LA SEMI-CARACTÉRISTIQUE D`EULER-POINCARÉ DES

Bull. Soc. math. France,
122, 1994, p. 225–233.
LA SEMI-CARACT´ ERISTIQUE D’EULER-POINCAR´ E
DES FAISCEAUX ω-QUADRATIQUES SUR UN
SCH´ EMA DE COHEN-MACAULAY
PAR
Christoph SORGER (*)
R´
ESUM´ E.—Soitf:X→Sun morphisme projectif de Cohen-Macaulay de dimen-
sion relative pure nentre sch´emas de type fini sur un corps alg´ebriquement clos. Nous
donnons la d´efinition d’un faisceau ωX/S -quadratique (resp. ωX/S -symplectique) de
dimension msur les fibres de fet montrons que le th´eor`eme d’invariance mod 2 de
Atiyah-Rees, Mumford et Kempf reste valable dans ce cadre plus g´en´eral. Ensuite,
nous l’appliquons `alavari´et´e de modules des faisceaux quadratiques semi-stables
QuadX/S (r)de[8]relative`a un morphisme de Gorenstein de dimension 1.
ABSTRACT.—Letf:X→Sbe a projective Cohen-Macaulay morphism of pure
relative dimension nbetween schemes of finite type over an algebraically closed field.
We give the definition of a ωX/S -quadratic (ωX/S -symplectic) sheaf of dimension mon
the fibres of fand show that the invariance mod 2 theorem of Atiyah-Rees, Mumford
and Kempf is still valid in this more general context. We then apply the theorem
to the moduli space of semi-stable quadratic sheaves QuadX/S (r) of [8] relative to a
Gorenstein morphism of dimension 1.
0. Introduction
Dans ce qui suit, soient kun corps alg´ebriquement clos et f:X→S
un morphisme projectif de Cohen-Macaulay (voir [EGA IV-2, §§ 6.6–6.8])
de dimension relative pure nentre k-sch´emas de type fini.
TH´
EOR` EME 0.1. — Supposons car(k)=2.SoitFun faisceau coh´erent
sur Xde dimension msur les fibres de f,suppos´eωX/S -quadratique si
(*) Texte re¸cu le 29 septembre 1992, r´evis´ele1f´evrier 1993.
C. SORGER, URA 212 du CNRS et UFR de Math´ematiques, Universit´edeParisVII,
aile 45–55, 5e´etage, 2, place Jussieu F 75251 Paris CEDEX 05.
email : [e-mail].
Classification AMS : 14 F 05.
BULLETINDELASOCI
´
ET´ EMATH
´
EMATIQUE DE FRANCE 0037–9484/1994/225/$ 5.00
c
Soci´et´emath´ematique de France

226 C. SORGER
m≡1mod4 et ωX/S -symplectique si m≡3mod4. Alors la fonction
ρ:S→N,d´efinie par
ρ(s):= 
ipair
dim Hi(Xs,Fs),
est localement constante modulo 2.
Dans le cas n=m=1,flisse et Flocalement libre, ce th´eor`eme — qui
remonte `aR
IEMANN —estd´emontr´eparATIYAH [1] et MUMFORD [6]. Dans
le cas n=mquelconque, flisse et Flocalement libre, il est d´emontr´een
caract´eristique 0 par ATIYAH et REES [2], puis en toute caract´eristique =2
par KEMPF [4] sous l’hypoth`ese suppl´ementaire que les fibres de fsoient
connexes. Le cas n=2,m= 1 figure dans [8].
L’int´erˆet de cette g´en´eralisation vient du fait qu’il est parfois im-
portant de consid´erer le cas o`u les fibres de fsont singuli`eres, voire
non r´eduites, non forc´ement connexes, par exemple si f:D→C
est la courbe universelle de degr´edsur une surface projective. Le
but de cette note est de montrer comment on peut formuler et d´e-
montrer ce th´eor`eme dans ce cadre plus g´en´eral. La d´emonstration
s’inspire de la d´emonstration r´ecente de KEMPF [4] et est bas´ee sur
l’observation plus forte suivante (PROPOSITION 2.1) : si L•est une
approximation de longueur mde la cohomologie de F, la structure ω-
quadratique (resp. ω-symplectique) donn´ee par l’isomorphisme sym´etrique
(resp. antisym´etrique) F→Extn−m
OX(F,ω
X/S ) induit, grˆace `aladualit´ede
Serre-Grothendieck, un isomorphisme sym´etrique (resp. antisym´etrique)
L•→L•∗[−m] dans la cat´egorie d´eriv´ee Db
c(S).
Je voudrais remercier B. KELLER et J. LEPOTIER pour les discussions
que nous avons eues sur le sujet.
APPLICATION.—Soitf:X→Sun morphisme projectif de vari´et´es
alg´ebriques irr´eductibles sur Cet supposons que fsoit de Gorenstein
de dimension relative 1. Alors on peut construire, pour r∈N, une
vari´et´eQX/S (r)surStel que au-dessus de tout point ferm´es∈S,
la fibre s’identifie `a l’espace de modules des faisceaux quadratiques de
multiplicit´ersur Xs(cf. [8]). On d´eduit du th´eor`eme que QX/S (r)aau
moins deux composantes.
NOTATIONS
•On note Xsla fibre de fau-dessus du point set si Fest un faisceau
sur X, on note par Fsla restriction de F`a Xs.
•Si (L•,d
L) est un complexe de OS-modules, on d´esigne par L•[m]
le complexe translat´edemplaces `a gauche, de diff´erentielle (−1)mdLet
TOME 122 — 1994 — N◦2

LA SEMI-CARACT´ ERISTIQUE D’EULER-POINCAR´ E227
par τ≤m(L•)lesous-complexedeLd´efini par
···→Lm−2→Lm−1→Ker(dm)→0.
•Si (K•,d
K) est un autre complexe de OS-modules, le complexe de
OS-modules Hom•(L•,K•)estd´efini en degr´enpar
−p+q=n
Hom(Lp,Kq),
dediff´erentielle d(f)p=dK◦fp−(−1)nfp+1 ◦dL. Finalement, on note L•∗
le complexe Hom(L•,OS).
•Par D(S), on d´esigne la cat´egorie d´eriv´ee de Mod(S); par Dc(S)la
sous-cat´egorie pleine des complexes `a cohomologie coh´erente ; par Db(S)
la sous-cat´egorie pleine des complexes born´es `a gauche et `a droite et enfin,
par Db
c(S) l’intersection dans D(S)deDc(S)avecDb(S).
1. Faisceaux ωX/S-quadratiques (ωX/S-symplectiques)
Le cas absolu. — Soit (X, OX(1)) un sch´ema projectif de Cohen-
Macaulay de dimension pure nsur un corps K.OnnoteωXle faisceau
dualisant sur X.
LEMME 1.1. — Soit Fun faisceau coh´erent de dimension msur X.
On a :
(i) Exti(F,ω
X)=0pour i<n−m.
(ii) Si Fest de Cohen-Macaulay,alors Exti(F,ω
X)=0pour
i>n−m.
D´emonstration. — En effet, si (A, M) est un anneau local nœth´erien
de Cohen-Macaulay, Dun A-module dualisant, alors pour tout A-module
de type fini Mon a la formule (voir [7])
profA(M)+max
iExti
A(M,D)=0
=dim(A),
ce qui d´emontre la deuxi`eme assertion. La premi`ere assertion est bien
connue et se d´eduit par exemple du th´eor`eme d’Ischebeck [5] en remar-
quant que profA(D)=dim(A).
Soit Fun faisceau coh´erent de Cohen-Macaulay de dimension msur X.
Soit c=n−m.Onpose:
F∨:= Extc
OX(F,ω
X).
On d´eduit du lemme que le morphisme canonique d’´evaluation F→F
∨∨
est un isomorphisme.
BULLETINDELASOCI
´
ET´ EMATH
´
EMATIQUE DE FRANCE

228 C. SORGER
D´
EFINITION 1.2. — On appelle faisceau ωX-quadratique (resp. ωX-sym-
plectique)surXla donn´ee d’un faisceau coh´erent de Cohen-Macaulay F
muni d’un isomorphisme σ:F→F
∨satisfaisant `a la condition de
sym´etrie σ=σ∨(resp. σ=−σ∨)
Consid´erons le plongement X→PN
Kdonn´eparOX(1). Soit d=N−n.
Rappelons qu’on a l’isomorphisme canonique
Exti
OX(F,ω
X)Exti+d
OP(F,ω
P).
En particulier,
Exti
OP(F,ω
P)=0 sii=c+d,
Extc
OX(F,ω
X)sii=c+d.
Le cas relatif. — Soit f:X→Sun morphisme projectif de Cohen-
Macaulay de dimension relative pure nentre k-sch´emas de type fini. On
note ωX/S le faisceau dualisant relatif. Soit Fun faisceau coh´erent sur X
dedimensionmsur les fibres de fet soit c=n−m.Onpose:
F∨:= Extc
OX(F,ω
X/S ).
Consid´erons un plongement de Xdans un espace projectif relatif au-
dessus de S:
X−→ PN
S
S
Posons d=N−n.Danslad´emonstration de la proposition suivante
(d´emontr´ee dans [8] si n=m= 1), on utilisera la suite spectrale sui-
vante, reliant les groupes de cohomologie Exti
OP(F,G)set Exti OPs(Fs,Gs)
pour s∈S.
LEMME 1.3. — Soit p:P→Sun morphisme projectif et lisse,soient F
et Gdeux faisceaux coh´erents sur P,S-plats et s∈S.Alorsonalasuite
spectrale
Ep,q
2=Tor
OP
−pExtq
OP(F,G),OPs=⇒Extp+q OPs(Fs,Gs).
D´emonstration.—Soit la dimension relative de p. On peut choisir
une r´esolution
0→L
−→···→L 0→F→0
TOME 122 — 1994 — N◦2

LA SEMI-CARACT´ ERISTIQUE D’EULER-POINCAR´ E229
de Fconstitu´ee de faisceaux localement libres sur P, le morphisme f
´etant lisse. Consid´erons le complexe H•=Hom
•(L•,G). La cohomologie
de ce complexe s’identifie `aExt
i
OP(F,G)endegr´ei.SoientKi=H−i
et Fle foncteur ? ⊗OPOPspour s∈S. Puisque Gest S-plat, le
complexe K•est F-acyclique. Par suite les hypertor Tori(K•) s’identifient
`a Hi(K•⊗OPOPs). Consid´erons la suite spectrale des hypertor :
E2
p,q =Tor
OP
pHq(K•),OPs=⇒Tor p+q(K•).
On pose Ep,q
2=E2
−p,−qet Mi=K−i. La suite spectrale se lit :
Ep,q
2=Tor
OP
−pExtq
OP(F,G),OPs=⇒Hp+q(M•⊗OPOPs).
La S-platitude de Fsignifie que L•
s→F
sest encore une r´esolution de Fs.
On en d´eduit que Hp+q(M•⊗OPOPs)=Ext
p+q
OPs(Fs,Gs), d’o`u le lemme.
PROPOSITION 1.4. — Supposons que Fest S-platettelqueFssoit de
Cohen-Macaulay pour tout s∈S.AlorsF∨est encore S-plat.
D´emonstration.—Consid´erons Fsur P=PN
S.Leshypoth`eses sur F
impliquent qu’il existe une r´esolution L•→Fpar des faisceaux localement
libres sur Pde longueur c+d.Onend´eduit
Exti
OP(F,ω
P/S )=0 pour i>c+d.
De la suite spectrale, on d´eduit que
Tor OP
1Extc+d
OP(F,ω
P/S ),OPs=0
pour tout point s∈S,d’o`ulaS-platitude de Extc+d
OP(F,ω
P/S ). De plus,
Exti
OP(F,ω
P/S )=0pouri<c+d. Montrons maintenant qu’on a
l’isomorphisme
Extc
OX(F,ω
X/S )∼
−−→ Extc+d
OP(F,ω
P/S ).
Supposons d’abord c= 0 et consid´erons une r´esolution de Fpar des
faisceaux localement libres sur X:
L−1→L
0
−−→F→0.
Soit Ele noyau de ".AlorsEest S-plat et Esest de Cohen-Macaulay pour
tout s∈S. En particulier, on a Exti
OP(E,ω
P/S )=0pouri<det le
diagramme commutatif de suites exactes :
0→HomOX(F,ω
X/S )−→ HomOX(L0,ω X/S )−→ HomOX(L−1,ω X/S )
0→Extd
OP(F,ω
P/S )−−→ Extd
OP(L0,ω
P/S )−−→ Extd
OP(L−1,ω
P/S ).
BULLETINDELASOCI
´
ET´ EMATH
´
EMATIQUE DE FRANCE