1 Théories de cohomologie géneralisées sur catégories de schémas

V V ZAR
Γ(∗)V
Γ∗(∗) = M
i∈Z
Γ∗(i)
VZAR
Γ∗(∗)⊗L
ZΓ∗(∗)→Γ∗(∗),
V
(Y, X)Y X X Γ
Y
Hi
Y(X, Γ(j)) = Hi Y(X, Γ∗(j)),
X
Y=XHi
Y(X, Γ(j)) (Y, X)f:Z→X
i, j ∈Z
f!: Hi
Y(X, Γ(j)) →Hi
f−1(Y)(Z, Γ(j)).
Γ∗(∗) H∗(X, Γ(∗))
(Y, X) H∗(X, Γ(∗)) H∗
Y(X, Γ(∗))
f!
Vj>0 Γ∗(j)VZAR
X•
Γ(∗)
S
VΓ(∗)
V∗V
X7→ M
i∈N,j∈Z
Hi(X, Γ(j)) ,
X∈V
f, g i, i0
Ui0
//
g
X
f
Hi(U, Γ(j))
g!
Hi(X, Γ(j))
i0∗
oo
f!
Vi//YHi(V, Γ(j)) Hi(Y, Γ(j))
i∗
oo

i:Y→XVα: (X−Y)→
X
· · · → Hi(Y, Γ(j)) i! −→ Hi(X, Γ(j)) α∗ −−→ Hi(X−Y, Γ(j)) ∂ −→ Hi−1(Y, Γ(j)) → · · ·
f:X→X0V
(Y, X) (f(Y), X0)
(Y, X)
\: Hi(X, Γ(r)) ⊗Hj
Y(X, Γ(s)) →Hi−j(Y, Γ(r−s))
XV
Yi//
fY
X
fX
Y0i0
//X0
fX
f!(α)∩z=f!(α∩f!(z))
α∈Hi(X, Γ(r)) z∈Hi
Y(X0,Γ(s))
X∈VS6n
ηXXHdn(X, Γ(n)) d= 1,2 Γ
X∈VS n i :Y→X
ηX
ηX∩: Hdn−i
Y(X, Γ(n−r)) →Hi(Y, Γ(r))
Y=X i =dn r =n
ηX∈Hdn(X, Γ(n)) ∼
=H0(X, Γ(0))
H∗(X, Γ(∗))
Y Y ∈V
X S Hi(Y, Γ(r)) Hdn−i
Y(X, Γ∗
X(n−r))
Y→X p S
Hi(Y, Γ(r)) ∼
=Hi+dp
Y(X, Γ(r+p)).
j!: Γ∗
Y(r)→Rj!Γ∗ X(r+p) [dp],
j!Y
j:Y→X p S
z∈Hp(Y, Γ(r)) a∈Hi(X, Γ(s))
j!(z)∪a=j!(z∪j!(a))

Rj!Γ∗
Y(r)⊗L
ZΓ∗
X(s)
j!⊗1∼
1⊗j!
//Rj!Γ∗
Y(r)⊗L
ZΓ∗
Y(s)
Rj!Γ∗
X(r+p) [do]⊗L
ZΓ∗
X(s)
**
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
Rj!(Γ∗
Y(r+s))
∼
Rj!(Γ∗
X(s+r+p) [dp])
X, Y ∈VS
: Hi(X, Γ(r)) ⊗Hj(Y, Γ(s)) →Hi+j(X×Y, Γ(r+s))
H∗
X(M, Γ(∗)) ⊗ZH∗ Y(N, Γ(∗)) →H∗ X×Y(M×N, Γ(∗)) X→M
Y→N S
X∈Vp:A1
X→X
p∗: Hi(X, Γ(r)) →Hi(A1
X,Γ(r))
n>1X∈V
H∗(Pn
S,Γ(∗)) ⊗ZH∗(X, Γ(∗)) →H∗(Pn X,Γ(∗))
n
X
p=0
π∗(·)∩ξp:
n
M
p=0
Hi−dp(X, Γ(rp)) ∼ −→ Hi(Pn
X,Γ(r)),
π:Pn
X→X ξ ∈Hd(Pn S,Γ(1)) Hd(Pn X,Γ(1))
Pn
X→Pn S
V
Pic(·)→Hd(·,Γ(1))
K