DÉRIVATION DE FONCTION I. NOMBRE DÉRIVÉ ET TANGENTE Idée générale : Soit f une fonction définie sur un intervalle I. Dans l’optique d’étudier les variations de cette fonction nous allons chercher à approximer localement la courbe de f par une droite, c'est-à-dire à approximer la fonction f par une fonction affine et ce en chaque point de la courbe. Définition : Soit a un nombre réel appartenant à I. Soit une fonction f définie en a et au voisinage de a. f(a + h)− f(a) La fonction f est dérivable en a si et seulement si il existe un nombre réel L tel que : lim =L h →0 h Définitions : • Le nombre • Si lim h →0 f ( a + h) − f ( a ) est appelé le taux d’accroissement de f entre a et a + h. h f(a + h)− f(a) n’est pas un nombre réel alors on dit que f n’est pas dérivable en a. h Définition : Dans les conditions du théorème précédent, on appelle L le nombre dérivé de f en a. On note : f ′( a ) = L Aspect géométrique de la dérivée : tangente à la courbe en un point (exemple) y On a tracé ci-contre la courbe représentative de la fonction 2 définie sur par : f(x) = x – x La droite T est la tangente à en 1. M1 et M1+h sont les point de d’abscisses 1 et 1 + h. On considère la corde (M1M1+h), en pointillés sur le graphique. 1 1. Déterminer graphiquement le coefficient directeur de T : M1+h T 2. Déterminer en fonction de h : • Les coordonnées de M1+h : 0 • M1 1 x 1+h Le coefficient directeur de (M1M1+h) : Lorsque h tend vers 0 : • le point M1+h « se déplace » vers le point M1. • La droite (M1M1+h) se déplace de la même manière pour atteindre comme position limite la tangente T. 3. Calculez la limite de ce coefficient directeur lorsque h tend vers 0 : Que représente-t-il ? 4. Quel est le signe de f '(1) ? Que peut on en déduire, localement en 1, pour la fonction f ? Théorème : Soit a un nombre réel. Soit une fonction f dérivable en a de représentation graphique . Le coefficient directeur de la tangente à au point Ma d’abscisse a est égal au nombre dérivé de f en a. Théorème : L’équation de la tangente à au point Ma d’abscisse a est : y = f ′(a ) (x – a) + f(a) Exemple : Donner l’équation de la tangente T dans l’exemple ci-dessus. -1- DMartin-LAH II. FONCTIONS DÉRIVÉES Définition : Soit une fonction f dont l’ensemble de définition est un intervalle ou une réunion d’intervalles. Soit 1 l’ensemble de tous les réels x de tels que f soit dérivable en x. ( 1 ⊂ ) On dit alors que f est dérivable sur 1. On appelle fonction dérivée de f la fonction f ′ qui à tout réel x de 1 associe le nombre dérivé de f en x. On note : f ′ : 1 → x a f ′(x) Exemple : Soit la fonction f définie sur par : f(x) = x2. Soit x ∈ quelconque et soit h non nul, alors : f(x + h) – f(x) = h Lorsque h tend vers 0 : lim h →0 = Quelle que soit la valeur de x dans IR ce calcul est valable et la limite est finie. Nous pouvons donc affirmer que la fonction carré : f(x) = x2 est dérivable sur et que sa fonction dérivée est la → fonction : f′ : x a f ′(x) = Exercice : Déterminer l’ensemble de dérivation et les fonctions dérivées des fonctions suivantes : f définie sur par : f(x) = k f définie sur par : f(x) = x f définie sur R* par : f(x) = Avec k ∈ R. Théorème : Dérivées des fonctions usuelles Le tableau ci-dessous donne les dérivées de certaines fonctions usuelles. Les résultats non démontrés précédemment seront admis ou traités en exercice. Ensemble de * [0 ; +∞[ définition 1 mx+p ax2+bx+c Fonction f(x) k x x2 x3 xn n ∈ * x x m,p ∈ R a,b,c ∈ R Fonction 3x2 nxn – 1 m 2ax + b Dérivée f ′(x) Ensemble de dérivation DMartin-LAH -2- Propriétés : Opérations sur les fonctions dérivables Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, soit k un nombre réel et soit n ∈ IN. k Fonction Dérivée Ensemble de dérivation u+v u’ + v’ I [ x2 – k I [ 5x2]’ = 5×[ x2 ]’ = 5×2x = 10x I [x x]’ = [ x ]’ x + x [ x ]’ = x + u avec k ∈ u v 1 v u’ u’ v + u − v’ v′ v2 Exemple 1 1 1 ]’ = [ x2] ’ – [ ]’ = 2x + 2 x x x x 2 x = 3 x 2 I \ {v(x) = 0} [ 1 2x 2x 2 ]’= – 2 2 = – 4 = – 3 x2 (x ) x x [ x+1 1× (2x – 1) – 2× (x + 1) 3 ]’ = =– 2x – 1 (2x – 1)2 (2x – 1)2 u v u ′ × v − v′ × u v2 I \ {v(x) = 0} u2 2u’u I [(3x + 1)2 ]’ = 2×3×(3x + 1) = 18x + 6 Exercices : 1. Pour chaque fonction donnée en exemple dans le tableau ci-dessus, déterminer l’ensemble sur lequel elle est dérivable 2. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer son ensemble de dérivabilité puis calculer sa fonction dérivée. 3 5 3 b(x) = 5x – c(x) = (x2 – 3)(3 – 2x2) (sans développer) a(x) = x4 – x3 – 4x + 3 2 6 x 7t – 3 –4 d(t) = e(x) = 2 1 – 9t 7x + 1 III. DÉRIVÉE ET SENS DE VARIATION D’UNE FONCTION 1. Signe de la dérivée et sens de variation Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle I. Si, pour tout x ∈ I, f '(x) = 0, alors f est constante sur I. Si, pour tout x ∈ I, f '(x) 0, alors f est décroissante sur I. Si, pour tout x ∈ I, f '(x) 0 , alors f est croissante sur I. Exercice : Etudier les variations d’une fonction Soit la fonction f définie sur R par f(x) = x3 – 3x2 –24x + 12 1. Etudier les variations de f et dresser son tableau de variation. 2. Dans repère orthogonal aux unités judicieusement choisies, représenter graphiquement la fonction f. 2. Extremum d'une fonction Théorème : Soit une fonction f définie et dérivable sur un intervalle ouvert I. Si la dérivée f ' de f s'annule et change de signe en un réel c de I alors f admet un extremum en x = c. Exercice : La fonction f définie sur R par f(x) = –x3 + 3x2 + 9x – 4 admet-elle des extrema sur R ? -3- DMartin-LAH