Corrigé DM3

Terminale STG4
Corrigé devoir maison n°3
Mardi 9/11/2010
Exercice I
Déterminons le coefficient directeur de chacune des droites représentées sur la figure.
Pour déterminer le coefficient directeur de chaque droite, on peut choisir deux points et appliquer
y B −y A
dans chaque cas la formule : m=
x B −x A
– Droite D 1 . On prends les points A(1;3) et B(3;4) sur la droite. Dans ce cas on a :
x A =1 et y A=3 , x B =3 et y B=4 . Le coefficient directeur est donc :
m=
4−3 1
1
= . Lorsque l'abscisse augmente de 1 l'ordonnée augmente de
3−1 2
2
Le coefficient directeur de la droite D1 est
1
2
– Droite D2 . On prend les points C(0;2) et D(1;4). Dans ce cas, le coefficient directeur est :
y −y
4−2
m= D C =
=2 Lorsque l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée augmente de 2
x D −x C 1−0
Le coefficient directeur de la droite D2 est 2
– Droite D3 . On prend les points C(0;2) et E(1;1). Dans ce cas, le coefficient directeur est :
y −y
1−2 −1
m= E C =
= =−1 . Lorsque l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée diminue de 1
x E −x C 1−0 1
Le coefficient directeur de la droite D3 est −1
1/5
Terminale STG4
Corrigé devoir maison n°3
Mardi 9/11/2010
Exercice II
Déterminons une équation de la droite passant par les points A et B.
1- A1; 2 et B 2;3
Une droite, non parallèle à l'axe des ordonnées a une équation de la forme :
y=m ×xp avec m coefficient directeur et p l'ordonnée à l'origine.
Dans ce cas, le coefficient directeur est 1. Sur le graphique on voit que quand l'abscisse augmente
de 1 alors l'ordonnée augmente aussi de 1. On peut aussi calculer :
y B −y A 3−2 1
m=
=
= =1
x B −x A 2−1 1
Et l'ordonnée à l'origine est 1. L'équation de la droite est :
y=1×x1=x1
Remarque : on peut aussi écrire l'équation sous la forme : y=xp . Et pour déterminer p, on écrit
que les coordonnées du points A doivent vérifier l'équation, c'est-à-dire qu'on doit avoir :
y A=x Ap ⇔ 2=1p ⇔ 2−1=p ⇔ p=1
L'équation de la droite (AB) est y=x1
2- A−1 ; 0 et B1 ;1
2/5
Terminale STG4
Corrigé devoir maison n°3
Mardi 9/11/2010
Le coefficient directeur se calcule par :
m=
y B −y A
1−0
1
1
=
=
=
x B −x A 1−−1 11 2
Remarque : y=
variation d ' ordonnées 1
= Quand l'abscisse augmente de 2 alors l'ordonnée
variations d ' abscisses 2
augmente de 1
L'ordonnée à l'origine est
1
. On en déduit que l'équation de la droite (AB) dans ce cas est :
2
1
1
y= ×x
2
2
Remarque : pour déterminer l'ordonnée à l'origine, on peut écrire que l'équation de la droite est :
1
y= ×xp et écrire que les coordonnées du point A doivent vérifier l'équation.
2
1
1
1
1
1
y A= ×x A ⇒0= ×−1p⇒ 0=− p ⇒ p=
2
2
2
2
2
1
1
L'équation de la droite (AB) est : y= ×x
2
2
Exercice III
Donnons le taux moyen d'évolution dans chacun des cas suivants :
1-Une augmentation de 20%, suivie d'une augmentation de 15% et d'une baisse de 5%
On commence par calculer le coefficient multiplicateur global.
20
15
5
Cglobal =1
×1
×1
=1,2×1,15×1,05=1,449
100
100
100
Le taux moyen est le taux qui appliqué successivement trois fois donnerait la même variation
globale. Il vérifie la relation :
3/5
Terminale STG4
Corrigé devoir maison n°3
Mardi 9/11/2010
1
 
t 3
t
1
 =1,449 On en déduit que : 1
=1,449 3 ≃1,13
100
100
Le taux moyen est de 13 %
t=C−1×100=1,13−1×100=0,13×100=13
2-Une baisse de 10%; suivie d'une hausse de 10% et d'une hausse de 20%.
C global =1−
1
10
10
20
×1
×1
=0,9×1,1×1,2=1,188
100
100
100
t 3
t
 =1,188⇔1
≃1,059
100
100
Le taux moyen est de 5,9%
Exercice IV
1-A a pour coordonnées (0;3). B(0;3) et C(3;0)
2-D'après la figure f(0)=3.
Par définition, f '0 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au
point d'abscisse 0, soit au point A.
Graphiquement, on voit que lorsque l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée de la tangente augmente
de 2. 2 est le coefficient directeur de la tangente.
y B −y A
On peut le déterminer aussi avec la formule m=
appliqué au point A(0;3) et le point de
x B −x A
5−3 2
= =2
coordonnées (1;5). m=
1−0 1
f '0=2
3- f 2=3 .
f '2 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2, soit au point B.
Quand l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée diminue de 2. Le coefficient directeur de la tangente est
-2.
On peut aussi calculer le coefficient directeur avec les points B(2;3) et le point (3;1):
1−3
m=
=−2
3−2
f '2=−2
4- f 3=0
4/5
Terminale STG4
Corrigé devoir maison n°3
Mardi 9/11/2010
f '3 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3.
Quand l'abscisse augmente de 1, l'ordonnée de la tangente au point C diminue de 4. Le coefficient
directeur est donc −4 . On peut aussi appliquer la formule entre les points (2;4) et C(3;0)
0−4
m=
=−4 f '3=−4
3−2
5- f '−1 est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse −1 . En ce
point, la tangente correspond à une fonction croissante. Le coefficient directeur est donc positif.
f '−1 est positif.
6-Propriété : la dérivée est nulle si et seulement si la tangente est horizontale.
D'après le graphique, la tangente est horizontale au point de coordonnées (1;4)
On peut aussi dire qu'une dérivée nulle correspond à un maximum ou à un minimum et on retrouve
le point (1;4)
7- f  x =−x 22x3
Propriété : Si f  x =a×x 2 b× xc alors
Dans ce cas : a=−1 , b=2 et c=3
On en déduit que f 'x =−2×x2
f '  x=2×a×xb
Et f '  x=−2×x2
8-Propriété : l'équation de la tangente au point d'abscisse A(a;f(a)) est :
y=f ' a×x−a f a 
Au point d'abscisse 2, l'équation est donc :
y=−2× x−2 f 2=−2× x−23=−2× x−2×−23=−2×x43
y=−2×x7
9-Le tableau de variations de la fonction f est :
x
–∞
1
+∞
4
f(x)
5/5