dénombrement combinatoire quelques formules de dénombrement nombre de manières de placer Amandine, Bertrand et Cécile sur un banc ? permutations : il y a n! = 1 × 2 × . . . × n manières d’ordonner n éléments urne avec 10 numéros, 3 tirages avec remise, nombre de tirages (ordonnés) possibles ? p-listes : le nombre de manières de fabriquer une liste (ordonnée) de n-éléments tous compris entre 1 et p est p n 3 / 80 dénombrement combinatoire quelques formules de dénombrement 10 candidats à une épreuve sportive, combien de podiums possibles ? arrangements : le nombre de manières de classer p personnes choisies parmi n est n! Apn = n × (n − 1) × . . . × (n − p + 1) = (n − p)! 10 candidats pour trois postes identiques, combien de recrutements possibles ? combinaisons : le nombre de manières de choisir p éléments parmi n est ! n n! n × (n − 1) × . . . × (n − p + 1) = = p × (p − 1) × . . . × 1 p!(n − p)! p attention : simplifier les factorielles aux numérateur/dénominateur! 4 / 80 probabilités rappel des définitions de base évènements, loi de probabilité expérience aléatoire, issue, univers Ω (fini, dénombrable, non dénombrable) évènement A : partie de Ω (évènement élémentaire : partie à un élément) évènement contraire Ā, union ("ou"), intersection ("et") évènements incompatibles : si A ∩ B = ∅ probabilité : p : P(Ω) → [0; 1] telle que p(Ω) = 1 et conséquences : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) si A, B incompatibles 0 ≤ p(A) ≤ 1 pour tout événement A p(∅) = 0, p(Ω) = 1 p(Ā) = 1 − p(A) pour tout événement A p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B) pour tous événements A, B si des évènements sont indépendants : p(A ∩ B) = p(A) × p(B) (voir plus loin) on parle d’espace probabilisé (Ω, p) univers finis : p(A) = p(a1 ) + . . . + p(an ) équiprobabilité : p(A) = card A card Ω univers continus : fonction densité, on remplace les sommes par des intégrales, les événements élémentaires par les segments 5 / 80 probabilités rappel des définitions de base exemples élémentaires dé équilibré à 6 faces A = « obtenir un nombre impair », B = « obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 » : p(A) = , p(B) = , p(A ∩ B) = , p(A ∪ B) = radioactivité probabilité que n atomes se désintègrent en une durée t : pn = Λn t n −Λt e n! p(« moins de 3 atomes se désintègrent » ) = p0 + p1 + p2 + p3 p(« au moins 10 atomes se désintègrent ») = 1 − (p0 + ... + p9 ) proba uniforme sur [0, 1] fonction densité ? p(R) = , p([0, 1]) = , p([−1/2, 2/3]) = p(0) = p(1/2) = p(5) = remarque : pas de proba uniforme sur un ensemble infini discret 6 / 80