Page 1 1 UTILISATION DES NOMBRES POUR RESOUDRE DES

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UTILISATION DES NOMBRES
POUR RESOUDRE DES PROBLEMES
Aspect cardinal
Maternelle MS - GS
F. Martin
Professeur de mathématiques
UNE SITUATION FONDAMENTALE FAISANT INTERVENIR
LE NOMBRE CARDINAL |
L'enfant doit aller chercher en une seule fois une collection équipotente à une collection de
référence (qui n'est donc plus visible).
A) Exemples d'activités
- Une collection de pots étant donnée, aller chercher en une seule fois juste ce qu'il
faut de cubes pour en mettre un par pot.
- Une collection de stylos étant donnée, aller chercher en une seule fois les capuchons
dans un tas de capuchons.
- La table étant préparée pour un nombre précis de convives représenté par les chaises
déjà installées, aller chercher en une seule fois les assiettes, puis les verres...
- Une collection de ronds étant dessinée, aller chercher en une seule fois juste ce qu'il
faut de jetons pour mettre un jeton sur chaque rond.
B) Trois types de situations
B1. Situations d'autocommunication:
C'est le même enfant qui dispose de la collection de référence et va chercher en une seule fois
une collection équipotente.
La résolution de ce problème nécessite le dénombrement de la collection de référence, sauf
dans quelques cas particuliers :
• la collection de référence est peu importante (2, 3, 4 ou 5), il se peut alors que 1'
enfant perçoive globalement la collection.
• la collection de référence est plus importante, mais les objets sont répartis de telle
sorte que l'enfant peut faire une correspondance terme à terme (implicite) pour construire sa
collection:
Exemples :
○ ○ ○ ○
○ ○ ○ ○
ou
○ ○ ○ ○ ○
○ ○
○ ○ ○ ○ ○
ou
○ ○ ○
○ ○
○ ○

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Quand il y a dénombrement, il se peut que l'adulte s'en rende compte, quand l'enfant lui-même
explicite son action par le geste (il pointe les objets les uns après les autres) ou / et oralement
(il utilise la suite des nombres 1, 2, 3,....).
Il se peut que le comportement de l'enfant ne permette pas à l'adulte de conclure que l'enfant
dénombre ou qu'il ne dénombre pas.
B-2 Situations de communication orale :
L'enfant qui a la collection de référence demande à un autre enfant juste ce qu'il faut pour
constituer une collection équipotente ("je veux 8 cubes").
La résolution de ce problème nécessite une formulation orale du nombre d'objets de la
collection de référence.
B-3 Situations de communication écrite :
L'enfant qui a la collection de référence envoie un message écrit à un autre enfant pour obtenir
juste ce qu'il faut pour constituer une collection équipotente.
La résolution de ce problème nécessite ou non la désignation écrite ("8") du nombre d'objets
de la collection de référence : un message avec dessins des objets ou pointage des objets peut
s'avérer très efficace avec de petites collections.
Dans ces trois types de situations, la consigne ne propose pas explicitement l'utilisation du
nombre comme moyen de réussir, mais quand l'enfant mobilise le nombre pour résoudre ces
problèmes, il doit mettre en oeuvre certaines connaissances qu'il va construire.
De ce point de vue, la situation 1 est la plus complexe pour l'enfant qui doit jouer à la fois le
rôle de l'émetteur, du récepteur, et gérer globalement le tout. Mais l'enfant qui réussit ne perd
pas le sens du problème, ce qui peut être parfois le cas, dans les situations 2 et 3, où les tâches
sont séparées, malgré la confrontation émetteur-récepteur.
C) Deux types de problèmes
Placé dans les situations de type 1, 2 ou 3, I' enfant est confronté à deux types de problèmes:
• il doit savoir dénombrer une collection de n objets (collection → nombre) : la
collection est donnée, il doit trouver le nombre.
• il doit savoir prendre n objets dans une collection (nombre → collection) : le nombre
est donné, il doit construire la collection.

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C-1 Dénombrer une collection de n objets (problème de dénombrement d'une collection)
Ce problème peut être résolu de 3 façons : étant donné une collection d'objets, I' enfant peut:
a) se dire
b) dire ……………………….le nombre d'objets de la collection
c) écrire
C-2 Prendre n obiers dans une collection (problème de " prélèvement" de n objets).
Ce problème peut être proposé de 3 façons:
a) L'enfant peut se dire le nombre n sans l'avoir ni prononcé, ni écrit, et construire une
collection de nombre n.
b) Le nombre n est donné oralement, et l'enfant doit construire la collection
correspondante.
c) Le nombre n est donné à l'enfant par écrit, il doit construire la collection
correspondante.
C-3.1. Dans les situations d'autocommunication,
l'enfant doit d'abord compter le nombre d'objets de la collection de référence et se dire ce
nombre, c'est-à-dire résoudre un problème de dénombrement C-1.a), puis il doit aller chercher
un nombre d'objets correspondant à ce nombre qu'il s'est dit, c'est-à-dire résoudre un problème
de prélèvement C-2.a)
Le même enfant est donc confronté aux deux problèmes à la fois.
Dans ces situations d'autocommunication, il suffit pour réussir, que l'enfant utilise une suite
ordonnée stable (même non numérique). En particulier, l'enfant peut réussir en reproduisant
toujours la même erreur dans la comptine: "1,2,3,4,5,7,8" en dénombrant, et "1,2,3,4,5,7,8,"
en prenant les objets.
C-3.2. Dans les situations de communication orale,
l'enfant qui demande les objets doit dire à son partenaire combien il y a d'objets dans la
collection de référence. Il doit donc résoudre un problème de dénombrement C-l.b).
L'enfant qui fournit les objets doit construire une collection correspondant au nombre dit. Il
doit donc résoudre un problème de prélèvement C-2 b)
Chaque enfant n'a qu'un problème à résoudre.
C-3.3. Dans les situations de communication écrite,
l'enfant qui demande les objets peut écrire sur son message le nombre d'objets de la collection
de référence, il a donc à résoudre un problème de dénombrement C-1.c).
L'enfant qui fournit les objets doit construire une collection correspondante au nombre écrit, il
a donc à résoudre un problème de prélèvement C-2 c).
Chaque enfant n'a qu'un problème à résoudre.

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Dans ces problèmes où l'enfant est confronté à des nombres écrits, il doit nécessairement
passer à la désignation orale des nombres. En effet :
a) Quand l'enfant doit écrire le nombre d'objets d'une collection donnée :
L'enfant compte les objets, il se dit le nombre d'objets et doit savoir écrire ce nombre. En fait
il résoud 2 problèmes :
1) se dire le nombre d'objets d'une collection donnée
(correspondance collection → nombre dit)
2) écrire un nombre dit (ce que l'on appelle "dictée de nombres")
(correspondance nombre dit → nombre écrit)
b) Quand l'enfant doit construire la collection connaissant le nombre par écrit :
L'enfant doit lire le nombre écrit, et construire une collection correspondant à cette
désignation orale. En fait, l' enfant résout 2 problèmes :
1) Lire un nombre par écrit
(correspondance nombre écrit → nombre dit)
2) Construire une collection dont il s'est dit le nombre
(correspondance nombre dit → collection)
Quand l'enfant échoue, l'enseignant ne sait pas d'où vient l'erreur, du dénombrement, du
prélèvement, ou du passage nombre dit ↔ nombre écrit.
D) Connaissances mises en place :
D-1 Dans les situations d'autocommunication, quand l'enfant se met à compter le nombre
d'objets de la collection de référence pour aller chercher le même nombre dans la réserve
d'objets, c'est qu'il met en oeuvre implicitement la propriété fondamentale :
Quand deux collections sont équipotentes, (la consigne dit "un par pot et un seul") alors elles
ont le même nombre, et ceci dans une activité bien précise. Il n'est pas sûr que ce
comportement soit stable en particulier si les paramètres de la situation prennent d'autres
valeurs (nombre plus grand, objets de formes différentes, de tailles différentes, etc.).
Les enfants qui ne comptent pas n'ont pas cette connaissance de la propriété fondamentale. Ils
devront nécessairement se l'approprier pour réussir dans les situations d'autocommunication (à
condition que l'enseignant propose une situation où la correspondance terme à terme n'est plus
possible) et dans les situations de communication orale.
D- 2 Dans les situations de communication écrite, quand 1' enfant n'écrit pas le nombre, mais
dessine les objets, il met en oeuvre implicitement la transitivité de l'équipotence car il passe
par une collection intermédiaire, celle des dessins.
Quand au lieu de faire les dessins d'objets, il fait une simple marque (| | | | |) il met en oeuvre
en plus une propriété d'invariance: l'équipotence entre deux collections ne dépend pas de la
nature des objets (principe d'abstraction).

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Ces deux propriétés, utilisées implicitement, vont permettre de mettre en place la notion de
nombre.
D- 3 Dans les situations 1, 2 et 3, quand 1' enfant mobilise le nombre, il doit :
- Connaître la comptine "un, deux, trois…" dans l'ordre, sans trou, à partir de un.
- Pointer une fois et une seule chaque objet de la collection (il ne faut pas en oublier, il
ne faut pas en compter un deux fois). Cette tâche est facile si les objets sont alignés ou
si les objets sont déplaçables, l'enfant pouvant alors mettre à part les objets déjà
comptés. La tâche est complexe si les objets sont fixes, nombreux et très rapprochés.
- Faire une correspondance bijective entre chaque mot de la comptine et chaque objet
pointé. Souvent de jeunes enfants font glisser leur doigt sur les objets à compter, la
comptine allant trop vite, ou pas assez vite, même quand les objets sont alignés.
- Savoir que le dernier mot prononcé donne le nombre d'objets de la collection.
E) Les situations 1,2,3 : situations d'apprentissage :
L'enfant peut construire ces savoirs:
• Parce que la consigne étant donnée avec des termes accessibles à tous, sans termes
techniques ou ambigus (autant, même nombre, pareil,...) il peut comprendre ce qui lui est
demandé et répondre au problème par une action.
• Parce que confronté seul, plusieurs fois à un même type de problème, il peut juger à
chaque fois de l'efficacité de ses actions et par là même confirmer ou infirmer ses démarches.
• Parce qu'au cours des débats collectifs, ou des échanges entre enfants, certains enfants
peuvent faire évoluer leurs stratégies, se forger des convictions, s'approprier les connaissances
des autres.
• Enfin, parce que quand une connaissance a été utilisée et reconnue par chaque enfant
dans la résolution d'un problème, l'enseignant prend acte de l'acquisition de cette nouvelle
connaissance par la classe. Cette connaissance change alors de statut dans la classe, on peut
l'évoquer, s'y référer, s'en servir pour résoudre de nouveaux problèmes....