Sujet - MP2 – Chato

MP1-MP2
Devoir en temps libre n◦ 3
• Soit E un R espace vectoriel de dimension finie n (n ∈ N\{0, 1}).
• On désigne par 0 l’endomorphisme nul et id l’endomorphisme identité .
• On rappelle que si k ∈ N∗ , f k = f ◦ f ◦ · · · ◦ f , et que f 0 = id.
|
{z
}
k f ois
Partie I
Le but de cette partie est de démontrer que, pour tout endomorphisme f de E , il existe un entier p qui
vérifie :
(
(1)
1 6 p 6 n
E = Ker (f p ) ⊕ Im (f p )
1) Dans cette question, f est un endomorphisme bijectif de E. Donner une valeur de p satisfaisant (1) .
Justifier la réponse .
2) Exemple 1
Dans cette question, n = 3 et E est l’espace vectoriel R3 rapporté à une base (e1 , e2 , e3 ) , et f est
l’endomorphisme de E tel que :


4 −1 5
Mat(e1 ,e2 ,e3 ) (f ) =  −2 −1 −1 
−4 1 −5
a) Déterminer une base de Ker(f ) et une base de Im(f ). Peut-on avoir p = 1 ?
b) Montrer que :
E = Ker(f 2 ) ⊕ Im(f 2 ) .
3) Exemple 2
Dans cette question , n = 4 et E est l’espace vectoriel R4 rapporté à
un paramètre réel et f est l’endomorphisme de E tel que :

0 −1 0
0
 0 m
0
0
Mat(e1 ,e2 ,e3 ,e4 ) (f )) = 
 1 0 −m −1
0 1
0
0
une base (e1 , e2 , e3 , e4 ) , m est




a) Déterminer une base de Ker(f ) et une base de Im(f ). Peut-on avoir p = 1 ?
On discutera suivant les valeurs de m.
b) Déterminer le plus petit entier p vérifiant (1).
4) Etude du cas général
Dans cette question, on suppose que l’endomorphisme f n’est pas bijectif. Pour tout entier naturel k,
on note ak la dimension de Ker(f k ).
a) Soit k un entier naturel ; montrer que :
(i) Ker(f k ) ⊂ Ker(f k+1 )
(ii) Im(f k+1 ) ⊂ Im(f k )
Quand faut-il utiliser que f k+1 = f k ◦ f et quand faut-il utiliser que f k+1 = f ◦ f k ?
b) Soit F l’ensemble des entiers naturels k tels que ak = ak+1 . Montrer que F est un ensemble non
vide.
c) En déduire l’existence d’un entier p, supérieur ou égal à 1, qui vérifie les deux conditions :
• pour tout entier k vérifiant : 0 6 k 6 p − 1 , on a :
Ker(f k ) ( Ker(f k+1 )
•
Ker(f p ) = Ker(f p+1 )
d) Montrer que pour tout entier k supérieur ou égal à p, on a :
Ker(f k ) = Ker(f k+1 )
En déduire que pour tout entier k supérieur ou égal à p, on a : Ker(f k ) = Ker(f p ).
e) Déduire de ce qui précède que :
E = Ker (f p ) ⊕ Im(f p )
Dans toute la suite du problème, p désigne le plus petit entier vérifiant (1) , c’est celui qui a été obtenu à la
question 4) de la Partie I.
Partie II
Dans cette partie, on étudie deux cas particuliers
5) a) On suppose que p = n. Montrer que f n est l’endomorphisme nul. Quel est la dimension de Ker(f ) ?
b) Un exemple
Dans cette question, n = 3 et E est l’espace vectoriel R3 rapporté à une base (e1 , e2 , e3 ), et f est
l’endomorphisme de E tel que :


1
0 −1
Mat(e1 ,e2 ,e3 ) (f ) =  −1 −2 3 
0 −1 1
Déterminer une base (ε1 , ε2 , ε3 ) de R3 telle que :
f (ε1 ) = 0 ,
f (ε2 ) = ε1
,
f (ε3 ) = ε2
Montrer que p = 3.
6) Réduction d’un endomorphisme nilpotent
On suppose ici que p est supérieur ou égal à 2 et que l’on a de plus : Ker(f p ) = E, c’est à dire que f
est nilpotent (cf définition en début d’énoncé).
a) Justifier que pour tout entier k vérifiant : 0 6 k 6 p − 1, on peut définir un sous-espace vectoriel,
non réduit au vecteur nul , supplémentaire de Ker(f k ) dans Ker(f k+1 ).
b) En déduire l’existence d’une base (e1 , e2 , · · · , en ) de E dans laquelle f possède la propriété suivante :
f (e1 ) = 0
et
∀k ∈ {2, . . . , n} , f (ek ) ∈ vect(e1 , e2 , . . . , ek−1 )
c) On reprend l’exemple 2 de la Partie I avec m = 0. Déterminer une base dans laquelle f possède la
propriété définie à la question 2) b).
Partie III
Le but de cette partie est de montrer que la suite (ak − ak−1 )k>1 est décroissante.
Pour tout k dans N, on appelle Gk+1 un supplémentaire de Ker(f k ) dans Ker(f k+1 ).
Soit ϕk : Gk+1 −→ Ker(f k ) .
7)
8)
9)
10)
11)
x
7−→ f (x)
Justifier que ϕk est bien définie, et qu’elle est linéaire.
Déterminer Ker(ϕk ) ; en déduire, pour k > 1, que dim(Gk+1 ) = dim(f (Gk+1 )).
T
Montrer que : f (Gk+1 ) Ker(f k−1 ) = {0}.
En déduire que ak+1 − ak 6 ak − ak−1 (k > 1) (les ak sont définis dans la partie I).
Application : on suppose ici que f n−1 = 0 et f n−2 6= 0 ; calculer dim Ker(f ).