JMA 2002-02-15 Considérations balistiques

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CONSID´ ERATIONS BALISTIQUES
Par Jean-Marie Arnaudi`es
Expos´e du probl`eme
La ligne moyenne tension de 63 kv dite “ Des Demoiselles ” a ´et´e sectionn´ee net le
21/9/2001 vers l’heure locale 10 h 18 mn 7 secondes, `a environ deux cents m`etresaunord
du hangar 221. Il s’agit du tout premier des ´ev´enements ´electriques recens´es par EDF
ayant suivi le lˆachage du transfo “ d´epart Ramier ” `a 10 h 17 mn 57 s 61/100. Entre ce
dernier ´ev´enement et la cassure du cable des Demoiselles, pendant plus de 8 secondes,
EDF n’a enregistr´e strictement aucun incident. En revanche, la cascade d’´ev´enements
ayant d´emarr´e`a la ligne “ Demoiselles ” s’est poursuivie jusqu’`a 18 mn 30 secondes
(autres cables sectionn´es, r´eenclenchements, contacts de phases, etc). Certains objets
m´etalliques (morceaux de poutrelles) de 50 kgs en provenance des structures du hangar
221 ont ´et´e retrouv´es jsuqu’`a 700 m`etres du crat`ere.
Ceux qui soutiennent encore que le hangar 221 aurait explos´e ant´erieurement `a10h
17 mn 57 s 61/100 expliquent ce trou de plus de huit secondes de la mani`ere suivante :
un projectile envoy´e par l’explosion du hangar 221 aurait mis une dizaine de secondes `a
voler dans les airs et retomber sur ce cable, le tranchant net.
Nous allons examiner les contraintes d´eduites de certaines hypoth`eses sur le section-
nement du cable Demoiselles.
Les ´equations fondamentales
Prenons pour plan de la figure un plan vertical rapport´e`a deux axes orthonorm´es
(O;~ı,~) d’origine Ole hangar 221, d’axe des abscisses horizontal et d’axe des ordonn´ees
vertical. Soit un projectile Menvoy´e par l’explosion du hangar et qui parvient `aun
point Hde coordonn´ees (L, h), avec L>0eth≥0. ` A l’instant t0= 0 , le projectile
Mest en O. Il est soumis `a l’action de sa vitesse initiale −→ V0et de l’acc´el´erationdela
pesanteur −→ G=−g~ ,avec g>0 . On note −→ V(t) sa vitesse `a l’instant t. On a donc :
(aaa 1) −→ V(t)=−→ V0−tg~ ;M(t)=O+t
−→
V0−t
2
2g~
d’o`u les coordonn´ees xMet yMde M:
(aab 2) ½xM(t)=tv0cosα;x0
M(t)=v
0cosα
yM(t)=tv0sinα−gt2
2;y0
M(t)=v
0sinα−gt
On posera −→ V0=~ıv
0cosα+~v 0sinα,avec v 0>0et0<α< π
2. Les unit´es de
temps et de longueur seront la seconde et le m`etre. On prendra g=9,81 .
L’´equation cart´esienne de la parabole trajectoire de Mest obtenue en ´eliminant le
temps dans (2), ce qui donne :
(aai 3) y=xtgα−x2g
2v2
0cos2α=xtgα−x2g
2v2
0
(1 + tg2α)
L’´equation qui d´etermine les temps o`u Matteint la hauteur hest yM(t)=h,
c’est-`a-dire :
(aac 4) t2−2v0sinα
gt+2h g=0

2§0
cette ´equation admet des racines ssi son discriminant est ≥0 , c’est-`a-dire ssi :
(aad 5) v2
0sin2α≥2hg
Si la condition (5) est satisfaite, l’´equation (4) admet deux racines t1et t2telles que
0≤r1≤r2,donn´ees par :
(aae 6) 
t1=v0sin α
gµ1−³1−2hg
v2
0sin2α´1
2¶
t2=v0sin α
gµ1+³1−2hg
v2
0sin2α´1
2¶
Si h= 0 , alors t1= 0 , seule la racine t2est significative et vaut alors :
(aaf 7) τ0=2v0sinα
g
Pour chaque racine tide (4), la distance `al’´epicentre en projection horizontale de la
position correspondante Mide Mest donn´ee par :
(aag 8) Di=tiv0cosα
Vitesses initiales
Soit d’abord un objet retrouv´e`a la distance D>0 sur le sol. Il est donc retomb´e
sur le sol au temps τ0, d’o`u
(aah 9) D=τ0v0cosα=v2
0sin(2α)
g
Comme 0 <sin(2α)≤1 , on en d´eduit v2
0=gD
sin(2α)≥gD .SiD=700,onend´eduit
que v0≥83 . Mais cette estimation est trop faible, car la valeur minimale 83 ne peut
ˆetre atteinte qu’`a tir tendu horizontal. Vu les bˆatiments interm´ediaires et les obstacles,
cette condition est irr´ealiste. Les bˆatiments environnant le hangar 221 avaient plus de
douze m`etres de haut en moyenne et les plus proches n’´etaient qu’`a moins de quarante
m`etres du hangar, donc un tir ayant port´e`a 700 m`etres devait forc´ement v´erifier la
condition tgα≥10
40 =1 4, d’o`u sin(2α)= 2tg α 1+tg2α≤8 17 <1 2. La bonne estimation est
donc : v2
0≥2gD . Donc pour D= 700 , on obtient v0≥117 . D’o`u la conclusion 1 :
Aux objets ayant ´et´e retrouv´es `a700mducrat`ere, l’explosion du hangar
avait imprim´e une vitesse initiale au moins ´egale `a 117 m/s, soit environ 420
km/h.
Maintenant, supposons que h>0 . Si le tir jusqu’`a Ha´et´e tendu, c’est la racine t1
qu’il faut prendre, et si le tir a ´et´e non tendu, c’est la racine t2.
Supposons un tir tendu jusqu’`a H,et L= 200 (cas du cable des Demoiselles si`ege
du premier ´ev´enement ´electrique de la cascade `a partir de 18 mn 7 s). On prendra h=25
(hauteur du cable). L’apog´ee (virtuel !) de Maurait ´et´e atteint `a l’intant a=v0sin α
g,
d’o`u v2
0sin2α≥2Lg . Mais d’apr`es (3), on a :
h=Ltgα−L2g
2v2
0
(1 + tg2α)
En tirant v2
0de cette derni`ere ´equation et en ´ecrivant que v2 0≥2Lg
sin 2α, on arrive
facilement `a l’encadrement :
(aaj 10) h
L≤tgα≤2h L
Avec les donn´ees num´eriques ci-dessus, cela nous donne : tgα≤50
200 =1 4, d’o`u
sin2α≤8
17 <1 2, d’o`u v2
0>4Lg , d’o`u v0au moins ´egal `a 90 m/s. De plus, cosαest
au moins ´egal `a 0,968, donc la vitesse en projection horizontale est v0cos α≥87 . Donc
le temps mis par le projectile pour atteindre sa cible Hest au plus ´egal `a 200 : 87 ∼
=2,3
secondes. D’o`u la conclusion 2 :

3
Si l’objet qui a tranch´e la ligne des Demoiselles y est arriv´e`a tir tendu,
n´ecessairement sa vitesse initiale a ´et´e au moins ´egale `a90m/s,etilest
parvenu `a sa cible en un temps de l’ordre de 2,3 secondes.
Supposons maintenant que l’objet qui a atteint Hn’y soit pas arriv´e`a tir tendu.
Dans ce cas, c’est la racine t2de (4) qu’il faut consid´erer, et le projectile arrive `a H
apr`es son apog´ee. On a donc v2
0sin2α≤2Lg .Parlamˆeme m´ethode que pour (10),
on obtient cette fois-ci tg α> 2h
L. C’est le seul cas o`u le temps mis par le projectile
pour atteindre Haurait pu avoisiner dix secondes. Supposons donc que ce temps t2
soit r´eellement dix secondes et examinons les contraintes que cette hypoth`ese entraˆıne.
D’apr`es (4), on a :
v0sinα=g
2t2µt2
2+2h
g¶∼
=51
D’autre part, L=t2v0cos αdonne v0cos α=L
t2= 20 , d’o`u:
v
0=¡v
2
0cos2α+v2 0sin2α¢1
2∼
=54,781 m/s
d’o`u l’on d´eduit :
sinα∼
=51
54,781 donc α∼
=68,75 degr´es d’angle
Nousend´eduisons la hauteur Ade l’apog´ee, atteinte au temps a=v0sin α
g∼
=5,2
secondes :
A=y(a)=av0sinα−ga2
2∼
=133 m
Enfin la vitesse du projectile quand il atteint sa cible Hest toujours v0en valeur
absolue (soit entre 54 m/s et 55 m/s), et l’angle βsous lequel il vient trancher le cable
dans le sens sud-nord est donn´epar tgβ=y0
M(t2)
x0
M(t2)=v0sin α−gt2
v0cos α, soit tgβ∼
=2,355 ,
ce qui donne β∼
=1,17 radians, ou encore β∼ =67 degr´es d’angle. Conclusion 3 :
Si le projectile qui a tranch´e le cable Demoiselles n’a pas eu un tir rasant
et a mis dix secondes `a atteindre sa cible, sa vitesse initiale a ´et´e de l’ordre
de 54,8 m/s, sa vitesse en projection horizontale n’a ´et´e que de 20 m/s, son
angle de tir de d´epart par rapport `a l’horizontale a ´et´ede67degr´es environ,
il s’est ´elev´e 5,2 secondes apr`es l’explosion du hangar `a133mdehauteur,
et il est retomb´e sur le fil avec un angle de 67 degr´es environ par rapport `a
l’horizontale
Si l’on tient compte de la r´esistance de l’air, les nombres ci-dessus doivent ˆetre
l´eg`erement r´evis´es dans le sens suivant : la vitesse initiale communiqu´ee `a l’objet retrouv´e
`a700mdoitˆetre augment´ee un peu. Dans le cas du tir tendu sur H, les nombres ne
sont modifi´es que d’infiniments petits du second ordre. Dans le cas du tir non tendu sur
H, la vitesse initiale de l’objet doit ˆetre l´eg`erement augment´ee mais en contrepartie sa
vitesse au moment o`u il atteint sa cible doit ˆetre sensiblement diminu´ee, les angles de tir
changeant peu.
Conclusion g´en´erale
Nous avons vu que l’objet retrouv´e`a700mducrat`ere a eu une vitesse initiale
de l’ordre de 120 m/s. D’autre part nous avons vu que l’objet qui a tranch´e le cable
Demoiselles a eu une vitesse initiale de l’ordre de 90 m/s s’il a atteint la cible `a tir
tendu et de l’ordre de 54,78 m/s sinon. Il est logique de penser que les vitesses initiales
communiqu´ees par l’explosion aux objets qui sont all´es au-del`a de cent m`etres n’ont pas
eu des vitesses initiales tr`es dispers´ees `a poids voisins.

4§0
L’objet qui a atteint le cable en Hn’a pu ˆetre bien lourd, puisque s’il a voyag´e`a tir
tendu, il a eu une vitesse initiale de 90 m/s c’est-`a-dire assez voisine de celle de l’objet
retrouv´e`a 700 m. Et s’il a voyag´e`a tir non tendu, il s’est ´elev´e`a133mdehauteur.
Donc s’il n’a pas ´et´e bien lourd, sa vitesse initiale a forc´ement ´et´edumˆeme ordre de
grandeur que celle de l’objet retrouv´e`a700mducrat`ere.
L’´energie cin´etique d’un corps en mouvement croˆıt en proprotion directe du carr´ede
sa vitesse. Donc `a poids ´egal, l’objet qui aurait atteint H`a tir tendu y aurait dissip´e une
´energie cin´etique presque quatre fois plus ´elev´ee que s’il y ´etait arriv´e`a tir non tendu.
Le calcul des probabilit´es le plus rudimentaire nous montre que la plus
forte probabilit´evadetr`es loin `a l’hypoth`ese d’un objet qui a tranch´ele
cable en y ´etant arriv´e`a tir tendu, c’est-`a-dire en 2,3 secondes.
Une mani`ere simple de v´erifier cela consiste `a lancer un objet m´etallique d’une cin-
quantaine de kgs, bout de tˆole ou de poutrelle (au besoin en r´ep´etant l’exp´erience un
grand nombre de fois pour obtenir une excellente pr´esomption en termes de probabilit´es)
avec un angle de tir de 68,75 degr´es et une vitesse initiale de 54,8 m/s, pour qu’il re-
tombe sur les cables EDF de la mˆeme ligne, `a peu pr`es au mˆeme endroit, ´etant entendu
´evidemment qu’on aura pr´ealablement coup´e le courant dans ces cables. Les cables de-
vront ˆetre exactement du mˆeme type que ceux du 21/9/2001. On verra bien si cela suffit
`a trancher net ces cables.