Sujet - MP2 – Chato

MP1-MP2  Devoir en temps libre n◦3
•Soit Eun Respace vectoriel de dimension finie n(n∈N\{0,1}).
•On désigne par 0l’endomorphisme nul et id l’endomorphisme identité .
•On rappelle que si k∈N∗, fk=f◦f◦ · · · ◦ f
| {z }
k fois
, et que f0=id.
Partie I
Le but de cette partie est de démontrer que, pour tout endomorphisme fde E, il existe un entier pqui
vérifie :
(1) (16p6n
E= Ker (fp)⊕Im (fp)
1) Dans cette question, fest un endomorphisme bijectif de E. Donner une valeur de psatisfaisant (1) .
Justifier la réponse .
2) Exemple 1
Dans cette question, n= 3 et Eest l’espace vectoriel R3rapporté à une base (e1, e2, e3), et fest
l’endomorphisme de Etel que :
Mat(e1,e2,e3)(f) = 
4−1 5
−2−1−1
−4 1 −5
a) Déterminer une base de Ker(f)et une base de Im(f). Peut-on avoir p= 1 ?
b) Montrer que : E= Ker(f2)⊕Im(f2).
3) Exemple 2
Dans cette question , n= 4 et Eest l’espace vectoriel R4rapporté à une base (e1, e2, e3, e4),mest
un paramètre réel et fest l’endomorphisme de Etel que :
Mat(e1,e2,e3,e4)(f)) = 
0−1 0 0
0m0 0
1 0 −m−1
0 1 0 0
a) Déterminer une base de Ker(f)et une base de Im(f). Peut-on avoir p= 1 ?
On discutera suivant les valeurs de m.
b) Déterminer le plus petit entier pvérifiant (1).
4) Etude du cas général
Dans cette question, on suppose que l’endomorphisme fn’est pas bijectif. Pour tout entier naturel k,
on note akla dimension de Ker(fk).
a) Soit kun entier naturel ; montrer que :
(i) Ker(fk)⊂Ker(fk+1)
(ii) Im(fk+1)⊂Im(fk)
Quand faut-il utiliser que fk+1 =fk◦fet quand faut-il utiliser que fk+1 =f◦fk?
b) Soit Fl’ensemble des entiers naturels ktels que ak=ak+1. Montrer que Fest un ensemble non
vide.

c) En déduire l’existence d’un entier p, supérieur ou égal à 1, qui vérifie les deux conditions :
•pour tout entier kvérifiant : 06k6p−1, on a :
Ker(fk)(Ker(fk+1)
•Ker(fp) = Ker(fp+1)
d) Montrer que pour tout entier ksupérieur ou égal à p, on a :
Ker(fk) = Ker(fk+1)
En déduire que pour tout entier ksupérieur ou égal à p, on a : Ker(fk) = Ker(fp).
e) Déduire de ce qui précède que : E= Ker (fp)⊕Im(fp)
Dans toute la suite du problème, pdésigne le plus petit entier vérifiant (1) , c’est celui qui a été obtenu à la
question 4) de la Partie I.
Partie II
Dans cette partie, on étudie deux cas particuliers
5) a) On suppose que p=n. Montrer que fnest l’endomorphisme nul. Quel est la dimension de Ker(f)?
b) Un exemple
Dans cette question, n= 3 et Eest l’espace vectoriel R3rapporté à une base (e1, e2, e3), et fest
l’endomorphisme de Etel que :
Mat(e1,e2,e3)(f) = 
1 0 −1
−1−2 3
0−1 1 
Déterminer une base (ε1, ε2, ε3)de R3telle que :
f(ε1)=0 , f(ε2) = ε1, f(ε3) = ε2
Montrer que p= 3.
6) Réduction d’un endomorphisme nilpotent
On suppose ici que pest supérieur ou égal à 2et que l’on a de plus : Ker(fp) = E, c’est à dire que f
est nilpotent (cf définition en début d’énoncé).
a) Justifier que pour tout entier kvérifiant : 06k6p−1, on peut définir un sous-espace vectoriel,
non réduit au vecteur nul , supplémentaire de Ker(fk)dans Ker(fk+1).
b) En déduire l’existence d’une base (e1, e2,· · · , en)de Edans laquelle fpossède la propriété sui-
vante :
f(e1)=0 et ∀k∈ {2, . . . , n}, f(ek)∈vect(e1, e2, . . . , ek−1)
c) On reprend l’exemple 2 de la Partie I avec m= 0. Déterminer une base dans laquelle fpossède la
propriété définie à la question 2) b).
Partie III
Le but de cette partie est de montrer que la suite (ak−ak−1)k>1est décroissante.
Pour tout kdans N, on appelle Gk+1 un supplémentaire de Ker(fk)dans Ker(fk+1).
Soit ϕk:Gk+1 −→ Ker(fk)
x7−→ f(x)
.
7) Justifier que ϕkest bien définie, et qu’elle est linéaire.
8) Déterminer Ker(ϕk); en déduire, pour k>1, que dim(Gk+1) = dim(f(Gk+1)).
9) Montrer que : f(Gk+1)TKer(fk−1) = {0}.
10) En déduire que ak+1 −ak6ak−ak−1(k>1) (les aksont définis dans la partie I).
11) Application : on suppose ici que fn−1= 0 et fn−26= 0 ; calculer dim Ker(f).