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Chapitre II : RÉDUCTION DES ENDOMORPHISMES ET DES MATRICES CARRÉES
Dans tout ce chapitre,  est un espace vectoriel réel de dimension  ( ,  désigne un
endomorphisme de  et  une matrice de  .
I – Réduction des endomorphismes
1) Éléments propres d’un endomorphisme
a) Définitions
Définition 1 : Un réel est dit valeur propre de s’il existe un vecteur  non nul de  tel que
.
L’ensemble des valeurs propres de  s’appelle le spectre de  et se note .
Définition 2 : Soit  une valeur propre de.
On appelle vecteur propre de  associé à la valeur propre  tout vecteur  non nul de  tel que
.
Définition 3 : Soit  une valeur propre de.
L’ensemble   de tous les vecteurs  de  tels que  est appelé sous-espace propre
de associé à la valeur propre .
Autrement dit : 
.
Remarque 1 :
1)  , le vecteur nul de , appartient à 
 : ainsi   contient 
et tous les vecteurs propres de 
associés à la valeur propre .
2) 
On en déduit que  .
b) Propriétés
Propriété 1 : Soit  une valeur propre de.
L’ensemble   est un sous-espace vectoriel de .
Théorème 1 : Le réel  est une valeur propre de si et seulement si  est non injectif.
En particulier :  est une valeur propre de si et seulement si  n’est pas injectif.
Remarque 2 :
1) L' espace vectorielétant de dimension finie, tout endomorphisme injectif est bijectif, on a alors
les équivalences suivantes :
(i) Le réel  est une valeur propre de si et seulement si  est non bijectif.
(ii) est une valeur propre de si et seulement si  n’est pas bijectif.
Conséquence très pratique :
Propriété 2 : L’endomorphisme  est bijectif si, et seulement si, 0 n’est pas valeur propre de .

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Exemple 1 : Soit  l’application 
Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de .
Théorème 2 : Si  sont des valeurs propres de l’endomorphisme  deux à deux distinctes et
si  sont des vecteurs propres de  respectivement associés à  , alors la famille
 est libre.
Propriété 3 (corollaire) : Si  sont des valeurs propres de l’endomorphisme  deux à deux
distinctes et si  sont des bases des sous-espaces propres de  respectivement associés à
, alors la famille obtenue en concaténant (c’est-à-dire en juxtaposant) les bases
est une famille libre.
Théorème 3 : Soit  un espace de dimension  et un endomorphisme de .
1)  possède au plus  valeurs propres distinctes.
2) La somme des dimensions des sous espaces-propres de  associés à des valeurs propres deux à
deux distinctes est inférieure ou égale à .
Remarque 3 :
C’est une conséquence directe des deux résultats précédents. En effet, dans un espace de dimension ,
une famille libre contient au plus  vecteurs…
Théorème 4 : Soit un endomorphisme de  et  un polynôme annulateur de .
Si  est une valeur propre de alors  (autrement dit  est une racine de ).
Remarque 4 :
1) Les valeurs propres de  sont donc racines de tout polynôme annulateur de  : les valeurs propres
de  sont donc à chercher parmi les racines des polynômes annulateurs de .
2) ATTENTION : toutes les racines de  ne sont pas forcément des valeurs propres de  : les racines
de  vont donner un ensemble réduit de valeurs parmi lesquelles il va falloir déterminer les valeurs
propres de .
Exemple 2 : Soit  un endomorphisme de  vérifiant la relation : 
Le polynôme   est un polynôme annulateur de f.
Ses racines étant 1 et -2, les valeurs propres de sont à choisir parmi 1 et -2 mais rien ne permet
d’affirmer tout de suite que 1 et -2 dont des valeurs propres de …
2) Endomorphismes diagonalisables
Définition 4 : L’endomorphisme  est diagonalisable si, et seulement si, il existe une base de  formée
de vecteurs propres de .
Théorème 5 : L’endomorphisme  est diagonalisable si, et seulement si, il existe une base de  dans
laquelle sa matrice est diagonale.
Théorème 6 : L’endomorphisme  est diagonalisable si, et seulement si, la somme des dimensions de
ses sous-espaces propres est égale .

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Théorème 7 : Condition suffisante de diagonalisation
Si l’endomorphisme  possède exactement  valeurs propres () alors  est diagonalisable et
dans ce cas, ses sous-espaces propres sont tous de dimension 1.
Remarque 5 : L’endomorphisme de l’exemple 1 répond à tous les critères de diagonalisabilité énoncés
dans les quatre résultats précédents.
II – Réduction des matrices carrées
1) Éléments propres d’une matrice carrée
a) Définitions
Définition 5 : Un réel est dit valeur propre de s’il existe un vecteur colonne  non nul de 
tel que .
L’ensemble des valeurs propres de  s’appelle le spectre de  et se note .
Définition 6 : Soit  une valeur propre de.
On appelle vecteur propre de  associé à la valeur propre  tout vecteur  non nul de   tel
que .
Définition 7 : Soit  une valeur propre de.
L’ensemble   de tous les vecteurs  de   tels que  est appelé sous-espace propre
de associé à la valeur propre .
Autrement dit :  .
Remarque 6 :
1) , la matrice nulle de  , appartient à 
 : ainsi   contient  et tous les vecteurs
propres de  associés à la valeur propre .
2) 
b) Propriétés
Propriété 4 : Soit  une valeur propre de.
L’ensemble   est un sous-espace vectoriel de  .
Théorème 8 :
Le réel  est valeur propre de si, et seulement si, la matrice  est non inversible.
En particulier :  est une valeur propre de si et seulement si  n’est pas inversible.
Conséquence très pratique :
Propriété 5 : La matrice  est inversible si, et seulement si, 0 n’est pas valeur propre de .
Propriété 6 : Les valeurs propres d’une matrice triangulaire sont ses coefficients diagonaux.
Exemple 3 : Soit   
  Déterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres de .

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Théorème 9 :
1)  possède au plus  valeurs propres distinctes.
2) La somme des dimensions des sous espaces-propres de  associés à des valeurs propres deux à
deux distinctes est inférieure ou égale à .
Théorème 10 : Soit  une matrice de   et  un polynôme annulateur de .
Si  est une valeur propre de alors  (autrement dit  est une racine de ).
Remarque 7 :
1) Les valeurs propres de  sont donc racines de tout polynôme annulateur de  : les valeurs propres
de  sont donc à chercher parmi les racines des polynômes annulateurs de .
2) ATTENTION : toutes les racines de  ne sont pas forcément des valeurs propres de  : les racines
de  vont donner un ensemble réduit de valeurs parmi lesquelles il va falloir déterminer les valeurs
propres de .
Exemple 4 : Soit   
  . Calculer 
. Que dire des valeurs propres de  ?
Théorème 11 : Soit  une base de  et  la matrice de l' endomorphisme  dans la base.
Soit  un vecteur de  et  la matrice colonne de   associée à  dans la base .
1) Le réel  est valeur propre de  si, et seulement si,  est valeur propre de .
2)  est un vecteur propre de associé à la valeur propre  si, et seulement si, est un vecteur propre
de  associé à la valeur propre .
Remarque 8 : Les valeurs propres et les vecteurs propres de  sont souvent plus faciles à déterminer :
ce résultat permet de transférer dans  les résultats obtenus dans  .
2) Matrices diagonalisables
Définition 8 : La matrice  est diagonalisable si, et seulement si, il existe une matrice  inversible et
une matrice diagonale  telles que   ou encore  .
Autrement dit :  et  sont semblables.
Remarque 9 : Les colonnes de la matrice  forment une base de 
 constituée de vecteurs
propres de .
Théorème 12 : La matrice   est diagonalisable si, et seulement si, la somme des dimensions
de ses sous-espaces propres est égale .
Théorème 13 : Condition suffisante de diagonalisation
Si la matrice   possède exactement  valeurs propres alors  est diagonalisable et dans ce
cas, ses sous-espaces propres sont tous de dimension 1.
Théorème 14 : Toute matrice symétrique est diagonalisable.
Remarque 10 : La matrice de l’exemple 3 répond à tous les critères de diagonalisabilité énoncés dans
les quatre résultats précédents sauf le théorème 12 car elle ne possède que 2 valeurs propres
distinctes et non 3.