STRUCTURE DES Q–F–ALG `EBRES A V ´ERIFIANT Ax = xAx

LE MATEMATICHE
Vol. LXIII (2008) – Fasc. II, pp. 57–61
STRUCTURE DES Q–F–ALG ` EBRES AV´ ERIFIANT
Ax =xAx, POUR TOUT x∈A
RACHID CHOUKRI - ABDELLAH EL KINANI
We give a complete characterization of Q-F-algebras Awhich satisfy
Ax =xAx for every x∈A.
1. Introduction
Soit Aune alg` ebre unitaire. Un id´ eal bilat` ere Pde A, distinct de A, est dit
premier si pour tous a,b∈Av´ erifiant aAb ⊂P, on a a∈Pou b∈P.Ce qui
´
equivaut ` a dire que, pour tous id´ eaux bilat` eres Iet Jde Atel que IJ ⊂P, on a
I⊂Pou J⊂P.L’alg` ebre Aest dite noeth´ erienne (` a droite) si la famille de ses
id´ eaux ` a droites satisfait la condition de la chaine ascendante. On dira que Aest
une F-alg` ebre si elle est munie d’une topologie d’alg` ebre qui est m´ etrisable et
compl` ete. Une telle alg` ebre est dite de Fr´ echet si sa topologie peut ˆ etre d´ efinie
par une famille de semi-normes sous-multiplicatives. Une F-alg` ebre dont le
groupe des ´ el´ ements inversibles est ouvert est dite une Q-F-alg` ebre. Rappelons
enfin qu’un espace topologique s´ epar´ e non vide (E,τ)est dit de Baire, si pour
chaque suite (An)nde ferm´ es de (E,τ)d’int´ erieurs vides, la reunion Ades Ana
un int´ erieur vide. Dans toute la suite et sauf mention du contraire, les alg` ebres
consid´ er´ ees sont r´ eelles, Hd´ esignera l’alg` ebre des quaternions r´ eelles et CN
Entrato in redazione: 28 febbraio 2008
AMS 2000 Subject Classification: 46J40
Keywords: Q-algebre, F-algebre, alg` ebre de Fr´ echet, id´ eal bilat` ere, id´ eal premie, id´ eal maximal,
alg` ebre noeth´ erienne.

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l’alg` ebre des suites complexes. On munit CNde la topologie munie topologie
produit. Elle devient ainsi une F-alg` ebre de Fr´ echet.
Dans une alg` ebre de Banach complexe unitaire, C. Le Page ([3]) a consid´ er´ e
la condition suivante :
Ax =Ax2,pour tout x∈A(1)
Il a montr´ e qu’une telle alg` ebre est semi-simple et commutative. J. Duncan et
A. W. Tullo ([1]) ont montr´ e qu’elle est en fait de dimension finie. Ce sont J.
Esterle et M. Oudadess ([2]) qui ont donn´ e une description compl` ete de toute
alg` ebre de Banach complexe Av´ erifiant (1) ; elle est de la forme Cn⊕RadA,
avec nun entier naturel. Dans cette note, nous consid´ erons la condition
Ax =xAx,pour tout x∈A(2)
dans un cadre beaucoup plus g´ en´ eral. Nous montrons (Th´ eor` eme 2.1) que, pour
qu’une Q-F-alg` ebre unitaire Av´ erifie la condition (2), il faut, et il suffit, que
Asoit alg` ebriquement et topologiquement isomorphe ` a un produit fini de F-
alg` ebres qui sont des corps. Comme cons´ equence, nous obtenons (Corollaire
2.4) qu’une alg` ebre de Banach r´ eelle unitaire v´ erifie la condition (2), si, et seule-
ment, si elle est isomorphe ` a l’alg` ebre Rr×Cs×Ht, o` ur,set tsont des entiers.
Dans le cas non n´ ecessairement Q-alg` ebre, nous montrons (Th´ eor` eme 2.7) que
si Aest une F-alg` ebre de Fr´ echet complexe de dimension infinie et v´ erifiant (2),
alors elle est alg` ebriquement et topologiquement isomorphe ` a l’alg` ebre CN.
2. R´ esultats principaux
Il est clair qu’une alg` ebre, non n´ ecessairement topologique, qui est iso-
morphe ` a un produit fini de corps v´ erifie la condition (2). La r´ eciproque, qui
est fausse en g´ en´ eral, est vraie dans une grande classe d’alg` ebres topologiques
comme le montre le th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 2.1. Soit A une Q-F-alg` ebre unitaire. Les assertions suivantes sont
´
equivalentes :
i) A v´ erifie la condition (2).
ii) A est alg´ ebriquement et topologiquement isomorphe ` a un produit fini de
F-alg` ebres qui sont des corps.
D´ emonstration. L’implication ii) =⇒i) est claire. Pour la r´ eciproque, nous
avons besoin des lemmes suivants.
Lemma 2.2. Soit A une alg` ebre unitaire non n´ ecessairement topologique v´ eri-
fiant la condition (2). Alors :

STRUCTURE DES Q–F–ALG ` EBRES AV´ ERIFIANT Ax =xAx 59
i) Tout id´ eal ` a droite de A, distinct de A, est bilat` ere. De plus, il est ´ egal ` a
l’intersection de tous les id´ eaux ` a droite maximaux de A le contenant.
ii) A est semi-simple.
iii) Le quotient de A par tout id´ eal premier est un corps.
D´ emonstration. i) Soit Iun id´ eal ` a droite de A, distinct de A. La condition (2)
implique que Iest n´ ecessairement bilat` ere. Montrons la deuxi` eme assertion.
Consid´ erons x∈A\Iet a∈Atel que x=xax.On a x(e−ax) = 0.L’id´ eal ` a
droite I+ (e−ax)Aest distinct de A. Il est donc contenu dans un id´ eal ` a droite
maximal Mde A. Cet id´ eal ne peut contenir x. D’o` u le r´ esultat.
ii) Cons´ equence imm´ ediate de i).
iii) Soit Pun id´ eal premier et x∈A\P.Consid´ erons a∈Atel que x=xax. On a
x(e−ax) = 0. Par ailleurs,
xA(e−ax) = x(e−ax)A(e−ax) = {0}.
Il en r´ esulte que e−ax ∈P.
Lemma 2.3. Soit A une F-alg` ebre ` a id´ eaux ` a droites ferm´ es. Alors A est noeth´ e-
rienne.
D´ emonstration. D´ ecoule du fait que l’alg` ebre, qui est m´ etrisable compl` ete, est
un espace de Baire.
Preuve du th´ eor` eme 2.1. Comme Aest une Q-alg` ebre, tout id´ eal ` a droite maxi-
mal de Aest ferm´ e. Il en r´ esulte, par i) du Lemme 2.2, que tout id´ eal ` a droite
de Aest ferm´ e. D’apr` es le Lemme 2.3, Aest noeth´ erienne. On va montrer que
tout id´ eal ` a droite de Acontient un produit fini d’id´ eaux premiers. Sinon, vu que
Aest noeth´ erienne, il existerait un id´ eal ` a droite Pmaximal n’ayant pas la pro-
pri´ et´ e cit´ ee ci-dessus. Un tel id´ eal est n´ ecessairement premier. En effet, soit Iet
Jdeux id´ eaux bilat` eres de Atel que IJ ⊂P. Comme P+Iet P+Jcontiennent
Pet leur produit est contenu dans P, l’un d’eux doit coincider avec P. Ainsi
Iou Jest contenu dans P.D’o` u la primalit´ e de P, ce qui ne peut ˆ etre le cas.
Ainsi, en particulier, l’id´ eal nul contient un produit P
1...P r, o`
u les P
isont des
id´ eaux premiers de Adeux ` a deux distincts. Il r´ esulte de iii) du Lemme 2.2, que
le morphisme canonique de
A→A/P
1×... ×A/P r
induit un isomorphisme de
A/P
1∩... ∩P rsur A/P 1×... ×A/P r.

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Cet isomorphisme, qui est continu, est bien bicontinu par le th´ eor` eme de l’ap-
plication ouverte. Par ailleurs, d’apr` es iii) du Lemme 2.2, les P
isont les seuls
id´ eaux ` a droite maximaux de A. Donc, par ii) du mˆ eme lemme, on a
P
1∩... ∩P r={0}.
D’o` u le r´ esultat.
En utilisant le th´ eor` eme de Gelfand Mazur, nous obtenons comme cons´ e-
quences, les r´ esultats suivants.
Corollaire 2.4. Pour qu’une alg` ebre de Banach r´ eelle unitaire A v´ erifie la
condition (2) il faut, et il suffit, qu’elle soit isomorphe ` a l’alg` ebre Rr×Cs×Ht,
pour certains entiers r,s et t.
Corollaire 2.5. Pour qu’une alg` ebre de Banach complexe unitaire v´ erifie la
condition (2) il faut, et il suffit, qu’elle soit isomorphe ` a l’alg` ebre Cr, pour un
certain entier r.
Remarque 2.6. Le th´ eor` eme 2.1 ne reste plus vrai sans la Q-propri´ et´ e. En effet,
soit Al’alg` ebre des classes de fonctions complexes mesurables sur l’intervalle
[0,1].Munie de la topologie de la convergence en mesure, Adevient une F-
alg` ebre. De plus, elle v´ erifie la condition (2). Mais elle n’est pas isomorphe ` a
un produit fini d’alg` ebre qui sont des corps (ce produit est n´ ecessairement une
Q-alg` ebre). Cependant, dans le cas Fr´ echet, on a le r´ esultat suivant :
Th´ eor` eme 2.7. Soit A une F-alg` ebre complexe de Fr´ echet et de dimension infi-
nie. Si A v´ erifie la condition (2), alors A est alg´ ebriquement et topologiquement
isomorphe ` a l’alg` ebre CN.
D´ emonstration. Pour la preuve, nous aurons besoin du lemme suivant dont la
preuve ne pr´ esente aucune difficult´ e.
Lemma 2.8. Toute alg` ebre unitaire norm´ ee v´ erifiant la condition (2) est une
Q-alg` ebre.
Preuve du th´ eor` eme 2.7. Soit (|.|n)n∈Nune suite croissante de semi-normes
sous-multiplicatives d´ efinissant la topologie de A.Alors, pour tout n, la topolo-
gie quotient, sur l’alg` ebre An=A/ker|.|n, est de Fr´ echet et plus fine que celle
d´ efinie par la norme induite par |.|n.De plus, l’alg` ebre Anv´ erifie la condi-
tion (2). Donc, par le Lemme 2.8, Anest une Q-alg` ebre. Par le th´ eor` eme 2.1,
il existe un entier rntel que Anest isomorphe ` a l’alg` ebre Crn. D’o` u, d’apr` es ([4],
Th´ eor` eme 5.1, p.20), Aest la limite projective des An. D’o` u le r´ esultat.

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BIBLIOGRAPHIE
[1] J. Duncan - A. W. Tullo, Finite dimensionality nilpotents and quasinilpotents in
Banach algebras, Proc. Edinburgh Math. Soc. 19 (1974/75), 45–49.
[2] J. Esterle - M. Oudadess, Structures of Banach algebras A satisfying Ax2=Ax,
for every x ∈A, Proc. Amer. Math. Soc. (1) 96 (1986), 91–94.
[3] C. Le Page, Sur quelques conditions entraˆ ınant la commutativit´ e dans les alg` ebres
de Banach, C. R. Acad. Sci. Paris. (Ser A-B), 265 (1967), 235–237.
[4] A. Michael, Locally multiplicatively convex topological algebra, Mem. Amer.
Math. Soc. 11, Providence 1952.
RACHID CHOUKRI
Ecole Normale Sup´ erieure
B. P. 5118, Rabat, 10105
Maroc
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ABDELLAH EL KINANI
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