9 Probabilités

9 Probabilités
9.1 Expérience aléatoire et événement
Définition : Une expérience est aléatoire si elle conduit à des résultats possible parfaitement
identifiés, mais dont on ne sait pas lequel de ces résultats va se produire lorsqu’on réalise
l’expérience.
Exemple : Lancer d’un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On sait que l’on
peut obtenir l’un des 6 résultats en lançant le dé, mais on ne sait pas lequel de ces nombres on
va obtenir.
Définition :
•Chaque résultat possible d’une expérience aléatoire s’appelle un événement élémentaire.
•Un événement est constitué d’un ou plusieurs événements élémentaires.
Exemple : Pour le lancer d’un dé cubique il y 6 événements élémentaires : 1, 2, 3, 4, 5, 6.
L’événement « on obtient un multiple de 3 » est composé des 2 événements élémentaires : 3 et
6 ; notons Tcet événement : T={3,6}.
9.2 Loi de probabilité
Définition :•Eétant l’ensemble de tous les événements élémentaires d’une expérience
aléatoire, notons nle nombre d’événements élémentaires : E={x1,x2, . . . ,xn},
on dit que l’on définit une loi de probabilité psur Elorsque :
1. à chaque xi∈Eon associe un nombre p(xi) tel que : 0 6p(xi)61,
2. et p(x1) + p(x2) + ···+p(xn) = 1.
•La probabilité de l’événement Acomposé d’événements élémentaires de Eest la somme
des probabilités des événements élémentaires de A.
Exemple : Pour le lancer d’un dé cubique, compte tenu de la géométrie du dé, on peut considé-
rer que la probabilité de chaque événement élémentaire est égale à 1
6. Par conséquent la loi de
probabilité associée à cette expérience aléatoire est définie par :
1. Pour tout x∈E={1,2,3,4,5,6},p(x) = 1
6(on a bien 0 6p(x)61),
2. et p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1.
Alors la probabilité de l’événement T(obtenir un multiple de 3) est égale à la somme des pro-
babilités des événements élémentaires de T:p(T) = p(3) + p(6) = 2
6=1 3.
Définition :L’événement contraire d’un événement Aest l’événement composé de tous les
événements élémentaires de En’appartenant pas à A. On note Al’événement contraire de
A.
Théorème : Dans Emuni d’une loi de probabilité p, pour tout événement Ade E:p(A) +
p(A) = 1.
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Maths 2gt 9. Probabilités prog 2009
Preuve : Par définition de p(A), c’est-à-dire la somme des probabilités des événements élémentaires de A, et de A,
c’est-à-dire la somme des probabilités des événements élémentaires de Adonc de tous les événements élémentaires
n’appartenant pas à A, la somme p(A) + p(A) est égale x1+x2+· · · +xn; or pétant une loi de probabilité cette
somme est égale à 1, d’où p(A) + p(A) = 1. 
Exemple : Pour le lancer d’un dé cubique, l’événement contraire de T(obtenir un multiple de
3) est T={1,2,4,5}et p(T) = 1 −p(T) = 1 −1
3=2 3, car p(T) + p(T) = 1.
9.3 Réunion et intersection d’événements
Définition : Si Aet Bsont deux événements de Emuni d’une loi de probabilité p:
•L’événement A∩Best constitué de tous les événements élémentaires se trouvant à
la fois dans Aet dans B.A∩Best aussi noté « Aet B».
•L’événement A∪Best constitué de tous les événements élémentaires se trouvant
dans l’un au moins des événements Aou B.A∪Best aussi noté « Aou B».
Théorème : Si Aet Bsont deux événements de Emuni d’une loi de probabilité p, alors :
p(A∪B) + p(A∩B) = p(A) + p(B)
Preuve :p(A) étant la somme de ses probabilités élémentaires, de même pour p(B), il est clair que les probabilités
des événements élémentaires se trouvant à la fois dans Aet dans B, donc dans p(A∩B), sont additionnées deux fois
dans la somme p(A)+p(B). Pour le calcul de p(A∪B) on retrouve les probabilités de tous les événements élémen-
taires se trouvant dans Aou dans B, donc dans l’un au moins, mais chaque probabilité n’est comptée qu’une seule
fois, notamment pour les événements élémentaires de A∩B, ce qui prouve que : p(A∪B)+p(A∩B) = p(A)+p(B). 
Exemple : Pour le lancer d’un dé cubique, on considère l’événement T={3,6}et l’événement I
défini par l’obtention d’un nombre impair, soit : I={1,3,5}.
T∩I={3}et T∪I={1,3,5,6}, dont les probabilités sont p(T∩I) = 1
6et p(T∪I) = 4 6,
alors p(T∪I) + p(T∩I) = 1
6+4 6=5 6et p(T) + p(I) = 2 6+3 6=5 6.
9.4 Évenements élémentaires équiprobables
Théorème : Si Emuni d’une loi de probabilité pcontient névénements élémentaires équi-
probables, alors :
— la probabilité de chaque événement élémentaire xest égale à p(x) = 1
n,
— la probabilité d’un événement Acontenant pévénements élémentaires de E(p6n)
est égale à p(A) = p
n.
Preuve : Si les névénements élémentaires xi∈Eont la même probabilité p(x1) = p(x2) = · · · =p(xn), alors
d’après la loi de probabilité p, on p(x1)+p(x2)+· · ·+p(xn) = n×p(x1) = 1, d’où p(x1) = 1
n=p(x2) = · · · =p(xn).
Par suite si Aest composé de pévénements élémentaires, par définition p(A) étant la somme des probabilités de
ses événements élémentaires : p(A) = p×1
n=p n.
Exemple : On vérifie aisément ce théorème dans tous les calculs faits précédemment à partir du
lancer d’un dé cubique.
math4
bac – 38 – v1.618