9 Probabilités

9 Probabilités
9.1 Expérience aléatoire et événement
Définition : Une expérience est aléatoire si elle conduit à des résultats possible parfaitement
identifiés, mais dont on ne sait pas lequel de ces résultats va se produire lorsqu’on réalise
l’expérience.
Exemple : Lancer d’un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On sait que l’on
peut obtenir l’un des 6 résultats en lançant le dé, mais on ne sait pas lequel de ces nombres on
va obtenir.
Définition :
• Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire s’appelle un événement élémentaire.
• Un événement est constitué d’un ou plusieurs événements élémentaires.
Exemple : Pour le lancer d’un dé cubique il y 6 événements élémentaires : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
L’événement « on obtient un multiple de 3 » est composé des 2 événements élémentaires : 3 et
6 ; notons T cet événement : T = {3,6}.
9.2 Loi de probabilité
Définition : • E étant l’ensemble de tous les événements élémentaires d’une expérience
aléatoire, notons n le nombre d’événements élémentaires : E = {x1 ,x2 , . . . ,xn },
on dit que l’on définit une loi de probabilité p sur E lorsque :
1. à chaque xi ∈ E on associe un nombre p(xi ) tel que : 0 6 p(xi ) 6 1,
2. et p(x1 ) + p(x2 ) + · · · + p(xn ) = 1.
• La probabilité de l’événement A composé d’événements élémentaires de E est la somme
des probabilités des événements élémentaires de A.
Exemple : Pour le lancer d’un dé cubique, compte tenu de la géométrie du dé, on peut considé1
rer que la probabilité de chaque événement élémentaire est égale à . Par conséquent la loi de
6
probabilité associée à cette expérience aléatoire est définie par :
1
1. Pour tout x ∈ E = {1,2,3,4,5,6}, p(x) = (on a bien 0 6 p(x) 6 1),
6
2. et p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1.
Alors la probabilité de l’événement T (obtenir un multiple de 3) est égale à la somme des pro2
1
babilités des événements élémentaires de T : p(T ) = p(3) + p(6) = = .
6
3
Définition : L’événement contraire d’un événement A est l’événement composé de tous les
événements élémentaires de E n’appartenant pas à A. On note A l’événement contraire de
A.
Théorème : Dans E muni d’une loi de probabilité p, pour tout événement A de E : p(A) +
p(A) = 1.
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9. Probabilités
prog 2009
Preuve : Par définition de p(A), c’est-à-dire la somme des probabilités des événements élémentaires de A, et de A,
c’est-à-dire la somme des probabilités des événements élémentaires de A donc de tous les événements élémentaires
n’appartenant pas à A, la somme p(A) + p(A) est égale x1 + x2 + · · · + xn ; or p étant une loi de probabilité cette
somme est égale à 1, d’où p(A) + p(A) = 1. Exemple : Pour le lancer d’un dé cubique, l’événement contraire de T (obtenir un multiple de
1
2
3) est T = {1,2,4,5} et p(T ) = 1 − p(T ) = 1 − = , car p(T ) + p(T ) = 1.
3
3
9.3 Réunion et intersection d’événements
Définition : Si A et B sont deux événements de E muni d’une loi de probabilité p :
• L’événement A ∩ B est constitué de tous les événements élémentaires se trouvant à
la fois dans A et dans B. A ∩ B est aussi noté « A et B ».
• L’événement A ∪ B est constitué de tous les événements élémentaires se trouvant
dans l’un au moins des événements A ou B. A ∪ B est aussi noté « A ou B ».
Théorème : Si A et B sont deux événements de E muni d’une loi de probabilité p, alors :
p(A ∪ B) + p(A ∩ B) = p(A) + p(B)
Preuve : p(A) étant la somme de ses probabilités élémentaires, de même pour p(B), il est clair que les probabilités
des événements élémentaires se trouvant à la fois dans A et dans B, donc dans p(A∩B), sont additionnées deux fois
dans la somme p(A)+p(B). Pour le calcul de p(A∪B) on retrouve les probabilités de tous les événements élémentaires se trouvant dans A ou dans B, donc dans l’un au moins, mais chaque probabilité n’est comptée qu’une seule
fois, notamment pour les événements élémentaires de A∩B, ce qui prouve que : p(A∪B)+p(A∩B) = p(A)+p(B). Exemple : Pour le lancer d’un dé cubique, on considère l’événement T = {3,6} et l’événement I
défini par l’obtention d’un nombre impair, soit : I = {1,3,5}.
4
1
T ∩ I = {3} et T ∪ I = {1,3,5,6}, dont les probabilités sont p(T ∩ I) = et p(T ∪ I) = ,
6
6
5
2 3
5
1 4
alors p(T ∪ I) + p(T ∩ I) = + = et p(T ) + p(I) = + = .
6 6
6
6 6
6
9.4 Évenements élémentaires équiprobables
Théorème : Si E muni d’une loi de probabilité p contient n événements élémentaires équiprobables, alors :
1
— la probabilité de chaque événement élémentaire x est égale à p(x) = ,
n
— la probabilité d’un événement A contenant p événements élémentaires de E (p 6 n)
p
est égale à p(A) = .
n
Preuve : Si les n événements élémentaires xi ∈ E ont la même probabilité p(x1 ) = p(x2 ) = · · · = p(xn ), alors
1
d’après la loi de probabilité p, on p(x1 )+p(x2 )+· · ·+p(xn) = n×p(x1) = 1, d’où p(x1 ) = = p(x2 ) = · · · = p(xn ).
n
Par suite si A est composé de p événements élémentaires, par définition p(A) étant la somme des probabilités de
1
p
ses événements élémentaires : p(A) = p × = . n
n
Exemple : On vérifie aisément ce théorème dans tous les calculs faits précédemment à partir du
lancer d’un dé cubique.
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