LE MATEMATICHE
Vol. LXIII (2008) – Fasc. II, pp. 57–61
STRUCTURE DES QF–ALG `
EBRES AV´
ERIFIANT
Ax =xAx, POUR TOUT xA
RACHID CHOUKRI - ABDELLAH EL KINANI
We give a complete characterization of Q-F-algebras Awhich satisfy
Ax =xAx for every xA.
1. Introduction
Soit Aune alg`
ebre unitaire. Un id´
eal bilat`
ere Pde A, distinct de A, est dit
premier si pour tous a,bAv´
erifiant aAb P, on a aPou bP.Ce qui
´
equivaut `
a dire que, pour tous id´
eaux bilat`
eres Iet Jde Atel que IJ P, on a
IPou JP.L’alg`
ebre Aest dite noeth´
erienne (`
a droite) si la famille de ses
id´
eaux `
a droites satisfait la condition de la chaine ascendante. On dira que Aest
une F-alg`
ebre si elle est munie d’une topologie d’alg`
ebre qui est m´
etrisable et
compl`
ete. Une telle alg`
ebre est dite de Fr´
echet si sa topologie peut ˆ
etre d´
efinie
par une famille de semi-normes sous-multiplicatives. Une F-alg`
ebre dont le
groupe des ´
el´
ements inversibles est ouvert est dite une Q-F-alg`
ebre. Rappelons
enfin qu’un espace topologique s´
epar´
e non vide (E,τ)est dit de Baire, si pour
chaque suite (An)nde ferm´
es de (E,τ)d’int´
erieurs vides, la reunion Ades Ana
un int´
erieur vide. Dans toute la suite et sauf mention du contraire, les alg`
ebres
consid´
er´
ees sont r´
eelles, Hd´
esignera l’alg`
ebre des quaternions r´
eelles et CN
Entrato in redazione: 28 febbraio 2008
AMS 2000 Subject Classification: 46J40
Keywords: Q-algebre, F-algebre, alg`
ebre de Fr´
echet, id´
eal bilat`
ere, id´
eal premie, id´
eal maximal,
alg`
ebre noeth´
erienne.
58 RACHID CHOUKRI - ABDELLAH EL KINANI
l’alg`
ebre des suites complexes. On munit CNde la topologie munie topologie
produit. Elle devient ainsi une F-alg`
ebre de Fr´
echet.
Dans une alg`
ebre de Banach complexe unitaire, C. Le Page ([3]) a consid´
er´
e
la condition suivante :
Ax =Ax2,pour tout xA(1)
Il a montr´
e qu’une telle alg`
ebre est semi-simple et commutative. J. Duncan et
A. W. Tullo ([1]) ont montr´
e qu’elle est en fait de dimension finie. Ce sont J.
Esterle et M. Oudadess ([2]) qui ont donn´
e une description compl`
ete de toute
alg`
ebre de Banach complexe Av´
erifiant (1) ; elle est de la forme CnRadA,
avec nun entier naturel. Dans cette note, nous consid´
erons la condition
Ax =xAx,pour tout xA(2)
dans un cadre beaucoup plus g´
en´
eral. Nous montrons (Th´
eor`
eme 2.1) que, pour
qu’une Q-F-alg`
ebre unitaire Av´
erifie la condition (2), il faut, et il suffit, que
Asoit alg`
ebriquement et topologiquement isomorphe `
a un produit fini de F-
alg`
ebres qui sont des corps. Comme cons´
equence, nous obtenons (Corollaire
2.4) qu’une alg`
ebre de Banach r´
eelle unitaire v´
erifie la condition (2), si, et seule-
ment, si elle est isomorphe `
a l’alg`
ebre Rr×Cs×Ht, o`
ur,set tsont des entiers.
Dans le cas non n´
ecessairement Q-alg`
ebre, nous montrons (Th´
eor`
eme 2.7) que
si Aest une F-alg`
ebre de Fr´
echet complexe de dimension infinie et v´
erifiant (2),
alors elle est alg`
ebriquement et topologiquement isomorphe `
a l’alg`
ebre CN.
2. R´
esultats principaux
Il est clair qu’une alg`
ebre, non n´
ecessairement topologique, qui est iso-
morphe `
a un produit fini de corps v´
erifie la condition (2). La r´
eciproque, qui
est fausse en g´
en´
eral, est vraie dans une grande classe d’alg`
ebres topologiques
comme le montre le th´
eor`
eme suivant.
Th´
eor`
eme 2.1. Soit A une Q-F-alg`
ebre unitaire. Les assertions suivantes sont
´
equivalentes :
i) A v´
erifie la condition (2).
ii) A est alg´
ebriquement et topologiquement isomorphe `
a un produit fini de
F-alg`
ebres qui sont des corps.
D´
emonstration. L’implication ii) =i) est claire. Pour la r´
eciproque, nous
avons besoin des lemmes suivants.
Lemma 2.2. Soit A une alg`
ebre unitaire non n´
ecessairement topologique v´
eri-
fiant la condition (2). Alors :
STRUCTURE DES QF–ALG `
EBRES AV´
ERIFIANT Ax =xAx 59
i) Tout id´
eal `
a droite de A, distinct de A, est bilat`
ere. De plus, il est ´
egal `
a
l’intersection de tous les id´
eaux `
a droite maximaux de A le contenant.
ii) A est semi-simple.
iii) Le quotient de A par tout id´
eal premier est un corps.
D´
emonstration. i) Soit Iun id´
eal `
a droite de A, distinct de A. La condition (2)
implique que Iest n´
ecessairement bilat`
ere. Montrons la deuxi`
eme assertion.
Consid´
erons xA\Iet aAtel que x=xax.On a x(eax) = 0.L’id´
eal `
a
droite I+ (eax)Aest distinct de A. Il est donc contenu dans un id´
eal `
a droite
maximal Mde A. Cet id´
eal ne peut contenir x. D’o`
u le r´
esultat.
ii) Cons´
equence imm´
ediate de i).
iii) Soit Pun id´
eal premier et xA\P.Consid´
erons aAtel que x=xax. On a
x(eax) = 0. Par ailleurs,
xA(eax) = x(eax)A(eax) = {0}.
Il en r´
esulte que eax P.
Lemma 2.3. Soit A une F-alg`
ebre `
a id´
eaux `
a droites ferm´
es. Alors A est noeth´
e-
rienne.
D´
emonstration. D´
ecoule du fait que l’alg`
ebre, qui est m´
etrisable compl`
ete, est
un espace de Baire.
Preuve du th´
eor`
eme 2.1. Comme Aest une Q-alg`
ebre, tout id´
eal `
a droite maxi-
mal de Aest ferm´
e. Il en r´
esulte, par i) du Lemme 2.2, que tout id´
eal `
a droite
de Aest ferm´
e. D’apr`
es le Lemme 2.3, Aest noeth´
erienne. On va montrer que
tout id´
eal `
a droite de Acontient un produit fini d’id´
eaux premiers. Sinon, vu que
Aest noeth´
erienne, il existerait un id´
eal `
a droite Pmaximal n’ayant pas la pro-
pri´
et´
e cit´
ee ci-dessus. Un tel id´
eal est n´
ecessairement premier. En effet, soit Iet
Jdeux id´
eaux bilat`
eres de Atel que IJ P. Comme P+Iet P+Jcontiennent
Pet leur produit est contenu dans P, l’un d’eux doit coincider avec P. Ainsi
Iou Jest contenu dans P.D’o`
u la primalit´
e de P, ce qui ne peut ˆ
etre le cas.
Ainsi, en particulier, l’id´
eal nul contient un produit P
1...P
r, o`
u les P
isont des
id´
eaux premiers de Adeux `
a deux distincts. Il r´
esulte de iii) du Lemme 2.2, que
le morphisme canonique de
AA/P
1×... ×A/P
r
induit un isomorphisme de
A/P
1... P
rsur A/P
1×... ×A/P
r.
60 RACHID CHOUKRI - ABDELLAH EL KINANI
Cet isomorphisme, qui est continu, est bien bicontinu par le th´
eor`
eme de l’ap-
plication ouverte. Par ailleurs, d’apr`
es iii) du Lemme 2.2, les P
isont les seuls
id´
eaux `
a droite maximaux de A. Donc, par ii) du mˆ
eme lemme, on a
P
1... P
r={0}.
D’o`
u le r´
esultat.
En utilisant le th´
eor`
eme de Gelfand Mazur, nous obtenons comme cons´
e-
quences, les r´
esultats suivants.
Corollaire 2.4. Pour qu’une alg`
ebre de Banach r´
eelle unitaire A v´
erifie la
condition (2) il faut, et il suffit, qu’elle soit isomorphe `
a l’alg`
ebre Rr×Cs×Ht,
pour certains entiers r,s et t.
Corollaire 2.5. Pour qu’une alg`
ebre de Banach complexe unitaire v´
erifie la
condition (2) il faut, et il suffit, qu’elle soit isomorphe `
a l’alg`
ebre Cr, pour un
certain entier r.
Remarque 2.6. Le th´
eor`
eme 2.1 ne reste plus vrai sans la Q-propri´
et´
e. En effet,
soit Al’alg`
ebre des classes de fonctions complexes mesurables sur l’intervalle
[0,1].Munie de la topologie de la convergence en mesure, Adevient une F-
alg`
ebre. De plus, elle v´
erifie la condition (2). Mais elle n’est pas isomorphe `
a
un produit fini d’alg`
ebre qui sont des corps (ce produit est n´
ecessairement une
Q-alg`
ebre). Cependant, dans le cas Fr´
echet, on a le r´
esultat suivant :
Th´
eor`
eme 2.7. Soit A une F-alg`
ebre complexe de Fr´
echet et de dimension infi-
nie. Si A v´
erifie la condition (2), alors A est alg´
ebriquement et topologiquement
isomorphe `
a l’alg`
ebre CN.
D´
emonstration. Pour la preuve, nous aurons besoin du lemme suivant dont la
preuve ne pr´
esente aucune difficult´
e.
Lemma 2.8. Toute alg`
ebre unitaire norm´
ee v´
erifiant la condition (2) est une
Q-alg`
ebre.
Preuve du th´
eor`
eme 2.7. Soit (|.|n)nNune suite croissante de semi-normes
sous-multiplicatives d´
efinissant la topologie de A.Alors, pour tout n, la topolo-
gie quotient, sur l’alg`
ebre An=A/ker|.|n, est de Fr´
echet et plus fine que celle
d´
efinie par la norme induite par |.|n.De plus, l’alg`
ebre Anv´
erifie la condi-
tion (2). Donc, par le Lemme 2.8, Anest une Q-alg`
ebre. Par le th´
eor`
eme 2.1,
il existe un entier rntel que Anest isomorphe `
a l’alg`
ebre Crn. D’o`
u, d’apr`
es ([4],
Th´
eor`
eme 5.1, p.20), Aest la limite projective des An. D’o`
u le r´
esultat.
STRUCTURE DES QF–ALG `
EBRES AV´
ERIFIANT Ax =xAx 61
BIBLIOGRAPHIE
[1] J. Duncan - A. W. Tullo, Finite dimensionality nilpotents and quasinilpotents in
Banach algebras, Proc. Edinburgh Math. Soc. 19 (1974/75), 45–49.
[2] J. Esterle - M. Oudadess, Structures of Banach algebras A satisfying Ax2=Ax,
for every x A, Proc. Amer. Math. Soc. (1) 96 (1986), 91–94.
[3] C. Le Page, Sur quelques conditions entraˆ
ınant la commutativit´
e dans les alg`
ebres
de Banach, C. R. Acad. Sci. Paris. (Ser A-B), 265 (1967), 235–237.
[4] A. Michael, Locally multiplicatively convex topological algebra, Mem. Amer.
Math. Soc. 11, Providence 1952.
RACHID CHOUKRI
Ecole Normale Sup´
erieure
B. P. 5118, Rabat, 10105
Maroc
ABDELLAH EL KINANI
Ecole Normale Sup´
erieure
B. P. 5118, Rabat, 10105
Maroc
e-mail: abdellah [email protected]
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