Cours

CHAPITRE 2
Conditionnement, indépendance
Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée.
Exploiter la lecture d’un arbre pondéré pour déterminer des probabilités.
Calculer la probabilité d’un événement connaissant ses probabilités conditionnelles relatives à
une partition de l’univers.
Démontrer que si deux événements et sont indépendants, alors il en est de même pour et
.
Capacités au programme :
I) Introduction
De nombreux modèles probabilistes sourent d’une diculté théorique de taille : pour pouvoir les
appliquer à la situation étudiée, on est contraint de supposer que le réalisation d’un évènement extérieur
ne vient pas modier les résultats de l’expérience aléatoire menée, ou encore que la réalisation d’un
évènement n’inue pas sur la réalisation d’un autre évènement. Ceci est la plupart du temps faux.
Prenons un exemple très simple. Au gala de charité de la ville sont invités de nombreuses personnalités.
Elles arrivent généralement en voiture de luxe (mais pas toujours pour rester incognito). Si l’on sait
qu’une voiture de luxe se présente à l’entrée, on peut se douter qu’une célébrité risque de sortir, la
réalisation de l’évènement « une voiture de luxe arrive » inue sur la réalisation de l’évènement « une
célébrité sort de la voiture ».
Pour se xer les idées, supposons que  personnes ont été invitées au gala parmi lesquelles 
personnalités. Chacun de ces individus vient avec sa propre voiture (il n’y pas de covoiturage).  %
des personnalités viennent avec une voiture de luxe et le nombre total de luxe parmi les invités est
. On note l’évènement « une célébrité sort de la voiture » et l’évènement « la personne arrive
en voiture de luxe ».
est l’ensemble des  issues de l’expérience qui consiste à observer la personne et la voiture qui
arrivent. Ces issues contiennent donc deux informations : le nom de la personne et sa voiture. 
contient  éléments puisqu’il y a  personnalités donc ℙ  150
200 3 4. Il y a  voitures de luxe
parmi les voitures des invités et ℙ  175
200 7 8.
Supposons qu’une voiture de luxe arrive. Quelle est alors la probabilité de voir sortir une personnalité ?
Commençons alors par déterminer le nombre de célébrités ayant une voiture de luxe. Ceci correspond
au nombre d’issues de .Ilyena % de  soit  et donc ℙ    144
200 18 25  .
Mais la probabilité pour qu’une célébrité sorte de la voiture sachant qu’elle est de luxe n’est pas 144
200 ,
en eet, si l’on sait que la voiture est de luxe, le nombre d’issues considérées est maintenant de . Il
faut donc associer à l’évènement une nouvelle mesure de probabilité et celle-ci doit dépendre de
la réalisation de . On la note ℙB et on la xe à 144
175 (donc environ ) c’est à dire à la proportion
de célébrités parmi les possesseurs de voitures de luxe (et non plus parmi l’ensemble des invités). Elle

20 Chapitre 2 : Conditionnement, indépendance
est donc nécessairement plus grande car on a réduit l’ensemble des issues considérées à celles qui sont
dans . Elle peut être reliée à la probabilité ℙpar la formule ℙB  ℙ(A∩B)
ℙ(B) . En eet,
ℙ  
ℙ 
144
200
175
200
 ℙB
II) Conditionnement
A) Première dénition
Dans toute la suite, on notera l’univers dans lequel on se situe, ℱl’ensemble des évènements et ℙ
la probabilité associée.
Soit   ℱun évènement de probabilité non nulle. La probabilité conditionnellement à est la
fonction notée ℙBqui à tout évènement de ℱassocie le nombre réel ℙB  ℙ(A∩B)
ℙ(B) . Étant
donné un évènement de ℱ, le réel ℙB est appelé la probabilité de sachant .
Dénition 1 : (Probabilité conditionnelle)
La fonction ℙBdénie sur ℱest une mesure de probabilité.
Théorème 1 : (Admis dans le cas général)
Preuve : (Dans le cas où est ni)
Notons premièrement que pour tout évènement ,ℙB est le quotient de deux réels positifs
et il est donc positif. De plus, puisque par dénition, l’évènement est contenu dans , sa
probabilité est inférieure ou égale à celle de et ceci permet de conclure que   ℙB  .
ℙB  ℙ(Ω∩B)
ℙ(B) ℙ(B) ℙ(B)  .
Considérons deux évènements 1et 2d’intersection vide. De la théorie des ensembles on tire que
12  12 et que les deux évènements 1 et 2 sont d’intersection
vide. Donc la probabilité de leur réunion suivant ℙest la somme de leurs probabilités. On a donc :
ℙB1 2  ℙ1 2  
ℙ ℙ1   2  ℙ ℙ1  ℙ ℙ2  ℙ
D’où
ℙB1 2  ℙB1  ℙB2
La fonction ℙBvérie les axiomes de dénition d’une probabilité donc c’est bien une mesure de
probabilité.
Remarque : Il existe une autre notation pour la probabilité d’un évènement sachant un évènement
:ℙ  .
Soient et deux évènements de ℱde probabilités non nulles. Alors ℙA  ℙB  ℙ(B)
ℙ(A) .
Théorème 2 : (Loi de Bayes)
Preuve : D’après la dénition, ℙB  ℙ  ℙ    ℙA  ℙ. D’où la formule.
©S. Der Monsessian - dermon.fr

II) Conditionnement 21
Remarque : Ce théorème permet de renverser les arguments, comme on peut le voir sur l’exemple
introductif. Si l’on considère acquis le fait qu’une célébrité est sortie d’une voiture, on peut s’interroger
sur la probabilité pour que ce soit une voiture de luxe. Le même raisonnement donne cette fois
ℙA  144
150 et en eet,
ℙA  
175
200
150
200
ℙB  ℙ
ℙ
B) Probabilités totales et conséquences
1) Conditionnement et partition de l’univers
Une partition nie (parfois appelé un système complet ni d’évènements) de est une collection nie
d’évènements 𝑖1≤𝑖≤𝑛 de probabilités non nulles dont la réunion est et deux à deux disjoints,
c’est à dire telle que pour chaque couple d’indices et de  distincts, 𝑖 𝑗 .
Dénition 2 :
1
2
3
4
Fig. 2.1 : Partition 1 234de .
Remarque : Pour paraphraser, une partition de est un découpage de en évènements qui n’ont
pas d’issues en commun. L’exemple le plus simple est le suivant. Si est un évènement de ℱtel que
  ℙ  ,et forment une partition de . Les issues de sont séparées en deux catégories,
celles qui sont dans et celles qui n’y sont pas.
Exemple : Il y a questions au contrôle. On note l’évènement « avoir répondu à moins de 2 questions
correctement ». Alors est l’évènement « avoir répondu à plus de trois questions correctement ». Sur
l’ensemble des issues possibles de notre expérience, il y a bien celles qui sont dans (,et ) et
celles qui sont dans (,et ). et forment une partition nie de .
Si on avait partagé diéremment : et l’évènement « répondre à au moins questions justes »,
alors et n’auraient pas formé une partition parce qu’aucun des évènements et ne contiennent
l’issue . Il faudrait alors rajouter l’évènement « répondre correctement questions exactement »
pour obtenir une partition.
De même si l’on avait l’évènement et l’évènement : « obtenir au moins deux réponses justes »,
alors et ne formeraient pas une partition car l’issue appartiendrait à la fois à et à .
©S. Der Monsessian - dermon.fr

22 Chapitre 2 : Conditionnement, indépendance
Soient et deux évènements de ℱavec   ℙ  . Alors
ℙ  ℙBℙ  ℙBℙ
Plus généralement, soit 𝑖1≤𝑖≤𝑛 une partition de .
ℙ  ℙB1ℙ1ℙB𝑛ℙ𝑛 
𝑛
𝑖=1
ℙB𝑖ℙ𝑖
Théorème 3 : (Formule des probabilités totales)
Preuve : Démontrons la première formule, on en déduira la deuxième par récurrence.
Soit une issue de , elle appartient soit à , soit à . Ce qui permet d’écrire que est la réunion
des évènements , …,   . Mais alors puisqu’ils sont tous incompatibles, et puisque ℙest une
probabilité,
ℙ  ℙ    ℙ  
Or ℙB  ℙ(A∩B)
ℙ(B) , ou encore ℙ  ℙBℙ, et de même avec ,ℙ  ℙBℙ.
On en déduit bien la formule en substituant.
Exemple : (Dépistage de maladie)
On cherche à dépister une maladie. On nomme l’évènement « le test est positif » et l’évènement
« la personne est malade ». On suppose qu’une personne sur mille est malade, que la probabilité pour
que le test soit positif sachant que le patient testé est malade est  % et que la probabilité pour que
le test soit positif sachant que le patient est sain est de %.
On en déduit donc que la probabilité pour qu’une personne prise au hasard soit testée positive est :
ℙ  ℙBℙ  ℙBℙ  
Soit   ℱdeux évènements de probabilité non nulle, avec de plus ℙ  . On a :
ℙA  ℙBℙ
ℙBℙ  ℙBℙ
Plus généralement, si 𝑖1≤𝑖≤𝑛 est une partition nie de , pour tout entier    ,
ℙA𝑖  ℙB𝑖ℙ𝑖
𝑛
𝑖=1 ℙB𝑖ℙ𝑖
Conséquence 1 : (Formule de Bayes - version 2)
Preuve : Démontrons la première formule, on pourra en déduire la deuxième par récurrence.
Si ℙ  ,ℙ    ℙ  . De ce fait, puisque et sont incompatibles,  est
une partition de . De ce fait, d’après la formule des probabilités totales, ℙ  ℙBℙ 
ℙBℙ.
Mais d’après la loi de Bayes,
ℙA  ℙBℙ
ℙ ℙBℙ
ℙBℙ  ℙBℙ
©S. Der Monsessian - dermon.fr

II) Conditionnement 23
Exercice 1 : (Dépistage - suite)
En reprenant l’exemple précédent, quelle est la probabilité d’être malade sachant que le test était
positif ?
Solution : D’après la loi de Bayes,
ℙA  ℙBℙ
ℙBℙ  ℙBℙ   
En conclusion un test positif implique une probabilité d’environ  d’être malade, ce qui est très
faible.
2) Application aux arbres de probabilités
Supposons qu’un arbre de probabilités comporte une branche comme ci-dessous.
Cela signie par convention que   ℙA et   ℙA contrairement à l’intuition première qui
consisterait à penser qu’il s’agit de ℙ et ℙ. Le point de départ de tout arbre de probabilité
est l’évènement certain, . Si donc la branche arrivant en partait du point de départ, on aurait
  ℙΩ  ℙ. Les premières branches de l’arbre correspondent donc aux probabilités des
évènements eux-mêmes (et pas conditionnellement à un autre évènement).
Exemple : Présentons l’exemple du dépistage sous la forme d’un arbre.
Le fait que la probabilité d’une branche soit le produit des probabilités inscrites sur la branche est
une conséquence de la dénition du conditionnement. Prenons par exemple la première branche. Elle
correspond à la succession d’évènements et , c’est à dire à . Mais ℙ    ℙBℙ,
et on a bien comme prévu ℙ    1
1 000 99 100 .
La formule des probabilités totales s’obtient aussi depuis le graphe. Pour calculer ℙ, on additionne
les probabilités des branches qui arrivent en , il y en a deux, celle qui passe par (ℙ  ) et
celle qui passe par (ℙ  ). On a donc bien ℙ  ℙBℙ  ℙBℙ.
©S. Der Monsessian - dermon.fr