Corrigé DM3

Terminale STG4 Corrigé devoir maison n°3 Mardi 9/11/2010
Exercice I
Déterminons le coefficient directeur de chacune des droites représentées sur la figure.
Pour déterminer le coefficient directeur de chaque droite, on peut choisir deux points et appliquer
dans chaque cas la formule : m=
y
B
−
y
A
x
B
−x
A
–Droite
D
1
. On prends les points A(1;3) et B(3;4) sur la droite. Dans ce cas on a :
x
A
=
1
et
y
A
=
3
,
x
B
=
3
et
y
B
=
4
. Le coefficient directeur est donc :
m=
4
−
3
3
−
1
=
1
2
. Lorsque l'abscisse augmente de 1 l'ordonnée augmente de
1
2
Le coefficient directeur de la droite
D
1
est
1
2
–Droite
D
2
. On prend les points C(0;2) et D(1;4). Dans ce cas, le coefficient directeur est :
m=
y
D
−
y
C
x
D
−x
C
=4−2
1−0=2 Lorsque l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée augmente de 2
Le coefficient directeur de la droite
D
2
est
2
–Droite
D
3
. On prend les points C(0;2) et E(1;1). Dans ce cas, le coefficient directeur est :
m=
y
E
−
y
C
x
E
−x
C
=1−2
1−0=−1 1=−1. Lorsque l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée diminue de 1
Le coefficient directeur de la droite
D
3
est
−
1
1/5

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Exercice II
Déterminons une équation de la droite passant par les points A et B.
1-
A
1
;
2
et
B
2
;
3
Une droite, non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme :
y
=
m
×
x
p
avec m coefficient directeur et p l'ordonnée à l'origine.
Dans ce cas, le coefficient directeur est 1. Sur le graphique on voit que quand l'abscisse augmente
de 1 alors l'ordonnée augmente aussi de 1. On peut aussi calculer :
m=
y
B
−
y
A
x
B
−x
A
=3−2
2−1=1 1=1
Et l'ordonnée à l'origine est 1. L'équation de la droite est :
y
=
1
×
x
1
=
x
1
Remarque : on peut aussi écrire l'équation sous la forme :
y
=
x
p
. Et pour déterminer p, on écrit
que les coordonnées du points A doivent vérifier l'équation, c'est-à-dire qu'on doit avoir :
y
A
=
x
A
p
⇔
2
=
1
p
⇔
2
−
1
=
p
⇔
p
=
1
L'équation de la droite (AB) est
y
=
x
1
2-
A
−
1
;
0
 et
B
1
;
1
2/5

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Le coefficient directeur se calcule par :
m=
y
B
−
y
A
x
B
−x
A
=1−0
1−−1=1 11=1 2
Remarque :
y=
variation
d
'
ordonnées
variations
d
'
abscisses
=
1
2
Quand l'abscisse augmente de 2 alors l'ordonnée
augmente de 1
L'ordonnée à l'origine est
1
2
. On en déduit que l'équation de la droite (AB) dans ce cas est :
y=
1
2
×x
1
2
Remarque : pour déterminer l'ordonnée à l'origine, on peut écrire que l'équation de la droite est :
y=
1
2
×xp
et écrire que les coordonnées du point A doivent vérifier l'équation.
y
A
=
1
2
×x
A
1
2
⇒0=
1
2
×−1p⇒0=−
1
2
p⇒p=
1
2
L'équation de la droite (AB) est : y=
1
2
×x
1
2
Exercice III
Donnons le taux moyen d'évolution dans chacun des cas suivants :
1-Une augmentation de 20%, suivie d'une augmentation de 15% et d'une baisse de 5%
On commence par calculer le coefficient multiplicateur global.
C
global
=1
20
100
×1
15
100
×1
5
100
=1,2×1,15×1,05=1,449
Le taux moyen est le taux qui appliqué successivement trois fois donnerait la même variation
globale. Il vérifie la relation :
3/5

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1t
100
3
=1,449 On en déduit que : 1t
100
=1,449
1
3
≃1,13
Le taux moyen est de 13 %
t
=
C
−
1
×
100
=
1,13
−
1
×
100
=
0,13
×
100
=
13
2-Une baisse de 10%; suivie d'une hausse de 10% et d'une hausse de 20%.
C
global
=1−
10
100
×1
10
100
×1
20
100
=0,9×1,1×1,2=1,188
1t
100
3
=1,188⇔1t
100
≃1,059
Le taux moyen est de 5,9%
Exercice IV
1-A a pour coordonnées (0;3). B(0;3) et C(3;0)
2-D'après la figure f(0)=3.
Par définition,
f
'
0
 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au
point d'abscisse 0, soit au point A.
Graphiquement, on voit que lorsque l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée de la tangente augmente
de 2. 2 est le coefficient directeur de la tangente.
On peut le déterminer aussi avec la formule m=
y
B
−
y
A
x
B
−x
A
appliqué au point A(0;3) et le point de
coordonnées (1;5). m=
5
−
3
1−0=
2
1=2
f
'
0
=
2
3-
f
2
=
3
.
f
'
2
est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2, soit au point B.
Quand l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée diminue de 2. Le coefficient directeur de la tangente est
-2.
On peut aussi calculer le coefficient directeur avec les points B(2;3) et le point (3;1):
m=
1
−
3
3
−
2
=−2
f
'
2
=−
2
4-
f
3
=
0
4/5

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f
'
3
 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3.
Quand l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée de la tangente au point C diminue de 4. Le coefficient
directeur est donc −
4
. On peut aussi appliquer la formule entre les points (2;4) et C(3;0)
m=
0
−
4
3
−
2
=−4
f
'
3
=−
4
5-
f
'
−
1
 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse
−
1
. En ce
point, la tangente correspond à une fonction croissante. Le coefficient directeur est donc positif.
f
'
−
1
 est positif.
6-Propriété : la dérivée est nulle si et seulement si la tangente est horizontale.
D'après le graphique, la tangente est horizontale au point de coordonnées (1;4)
On peut aussi dire qu'une dérivée nulle correspond à un maximum ou à un minimum et on retrouve
le point (1;4)
7- fx=−x
2
2x3
Propriété : Si f
x = a × x
2
b × x c alors
f
'
x
=
2
×
a
×
x
b
Dans ce cas :
a
=−
1
,
b
=
2
et
c
=
3
On en déduit que
f
'
x
=−
2
×
x
2
Et
f
'
x
=−
2
×
x
2
8-Propriété : l'équation de la tangente au point d'abscisse A(a;f(a)) est :
y
=
f
'
a
×
x
−
a
f
a
Au point d'abscisse 2, l'équation est donc :
y
=−
2
×
x
−
2
f
2
=−
2
×
x
−
2
3
=−
2
×
x
−
2
×−
2
3
=−
2
×
x
4
3
y
=−
2
×
x
7
9-Le tableau de variations de la fonction f est :
x– ∞ 1 + ∞
f(x)
4
5/5