 et 49.
48 et 49 sont donc premiers entre eux.
20 = 1 × 20
20 = 2 × 10
20 = 4 × 5
21 = 1 × 21
21 = 3 × 7
48 = 1 × 48
48 = 2 × 24
48 = 3 × 16
48 = 4 × 12
48 = 6 × 8
49 = 1 × 49
49 = 7× 7
b)
b)
On est amené à se poser la question :
Deux entiers consécutifs sont-ils toujours premiers
entre eux ?
2)
a)
Je n’arrive pas à la démontrer !
2)
a)
Dans ce cas, il ne faut pas se contenter de dire qu’on n’arrive pas,
il faut écrire ses pistes de recherche…
b)
b)
J’utilise l’idée d’Andry
Soit d un diviseur commun à deux entiers consécutifs
m et m + 1
En utilisant la propriété d’Andry, on déduit que d
divise la différence (m + 1) – m soit 1.
Si m est un entier, l’entier qui vient juste après est m + 1.
d divise donc 1.
Or le seul diviseur de 1 est 1. On conclut donc que :
d = 1.
On a démontré que deux entiers consécutifs sont
premiers entre eux.
60 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
Si un nombre est un diviseur de 1, alors ce diviseur est
nécessairement 1.
61
Séquence 2
J’utilise l’idée d’Aurélie
Soient m et m + 1 sont deux entiers consécutifs.
J’utilise la propriété citée par Aurélie :
On utilise ici la propriété citée par Aurélie à deux nombres : m et
m + 1.
PGCD(m ; m + 1) = PGCD(m ; m + 1 – m)
PGCD(m ; m + 1) = PGCD(m ; 1)
1 n’a qu’un seul diviseur : lui-même.
D’où : PGCD(m ; 1) = 1.
Comme : PGCD(m ; m + 1) = 1 les nombres m et
m + 1 sont premiers entre eux.
On aurait pu également démontrer ce résultat en utilisant
l’égalité :
PGCD (m ; n) = PGCD (n ; r)
avec m ≥ n ; r : reste de la division euclidienne de m par n.
3)
3)
105
100 000
=
99 999 99 999
Les entiers 99 999 et 100 000 sont consécutifs.
D’après la question précédente, ils sont donc premiers
entre eux.
100 000
105
La fraction
soit
est irréductible.
99 999
99 999
EXERCICE 30
1)
J’ai calculé n² − n + 11 pour différentes valeurs de n.
Pour n = 0 :
Pour n = 1 :
Pour n = 2 :
Pour n = 3 :
Pour n = 4 :
Pour n = 5 :
Pour n = 6 :
Pour n = 7 :
n² − n + 11 = 11
n² − n + 11 = 11
n² − n + 11 = 13
n² − n + 11 = 17
n² − n + 11 = 23
n² − n + 11 = 31
n² − n + 11 = 41
n² − n + 11 = 53
1)
Il est bon d’avoir écrit des choses, même si la conclusion n’est pas
la bonne !
Les calculs pour différentes valeurs de n du nombre n2 – n + 11
sont justes.
Il semble normal de se dire que vraisemblablement, n2 – n + 11
est premier pour n’importe quelle valeur de n.
Les nombres trouvés sont tous premiers. Je peux donc
écrire la conjecture : « n² − n + 11 est premier pour
Cette conjecture est impossible à démontrer puisqu’elle n’est pas
n’importe quelle valeur de n ».
vraie !
En effet, pour n = 11, n2 – n + 11 est un multiple de 11.
Je n’arrive pas à la démontrer.
Conclusion : avant d’écrire une conjecture, il faut essayer de faire
un grand nombre de tests. Pour cela, le tableur est un très bon
outil.
Cned, Mathématiques 3e
–
61
© Cned – Académie en ligne
62Séquence 2
2)
Si on entre 0 dans la cellule A2 et que l’on veut calculer
n2 – n + 11 pour n = 0 dans la cellule B2, on entre dans la cellule
B2 la formule : « = A2^2 – A2 + 11 ».
2)
Pour voir si un entier inférieur à 50 est premier, on peut utiliser la
table des nombres premiers établie dans l’exercice 9.
Pour voir si un entier supérieur à 50 est premier, on peut
chercher ses diviseurs à la main ou à l’aide d’un tableur.
3)
Pour n = 11, on a :
n² − n + 11 = 11² − 11 + 11 = 121
Dans ce cas, n² − n + 11 a un autre diviseur que 1 et
lui-même : 11.
Il n’est donc pas premier.
Le nombre n² − n + 11 n’est pas premier pour
n’importe quelle valeur de n.
62 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
63
Séquence 2
Séance 9
EXERCICE 31
La phrase est fausse.
Pour justifier que cette phrase n’est pas juste, il suffit de trouver
deux entiers différents tels que le plus grand ait moins de
diviseurs que le plus petit.
4 a exactement 3 diviseurs : 1 ; 2 ; 4.
5 a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
On pouvait trouver d’autres entiers, comme par exemple 8 qui a 4
diviseurs (1 ; 2 ; 4 et 8) et un nombre premier plus grand, par
exemple 13, qui n’a que deux diviseurs (1 et lui-même).
Ainsi : 4 < 5 mais 4 a plus de diviseurs que 5.
EXERCICE 32
Appelons d la distance en m séparant deux arbres.
d est un nombre entier d’après l’énoncé.
Il y a un arbre à chaque coin du terrain donc d est un
diviseur des nombres 112 et 98.
Cet exercice n’est pas facile !
Afin de planter le minimum d’arbres, d doit être la
plus grande possible.
d doit donc être le plus grand diviseur commun de 112
et 98
Déterminons-le par la méthode de l’algorithme
d’Euclide :
112 = 1 × 98 + 14 PGCD(112 ; 98) = PGCD(98 ; 14)
98 = 7 × 14 + 0 PGCD(98 ; 14) = PGCD(14 ; 0) = 14
PGCD (112 ; 98) = 14
La distance d qui doit séparer deux arbres est 14 m.
Comme : 112 = 14 × 8
et :
98 = 14 × 7,
il y aura :
• 8 intervalles séparant deux arbres consécutifs sur la
longueur,
• 7 intervalles séparant deux arbres consécutifs sur la
largeur.
Arrivé(e) à ce niveau, on peut calculer le nombre d’intervalles
séparant deux arbres consécutifs.
On en déduira facilement le nombre d’arbres à acheter :
lorsqu’on place des arbres sur une ligne fermée, le nombre
d’intervalles séparant deux arbres consécutifs est égal au nombre
d’arbres.
Autour du terrain, il y aura donc 2(8 + 7) soit 30
intervalles séparant deux arbres consécutifs.
Le père de Nadia devra donc acheter 30 arbres.
Tu peux l’observer sur les exemples ci-dessus :
4 arbres, 4 intervalles. 6 arbres, 6 intervalles.
8 arbres, 8 intervalles …
Cned, Mathématiques 3e
–
63
© Cned – Académie en ligne
64Séquence 2
JE M’ÉVALUE
1)
1)
vrai
faux
2)
vrai
faux
3)
32
28
8
16
56 = 1 × 56
56 = 2 × 28
56 = 4 × 14
56 = 7 × 8
56 a donc 8 diviseurs :
1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 8 ; 14 ; 28 ; 56.
81 = 1 × 81
81 = 3 × 27
81 = 9× 9
81 a donc 5 diviseurs :
1 ; 3 ; 9 ; 27 ; 81.
2)
La somme des chiffres de 441 est 4 + 4 + 1 soit 9. Comme elle est
divisible par 9, l’entier 441 est divisible par 9.
Il est donc divisible par un autre entier que 1 et lui-même.
441 n’est donc pas un nombre premier.
3)
On peut déterminer le PGCD de 288 et 64 de 3 façons :
● en cherchant les diviseurs communs à 288 et 64,
● en utilisant l’algorithme des soustractions successives,
● en utilisant l’algorithme d’Euclide.
La méthode la plus rapide ici est celle utilisant l’algorithme
d’Euclide. Utilisons-la.
288 = 4 × 64 + 32 PGCD(288 ; 64) = PGCD(64 ; 32)
PGCD(64 ; 32) = PGCD(32; 0) = 32
64 = 2 × 32 + 0
Le PGCD de 288 et 64 est 32.
4)
n = m − 36
4)
vrai
faux
5)
vrai
faux
6)
vrai
faux
18 divise m,
18 divise 36,
18 divise donc la différence m – 36 c’est-à-dire 18 divise n.
5)
77 = 7 × 11 donc 11 est un diviseur de 77.
121 = 11 × 11 donc 11 est aussi un diviseur de 121.
77 et 121 n’ont pas pour seul diviseur commun 1 : ils ne sont donc
pas premiers entre eux.
6)
Répondre à la question, c’est voir si le PGCD du numérateur et du
dénominateur de la fraction est égal à 1.
Utilisons l’algorithme d’Euclide.
575 = 1 × 483 + 92 PGCD(575 ; 483) = PGCD(483 ; 92)
483 = 5 × 92 + 23 PGCD(483 ; 92) = PGCD (92 ; 23)
92 = 4 × 23 + 0
PGCD(92 ; 23) = PGCD (23 ; 0) = 23
Le PGCD de 575 et de 483 est 23. Les nombres 575 et 483 ne sont
donc pas premiers entre eux.
64 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
65
Séquence 2
7)
7)
vrai
faux
9 7 9 16
+
7 = 7 7 = 7 = − 16 × 7 = − 16 = −8
9 7 9
2
7 2
2
1−
−
−
7 7 7
7
8)
8)
1+
( )
40× 107
vrai
faux
2
15×1016 ×16 ×10 -3
( )
40× 107
16
=
40×1014
40
1014
=
×
15×1016 ×16 ×10 -3 15×16 1016 × 10 -3
=
5×8
1014 1
10 5
× 13 = × 10 =
=
5 × 3× 8 × 2 10
6
6 3
2
15×10 ×16 ×10
-3
La division de 5 par 3 ne « tombe pas juste », donc
9)
vrai
faux
5
n’est pas un
3
nombre décimal.
9)
164
1,64 =
100
1
1
10-4 =
=
4
10 000
10
1,64 et 10–4 peuvent donc s’écrire sous la forme d’une fraction.
1,64 et 10–4 sont donc des rationnels.
10)
10)
vrai
faux
Aire d’un triangle =
côté × hauteur relative
2
L’aire en cm2 du triangle ABC est égale à :
4,8 × 2,5
soit à 6 cm2.
2
Cette aire en cm2 est donc un entier naturel.
Cned, Mathématiques 3e
–
65
© Cned – Académie en ligne
66Séquence 3
SÉQUENCE 3
LA PROPRIÉTÉ DE THALÈS ET SA RÉCIPROQUE
Ce que tu devais faire
Les commentaires du professeur
Séance 1
e
JE RÉVISE LES ACQUIS DE LA 4
1)
1)
C ∈ [AN)
Les trois données qui permettent d’appliquer la propriété de
Thalès sont :
● N ∈ [AC) ● M ∈ [AB)
● (MN) // (BC)
N ∈ [AC)
(MN) // (BC)
M ∈ [AB)
2)
2)
Les longueurs des côtés correspondants des
La propriété de Thalès permet d’affirmer, lorsque les données
sont réunies, que les longueurs des côtés correspondants sont
proportionnelles.
triangles AMN et ABC sont proportionnelles.
Le triangle ABC est un agrandissement du
Comme M est un point de [AB] et N un point de [AC], le triangle
ABC est un agrandissement du triangle AMN.
triangle AMN.
Le tableau :
AM
AB
AN
AC
MN
BC
Le tableau dans lequel sont placées les longueurs des côtés
correspondants est donc un tableau de proportionnalité.
est un tableau de proportionnalité.
3)
3)
AM AB MB
=
=
AN AC NC
AM AN MN
=
=
AB AC BC
MN NC MN
=
=
AB AC BC
AB NC BC
=
=
AN AM MN
Le tableau précédent est un tableau de proportionnalité donc les
trois quotients (nombre du dessus divisé par nombre du dessous)
sont égaux.
4)
4)
AM = 5 cm et AC = 7,5 cm.
AM = 7,2 cm et AC = 7,5 cm.
10
cm.
3
On ne peut pas répondre.
AM = 7,2 cm et AC =
66 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
On a :
AM
5
6
=
=
7,5 AC 9
AM 6
6
donc AM = 7,5 × soit AM = 5 cm.
=
9
7,5 9
5
6
= d’où : 6 × AC = 5 × 9 (les produits en croix sont égaux)
AC 9
45
D’où : AC =
soit AC = 7,5 cm.
6
67
Séquence 3
EXERCICE 1
1)
● Je peux essayer pour des figures avec différentes
positions du point M, de noter à chaque fois AM et
BN, puis de voir si les longueurs AM et BN sont
proportionnelles.
1)
Il est bon, dans ce type de question « ouverte » (sans aide)
d’écrire ses recherches puis tentatives de résolution.
● cette première idée est une bonne idée.
● cette deuxième idée est également bonne. Elle est même
● Je peux aussi essayer d’utiliser un logiciel de
meilleure que la précédente car elle permet de tester très
géométrie dynamique, de faire mesurer AM et BN, de rapidement un nombre de cas très très grand.
AM
faire calculer
, puis de voir, en déplaçant le point
BN
AM
M sur le cercle C 1 , si le rapport
reste le même.
BN
J’ai utilisé la géométrie dynamique et il semble que le
AM
rapport
soit toujours le même.
BN
Ma conjecture est donc la suivante : « AM et BN sont Une conjecture a été énoncée. C’est bien.
proportionnelles ».
Ce qui est alors important, c’est de savoir la démontrer !
J’essaie de la démontrer mais je n’y parviens pas !
Nous allons voir dans cet exercice que cette conjecture est vraie,
et nous allons la démontrer.
Attention ! Il faut bien comprendre que « deux nombres
proportionnels » n’a de sens que si ces nombres sont
« variables », ce qui est le cas ici.
Quand on dit les nombres AM et BN, on veut dire par là les
grandeurs AM et BN, car pour chaque position du point M, les
nombres AM et BN changent.
2)
a)
Cned, Mathématiques 3e
–
67
© Cned – Académie en ligne
68Séquence 3
AM
BN
1
2
0,65 1,35
3
4
2
2,65
b)
a)
Pour compléter le tableau, il suffit de mesurer les longueurs sur ta
figure.
b)
1
2
3
4
≈ 1,5
≈ 1,5
= 1,5
≈ 1,5
0,65
1,35
2,65
2
Ce tableau semble être un tableau de
proportionnalité.
AM
, on constate que l’on obtient
BN
toujours (environ) la même valeur approchée.
En calculant les quotients
Il semble donc que le tableau représente une situation de
proportionnalité.
c)
Les points obtenus semblent alignés avec l’origine du repère, ce
qui est cohérent avec le fait que le tableau semble représenter une
situation de proportionnalité
Les points semblent alignés avec l’origine du repère
donc les longueurs AM et BN semblent
proportionnelles.
3)
Je déplace le point M, et je constate à l’aide du
AM
logiciel de géométrie dynamique que le rapport
BN
ne change pas.
4)
a) Voici ma conjecture : « les droites (AM) et (BN)
sont parallèles ».
preuve :
● Le point M est sur le cercle de diamètre [AC] donc
le triangle AMC est rectangle en M.
On a donc : (AM) ⊥ (MC).
3)
Avec le logiciel, on peut calculer le quotient et vérifier que celuici reste constant, quelle que soit la position du point M.
4)
a)
Un triangle inscrit dans un cercle ayant pour côté un diamètre du
cercle est un triangle rectangle.
● Le point N est sur le cercle de diamètre [BC] donc
le triangle BCN est rectangle en N.
On a donc : (BN) ⊥ (NC).
● Les points M, C et N sont alignés.
Les droites (AM) et (BN) sont donc perpendiculaires
à la même droite (MN), d’où : (AM)//(BN).
68 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
Deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles
entre elles.
69
Séquence 3
b)
La situation semble être une situation de Thalès, mais
n’en est pas une.
En effet, on a bien :
● A, C, B alignés
● M, C, N alignés
● (AM) // (BN)
b)
n’est pas une situation de Thalès comme celle qu’on
Cependant, les points N et M sont de part et d’autre de La situation
a vue en 4ème. En 4ème, on aurait eu :
C, ainsi que les points A et B.
● N ∈ [CM)
● B ∈ [CA)
● (AM)//(BN).
c)
● La droite (A’M’) est le symétrique de la droite
(AM) par rapport à C, donc : (AM) // (A’M’).
Une droite et son symétrique par rapport à un point sont deux
droites parallèles.
● M’est le symétrique de M par rapport à C et N, C et Si deux points sont symétriques par rapport à un autre, alors ces
trois points sont alignés.
M sont alignés dans cet ordre, donc : N ∈ [CM’).
● A’ est le symétrique de A par rapport à C et A, C et
B sont alignés dans cet ordre, donc : B ∈ [CA’).
Essayons d’appliquer la propriété de Thalès :
Dans le triangle CA’M’ :
● N ∈ [CM’)
● B ∈ [CA’)
● (A’M’)//(BN).
D’après la propriété de Thalès, les longueurs A’M’ et
BN sont proportionnelles.
On peut alors appliquer la propriété de Thalès !
Or [A’M’] est le symétrique de [AM] par rapport à C,
donc : AM = A’M’.
Les longueurs AM et BN sont donc proportionnelles.
Cned, Mathématiques 3e
–
69
© Cned – Académie en ligne
70Séquence 3
Séance 2
1)
EXERCICE 2
Dans les triangles ABC et AMN :
● M∈ (AB) ● N ∈ (AC) ● (MN)//(BC)
D’après la propriété de Thalès, on a :
AM AN MN
=
=
AB AC BC
4,5 AN MN
=
=
6
7
8
MN =
8 × 4,5
6
AN =
7 × 4,5
AN = 5,25 cm.
6
MN = 6 cm.
On peut aussi écrire les données en utilisant les demi-droites :
● M∈ [AB) ● N ∈ [AC) ● (MN)//(BC)
Il est pourtant préférable d’utiliser la notation à l’aide de droites,
car elle « fonctionne » dans un plus grand nombre de cas : la
situation 1 (de 4ème) et la situation dite « en papillon ».
Autre méthode :
On pouvait aussi écrire, une fois que l’on a énoncé les données,
que les longueurs des côtés correspondants des triangles AMN et
ABC sont proportionnelles.
AM
4,5
soit
est un coefficient de proportionnalité.
Ici,
AB
6
C’est le coefficient de « réduction » : c’est le nombre qui :
● multiplié par AB donne AM
● multiplié par AC donne AN
● multiplié par BC donne MN.
4,5
4,5
=8×
=6
6
6
4,5
4,5
AN = AC ×
=7×
= 5,25
6
6
MN = BC ×
EXERCICE 3
Dans les triangles ILM et IKJ :
● K ∈ (IL) ● J ∈ (IM) ● (ML)//(JK)
D’après la propriété de Thalès, on a :
IK IJ
KJ
=
=
IL IM LM
5 IJ
7
= =
4 5 LM
LM =
IJ =
7×4
5
5×5
4
LM = 5,6 cm.
IJ = 6,25 cm.
70 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
Cette fois, il faut bien utiliser la notation avec les droites.
Autre méthode :
On pouvait aussi écrire, une fois que l’on a énoncé les données,
que les longueurs des côtés correspondants des triangles IJK et
IML sont proportionnelles.
IK
5
soit
soit 1,25 est un coefficient de proportionnalité.
Ici,
IL
4
C’est le coefficient « d’agrandissement » : c’est le nombre qui :
● multiplié par IL donne IK
● multiplié par IM donne IJ
● multiplié par LM donne JK.
IJ = IM × 1,25 = 5 × 1,25 = 6,25
LM × 1,25 = JK soit : LM × 1,25 = 7
7
D’où : LM =
= 5,6.
1,25
71
Séquence 3
EXERCICE 4
1)
TO = 7 cm
2)
(IC) // (OS)
2)
Dans les triangles TIC et TOS :
● O ∈ (TI) ● S ∈ (TC) ● (IC)//(OS)
D’après la propriété de Thalès, on a :
TI TC IC
=
=
TO TS OS
On pouvait aussi utiliser la proportionnalité et calculer un
coefficient de proportionnalité.
3 4
6
=
=
7 TS OS
4×7
28
soit TS =
cm.
3
3
6×7
OS =
soit OS = 14 cm.
3
TS =
Pense à vérifier que tes résultats ont des chances d’être justes.
Cned, Mathématiques 3e
–
71
© Cned – Académie en ligne
72Séquence 3
EXERCICE 5
Je n’arrive pas à construire la figure de telle sorte que les droites
(AC) et (DB) soient parallèles. Ce n’est pas grave : il suffit en fait
de raisonner sur une figure à main levée.
O ∈ [AB] donc : OB = AB – AO = 9 – 2
soit OB = 7 cm.
(AC) // (BD)
Dans les triangles OAC et OBD :
● D ∈ (OC)
● B ∈ (OA)
● (AC)//(BD)
D’après la propriété de Thalès, on a :
OC OA CA
=
=
OD OB DB
OC 2
4
= =
6
7 DB
6×2
12
soit OC =
cm.
7
7
2
4
4×7
=
donc : DB =
soit
7 DB
2
OC =
O ∈ [CD] donc : CD = CO + OD
72 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
DB = 14 cm.
CD =
12
12 42
54
+6=
+
soit CD =
cm.
7
7
7
7
73
Séquence 3
Séance 3
EXERCICE 6
1)
1)
Le problème semble difficile !
Faire des essais à l’aide de figures sur une feuille de papier, ou à
l’aide d’un logiciel de géométrie est la meilleure chose à faire
dans un premier temps.
J’ai construit une figure dynamique. J’ai réussi à tout
construire, à mesurer AM, puis MD, mais je n’arrive
pas à faire calculer AM + MD !
J’ai fait des sommes AM + MD à l’aide de la
calculatrice.
J’ai l’impression que le minimum du nombre
AM + MD est atteint quand BM = 4 cm.
La méthode pour faire calculer cette somme est décrite dans la
partie cours, dans la suite de l’exercice. C’est la méthode
d’Aurélie.
Nous allons voir si c’est vrai dans la suite de l’exercice.
Je n’arrive pas à le démontrer : cela me paraît
impossible.
2)
BM
1
2
3
4
5
AM
4,12
4,47
5
5,66
6,4
MD
5,39
4,47
3,61
2,83
2,24
AM + MD
9,51
8,94
8,61
8,49
8,64
Les commentaires du professeur :
On pouvait bien sûr choisir d’autres valeurs que celles ci-dessus.
3)
Voici ma conjecture : « le minimum du nombre
AM + MD est atteint quand BM = 4 cm »
Cned, Mathématiques 3e
–
73
© Cned – Académie en ligne
74Séquence 3
4)
a)
b)
Par la symétrie d’axe (BC) :
● le symétrique de M est M
● le symétrique de D est D’
b)
Une symétrie axiale conserve les longueurs, d’où :
MD = MD’
Le symétrique de [MD] par la symétrie d’axe (BC) est [MD’].
On a donc : MD = MD’
On a donc : AM + MD = AM + MD’
c)
Pour que AM + MD’ soit minimale, on doit placer M
sur le segment [AD’]. On a alors AM + MD’ = AD’.
Si on ne place pas M sur [AD’], on a, d’après
l’inégalité triangulaire : AM + MD’ > AD’.
Conclusion : AM + MD est minimale quand M est
sur le segment [AD’].
a)
x semble être égal à 4.
74 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
c)
Il semble que,
lorsque M est sur
le segment
[AD’], on ait :
BM = 4 cm.
C’est ce que l’on
va essayer de
démontrer dans
la question
suivante.
75
Séquence 3
b)
M ∈ [BC], BC = 6 et BM = x donc : MC = 6 – x.
On reconnait en effet une situation de Thalès « en papillon ».
Je cherche à appliquer la propriété de Thalès dans les
triangles MAB et MD’C.
● D’∈ (MA) ● C∈ (MB)
● (AB)//(CD’)
D’après la propriété de Thalès, on a :
MB MA AB
=
=
MC MD ' CD'
x
MA 4
=
=
6 − x MD ' 2
x
4
=
6− x 2
x
=2
6− x
x = 2(6 − x)
x = 12 − 2 x
3x = 12
x = 4 cm
C’est pour x = 4 cm que AM + MD est minimale.
c) Effectivement, ce que l’on observe à l’aide de la
figure dynamique est cohérent avec la réponse
précédente.
AM + MD est minimale pour M sur [BC] tel que :
BM = 4 cm.
c)
Cned, Mathématiques 3e
–
75
© Cned – Académie en ligne
76Séquence 3
Séance 4
EXERCICE 7
1)
Je ne vois pas ce que l’on veut dire par :
« h dépend de la longueur AB ».
2)
a)
b)
● Lorsque je déplace le point B puis le point D, la
longueur h varie. La longueur h dépend donc des
longueurs a et b.
● Lorsque je déplace le point C, la longueur h semble
ne pas varier. La longueur h semble ne pas dépendre
de AC.
1)
Il est vrai que cette notion n’est pas si évidente.
« h dépend de la longueur AB » veut dire : si AB change, est-ce
qu’alors h change ?
Pour le savoir, on peut construire une figure sur du papier puis
placer différents points B. Pour chaque point B, la longueur AB
n’est pas la même : on regarde alors si la longueur h pour chacun
des cas est la même. Ce n’est pas le cas.
2)
a)
b)
La géométrie dynamique est un outil très efficace pour voir si une
longueur dépend d’une autre.
3)
a)
(OI), (AB) et (CD) sont perpendiculaires à la même
droite (AC). Les droites (OI), (AB) et (CD) sont donc
parallèles.
3)
a)
Dans les triangles CAB et CIO :
● I ∈ (CA) ● O ∈ (CB) ● (OI) // (AB)
On applique la propriété de Thalès une 1ère fois.
D’après la propriété de Thalès, on a :
CI CO IO
=
=
CA CB AB
CI h
=
CA a
Dans les triangles ACD et AIO :
● I ∈ (AC) ● O ∈ (AD) ● (OI) // (CD)
On applique la propriété de Thalès une 2ème fois.
D’après la propriété de Thalès, on a :
AI AO IO
=
=
AC AD CD
AI h
=
AC b
D’où :
soit :
h h CI
AI CI + AI AC
+ =
+
=
=
a b CA CA
CA
CA
h h
+ =1.
a b
76 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
 1 1
h +  = 1
a b
1 1
1
Comme :
+ ≠ 0 , on a : h =
1 1
a b
+
a b
h ne dépend donc que de a et de b.
On a donc :
h h
+ =1
a b
d’où :
77
Séquence 3
b) J’ai appliqué la méthode de Clément. Je vois
qu’effectivement, lorsque je déplace le point C, la
h h
somme + est toujours égale à 1.
a b
4)
a)
h h
+ =1.
a b
On remplace a par 2 et b par 3.
On utilise l’égalité :
4)
a)
On résout alors l’équation dont l’inconnue est h.
h h
+ =1
2 3
3h 2h
+
=1
6
6
5h
=1
6
6
h=
5
b)
D’où : h = 1,2 m.
On utilise l’égalité :
b)
h h
+ =1.
a b
On remplace a par 7 et h par 5. On cherche b.
5 5
+ =1
7 b
5
5
=1−
b
7
5 2
=
b 7
5× 7
b=
2
D’où : b = 17,5 m.
EXERCICE 8
1)
1)
●
CA 2
=
CE 3
●
CB 4
=
CD 5
Je compare les produits en croix :
2 × 5 = 10 4 × 3 = 12
Les produits en croix sont différents, d’où ;
CA CB
≠
CE CD
On pouvait également par exemple écrire les fractions à l’aide du
même numérateur et comparer leurs dénominateurs :
2 4
=
3 6
4
4
et sont deux fractions différentes car elles ont le même
6
5
numérateur, mais un dénominateur différent.
Cned, Mathématiques 3e
–
77
© Cned – Académie en ligne
78Séquence 3
2)
Si on avait : (AB) // (CD), on aurait :
Dans les triangles CAB et CED :
● C ∈ (AE) ● C ∈ (BD) ● (AB) // (CD)
D’après la propriété de Thalès, on aurait alors :
CA CB
=
CE CD
2)
Si les droites (AB) et (CD) étaient parallèles, on pourrait alors
appliquer la propriété de Thalès et en déduire que les rapports
CA
CB
et
sont égaux, ce qui est impossible puisqu’on a
CE
CD
démontré dans la question précédente qu’ils sont différents.
Conclusion : les droites (AB) et (CD) ne sont pas parallèles.
Mais c’est impossible car on a démontré dans la
CA CB
≠
.
question précédente que :
CE CD
Un au moins des trois points ci-dessous est donc
faux :
● C ∈ (AE) ● C ∈ (BD) ● (AB) // (CD)
Comme on sait que : C ∈ (AE) et que : C ∈ (BD),
on déduit donc que (AB) et (CD) ne sont pas
parallèles.
On voit dans cet exercice que la propriété de Thalès peut
permettre de démontrer que des droites ne sont pas parallèles.
Nous reverrons cette méthode de façon détaillée dans la séance 6.
78 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
79
Séquence 3
Séance 5
EXERCICE 9
1)
1)
J’ai construit une figure. Les droites (AC) et (BD)
semblent parallèles.
J’ai placé des points A, B, C et D répondant à
l’énoncé à un autre endroit et j’ai encore remarqué
que les droites (AC) et (BD) semblaient parallèles.
Ma conjecture est la suivante :
« les droites (AC) et (BD) sont parallèles ».
Effectivement, les droites (AC) et (BD) semblent être parallèles.
J’essaie d’appliquer la propriété de Thalès pour
démontrer cette conjecture, mais je n’y arrive pas.
2)
Ma conjecture est la suivante :
« les droites (AC) et (BD) sont parallèles ».
3)
[AB] est un diamètre du cercleC donc O est le
milieu de [AB].
[CD] est un diamètre du cercleC ’ donc O est le
milieu de [CD].
Les segments [AB] et [CD] ont le même milieu donc
le quadrilatère CADB est un parallélogramme.
Les côtés opposés d’un parallélogramme sont
parallèles d’où : (CA) // (BD).
La propriété de Thalès ne permet pas de démontrer que des
droites sont parallèles ! Elle permet :
• soit de calculer une longueur,
• soit de démontrer que des droites ne sont pas parallèles.
2)
3)
On se souvient d’une propriété vue en 5e :
« Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu,
alors ce quadrilatère est un parallélogramme. »
On applique une propriété du parallélogramme :
« les côtés opposés d’un parallélogramme sont parallèles ».
EXERCICE 10
1)
Les droites (AC) et (BD) semblent toujours
parallèles.
2)
a)
Les droites (AC) et (BD) semblent parallèles.
b)
Lorsque A se trouve sur la demi-droite [OB), les
quotients sont toujours égaux mais les droites (AC) et
(BD) ne sont plus parallèles.
1)
Il semble que si :
OA OC
=
OB OD
alors les droites (AC) et (BD) sont parallèles
● A ∈ [OB]
● C ∈ [OD]
●
2)
a)
Il semble que si :
OA OC
=
OB OD
alors les droites (AC) et (BD) sont parallèles.
Par contre, si A est sur la demi-droite [OB), cela ne marche pas !
● O ∈ [CD]
● O ∈ [AB]
●
Cned, Mathématiques 3e
–
79
© Cned – Académie en ligne
80Séquence 3
EXERCICE 11
1)
1)
OA 4
●
=
OB 7
OC
6
●
=
OD 10,5
Je compare les produits en croix :
4 × 10,5 = 42
6 × 7 = 42
D’où :
OA OC
=
.
OB OD
Pour comparer les deux écritures fractionnaires, on pouvait
également écrire par exemple :
6
2×6
12 3 × 4 4
=
=
=
=
10, 5 2 × 10, 5 21 3 × 7 7
D’où :
OC OA
=
OD OB
2)
2)
On a dans les triangles OCA et ODB :
● C ∈ [OD]
● A ∈ [OB]
OA OC
=
●
OB OD
La configuration est celle de la situation 1 du « je retiens »
précédent.
D’après la réciproque de la propriété de Thalès, les
droites (AC) et (DB) sont parallèles.
EXERCICE 12
1)
●
1)
MP 3
=
MR 8
●
MN 2 1
= =
MO 6 3
Je compare les produits en croix :
1×8=8
3×3=9
Les produits en croix sont différents donc :
MP MN
≠
MR MO
2)
On a dans les triangles MPN et MRO :
● P ∈ [MR]
● N ∈ [MO]
MP MN
●
≠
MR MO
D’après la propriété de Thalès, les droites (PN) et
(RO) ne sont pas parallèles.
80 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
On pouvait également chercher à écrire les fractions à l’aide d’un
même numérateur :
1 3×1 3
=
=
3 3×3 9
3
3
et ont le même numérateur et un dénominateur différent :
9
8
les fractions sont donc différentes.
2)
Attention ! Comme les rapports sont différents, on n’utilise pas la
réciproque de la propriété de Thalès (qui permet de démontrer
que des droites sont parallèles), mais la propriété de Thalès,
comme on l’a déjà vu dans l’exercice 8.
81
Séquence 3
Séance 6
EXERCICE 13
1)
Dans les triangles ADE et ABC :
● A ∈ [CE]
● A ∈ [BD]
●
AC
6
=
AE 10,5
●
AB 4
=
AD 7
1)
On veut savoir si deux droites sont parallèles : on ne sait donc pas
si l’on va utiliser la propriété de Thalès ou sa réciproque.
On commence par écrire les données permettant d’appliquer la
propriété directe ou la réciproque.
On compare les rapports de longueurs.
Je compare les produits en croix :
6 × 7 = 42
10,5 × 4 = 42
D’où :
AC AB
=
.
AE AD
Ici les rapports sont égaux.
D’après la réciproque de la propriété de Thalès, les
droites (BC) et (DE) sont parallèles.
2)
Dans les triangles NMB et NAC :
● M ∈ [AN]
● B ∈ [NC]
●
NA 13
=
NM 8
●
NC 11
=
NB 7
On conclut donc en utilisant la réciproque de la propriété de
Thalès : les deux droites sont parallèles.
2)
On veut savoir si deux droites sont parallèles : on ne sait donc pas
si l’on va utiliser la propriété de Thalès ou sa réciproque.
On commence par écrire les données permettant d’appliquer la
propriété directe ou la réciproque.
On compare les rapports de longueurs.
Je compare les produits en croix :
13 × 7 = 91
8 × 11 = 88
D’où :
NA NC
≠
.
NM NB
D’après la propriété de Thalès, les droites (MB) et
(AC) ne sont pas parallèles.
Ici les rapports sont différents.
On applique donc la propriété de Thalès (comme dans l’exercice
8). Les deux droites ne sont donc pas parallèles.
Remarque : Ici, on a écrit comme données (entre autres) :
● B ∈ [NC]
● M ∈ [AN]
Pourtant, on écrit dans la nouvelle propriété de Thalès :
● M ∈ (AN)
● B ∈ (NC)
Pourquoi cette différence ?
Réponse : Il est vrai que la propriété de Thalès est vraie avec des
droites mais elle l’est aussi avec des segments (c’est en fait un cas
particulier).
Comme ici, on ne sait pas, au début du raisonnement, si on va
appliquer la propriété directe ou la réciproque, on écrit des
segments, ce qui fonctionne dans les deux cas !
Cned, Mathématiques 3e
–
81
© Cned – Académie en ligne
82Séquence 3
EXERCICE 14
1)
O ∈ [AI] donc : AI = AO + OI soit AI = 12 cm.
P ∈ [AJ] donc : AJ = AP + PJ soit AJ = 7,2 cm.
Dans les triangles APO et AJI :
● O ∈ [AI]
● P ∈ [AJ]
●
AP
3
=
AJ 7,2
●
AO 5
=
AI 12
1)
On commence par calculer les longueurs AI et AJ.
On essaie alors d’appliquer la réciproque de la propriété de
Thalès, qui permet de démontrer que deux droites sont parallèles.
On pouvait également comparer les produits en croix.
Je compare les produits en croix :
12 × 3 = 36
5 × 7,2 = 36
D’où :
AP AO
=
.
AJ AI
D’après la réciproque de la propriété de Thalès, les
droites (OP) et (IJ) sont parallèles.
2)
(AJ) est la tangente à C ’en J donc : (AJ) ⊥ (JI).
(AJ) ⊥ (JI) et : (IJ) // (OP) donc : (AJ) ⊥ (OP).
P est un point de C donc la droite (AJ) est tangente
2)
Prouver que (AJ) est tangente en P à C revient à prouver que :
(AJ) ⊥ (OP).
à C en P.
3)
D’après le 2), on a : (AP) ⊥ (PO).
Dans le triangle AOP rectangle en P, d’après la
propriété de Pythagore :
AO 2 = AP 2 + PO 2
3)
On applique cette fois la propriété de Pythagore.
52 = 32 + PO 2
PO 2 = 25 − 9
PO 2 = 16
PO = 4
Le rayon de C est 4 cm.
EXERCICE 15
1)
D ∈ [CO] donc : DO = CO – CD soit : DO = 3 cm.
82 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
1)
83
Séquence 3
D ∈ [ER] donc : DR = ER – ED soit : DR = 3,9 cm.
On a :
Dans les triangles DEC et DRO :
● D ∈ [CO]
● D ∈ [ER]
●
DC 7
=
DO 3
D’où :
●
On cherche à appliquer la propriété de Thalès ou sa réciproque.
DE 9,1 91 7
=
=
=
DR 3,9 39 3
DC DE
=
.
DO DR
D’après la réciproque de la propriété de Thalès, les
droites (CE) et (RO) sont parallèles.
2)
2)
On applique cette fois la propriété de Thalès.
On a :
Dans les triangles DEC et DRO :
● O ∈ (CD)
● R ∈ (ED)
● (CE) // (RO)
D’après la propriété de Thalès, on a :
DC DE CE
=
=
DO DR RO
Soit x = CD
D ∈ [CO] donc : DO = CO – CD = 10 – x
D ∈ [ER] donc : DR = ER – ED = 5 cm.
x
8
=
10 − x 5
5 x = 8(10 − x)
5 x = 80 − 8 x
13 x = 80
80
x=
13
80
La longueur CD est égale à
cm.
13
Cned, Mathématiques 3e
–
83
© Cned – Académie en ligne
84Séquence 3
Séance 7
EXERCICE 16
1)
J’ai construit la figure à l’aide d’un logiciel de
géométrie dynamique. J’ai placé :
D (0 ; 0) C (8 ; 0) A(0 ; 4,5) B(8 ; 4,5)
E (0 ; 6) N (6 ; 0).
J’ai fait mesurer tous les côtés du polygone AMCBN.
Je trouve que le périmètre de ce polygone est environ
égal à 26,4 cm.
2)
a)
Calcul de EC
A ∈ [ED] donc : DE = DA + AE = 4,5 + 1,5 = 6.
D’après la propriété de Pythagore :
EC 2 = ED 2 + DC 2
EC 2 = 62 + 82
EC 2 = 100
D’où : EC = 10 cm
Calcul de AM et EM
Dans les triangles EDC et EAM :
● A ∈ (ED)
● M ∈ (EC)
● (AM) // (DC) (car ABCD est un rectangle)
D’après la propriété de Thalès :
EA
=
ED
1,5
=
6
Et :
EM =
EM AM
=
EC DC
EM AM
=
10
8
1,5 × 8
6
soit : AM = 2 cm.
1,5 × 10
6
soit : EM = 2,5 cm.
84 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
Nous allons voir dans la suite de l’exercice que l’on pouvait
déterminer ce périmètre à l’aide de raisonnements géométriques.
2)
a)
ABCD est un rectangle donc : (AD) ⊥ (DC).
E ∈ (AD) donc : (ED) ⊥ (DC).
Le triangle ECD est donc rectangle en D.
D’où : AM =
1)
C’était une bonne idée de penser à utiliser un logiciel de
géométrie.
La réponse trouvée est la bonne.
85
Séquence 3
Calcul de MC
M ∈ [EC] donc : MC = EC – EM = 10 – 2,5
MC = 7,5 cm
b) ABCD est un rectangle donc : AD = BC.
D’où : BC = 4,5 cm.
c)
Calcul de DN
3
N ∈ [DC] et : DN = DC
4
3
DN = × 8 = 3 × 2 D’où : DN = 6 cm
4
Calcul de NC
N∈ [DC] donc : NC = DC – DN = 8 – 6
NC = 2 cm
Calcul de BN
Dans le triangle BNC rectangle en C, d’après la
propriété de Pythagore, on a :
BN 2 = BC 2 + CN 2
BN 2 = 4,52 + 22
BN 2 = 24, 25
D’où : BN ≈ 4,9 cm (arrondi au mm près)
d)
● M ∈ [AB] et N ∈ [DC].
ABCD est un rectangle donc : (AB) // (DC).
On a donc : (AM) // (NC).
● On a de plus : AM = NC = 2 cm.
AMCN est un quadrilatère non croisé qui a deux côtés
parallèles et de même longueur : c’est donc un
parallélogramme.
Calcul de AN
AMCN est un parallélogramme donc : AN = MC.
D’où : AN = 7,5 cm.
3)
PAMCBN = AM + MC + CB + BN + NA
AM = 2 cm MC = 7,5 cm
BN ≈ 4,9 cm NA = 7,5 cm
D’où :
PAMCBN ≈ 26,4 cm
CB = 4,5 cm
(arrondi au mm près).
Cned, Mathématiques 3e
–
85
© Cned – Académie en ligne
86Séquence 3
EXERCICE 17
Si on suit les consignes de sécurité, on a
l’encadrement suivant : 30 ≤ HM ≤ 45.
Dans les triangles MAB et MHP :
● A ∈ (MH)
● B ∈ (MP)
● (AB) // (HP)
(car (AB) ⊥ (HM) et (HP) ⊥ (HM))
D’après la propriété de Thalès :
D’où :
On applique la propriété de Thalès.
MA MB AB
=
=
MH MP HP
MH − 3
x
=
MH
0,6
On calcule x pour la valeur minimale de MH, puis pour la valeur
maximale de MH.
Avec MH = 30 :
30 − 3
x
=
d’où :
30
0,6
27
x = 0,6 ×
= 0,54
30
Avec MH = 45 :
45 − 3
x
=
d’où :
45
0,6
42
x = 0,6 ×
= 0,56
45
27
x
=
30 0,6
42
x
=
45 0,6
D’où : 0,54 ≤ x ≤ 0,56
La hauteur AB doit être comprise entre 54 cm et
56 cm.
EXERCICE 18
On appelle :
● S le sommet commun des deux cônes
● A’ un point du cercle de base du grand cône C’
● A le point du cercle de base du petit cône C tel que
A soit un point du segment [SA’].
Pour calculer le volume du pot de glace, on calcule le
volume du grand cône C’ moins le volume du petit
cône C.
Pour cela, il suffit de connaître les hauteurs SO’ et SO
des cônes.
86 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
On admet ici que x est compris entre les deux valeurs trouvées.
87
Séquence 3
Calcul de SO et SO’
Comme les deux bases sont sur des plans parallèles et
que S, A’ et A sont alignés, on a : (O’A’) // (OA)
Dans les triangles SOA et SO’A’ :
● O ∈ (SO’)
● A ∈ (SA’)
● (O’A’) // (OA)
On applique la propriété de Thalès pour calculer SO.
D’après la propriété de Thalès :
SO SA
OA
=
=
SO ' SA ' O 'A '
D’où :
SO
3
=
SO + 6 12
Soit x = SO.
On a l’égalité des produits en croix, soit :
12 x = 3( x + 6)
12 x = 3 x + 18
12 x − 3 x = 18
9 x = 18
D’où : x = 2 cm.
On a donc : SO = 2 cm.
SO’ = SO + 6 soit : SO’ = 8 cm.
Calcul du volume des cônes
V est le volume du cône C en cm3.
V ’est le volume du cône C’ en cm3.
V
V
V
π × 32 × 2
soit :
3
π ×122 × 8
’=
soit :
3
=
’–
V
V
= 6 π cm3
2
V =
V
’ = 384 π cm3
π ×r ×h
où r le rayon du disque de base, h la hauteur du
3
cône et V son volume.
= 384 π – 6 π = 378 π
Le volume du pot de glace est 378 π cm3.
1 cm3 = 0,001 dm3 = 0,001 L = 0,1 cL
Le volume du pot de glace est donc 37,8 π cL soit
environ 119 cL.
Cned, Mathématiques 3e
–
87
© Cned – Académie en ligne
88Séquence 3
Séance 8
EXERCICE 19
1)
1)
J’ai construit la figure dynamique. Lorsque je déplace
les sommets du parallélogramme ABCD, les côtés
[MN] et [PQ] semblent parallèles.
La conjecture est bonne.
MNPQ semble donc être un trapèze.
Cependant, même si tu n’as pas réussi à la démontrer, il faut que
Je n’arrive pas à le démontrer.
tu écrives tes recherches.
2)
a)
ABCD est un parallélogramme donc (AD) // (BC).
M ∈ (AD), P ∈ (BC)
D’où : (AM) // (PC).
2)
a)
Dans les triangles RAM et RCP :
● C ∈ (AR)
● P ∈ (RM)
● (AM) // (PC)
D’après la propriété de Thalès :
RA RM AM
=
=
RC RP
CP
D’où :
RA RM
=
RC RP
En raisonnant de façon analogue, on prouverait que :
● (AN) // (QC)
RA RN
(en appliquant la propriété de Thalès
=
●
RC RQ
dans les triangles RAN et RCQ )
b)
b)
Dans les triangles RMN et RPQ :
● R ∈ [MP]
● R ∈ [NQ]
RM RN
●
=
d’après la question précédente.
RP RQ
D’après la réciproque de la propriété de Thalès, les
droites (NM) et (QP) sont parallèles.
D’où MNPQ est un trapèze.
88 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
89
Séquence 3
EXERCICE 20
1) 2)
1) 2)
3)
a)
A’ est le milieu de [BC] donc [AA’] est la médiane
issue de A du triangle ABC.
b)
Dans les triangles AJM et ABC :
● J ∈ [AB]
● M ∈ [AC]
●
AJ 2
=
AB 3
D’où :
●
AM 2
=
AC 3
AJ AM
=
.
AB AC
D’après la réciproque de la propriété de Thalès, les
droites (JM) et (BC) sont parallèles.
3)
a)
On rappelle que la médiane du triangle ABC issue de A est le
segment d’extrémités A et le milieu du côté opposé à A.
b)
On cherche à appliquer la réciproque de la propriété de Thalès.
Comme le segment [AB] est partagé en trois segments de même
longueur [AI], [IJ] et [JB], on a :
1
1
1
2
D’où : AJ = AB + AB = AB
AI = IJ = JB = AB
3
3
3
3
2
AJ 2
Comme : AJ = AB on a :
=
3
AB 3
AM 2
De même on a :
= .
AC 3
c)
G ∈ [JM], A’ ∈ [BC] et (JM) // (BC) donc :
(JG) // (BA’).
c)
d)
Dans les triangles ABA’ et AJG :
● J ∈ (AB) ● G ∈ (AA’) ● (JG) // (BA’)
d)
On applique la propriété de Thalès.
D’après la propriété de Thalès, on a :
AJ AG
JG
=
=
AB AA ' BA '
2 AG
JG
=
=
3 AA ' BA '
2
AG 2
D’où :
=
AG = × AA ' .
AA ' 3
3
e) G est aux deux tiers de la médiane [AA’] du
triangle ABC à partir de A. G est donc le centre de
gravité de ce triangle.
e) On applique la propriété rappelée dans l’aide de Thomas :
2
G est sur la médiane [AA’] et : AG = AA ' .
3
G est donc le centre de gravité du triangle ABC.
Cned, Mathématiques 3e
–
89
© Cned – Académie en ligne
90Séquence 3
4)
a)
Dans les triangle ABA’ et AJG :
● J ∈ (AB)
● G ∈ (AA’)
● (JG) // (BA’)
4)
a)
D’après la propriété de Thalès :
AJ AG
JG
=
=
AB AA ' BA '
D’où :
2 JG
=
3 BA '
Dans les triangles AA’C et AGM :
● G ∈ (AA’)
● M ∈ (AC)
● (GM) // (A’C)
D’après la propriété de Thalès :
AG AM GM
=
=
AA ' AC A 'C
D’où :
2 GM
=
3 A 'C
On a donc :
JG GM
=
BA ' A ' C
A’ est le milieu de [BC] donc : BA’ = A’C .
JG
GM
=
donc : JG = GM.
D’où :
A 'C A 'C
b)
JG = GM et G ∈ [JM] donc G est le milieu de [JM].
5)
G est le centre de gravité du triangle ABC, donc :
BG 2
● G est un point de [BB’] et :
= .
BB' 3
CG 2
● G est un point de [CC’] et :
= .
CG ' 3
5)
On sait que : G ∈ (JM). Pou prouver que (IL), (KN) et (JM) sont
concourantes en G, il reste donc à prouver que : G ∈ (IL) et :
G ∈ (KN).
J’essaie dans un premier temps de prouver que : G ∈ (IL) en
utilisant l’aide.
Dans les triangles BCB’ et BLG :
● L ∈ [BC]
● G ∈ [BB’]
90 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
91
Séquence 3
●
BL 2
=
BC 3
D’où :
●
BG 2
=
BB' 3
BL BG
=
.
BC BB'
D’après la réciproque de la propriété de Thalès, les
droites (LG) et (CB’) sont parallèles.
Dans le triangle BAB’ et BIG :
● I ∈ [BA]
● G ∈ [BB’]
●
BI 2
=
BA 3
D’où :
●
BG 2
=
BB' 3
BI BG
=
.
BA BB'
D’après la réciproque de la propriété de Thalès, les
droites (IG) et (AB’) sont parallèles.
On a :
B’ est sur [AC] donc :
(LG) // (CB’) revient à dire (LG) // (AC)
(IG) // (AB’) revient à dire (IG) // (AC)
Or G est un point de (LG) et de (IG), donc les droites
(IG) et (LG) sont confondues.
G est donc un point de (IL).
On montre de la même manière que G est un point de
(KN).
Les droites (IL), (KN) et (JM) sont donc concourantes
en G.
Cned, Mathématiques 3e
–
91
© Cned – Académie en ligne
92Séquence 3
Séance 9
EXERCICE 21
1)
triangle AM1N1
On ne sait pas si les droites (M1N1) et (BC) sont
parallèles. On ne sait donc pas si on peut appliquer la
propriété de Thalès.
On ne peut donc pas répondre.
1)
● triangle AM1N1
Cette question est « un piège » : on ne peut pas savoir si les
triangles AM1N1 est une réduction de ABC car on ne sait pas si
les droites (M1N1) et (BC) sont parallèles.
● triangle AM2N2
triangle AM2N2
On a :
● A ∈ (N2C)
● A ∈ (M2B)
● (M2N2) // (BC)
D’après la propriété de Thalès, les longueurs des côtés La propriété de Thalès nous permet de démontrer que le triangle
correspondants des triangles ABC sont
AM2N2 est soit un agrandissement, soit une réduction du triangle
ABC.
proportionnelles.
Comme : AM2 < AB, le triangle AM2N2 est une
réduction du triangle ABC.
Comme : AM2 < AB, le triangle AM2N2 n’est pas un
agrandissement du triangle ABC, mais une réduction.
triangle A3M3N3
● triangle AM3N3
=M
Comme BAC
,
imaginons
que
le
sommet
A
N
3 3 3
A du triangle ABC soit confondu avec A3.
Dans les triangles A3BC et A3M3N3 :
● M3 ∈ [A3B]
● N3 ∈ [A3C]
●
A 3 M 3 2,8
=
A3B
3
●
On essaie dans un premier temps de voir si les droites (M3N3) et
(BC) sont parallèles.
A 3 N 3 4, 2
=
A 3C 4,5
Je compare les produits en croix :
3 × 4,2 = 12,6
2,8 × 4,5 = 12,6
A3M 3 A3 N3
Ils sont égaux donc :
=
A3B
A 3C
D’après la réciproque de la propriété de Thalès, on a :
D’après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites
donc : (M3N3) // (BC).
(M3N3) et (BC) sont parallèles.
92 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
93
Séquence 3
On peut affirmer que (M3N3) et (BC) sont parallèles car on l’a
Dans les triangles A3BC et A3M3N3 :
démontré précédemment.
● M3 ∈ [A3B]
● N3 ∈ [A3C]
● (M3N3) // (BC)
D’après la propriété de Thalès, les longueurs des côtés
correspondants des triangles A3BC et A3M3N3 sont
proportionnelles.
Comme : A3M3 < A3B, le triangle A3M3N3 est une
réduction du triangle ABC.
triangle A4M4N4
n’est égal à aucun angle du triangle A4M4N4
BAC
donc A4M4N4 n’est pas une réduction de ABC.
2)
a)
Dans les triangles SOA et SO’B :
● O’ ∈ (SO)
● B ∈ (SA)
● (O’B) // (OA)
D’après la propriété de Thalès, on a :
SO ' SB O 'B
=
=
SO SA OA
D’où :
8 r'
=
20 9
soit r' =
8×9
20
La propriété de Thalès nous permet de démontrer que le triangle
A3M3N3 est soit un agrandissement, soit une réduction du triangle
ABC.
● triangle A4M4N4
Si un triangle n’a pas les mêmes angles qu’un autre triangle, il ne
peut pas être un agrandissement ou une réduction de celui-ci.
2)
a)
Le raisonnement est le même que celui détaillé dans le corrigé de
l’exercice 18 de cette séquence.
r’ = 3,6 cm
b)
k=
SO'
SO
k=
8
4
=
20 10
Pour calculer le coefficient de réduction, on divise une dimension
du petit cône par la dimension correspondante du grand cône.
Dans notre cas, on calcule par exemple le quotient de la hauteur
du petit cône par celle du grand cône.
k = 0,4
c)
A = π × r 2 = π × 92
A’ = π × r’ 2 = π × 3,62
A = 81π cm2
A’ = 12,96π cm2
12 ,96π 12,96
=
= 0,16
81π
81
A'
0,16 = 0,42 d’où :
= 0 , 42 soit
A'
A
=
A
A'
A
= k2
On remarque que le quotient de la plus petite aire par la plus
grande est égal au carré du coefficient de réduction.
d)
2
V = π × 9 × 20
V = 540 π cm3
3
2
V' = π × 3,6 × 8
V ’ = 34,56 π cm3
3
V' = 34,56π = 0,064
V 540π
V'
V' 3
= 0 , 43 soit
=k
0,064 = 0,43 d’où :
V
V
2
V =
r × h×π
où r le rayon du disque de base, h la hauteur du
3
cône et V son volume.
Le quotient du plus petit volume par le plus grand est égal au
cube du coefficient de réduction.
Cned, Mathématiques 3e
–
93
© Cned – Académie en ligne
94Séquence 3
JE M’ÉVALUE
1) et 2)
1)
la propriété de Thalès
la réciproque de la propriété de Thalès
La propriété de Thalès permet de calculer une longueur (on le sait
depuis la classe de 4e) ou de démontrer que deux droites ne sont
pas parallèles (on l’a vu dans l’exercice 8).
2)
La réciproque de Thalès permet de démontrer que deux droites
sont parallèles.
de démontrer que deux droites sont parallèles
de démontrer que des droites ne sont pas
parallèles
de calculer des longueurs
3)
3)
AM = 4 cm et AN = 5,3 cm
16
cm
AM = 6 cm et AN =
3
16
AM = 4 cm et AN =
cm
3
AM = 6 cm et AN = 5,3 cm
Attention, on donne le résultat de AN sous forme fractionnaire car
le quotient de 16 par 3 n’est pas un nombre décimal.
On a :
● M ∈ (AB)
● N ∈ (AC) ● (MN) // (BC)
D’après la propriété de Thalès :
AM AN MN
=
=
AB AC BC
Et :
4)
oui
non
5)
12
35
cm et BC =
cm
7
3
28
15
AE =
cm et BC =
cm
3
7
AE =
AM
5
=
6
7,5
AN
5
=
8
7,5
D’où :
5
=4
7,5
5
40 80 16
AN = 8 ×
=
=
=
7,5 7,5 15 3
AM = 6 ×
4)
On a :
● N ∈ [AC]
● M ∈ [AB]
AM 4 2
AN
5
10 2
●
●
= =
=
=
=
AB 6 3
AC 7,5 15 3
AM AN
=
D’où :
AB AC
D’après la réciproque de la propriété de Thalès, les droites (MN)
et (BC) sont parallèles.
5)
On a :
● A ∈ (DB)
● A ∈ (EC)
D’après la propriété de Thalès :
AE AD ED
=
=
AC AB CB
AE 3
3 12
AE = 4 × =
=
4
7
7 7
3
5
Et :
=
d’où : 3 × BC = 5 × 7
7 BC
● (DE) // (BC)
D’où :
AE = 1,7 cm et BC = 11,7 cm
AE = 9,3 cm et BC = 2,1 cm
94 – Cned, Mathématiques 3e
© Cned – Académie en ligne
BC =
35
3
95
Séquence 3
6)
On a :
● A ∈ [CD]
● A ∈ [EB]
AE 3
AD 6
●
●
=
=
AB 7
AC 4
7 × 6 = 42
3 × 4 = 12
AE AD
D’où :
≠
AB AC
D’après la propriété de Thalès, les droites (DE) et (BC) ne sont
pas parallèles.
6)
oui
non
7)
7)
TV ≈ 2,6 cm
TV = 5 cm
TV ≈ 3,8 cm
TV ≈ 1,4 cm
On applique la propriété de Pythagore dans le triangle TVR
rectangle en R.
On a : TV2 = VR2 + RT2
D’où : TV2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25
On a donc : TV = 5 cm.
8)
La droite (US) est parallèle à (VR) car (US) et (VR) sont
perpendiculaires à (RT).
8)
US = 15 cm
US = 3 cm
US = 0,6 cm
US = 2 cm
9)
0,0625
0,5
0,125
1
2
Dans les triangles TRV et TSU :
● U ∈ (VT) ● S ∈ (TR) ● (VR) // (US)
D’après la propriété de Thalès, on a :
TU TS US
=
=
TV TR VR
1 US
3
D’où : =
US =
soit US = 0,6 cm.
5
3
5
9)
Le rapport des deux aires est 0,25.
Le coefficient de réduction est le nombre positif dont le carré est
0,25.
Ce nombre est 0,5.
10)
10)
4,5 cm3
50 cm3
0,405 cm3
555,6 cm3
Le volume de P2 en cm3 est 15 × 0,33 soit 0,405.
Cned, Mathématiques 3e
–
95
© Cned – Académie en ligne