1 Echauffement

Université Pierre et Marie Curie Analyse réelle, MM003
Master de Mathématiques, M1Année universitaire 2014-2015
Ayman Moussa
TD no1– Topologie. Espaces métriques.
1 Echauffement
Exercice 1.1:
Soit Xun espace topologique, Aune partie de X. Dire si les propriétés suivantes sont vraies.
Si elles sont fausses donner des contre-exemples et, éventuellement, des conditions supplémentaires pour
qu’elles soient vraies :
1. Si B A est ouvert dans Apour la topologie induite sur A,Best aussi ouvert dans X.
2. Si B A est ouvert dans X,Best aussi ouvert dans A.
3. Si B A est fermé dans A,Best aussi fermé dans X.
4. Si B A est fermé dans X,Best aussi fermé dans A.
5. Si Xest un espace métrique complet, Aest complet.
6. Il existe une fonction f:Q N non constante, continue (topologie usuelle pour Q, discrète pour
N).
Exercice 1.2:
Soit Xun ensemble ayant plus d’un élément. On pose x, y X,d x, y 1si x y, et d x, x 0.
1. Montrer que X, d est un espace métrique. Quels sont les ouverts et les fermés de X?
2. Quelle est la boule ouverte centrée en x0Xet de rayon 1 ? La boule fermée ? L’adhérence de la
boule ouverte ?
3. Quelles sont les suites convergentes ? Les suites de Cauchy ? Est-ce un espace complet ?
Exercice 1.3:
Soient X, d1et X, d2deux espaces métriques ayant le même ensemble de base.
1. On suppose que les deux distances sont fortement équivalentes, c’est-à-dire qu’il existe deux constantes
β α 0telles que αd1d2βd1. Montrer qu’elles sont alors uniformément équivalentes, c’est-
à-dire qu’elles induisent la même topologie et que toute suite de Cauchy de X, d1est aussi une
suite de Cauchy de X, d2et réciproquement.
2. On suppose que les distances sont topologiquement équivalentes (elles induisent la même topologie).
Montrer par un contre-exemple qu’une suite de Cauchy pour d2n’est pas forcément une suite de
Cauchy pour d1; en particulier, il se peut que X, d1soit complet et que X, d2ne le soit pas.
(On pourra considérer R, avec d1la distance usuelle et d2x, y arctan xarctan y.)
3. Que peut-on dire lorsque d2f d1, où fest une fonction strictement croissante de Rdans
lui-même, continue en 0et telle que f0 0 et f x y f x f y ?
Exercice 1.4:
Soit Aune partie non vide d’un espace métrique X, d . Démontrer que l’application x d x, A
est 1-lipschitzienne. Démontrer que ¯ Aest l’ensemble des points xde Xtels que d x, A 0.
1

2 Un exemple de topologie non métrisable
On dit qu’un espace topologique X, Oest métrisable lorsqu’il est homéomorphe à un espace métrique.
Cela revient à dire qu’il existe sur Xune distance dont la topologie induite est précisément O. Un espace
topologique métrisable est donc automatiquement séparé ce qui nous fournit déjà plusieurs exemples de
topologies non métrisables (Rmuni de la topologie grossière par exemple).
Intéressons nous maintenant à un exemple classique de topologie non métrisable (moins pathologique que
la topologie grossière). Soient a b R, sur Fa, b , C(l’ensemble des fonctions du segment a, b dans
C) on considère la topologie engendrée par les ensembles
Uε
z,x gFa, b , C:g x z ε ,
où z,xet εparcourent respectivement C,a, b et R. On note Tcette topologie. Nous allons voir, par
deux méthodes différentes, que Tn’est pas métrisable.
Exercice 2.1: Préliminaire
1. Vérifier que la topologie Test séparée.
Remarque : Attention, si on remplace C(l’espace d’arrivée des fonctions considérées) par un espace
topologique non séparé, ce n’est plus le cas !
2. Vérifier qu’une suite de fonction fn n Fa, b , Cconverge simplement vers une fonction gsur
a, b si et seulement si elle converge au sens de T. Pour cette raison la topologie Test appelée la
topologie de la convergence simple.
Exercice 2.2: Une partie dense non séquentiellement dense
Dans la suite on appellera fonction simple tout élément de Fa, b , Cnul en dehors d’un nombre
fini de points de a, b .
1. Vérifier que l’ensemble des fonctions simples est dense dans Fa, b , Cpour la topologie de la
convergence simple.
2. Montrer que la fonction constante égale à 1n’est pas limite simple de fonctions simples.
3. En déduire que la topologie de la convergence simple sur Fa, b , Cn’est pas métrisable.
Exercice 2.3: Un compact non séquentiellement compact
On note Ule cercle unité du plan complexe.
1. Vérifier que U0,2πmuni de la topologie produit est homéomorphe à F0,2π , U(muni de la
topologie de la convergence simple).
2. Pour tout nN, notons enla fonction définie sur 0,2πpar x einx. Montrer que si la suite
en n Nadmet une sous-suite simplement convergente sur 0,2π, alors cette sous-suite est également
convergente dans L20,2π.
3. Montrer que les termes de la suite en n Nsont tous distants deux à deux de 2πdans L20,2π
et en déduire que la topologie de la convergence simple sur F0,2π , Cn’est pas métrisable.
3 Topologie et dénombrabilité
Exercice 3.1: Théorème de Cantor-Bendixson
Un peu de vocabulaire. Soit Xun espace topologique séparé et Aune partie de X. Un point a A
est dit isolé dans Asi il possède un voisinage ne contenant aucun autre point de A. Un point x X
est un point d’accumulation de Asi tout voisinage de xcontient un élément de Aautre que xlui-même.
2

Noter que les points d’accumulation de An’appartiennent pas nécessairement à A. L’ensemble des points
d’accumulation de Aest l’ensemble dérivé de A, on le note A. Un ensemble Aégal à son ensemble dérivé
est dit parfait.
1. Vérifier que (Afermé) (A A . Un ensemble parfait est donc un ensemble fermé, sans point
isolé.
2. On suppose que Xadmet une base dénombrable d’ouverts. On considère
P:x X :tout voisinage de xest indénombrable .
Montrer que Pcest dénombrable et en déduire que Pest parfait. Au final on a montré que tout tout
espace topologique à base dénombrable d’ouverts s’écrit comme la réunion disjointe d’un ensemble
parfait (i.e. fermé, sans point isolé) et d’un ensemble dénombrable : c’est le théorème de Cantor-
Bendixson.
Exercice 3.2:
1. Montrer qu’un espace métrique complet parfait est indénombrable. Le résultat persiste-t-il sans
l’hypothèse de complétude ?
2. Montrer qu’un espace métrique connexe (non réduit à un point) est indénombrable.
4 Compacité
Exercice 4.1:
1. On considère R1muni de la topologie induite par celle de R.0,1est-il fermé pour cette
topologie ? Compact ?
2. Soit Xun espace métrique compact. Que dire d’une suite un n XNpossédant au plus une valeur
d’adhérence ?
3. Montrer qu’un espace métrique compact est séparable.
4. Montrer qu’un espace métrique compact est complet. Réciproque ?
5. Montrer que dans un espace métrique si une partie compacte est disjointe d’une partie fermée alors
elles sont à distance strictement positive. Est-ce toujours vrai avec deux parties fermées ?
6. Montrer qu’un segment de Rn’est homéomorphe a aucun intervalle ouvert de R.
7. Soit Kun espace topologique compact et Xun espace topologique séparé. Montrer qu’une bijection
continue f:K X est un homéomorphisme. En déduire qu’une surjection continue de 0,1sur
0,1 0,1(courbe de Peano par exemple) ne peut pas être injective.
8. Soit Eun espace topologique séparé et xn n NENune suite convergeant vers a E. Montrer
que xnnNaest compact.
Exercice 4.2:
Soit K, d un espace métrique compact et f:K K une application continue et « écartante » :
x, y K, d f x , f y d x, y .
1. Soit a, b K. Montrer qu’il existe une sous-suite strictement croissante nk k Nd’entiers telle que
les suites fnkakNet fnkbkNconvergent.
2. Montrer que fnk1nkakNet fnk1nkbkNconvergent respectivement vers aet bet en
déduire que f K est dense dans K.
3. Montrer que fest surjective et isométrique.
3

Exercice 4.3:
Soit a, b muni de la distance d x, y x y . Le but de cet exercice est de démontrer que cet
espace topologique est compact, par la propriété de Borel-Lebesgue. Soit donc a, b Ωi I Uiun
recouvrement de notre intervalle par des ouverts.
On pose M:x a, b :a, x admet un sous-recouvrement fini extrait de Ω
1. Montrer que Mest un intervalle non vide puis qu’il admet une borne supérieure : c.
2. Montrer que Mne peut être de la forme a, c .
3. Montrer que c b.
Exercice 4.4: Idéaux maximaux de C0K, R
Soit Kun espace topologique compact et C0K, Rl’algèbre des fonctions continues sur Kà valeurs
réelles.
1. Soit Iun idéal propre de C0K, R. Expliquer pourquoi tout élément de Idoit s’annuler en au
moins un point de K.
2. Montrer qu’il existe x K tel que f x 0pour tout f I.
3. En déduire les idéaux maximaux de C0K, Ret les morphismes d’algèbre de C0K, Rdans R.
Exercice 4.5: Points fixes
1. Soit Eun espace vectoriel normé et C E un convexe, compact. Montrer que tout application
1-lipschitzienne de Cdans lui-même admet un point fixe.
Indication : Considérer pour z C fixé, fnx:1
n1zn n1f x .
2. Soit X, d un espace métrique compact et f:X X telle que d f x , f y d x, y pour x y.
(a) Expliquer pourquoi le théorème de point fixe de Picard ne s’applique pas.
(b) Montrer cependant que fadmet un unique point fixe a X.
(c) Montrer que la suite des itérées de fconverge simplement vers la fonction constante égale à a.
(d) Que dire dans le cas de l’inégalité large d f x , f y d x, y (les autres hypothèses étant
vérifiées par ailleurs) ?
Indication : Considérer x x sur un compact de Rbien choisi.
5 Complétude
Exercice 5.1: Complété d’un espace métrique
Soit M, d un espace métrique. Notons Cl’ensemble des suites de Cauchy de M.
1. On considère la relation binaire Rsur Csuivante : si uun n Net vvn n Nsont deux
éléments de C,
uRvlim
nd un, vn0.
Montrer que Rest une relation d’équivalence.
2. Montrer que pour tout couple u,vC2, la suite d un, vn n Nest de Cauchy dans R. On note
δl’application ainsi définie sur C2et à valeurs dans R, par δu,v: lim
nd un, vn.
3. Montrer que δvérifie tous les axiomes d’une distance, hors mis la séparation.
4. On pose M:C R (ensemble des classes d’équivalences de Cselon la relation R). Pour uC,
on note CuMsa classe d’équivalence. Vérifier que la formule δCu,Cv:δu,vdéfinit sans
ambiguïté une distance δsur M.
5. Montrer que M, d s’injecte isométriquement dans M, δ et que son image est une partie dense.
Montrer que M, δ est complet.
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Exercice 5.2: Prolongement des applications uniformément continues et application
1. Soient E, d et F, δ deux espaces métriques, le deuxième étant de plus supposé complet. Soit A
une partie dense de Eet f:A F une application uniformément continue. Montrer l’existence
d’une unique application continue gprolongeant fàEtout entier, gétant de plus uniformément
continue.
2. Pour tout nN, on considère la série harmonique tronquée Hn:
n
k1
1
k.
(a) Montrer que pour tout pN, la suite Hnp HnnNest croissante et admet une limite
(dans R), que l’on notera λ p . Montrer que λest croissante sur N,λ1 0 et que pour
p, q N,λ pq λ p λ q .
(b) Pour p, q Non pose λ p q :λ p λ q . Montrer que l’on prolonge bien de cette manière
λàQ, sans ambiguïté. Montrer que λest alors croissante sur Q, vérifie toujours l’équation
fonctionnelle de la question précédente, et de plus les estimations
rQ,r
1rλ1r r,
sQ0,1,s
1sλ1s s.
(c) Montrer que pour tout ε0,λest uniformément continue sur ε, et en déduire qu’elle
se prolonge alors sur Rtout entier en une fonction (notée ln) continue sur R, croissante
et vérifiant la même équation fonctionnelle. Vérifier que la fonction ln est dérivable et que sa
dérivée est bien 1x.
Exercice 5.3: Théorème de Cantor
Montrer que pour un espace métrique X, d la complétude équivaut à la propriété suivante : « si
Fn n Nest une suite décroissante de fermés non vides vérifiant lim
ndiam Fn0, alors nNFnest un
singleton ».
6 Baireries
Exercice 6.1:
1. Montrer qu’un espace vectoriel possédant une base infinie dénombrable n’est complet pour aucune
norme.
2. Soit Eun espace métrique complet et soit Fn n Nune suite de fermés de Etelle que E
nN
Fn.
Montrer que
nN
˚
Fnest un ouvert dense de E.
3. Montrer qu’une application linéaire continue d’un espace de Banach Edans lui-même localement
nilpotente est nilpotente.
Remarque : On dit que TLEest localement nilpotente lorsque pour tout x E il existe nxN
tel que Tnxx0.
Exercice 6.2: Une caractérisation de l’exponentielle
Soit fCRvérifiant fnxnf x pour tout xR.
1. Soit IRun segment non réduit à un point. On pose Gp:x I :fpxsup
t I
f t 1et
Fn:
p n
Gp.Montrer que l’un des Fnest d’intérieur non vide.
2. En déduire que fet fcoïncident sur un ensemble dense puis que fest un multiple de l’exponentielle.
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