Sur L`exposant de Densité des Nombres Algébriques

Adamczewski,B. (2007)“Sur L’exposant de Densit ´ edesNombresAlg
´
ebriques,”
International Mathematics Research Notices,Vol. 2007,Article ID 024,6 pages.
doi:10.1093/imrn/rnm024
Sur L’exposant de Densit ´ edesNombresAlg´ ebriques
Boris Adamczewski
CNRS & Universit´ e Claude Bernard Lyon 1,Institut Camille Jordan,21
avenue Claude Bernard,69622 Villeurbanne cedex France
Correspondence to be sent to: Boris Adamczewski,CNRS & Universit´ eClaudeBernardLyon1,
Institut Camille Jordan,21 avenue Claude Bernard,69622 Villeurbanne cedex France.
e-mail: [email protected]
Dans un travail r´ ecent,Fischler et Rivoal ont propos´ e une nouvelle fac¸on de mesurer
l’irrationalit´ e d’un nombre r ´ eel. Il s’agit d’associer ` a tout nombre r ´ eel irrationnel un
exposant,appel´ e exposant de densit ´ e,qui a la particularit ´ e de prendre uniquement en
compte les suites d’approximations rationnelles dont les d´ enominateurs croissent de
fac¸onauplusg
´
eom´ etrique. En r ´ eponse ` a une question des auteurs,nous d´ emontrons
que l’exposant de densit ´ e de tout nombre alg ´ ebrique irrationnel est fini.
1 Introduction
L’ar t ic l e [1]a pour but d’introduire un nouvel exposant permettant de mesurer l’irra-
tionalit´ e du nombre r ´ eel ξ.Cetexposant de densit´ eprend uniquement en compte les
suites d’approximations rationnelles dont les d´ enominateurs croissent de fac¸on au plus
g´ eom´ etrique. Cette restriction est source de difficult´ es et rend a priori tr` es diff´ erente
l’´ etude de l’exposant de densit ´ e de celle de l’exposant d’irrationalit ´ e usuel.
Nous rappelons ` apr
´
esent la d´ efinition de l’exposant de densit ´ e. Etant donn´ es
ξun nombre r ´ eel irrationnel et u=(un)n≥1une suite croissante d’entiers strictement
positifs,on pose
αξ(u)=lim sup
n→∞
un+1ξ
unξet β(u)=lim sup
n→∞
un+1
un
,
Received October 2,2006;Revised February 21,2007;Accepted February 25,2007
See http://www.oxfordjournals.org/our journals/imrn/ for proper citation instructions.
c
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2 Boris Adamczewski
o` uxd´ esigne la distance ` a l’entier le plus proche du r´ eel x. L’exposant de densit ´ edeξ,
not´ eν(ξ),est alors d´ efini comme l’infimum des nombres r ´ eels de la forme
1
2log(αξ(u)β(u)),
lorsque ud´ ecrit l’ensemble des suites croissantes d’entier positifs telles que αξ(u)<1
et β(u)<+∞. Lorsqu’il n’existe aucune suite uv´
erifiant ces conditions,on opte pour la
convention ν(ξ)=+∞.
Plusieurs probl` emes motivant l’introduction de cet exposant peuvent ˆ etre
trouv´ es dans [1]. Dans cet article,Fischler et Rivoal d´ emontrent entre autres choses
que ν(ξ)=0 pour presque tout nombre r ´
eel ξau sens de la mesure de Lebesgue,
que ν(ξ)=0 pour les nombres quadratiques et que ν(ξ)est fini pour tout nombre
alg´ ebrique poss´ edant au moins un conjugu ´ e de Galois r ´ eel (diff´ erent de ξlui-mˆ eme).
Comme cons´ equence imm´ ediate de ce dernier r ´ esultat,ils obtiennent que l’exposant de
densit´ e est fini pour tout nombre alg´ ebrique de degr ´ e pair. Cependant,la question de la
finitude de l’exposant de densit ´ edetoutnombrealg
´
ebrique irrationnel est laiss´ ee ou-
verte.
L’objet de cette note est de r´ epondre (positivement)` a cette question.
Th ´ eor ` eme 1.1. L’exposant de densit ´ edetoutnombrealg
´
ebrique irrationnel est fini. 
Fischler et Rivoal conjecturent en fait un r´ esultat bien plus pr´ ecis que celui
donn´ eparleth
´
eor` eme 1,` a savoir que l’exposant de densit ´ e des nombres alg ´ ebriques
irrationnels est toujours nul. Notons ´ egalement que l’approche que nous proposons ici
peut ˆ etre rendue effective. Elle permet par exemple de montrer que ν(ξ)≤1.2359,o` uξ
d´ esignelepluspetitnombredePisot,c’est- ` a-dire,l’unique racine r´ eelle du polyn ˆ ome
X3−X−1.
2D
´
emonstration du Th ´ eor ` eme 1.1
Une premi` ere ´ etape dans la d´ emonstration du th´ eor` eme 1.1 consiste ` ad
´
emontrer que
tout corps de nombres r´ eel admet un nombre de Pisot comme ´ el´ ement primitif et qu’il
est possible d’imposer une condition suppl´ ementaire sur les modules des conjugu´ es de
Galois de cet ´ el´ ement primitif.
Lemme 2.1. Soient ξun nombre alg ´ ebrique r´ eel,d=[Q(ξ):Q]et r1(resp. r2)le nombre
de plongements r ´ eels (resp. complexes)de Q(ξ)dans C. Notons σ1,σ2,...,σr1(resp.

Sur L’exposant de Densit ´ edesNombresAlg
´
ebriques 3
σr1+1,...,σr1+r2)les plongements r ´ eels (resp. complexes)de sorte que σ1=id. Alors,il
existe un entier alg´ ebrique βqui est un ´ el´ ement primitif de Q(ξ)et tel que
β>1>|σ2(β)|>|σ3(β)|>···>|σr1+r2(β)|.
D´ emonstration. Il suffit de reprendre l’argument donn´ eaud´ ebut de la d´ emonstration du
th´ eor` eme 5 de [1].
Nous sommes maintenant pr ˆ ets ` ad
´
emontrer le th´ eor` eme 1.1.
D´ emonstration du th´ eor` eme 1.1. Soit ξun nombre alg´ ebrique r´ eel irrationnel. Nous al-
lons d´ emontrer que ν(ξ)est n´ ecessairement fini. Nous conservons les notations du
Lemme 2.1 et notons dans la suite z(resp. (z))le conjugu´
e complexe (resp. la partie
r´ eelle)du nombre complexe z.
Tout d’abord,le lemme 2.1 assure l’existence d’un entier alg ´ ebrique βv´ erifiant
les deux conditions suivantes:
(i)il existe un polyn ˆ ome Q∈Q[X]tel que ξ=Q(β);
(ii)β>1>|β2|>|β3|···>|βr1+r2|.
Ici βj,1≤j≤r1d´
esigne l’ensemble des r1conjugu ´
es de Galois r ´ eels de β(avec la
convention β1:= β)et (βj,βj),r1<j≤r1+r2d´
esigne l’ensemble des r2paires de
conjugu´ es de Galois complexes de β. Posons ´ egalement βr1+r2+j:= βr1+jpour 1 ≤j≤r2et
Q(X):= c0+c1X+···+cdXd. A priori les coefficients cksont rationnels,mais nous pouvons
supposer sans perte de g´ en´ eralit´ e qu’il s’agit d’entiers relatifs. En effet,si td´ esigne le
ppcm des d´ enominateurs des entiers ck,alors tξ=tQ(β),tQ est `
acoefficients dans Zet
ν(ξ)=ν(tξ)d’apr`
es le lemme 3 de [1]puisque test entier.
Notons P(X):= a0+a1X+··· +ad−1Xd−1+Xdle polyn ˆ
ome minimal de β
et consid´ erons une suite (un)n≥1de nombres r´
eels v´ erifiant la relation de r ´ ecurrence
lin´ eaire dont le polyn ˆ ome caract´ eristique est le polyn ˆ ome P,c’est- ` a-dire,telle que
∀n≥1,un+d=−ad−1un+d−1−ad−2un+d−2−···−a0un.
Puisque Pest le polyn ˆ ome minimal de β,Pest ` a racines simples et il existe des nombres
complexes uniques λj,1≤j≤d,avec λr1+r2+j=λr1+jpour 1 ≤j≤r2,tels que
∀n≥1,un=λ1βn+
d
j=2
λjβn
j.(2.1)

4 Boris Adamczewski
Naturellement,la suite (un)n≥1est d´ etermin´ ee par la donn´ ee du vecteur (u1,u2,
...,ud). Si ce dernier est choisi `
a coordonn´ ees enti` eres alors un∈Zpour tout npuisque
les coefficients de Psont eux-m ˆ emes des entiers relatifs et que Pest unitaire. Une
autre remarque est que la suite (un)n≥1ne peut ˆ
etre identiquement nulle ` apartird’un
certain rang d` es lors que (u1,u2,...,ud)=(0,0,...,0). Nous supposons `
apr
´
esent que
(u1,u2,...,ud)est un d-uplet d’entiers strictement positifs. Ainsi,d’apr`
es (ii)et (2.1), on
aλ1=0etdonc
un∼
n→∞
λ1βn.(2.2)
De plus,quitte ` a remplacer (u1,...,ud)par (−u1,...,−ud),on peut toujours supposer
λ1>0,c’est- `
a-dire que unest un entier strictement positif pour nassez grand.
D’apr` es (2.1), pour tout entier k≥1,on a :
∀n≥1,unβk−un+k=
d
j=2
λj(βk−βk
j)βn j.(2.3)
Pour tout entier j,2≤j≤d,posons
Cj:= λj
d
k=0
ck(βk−βk
j).(2.4)
D’autre part,
unξ−
d
k=0
ckun+k=und
k=0
ckβk−
d
k=0
ckun+k=
d
k=0
ckunβk−un+k.
En posant vn=
d
k=0
ckun+k,les ´ egalit´ es (2.3)et (2.4)donnent
unξ−vn=
d
j=2
Cjβn
j.(2.5)
Remarquons maintenant qu’il existe un entier minimal l,2≤l≤r1+r2,tel que
Cl=0. En effet,le contraire impliquerait la rationalit ´
edeξpuisque unest un entier non
nul pour nassez grand.

Sur L’exposant de Densit ´ edesNombresAlg
´
ebriques 5
Nous devons distinguer deux cas. Si l≤r1,alors βlest r ´ eel et d’apr` es (ii)et (2.5)
il vient
|unξ−vn|=|Cl||βl|n+o(|βl|n).
On en d´ eduit que ν(ξ)est fini puisque
lim sup
n→∞
|un+1ξ−vn+1|
|unξ−vn|=|βl|<1
et que d’apr` es (2.2)
lim sup
n→∞
un+1
un
=β<+∞.
Supposons ` apr
´
esent que l>r1.Alorsβlest un nombre complexe non r ´
eel et
d’apr` es (ii), (2.4)et (2.5), il vient
|unξ−vn|=2|(Clβn
l)|+o(|βl|n)=2|Cl||βl|n|cos(nθ+x)|+o(|βl|n),(2.6)
avec θappartenant ` a]0,π[∪]π,2π[et xappartenant ` a[0,2π].
Supposons dans un premier temps que θ/2πest un nombre rationnel. Alors la
suite (nθ)n≥1est p´
eriodique modulo 2π,disons de p ´ eriode p.Deplus,il existe un entier
n0tel que cos(n0θ+x)=0 puisque θ∈]0,π[∪]π,2π[. En posant Un=upn+n0et Vn=vpn+n0,
on obtient d’apr` es (2.6)
lim sup
n→+∞
|Un+1ξ−Vn+1|
|Unξ−Vn|=|βl|p<1
et
lim sup
n→+∞
Un+1
Un
=lim sup
n→∞
up(n+1)+n0
upn+n0
=βp<+∞,
ce qui prouve que ν(ξ)est fini.
Supposons maintenant que θ/2πest irrationnel. Fixons un nombre εstrictement
positif. Il existe alors 0 <δ<π/2 tel que ∀(x,y)∈]−δ,δ[2,
(1−ε)<|cos x|/|cos y|<(1+ε).(2.7)