Feuille 1 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Année universitaire 2016-2017
Licence 2 de mathématiques
Structures algébriques 1 - Feuille 1
Exercice 1
a. Soient aet bdeux entiers. Montrer que : aet bsont premiers entre eux si
et seulement si a+bet ab sont premiers entre eux.
b. Trouver un couple (a, b)∈Z2tel que pgcd(a, b)6=pgcd(a+b, ab).
Exercice 2
Trouver un couple (u, v)∈Z2tel que 57u+ 13v= 1.
Exercice 3
a. Montrer que si mest un entier impair, alors m2≡1 mod 8.
b. Soient a,b,ctrois entiers. Prouver que a2+b2+c2n’est pas congru à 7
modulo 8.
Exercice 4
Soit (An)n≥1une suite d’entiers ≥1. On suppose que pour tout (m, n)∈N2
vérifiant 1≤m<n, on a pgcd(Am, An) = pgcd(Am, An−m). Démontrer que
pgcd(Am, An) = Apgcd(m,n)pour tout (m, n)∈N∗2.
Exercice 5
Soient aet ndeux entiers ≥2.
a. En utilisant le résultat de l’exercice 4, montrer que pgcd(ad−1, an−1) =
apgcd(d,n)−1pour tout entier d≥1.
b. En déduire que si an−1est premier, alors a= 2 et nest premier.
Exercice 6
On note (Fn)n≥0la suite de Fibonacci définie par F0= 0,F1= 1, et Fn+2 =
Fn+1 +Fnpour tout n≥0.
a. Prouver que Fnet Fn+1 sont premiers entre eux pour tout n≥0.
b. Soient met ndeux entiers tels que 1≤m<n. Établir la relation
Fn=FmFn−m+1 +Fm−1Fn−m.
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c. En utilisant le résultat de l’exercice 4, conclure que pgcd(Fm, Fn) = Fpgcd(m,n)
pour tout (m, n)∈N∗2.
Exercice 7
Soit Gun groupe tel que g2= 1 pour tout g∈G. Démontrer que Gest abélien.
Exercice 8
On considère l’intervalle I=] −1,+∞[. Pour tout (x, y)∈I2, on pose x⊗y=
xy +x+y. Montrer que ⊗est une loi interne sur I, puis que (I, ⊗)est un groupe.
Exercice 9
Soit Gun groupe. Soient Het Kdeux sous-groupes de G. Prouver que : H∪K
est un sous-groupe de Gsi et seulement si H⊂Kou K⊂H.
Exercice 10
Soit Gun groupe. Soit Hune partie finie non vide de Gstable par la loi de
groupe. Démontrer que Hest un sous-groupe de G.
Qu’en est-il si Hest infini ?
Exercice 11 : centre d’un groupe
a. Soit Gun groupe. On pose Z(G) = {x∈G| ∀y∈G xy =yx}. Vérifier
que Z(G)est un sous-groupe de G.
b. Montrer que Z(S3)est trivial.
c. Soit nun entier ≥3. Prouver que Z(Sn)est trivial.
Exercice 12
Soient nun entier ≥1et aun entier. Quel est l’ordre de ¯adans le groupe Z/nZ?
Exercice 13
Soit Gun groupe. On suppose que l’ensemble des sous-groupes de Gest fini.
Démontrer que Gest fini.
Exercice 14
Soit Gun groupe fini d’ordre pair. Montrer qu’il existe un élément de Gd’ordre
2 ; indication : on pourra regrouper chaque élément avec son inverse.
Exercice 15 : nombres de Mersenne
Soit nun nombre premier impair. Soit pun diviseur premier de 2n−1. Détermi-
ner l’ordre de ¯ 2dans le groupe (Z/pZ)∗. En déduire que 2ndivise p−1.
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