Chapitre. Rappel de vocabulaire: ABC est un triangle rectangle en A. [BC] est l'hypoténuse. Trigonométrie B hypoténuse [AB] est le côté adjacent à l'angle d B. [AC] est le côté opposé à l'angle d B. [AC] est le côté adjacent à l'angle d C. C A [AB] est le côté opposé à l'angle d C I. Cosinus, sinus, tangente d’un angle aigu Soit BAC un triangle rectangle en A, on définit • le cosinus de l’angle d B , noté cos d B le rapport AB ; BC AC • le sinus de l’angle d B , noté sin d B le rapport BC ; AC • la tangente de l’angle d B notée tan d B , le rapport AB remarque 1: sin d B = cos d B = longueur du côté adjacent à d B longueur de l’hypoténuse longueur du côté opposé à d B longueur de l’hypoténuse tan d B = longueur du côté opposé à d B B longueur du côté adjacent à d remarque 2: Le cosinus et le sinus d’un angle aigu sont compris entre 0 et 1. La tangente d’un angle aigu est un nombre positif. II. Deux formules fondamentales cos 2 x + sin 2 x = 1 sin x cos x sin x AC BC démonstration : = × cos BC AB sin x AC = cos AB sin x = tan x . cos tan x = démonstration : cos 2 x + sin 2 x = ( AB 2 AC 2 ) +( ) BC BC AB2 AC2 + BC2 BC2 2 AB + AC2 cos 2 x + sin 2 x = , BC2 par le théorème de Pythagore, AB2 + AC2 = BC2 donc cos 2 x + sin 2 x = 1 cos 2 x + sin 2 x = remarque 1: Application au quart de cercle de rayon 1 : Dans un repère orthonormé (O, I, J), un point M du premier quart de cercle de centre O de rayon 1 a pour coordonnées: PON. M (cos x, sin x ) où x est une mesure de l’angle a démonstration: M a pour coordonnées (OP; OR) dans ce repère. OP OP cos x = Donc cos x = OM 1 MP OR OR = MP, donc sin x = sin x = OM 1 De plus: tan x = IN OI donc tan x = IN 1 cos x = OP 1 J M N sin x sin x = OR tan x = IN Quelques valeurs trigonométriques à connaître: R O P cos x I 1 III. Et dans les exercices Voici quelques petits trucs pour faire plus facilement les exercices 1) On cherche à connaître un angle. Enoncé de l'exercice: ABC est un triangle rectangle en A avec AB = 13 cm et AC = 8 cm. Déterminer une valeur arrondie au degré de a ABC . Procédure: 1) On vérifie que cet angle est un angle de triangle rectangle: on écrit: "Le Le triangle ABC est rectangle en A". 2) On regarde si on connaît : • l'hypoténuse et le côté adjacent de l'angle On va utiliser le cosinus de l'angle. • l'hypoténuse et le côté opposé à cet angle On va utiliser le sinus de l'angle. • le côté opposé et le côté adjacent à l'angle On va utiliser la tangente de l'angle. 3) On écrit la formule qui nous intéresse: ici, on connaît le côté opposé et le côté adjacent à l'angle. On va donc utiliser la tangente de l'angle. AC On écrit: "tan a ABC = " AB 8 ABC = " "tan a 13 5) On a maintenant besoin de la calculatrice pour trouver une valeur approchée de l'angle: Sur la plupart des calculatrices récentes, on tape la procédure suivante: sur Casio fx-92 CollègeII: I0G JOWXZKa écriture à l'écran: tan-1 ( 8 ÷ 1 3 ) Sur Texas Instruments TI Collège écriture à l'écran: &` M @ F H:D tan-1( 8 ÷ 1 3 ) La calculatrice va écrire le résultat suivant: 31.60750225 C'est une valeur arrondie de l'angle. "a ABC % 32 °". On va donc noter sur la copie: Au bilan, voilà ce qui apparaît sur la copie: Le triangle ABC est rectangle en A. donc tan a ABC = AC AB tan a ABC = 8 13 donc a ABC % 32 ° 2) On cherche une longueur. Enoncé de l'exercice: On considère un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 5 cm et a ACB = 40 °. Déterminer une valeur arrondie au dixième de BC. Procédure: 1) On vérifie que cet angle est un angle de triangle rectangle: on écrit: "Le Le triangle ABC est est rectangle en A". 2) On regarde si on connaît : • l'hypoténuse et le côté adjacent de l'angle On va utiliser le cosinus de l'angle. • l'hypoténuse et le côté opposé à cet angle On va utiliser le sinus de l'angle. • le côté opposé et le côté adjacent à l'angle On va utiliser la tangente de l'angle. 3) On écrit la formule qui nous intéresse: ici, on connaît l'hypoténuse et le côté à l'angle. On va donc utiliser le sinus de l'angle. AB ACB = " On écrit: " sin a BC Ce qui nous intéresse, c'est de déterminer la longueur BC. Faut-il multiplier ? diviser ? Pour être sûr de ne pas se tromper, on va transformer cette écrire pour faire apparaître un produit en croix. on écrit: " sin a ACB AB = " 1 BC La division par 1 ne change pas la valeur du premier membre. Ici, on obtient donc on écrit: "BC = AB × 1 " a sin ACB 5×1 " "BC = sin 40 La calculatrice donne sur son écran: 7.778619134 On écrit: Au bilan, voilà ce qui apparaît sur la copie: "BC % 7,8 cm" Le triangle ABC est rectangle en A. sin a ACB = AB BC soit BC = BC = AB × 1 sin a ACB 5×1 cm sin 40 BC % 7,8 cm sin a ACB AB = 1 BC Il est évident que pour faire ces exercices, il faut connaître par cœur les relations: remarque 1: cos d B = B longueur du côté adjacent à d longueur de l’hypoténuse sin d B = B longueur du côté opposé à d longueur de l’hypoténuse tan d B = IV. B longueur du côté opposé à d longueur du côté adjacent à d B Quelques valeurs remarquables à connaître mesure de l'angle en degrés 30 45 60 cosinus 3 2 1 2 sinus 1 2 2 1 ou 2 2 2 1 ou 2 2 tangente 3 1 ou 3 3 1 3 2 3