LA SEMI-CARACTÉRISTIQUE D`EULER-POINCARÉ DES

Bull. Soc. math. France,
122, 1994, p. 225–233.
LA SEMI-CARACTÉRISTIQUE D’EULER-POINCARÉ
DES FAISCEAUX ω-QUADRATIQUES SUR UN
SCHÉMA DE COHEN-MACAULAY
PAR
Christoph SORGER (*)
RÉSUMÉ. — Soit f : X → S un morphisme projectif de Cohen-Macaulay de dimension relative pure n entre schémas de type fini sur un corps algébriquement clos. Nous
donnons la définition d’un faisceau ωX/S -quadratique (resp. ωX/S -symplectique) de
dimension m sur les fibres de f et montrons que le théorème d’invariance mod 2 de
Atiyah-Rees, Mumford et Kempf reste valable dans ce cadre plus général. Ensuite,
nous l’appliquons à la variété de modules des faisceaux quadratiques semi-stables
QuadX/S (r) de [8] relative à un morphisme de Gorenstein de dimension 1.
ABSTRACT. — Let f : X → S be a projective Cohen-Macaulay morphism of pure
relative dimension n between schemes of finite type over an algebraically closed field.
We give the definition of a ωX/S -quadratic (ωX/S -symplectic) sheaf of dimension m on
the fibres of f and show that the invariance mod 2 theorem of Atiyah-Rees, Mumford
and Kempf is still valid in this more general context. We then apply the theorem
to the moduli space of semi-stable quadratic sheaves QuadX/S (r) of [8] relative to a
Gorenstein morphism of dimension 1.
0. Introduction
Dans ce qui suit, soient k un corps algébriquement clos et f : X → S
un morphisme projectif de Cohen-Macaulay (voir [EGA IV-2, §§ 6.6–6.8])
de dimension relative pure n entre k-schémas de type fini.
THÉORÈME 0.1. — Supposons car(k) = 2. Soit F un faisceau cohérent
sur X de dimension m sur les fibres de f , supposé ωX/S -quadratique si
(*) Texte reçu le 29 septembre 1992, révisé le 1 février 1993.
C. SORGER, URA 212 du CNRS et UFR de Mathématiques, Université de Paris VII,
aile 45–55, 5e étage, 2, place Jussieu F 75251 Paris CEDEX 05.
email : [email protected].
Classification AMS : 14 F 05.
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c Société mathématique de France
0037–9484/1994/225/$ 5.00
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C. SORGER
m ≡ 1 mod 4 et ωX/S -symplectique si m ≡ 3 mod 4. Alors la fonction
ρ : S → N, définie par
dim H i (Xs , Fs ),
ρ(s) :=
i pair
est localement constante modulo 2.
Dans le cas n = m = 1, f lisse et F localement libre, ce théorème — qui
remonte à RIEMANN — est démontré par ATIYAH [1] et MUMFORD [6]. Dans
le cas n = m quelconque, f lisse et F localement libre, il est démontré en
caractéristique 0 par ATIYAH et REES [2], puis en toute caractéristique = 2
par KEMPF [4] sous l’hypothèse supplémentaire que les fibres de f soient
connexes. Le cas n = 2, m = 1 figure dans [8].
L’intérêt de cette généralisation vient du fait qu’il est parfois important de considérer le cas où les fibres de f sont singulières, voire
non réduites, non forcément connexes, par exemple si f : D → C
est la courbe universelle de degré d sur une surface projective. Le
but de cette note est de montrer comment on peut formuler et démontrer ce théorème dans ce cadre plus général. La démonstration
s’inspire de la démonstration récente de KEMPF [4] et est basée sur
l’observation plus forte suivante (PROPOSITION 2.1) : si L• est une
approximation de longueur m de la cohomologie de F , la structure ωquadratique (resp. ω-symplectique) donnée par l’isomorphisme symétrique
(resp. antisymétrique) F → Ext n−m
OX (F , ωX/S ) induit, grâce à la dualité de
Serre-Grothendieck, un isomorphisme symétrique (resp. antisymétrique)
L• → L•∗ [−m] dans la catégorie dérivée Dcb (S).
Je voudrais remercier B. KELLER et J. LE POTIER pour les discussions
que nous avons eues sur le sujet.
APPLICATION. — Soit f : X → S un morphisme projectif de variétés
algébriques irréductibles sur C et supposons que f soit de Gorenstein
de dimension relative 1. Alors on peut construire, pour r ∈ N, une
variété QX/S (r) sur S tel que au-dessus de tout point fermé s ∈ S,
la fibre s’identifie à l’espace de modules des faisceaux quadratiques de
multiplicité r sur Xs (cf. [8]). On déduit du théorème que QX/S (r) a au
moins deux composantes.
NOTATIONS
• On note Xs la fibre de f au-dessus du point s et si F est un faisceau
sur X, on note par Fs la restriction de F à Xs .
•
•
• Si (L , dL ) est un complexe de OS -modules, on désigne par L [m]
m
le complexe translaté de m places à gauche, de différentielle (−1) dL et
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par τ≤m (L• ) le sous-complexe de L défini par
· · · → Lm−2 → Lm−1 → Ker(dm ) → 0.
Si (K • , dK ) est un autre complexe de OS -modules, le complexe de
OS -modules Hom • (L• , K • ) est défini en degré n par
Hom(Lp , K q ),
•
−p+q=n
de différentielle d(f ) = dK ◦f p −(−1)n f p+1 ◦dL . Finalement, on note L•∗
le complexe Hom(L• , OS ).
• Par D(S), on désigne la catégorie dérivée de Mod(S) ; par Dc (S) la
sous-catégorie pleine des complexes à cohomologie cohérente ; par Db (S)
la sous-catégorie pleine des complexes bornés à gauche et à droite et enfin,
par Dcb (S) l’intersection dans D(S) de Dc (S) avec Db (S).
p
1. Faisceaux ωX/S -quadratiques (ωX/S -symplectiques)
Le cas absolu. — Soit (X, OX (1)) un schéma projectif de CohenMacaulay de dimension pure n sur un corps K. On note ωX le faisceau
dualisant sur X.
LEMME 1.1. — Soit F un faisceau cohérent de dimension m sur X.
On a :
(i) Ext i (F , ωX ) = 0 pour i < n − m.
(ii) Si F est de Cohen-Macaulay, alors Ext i (F , ωX ) = 0 pour
i > n − m.
Démonstration. — En effet, si (A, M) est un anneau local nœthérien
de Cohen-Macaulay, D un A-module dualisant, alors pour tout A-module
de type fini M on a la formule (voir [7])
prof A (M ) + max ExtiA (M, D) = 0 = dim(A),
i
ce qui démontre la deuxième assertion. La première assertion est bien
connue et se déduit par exemple du théorème d’Ischebeck [5] en remarquant que prof A (D) = dim(A) .
Soit F un faisceau cohérent de Cohen-Macaulay de dimension m sur X.
Soit c = n − m. On pose :
F ∨ := Ext cOX (F , ωX ).
On déduit du lemme que le morphisme canonique d’évaluation F → F ∨∨
est un isomorphisme.
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DÉFINITION 1.2. — On appelle faisceau ωX -quadratique (resp. ωX -symplectique) sur X la donnée d’un faisceau cohérent de Cohen-Macaulay F
muni d’un isomorphisme σ : F → F ∨ satisfaisant à la condition de
symétrie σ = σ ∨ (resp. σ = −σ ∨ )
Considérons le plongement X → PN
K donné par OX (1). Soit d = N − n.
Rappelons qu’on a l’isomorphisme canonique
Ext iOX (F , ωX ) Ext i+d
OP (F , ωP ).
En particulier,
Ext iOP (F , ωP )
=0
si i = c + d,
si i = c + d.
Ext cOX (F , ωX )
Le cas relatif. — Soit f : X → S un morphisme projectif de CohenMacaulay de dimension relative pure n entre k-schémas de type fini. On
note ωX/S le faisceau dualisant relatif. Soit F un faisceau cohérent sur X
de dimension m sur les fibres de f et soit c = n − m. On pose :
F ∨ := Ext cOX (F , ωX/S ).
Considérons un plongement de X dans un espace projectif relatif audessus de S :
X
−→ PN
S


S
Posons d = N − n. Dans la démonstration de la proposition suivante
(démontrée dans [8] si n = m = 1), on utilisera la suite spectrale suivante, reliant les groupes de cohomologie Ext iOP (F , G)s et Ext iOPs (Fs , Gs )
pour s ∈ S.
LEMME 1.3. — Soit p : P → S un morphisme projectif et lisse, soient F
et G deux faisceaux cohérents sur P , S-plats et s ∈ S. Alors on a la suite
spectrale
q
P
E2p,q = Tor O
=⇒ Ext p+q
−p Ext OP (F , G), OPs
OPs (Fs , Gs ).
Démonstration. — Soit la dimension relative de p. On peut choisir
une résolution
0 → L− → · · · → L0 → F → 0
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de F constituée de faisceaux localement libres sur P , le morphisme f
étant lisse. Considérons le complexe H• = Hom • (L• , G). La cohomologie
de ce complexe s’identifie à Ext iOP (F , G) en degré i. Soient Ki = H−i
et F le foncteur ? ⊗OP OPs pour s ∈ S. Puisque G est S-plat, le
complexe K• est F -acyclique. Par suite les hypertor Tor i (K• ) s’identifient
à Hi (K• ⊗OP OPs ). Considérons la suite spectrale des hypertor :
2
P
Ep,q
Hq (K• ), OPs =⇒ Tor p+q (K• ).
= Tor O
p
2
et Mi = K−i . La suite spectrale se lit :
On pose E2p,q = E−p,−q
q
P
=⇒ H p+q (M• ⊗OP OPs ).
E2p,q = Tor O
−p Ext OP (F , G), OPs
La S-platitude de F signifie que L•s → Fs est encore une résolution de Fs .
On en déduit que H p+q (M• ⊗OP OPs ) = Ext p+q
OPs (Fs , Gs ), d’où le lemme.
PROPOSITION 1.4. — Supposons que F est S-plat et tel que Fs soit de
Cohen-Macaulay pour tout s ∈ S. Alors F ∨ est encore S-plat.
Démonstration. — Considérons F sur P = PN
S . Les hypothèses sur F
impliquent qu’il existe une résolution L• → F par des faisceaux localement
libres sur P de longueur c + d. On en déduit
Ext iOP (F , ωP/S ) = 0
pour
i > c + d.
De la suite spectrale, on déduit que
P
Tor O
Ext c+d
1
OP (F , ωP/S ), OPs = 0
pour tout point s ∈ S, d’où la S-platitude de Extc+d
OP (F , ωP/S ). De plus,
i
Ext OP (F , ωP/S ) = 0 pour i < c + d. Montrons maintenant qu’on a
l’isomorphisme
∼
Ext cOX (F , ωX/S ) −−→ Ext c+d
OP (F , ωP/S ).
Supposons d’abord c = 0 et considérons une résolution de F par des
faisceaux localement libres sur X :
L−1 → L0 −−→ F → 0.
Soit E le noyau de ". Alors E est S-plat et Es est de Cohen-Macaulay pour
tout s ∈ S. En particulier, on a Ext iOP (E, ωP/S ) = 0 pour i < d et le
diagramme commutatif de suites exactes :
→ Hom OX (L0 , ωX/S ) −
→ Hom OX (L−1 , ωX/S )
0 → Hom OX (F , ωX/S ) −






0 → Ext dOP (F , ωP/S ) −−→ Ext dOP (L0 , ωP/S ) −−→ Ext dOP (L−1 , ωP/S ).
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C. SORGER
∼
d’où l’isomorphisme Hom OX (F , ωX/S ) −−→ Ext dOP (F , ωP/S ) par le lemme
des cinq. Pour c > 0, on choisit une résolution de F par des faisceaux
localement libres sur X de longueur (c − 1) :
L−c+1 → · · · → L0 −−→ F → 0.
Soit L−c le noyau de la dernière flèche. Alors L−c est S-plat et de plus,
de dimension n et de Cohen-Macaulay sur les fibres de f . On a un
isomorphisme de complexes
∼
d•
(L• , ωX/S )
Hom •OX (L• , ωX/S ) −−→ Ext O
P
dont les groupes de cohomologie s’identifient à Ext cOX (F , ωX/S ) et
Ext c+d
OP (F , ωP/S ) respectivement, d’où l’isomorphisme cherché.
Soit donc F un faisceau cohérent de dimension m sur les fibres de f ,
S-plat et tel que Fs soit de Cohen-Macaulay pour tout s ∈ S. La
démonstration du lemme montre que Ext iOX (F , ωX/S ) = 0, pour i = c
et que (F ∨ )s = (Fs ) ∨ . Une autre conséquence du lemme est que le
morphisme canonique d’évaluation F → F ∨∨ est un isomorphisme. En
effet, soient K le conoyau et N le noyau de cette flèche. Pour s ∈ S on a
Ks = 0, d’où K = 0. D’après le lemme précédent, F ∨∨ est S-plat. On sait
donc de même que Ns = 0 pour s ∈ S, d’où N = 0.
DÉFINITION 1.5. — On appelle faisceau ωX/S -quadratique (resp. faisceau
ωX/S -symplectique) la donnée d’un faisceau cohérent F sur X, S-plat
et tel que Fs soit de Cohen-Macaulay pour tout s ∈ S, muni d’un
isomorphisme σ : F → F ∨ satisfaisant à la condition de symétrie σ = σ ∨
(resp. σ = −σ ∨ )
2. Démonstration du théorème
Soit F un faisceau cohérent sur X. On dit qu’un complexe L• formé
de OS -modules cohérents localement libres est une approximation de la
g
cohomologie de F si pour tout changement de base S −−→ S,
g
X −−−−→


f X


f
g
S −−−−→ S
on a H i (g ∗ L• ) = Ri f∗ g ∗ F . En particulier, pour un point s ∈ S, on a
H i (L•s ) = H i (Xs , Fs ). On dit que l’approximation L• est de longueur m
si Li = 0 pour i < 0 et i > m.
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PROPOSITION 2.1. — Soit (F , σ) un faisceau ωX/S -quadratique (resp.
ωX/S -symplectique) de dimension m sur les fibres. Alors il existe une
approximation L• de la cohomologie de F de longueur m munie d’un
isomorphisme symétrique (resp. antisymétrique) dans Dcb (S)
ψ : L• −−→ L•∗ [−m]
induit par σ.
Démonstration. — GROTHENDIECK démontre l’existence d’une approximation finie pour un morphisme propre en utilisant la cohomologie de
Čech. Dans le cas d’un morphisme projectif de Cohen-Macaulay on peut
procéder de la manière suivante. Soit
0 → L−n → · · · → L0 → F → 0
une résolution de F par des faisceaux cohérents tels que Li soit localement
libre et tels que Rq f∗ Li = 0, q = n pour i = 0, . . . , −n + 1. Remarquons
que le noyau L−n de la dernière flèche satisfait de même à Rq f∗ L−n = 0,
q = n. Soient K • = Rn f∗ (L• )[−n] et L• = τ≤m (K • ). Dans D(S),
l’inclusion de L• dans K • est un isomorphisme, les Rq f∗ (F ) étant nul
pour q > m. Par le théorème de changement de base, les Li sont
localement libres et commutent aux changements de base. Ainsi L• est
une approximation de longueur m de la cohomologie de F .
Considérons maintenant, dans Dc (S), le diagramme d’isomorphismes
suivant :
L• Rf∗ (F )


Rf∗ (σ)
Rf∗ (F ∨ ) Rf∗ RHom(F , ωX/S )[c]
(car Ext i (F , ωX/S ) = 0, i = c)
RHom • (Rf∗ (F ), OS )[c − n]
(dualité de Grothendieck [3])
RHom • (L• , OS )[−m]
L•∗ [−m].
∼
Par composition, on déduit l’isomorphisme ψ : L• → L•∗ [−m] dans Dcb (S).
L’assertion concernant la symétrie de ψ est bien sûr une conséquence de
la symétrie de σ.
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C. SORGER
COROLLAIRE 2.2. — Supposons que car(k) = 2. Sous les hypothèses
de la proposition, on peut trouver, localement, une approximation Z • de
longueur m formée de faisceaux cohérents libres et munie d’un isomorphisme symétrique (resp. antisymétrique) de complexes (et non seulement
un isomorphisme dans Dcb (S))
Σ : Z • −−→ Z •∗ [−m]
induit par σ.
Démonstration. — La question étant locale, on peut supposer que S =
Spec(A), où A est un anneau nœthérien. Comme L• est formé de faisceaux
cohérents localement libres, et comme Coh(S) a suffisamment d’objets
projectifs, ψ est un isomorphisme dans la catégorie homotopique Kcb (S).
Soit χ un relèvement de ψ dans Ccb (S). Pour i = 0, . . . , m, on pose
ϕi =
1
(χi
2
m−i
+ tχ
) ou ϕi =
1
(χi
2
− tχ
m−i
)
selon que (F , σ) est ωX/S -quadratique ou ωX/S -symplectique. Remarquons que t ϕi = ϕm−i dans le cas quadratique, t ϕi = −ϕm−i dans le cas
symplectique et que ϕ est un quasi-isomorphisme.
Fixons s ∈ S. Il existe, au voisinage de s, un complexe Z • de
longueur m, formé de faisceaux cohérents libres et tel que d s = 0, et un
quasi-isomorphisme u : Z • → L• . Considérons Σ : Z • → Z •∗ [−m] défini
par Σ = t u[−m] ◦ ϕ ◦ u. Alors Σ est symétrique (resp. antisymétrique) et
Σ s est un isomorphisme. Au voisinage de s, Σ restera un isomorphisme,
d’où le corollaire.
Montrons comment le corollaire entraı̂ne le théorème. On reprend
l’argument de KEMPF [4]. Soient m = 2k + 1 et (F , σ) un faisceau
ωX/S -quadratique (resp. ωX/S -symplectique) si m ≡ 1 (mod 4) (resp.
m ≡ 1 (mod 4)). Considérons l’isomorphisme Σ :
d0
Z 0 −−−−→ Z 1





Σ0

Σ1
−t d m
Z m∗ −−→ Z m−1∗
dk
···
dm−1
Z k −−−−−→ Z k+1 · · · Z m−1 −−−→






t
t


Σk
ε Σk

ε Σ1
−εtdk
· · · Z k+1∗ −−−−→ Z k∗
···
Z 1 −−−→ Z 0∗ .
où l’on a ε = (−1)k . On voit qu’on a
ρ(s) mod 2 =
i pair
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N
◦
2
−t d 1
Zm


t

ε Σ0
dim Z i − rang α mod 2.
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233
Le morphisme α est antisymétrique et par suite de rang pair ce qui
démontre le théorème.
BIBLIOGRAPHIE
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Scient. Éc. Norm. Sup., 4e série, t. 4, , p. 47–62.
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