Université Pierre et Marie Curie Master de Mathématiques, M1 Analyse réelle, MM003 Année universitaire 2014-2015 Ayman Moussa TD no 1 – Topologie. Espaces métriques. 1 Echauffement Exercice 1.1: Soit X un espace topologique, A H une partie de X. Dire si les propriétés suivantes sont vraies. Si elles sont fausses donner des contre-exemples et, éventuellement, des conditions supplémentaires pour qu’elles soient vraies : A est ouvert dans A pour la topologie induite sur A, B est aussi ouvert dans X. Si B A est ouvert dans X, B est aussi ouvert dans A. Si B A est fermé dans A, B est aussi fermé dans X. Si B A est fermé dans X, B est aussi fermé dans A. 1. Si B 2. 3. 4. 5. Si X est un espace métrique complet, A est complet. 6. Il existe une fonction f : Q N). Ñ N non constante, continue (topologie usuelle pour Q, discrète pour Exercice 1.2: Soit X un ensemble ayant plus d’un élément. On pose @x, y P X, dpx, yq 1 si x y, et dpx, xq 0. 1. Montrer que pX, dq est un espace métrique. Quels sont les ouverts et les fermés de X ? 2. Quelle est la boule ouverte centrée en x0 boule ouverte ? P X et de rayon 1 ? La boule fermée ? L’adhérence de la 3. Quelles sont les suites convergentes ? Les suites de Cauchy ? Est-ce un espace complet ? Exercice 1.3: Soient pX, d1 q et pX, d2 q deux espaces métriques ayant le même ensemble de base. 1. On suppose que les deux distances sont fortement équivalentes, c’est-à-dire qu’il existe deux constantes β ¥ α ¡ 0 telles que αd1 ¤ d2 ¤ βd1 . Montrer qu’elles sont alors uniformément équivalentes, c’està-dire qu’elles induisent la même topologie et que toute suite de Cauchy de pX, d1 q est aussi une suite de Cauchy de pX, d2 q et réciproquement. 2. On suppose que les distances sont topologiquement équivalentes (elles induisent la même topologie). Montrer par un contre-exemple qu’une suite de Cauchy pour d2 n’est pas forcément une suite de Cauchy pour d1 ; en particulier, il se peut que pX, d1 q soit complet et que pX, d2 q ne le soit pas. (On pourra considérer R, avec d1 la distance usuelle et d2 px, y q | arctan x arctan y |.) 3. Que peut-on dire lorsque d2 f pd1 q, où f est une fonction strictement croissante de R lui-même, continue en 0 et telle que f p0q 0 et f px y q ¤ f pxq f py q ? Exercice 1.4: dans Soit A une partie non vide d’un espace métrique pX, dq. Démontrer que l’application x ÞÑ dpx, Aq est 1-lipschitzienne. Démontrer que Ā est l’ensemble des points x de X tels que dpx, Aq 0. 1 2 Un exemple de topologie non métrisable On dit qu’un espace topologique pX, O q est métrisable lorsqu’il est homéomorphe à un espace métrique. Cela revient à dire qu’il existe sur X une distance dont la topologie induite est précisément O. Un espace topologique métrisable est donc automatiquement séparé ce qui nous fournit déjà plusieurs exemples de topologies non métrisables (R muni de la topologie grossière par exemple). Intéressons nous maintenant à un exemple classique de topologie non métrisable (moins pathologique que la topologie grossière). Soient a b P R, sur F pra, bs, Cq (l’ensemble des fonctions du segment ra, bs dans C) on considère la topologie engendrée par les ensembles tg P F pra, bs, Cq : |gpxq z| εu, où z,x et ε parcourent respectivement C, ra, bs et R . On note T cette topologie. Nous allons voir, par ε Uz,x deux méthodes différentes, que T n’est pas métrisable. Exercice 2.1: Préliminaire 1. Vérifier que la topologie T est séparée. Remarque : Attention, si on remplace C (l’espace d’arrivée des fonctions considérées) par un espace topologique non séparé, ce n’est plus le cas ! 2. Vérifier qu’une suite de fonction pfn qn P F pra, bs, Cq converge simplement vers une fonction g sur ra, bs si et seulement si elle converge au sens de T . Pour cette raison la topologie T est appelée la topologie de la convergence simple. Exercice 2.2: Une partie dense non séquentiellement dense Dans la suite on appellera fonction simple tout élément de F pra, bs, Cq nul en dehors d’un nombre fini de points de ra, bs. 1. Vérifier que l’ensemble des fonctions simples est dense dans F pra, bs, Cq pour la topologie de la convergence simple. 2. Montrer que la fonction constante égale à 1 n’est pas limite simple de fonctions simples. 3. En déduire que la topologie de la convergence simple sur F pra, bs, Cq n’est pas métrisable. Exercice 2.3: Un compact non séquentiellement compact On note U le cercle unité du plan complexe. 1. Vérifier que Ur0,2πs muni de la topologie produit est homéomorphe à F pr0, 2π s, Uq (muni de la topologie de la convergence simple). 2. Pour tout n P N, notons en la fonction définie sur r0, 2π s par x ÞÑ einx . Montrer que si la suite pen qnPN admet une sous-suite simplement convergente sur r0, 2πs, alors cette sous-suite est également convergente dans L2 pr0, 2π sq. ? 3. Montrer que les termes de la suite pen qnPN sont tous distants deux à deux de 2 π dans L2 pr0, 2π sq et en déduire que la topologie de la convergence simple sur F pr0, 2π s, Cq n’est pas métrisable. 3 Topologie et dénombrabilité Exercice 3.1: Théorème de Cantor-Bendixson Un peu de vocabulaire. Soit X un espace topologique séparé et A une partie de X. Un point a P A est dit isolé dans A si il possède un voisinage ne contenant aucun autre point de A. Un point x P X est un point d’accumulation de A si tout voisinage de x contient un élément de A autre que x lui-même. 2 Noter que les points d’accumulation de A n’appartiennent pas nécessairement à A. L’ensemble des points d’accumulation de A est l’ensemble dérivé de A, on le note A1 . Un ensemble A égal à son ensemble dérivé est dit parfait. 1. Vérifier que (A fermé) isolé. ô (A1 Aq. Un ensemble parfait est donc un ensemble fermé, sans point 2. On suppose que X admet une base dénombrable d’ouverts. On considère P : tx P X : tout voisinage de x est indénombrableu. Montrer que P c est dénombrable et en déduire que P est parfait. Au final on a montré que tout tout espace topologique à base dénombrable d’ouverts s’écrit comme la réunion disjointe d’un ensemble parfait (i.e. fermé, sans point isolé) et d’un ensemble dénombrable : c’est le théorème de CantorBendixson. Exercice 3.2: 1. Montrer qu’un espace métrique complet parfait est indénombrable. Le résultat persiste-t-il sans l’hypothèse de complétude ? 2. Montrer qu’un espace métrique connexe (non réduit à un point) est indénombrable. 4 Compacité Exercice 4.1: 1. On considère R t1u muni de la topologie induite par celle de R. r0, 1r est-il fermé pour cette topologie ? Compact ? 2. Soit X un espace métrique compact. Que dire d’une suite pun qn d’adhérence ? P X N possédant au plus une valeur 3. Montrer qu’un espace métrique compact est séparable. 4. Montrer qu’un espace métrique compact est complet. Réciproque ? 5. Montrer que dans un espace métrique si une partie compacte est disjointe d’une partie fermée alors elles sont à distance strictement positive. Est-ce toujours vrai avec deux parties fermées ? 6. Montrer qu’un segment de R n’est homéomorphe a aucun intervalle ouvert de R. 7. Soit K un espace topologique compact et X un espace topologique séparé. Montrer qu’une bijection continue f : K Ñ X est un homéomorphisme. En déduire qu’une surjection continue de r0, 1s sur r0, 1s r0, 1s (courbe de Peano par exemple) ne peut pas être injective. 8. Soit E un espace topologique séparé et pxn qnPN que txn | n P Nu Y tau est compact. Exercice 4.2: Soit pK, dq un espace métrique compact et f : K 1. Ñ K une application continue et « écartante » : @x, y P K, dpf pxq, f pyqq ¥ dpx, yq. Soit a, b P K. Montrer qu’il existe une sous-suite strictement croissante pnk qkPN d’entiers telle que les suites pf n paqqkPN et pf n pbqqkPN convergent. Montrer que pf n n paqqkPN et pf n n pbqqkPN convergent respectivement vers a et b et en déduire que f pK q est dense dans K. k 2. P E N une suite convergeant vers a P E. Montrer k k 1 k k 1 k 3. Montrer que f est surjective et isométrique. 3 Exercice 4.3: Soit ra, bs muni de la distance dpx, y q |x y |. Le but de cet exercice est de démontrer que cet espace topologique est compact, par la propriété de Borel-Lebesgue. Soit donc ra, bs Ω iPI Ui un recouvrement de notre intervalle par des ouverts. On pose M : tx P ra, bs : ra, xs admet un sous-recouvrement fini extrait de Ωu 1. Montrer que M est un intervalle non vide puis qu’il admet une borne supérieure : c. 2. Montrer que M ne peut être de la forme ra, cr. 3. Montrer que c b. Exercice 4.4: Idéaux maximaux de C 0 pK, Rq Soit K un espace topologique compact et C 0 pK, Rq l’algèbre des fonctions continues sur K à valeurs réelles. 1. Soit I un idéal propre de C 0 pK, Rq. Expliquer pourquoi tout élément de I doit s’annuler en au moins un point de K. 2. Montrer qu’il existe x P K tel que f pxq 0 pour tout f 3. En déduire les idéaux maximaux de C 0 P I. pK, Rq et les morphismes d’algèbre de C 0 pK, Rq dans R. Exercice 4.5: Points fixes 1. Soit E un espace vectoriel normé et C E un convexe, compact. Montrer que tout application 1-lipschitzienne de C dans lui-même admet un point fixe. Indication : Considérer pour z P C fixé, fn pxq : n 1 1 z nn 1 f pxq. 2. Soit pX, dq un espace métrique compact et f : X Ñ X telle que dpf pxq, f pyqq dpx, yq pour x y. (a) Expliquer pourquoi le théorème de point fixe de Picard ne s’applique pas. (b) Montrer cependant que f admet un unique point fixe a P X. (c) Montrer que la suite des itérées de f converge simplement vers la fonction constante égale à a. (d) Que dire dans le cas de l’inégalité large dpf pxq, f py qq ¤ dpx, y q (les autres hypothèses étant vérifiées par ailleurs) ? Indication : Considérer x ÞÑ x sur un compact de R bien choisi. 5 Complétude Exercice 5.1: Complété d’un espace métrique Soit pM, dq un espace métrique. Notons C l’ensemble des suites de Cauchy de M . 1. On considère la relation binaire R sur C suivante : si u éléments de C , uR v ô pun qnPN et v pvn qnPN sont deux lim dpun , vn q 0 . n Ñ8 Montrer que R est une relation d’équivalence. 2. Montrer que pour tout couple pu, v q P C 2 , la suite pdpun , vn qqnPN est de Cauchy dans R. On note δ l’application ainsi définie sur C 2 et à valeurs dans R , par δ pu, v q : lim dpun , vn q. n Ñ8 3. Montrer que δ vérifie tous les axiomes d’une distance, hors mis la séparation. : C {R (ensemble des classes d’équivalences de C selon la relation R). Pour u P C , 4. On pose M rpC , C q : δ pu, v q définit sans sa classe d’équivalence. Vérifier que la formule δ on note Cu P M u v . ambiguïté une distance δr sur M rq et que son image est une partie dense. , δ 5. Montrer que pM, dq s’injecte isométriquement dans pM r Montrer que pM , δ q est complet. 4 Exercice 5.2: Prolongement des applications uniformément continues et application 1. Soient pE, dq et pF, δ q deux espaces métriques, le deuxième étant de plus supposé complet. Soit A une partie dense de E et f : A Ñ F une application uniformément continue. Montrer l’existence d’une unique application continue g prolongeant f à E tout entier, g étant de plus uniformément continue. n ¸ 1 2. Pour tout n P N , on considère la série harmonique tronquée Hn : . k k 1 (a) Montrer que pour tout p P N , la suite pHnp Hn qnPN est croissante et admet une limite (dans R ), que l’on notera λppq. Montrer que λ est croissante sur N , λp1q 0 et que pour p, q P N , λppq q λppq λpq q. (b) Pour p, q P N on pose λpp{q q : λppq λpq q. Montrer que l’on prolonge bien de cette manière λ à Q , sans ambiguïté. Montrer que λ est alors croissante sur Q , vérifie toujours l’équation fonctionnelle de la question précédente, et de plus les estimations (c) @r P Q , 1 r r ¤ λp1 rq ¤ r, @s P Q Xs0, 1r, 1 s s ¤ λp1 sq ¤ s. Montrer que pour tout ε ¡ 0, λ est uniformément continue sur rε, 8r et en déduire qu’elle se prolonge alors sur R tout entier en une fonction (notée ln) continue sur R , croissante et vérifiant la même équation fonctionnelle. Vérifier que la fonction ln est dérivable et que sa dérivée est bien 1{x. Exercice 5.3: Théorème de Cantor Montrer que pour un espace métrique pX, dq la complétude équivaut à la propriété suivante : « si pFn qnPN est une suite décroissante de fermés non vides vérifiant nlim Ñ8 diampFn q 0, alors XnPN Fn est un singleton ». 6 Baireries Exercice 6.1: 1. Montrer qu’un espace vectoriel possédant une base infinie dénombrable n’est complet pour aucune norme. 2. Soit E un espace métrique complet et soit pFn qnPN une suite de fermés de E telle que E Montrer que ¤ P ¤ P Fn . n N F˚n est un ouvert dense de E. n N 3. Montrer qu’une application linéaire continue d’un espace de Banach E dans lui-même localement nilpotente est nilpotente. Remarque : On dit que T P L pE q est localement nilpotente lorsque pour tout x P E il existe nx P N tel que T nx pxq 0. Exercice 6.2: Une caractérisation de l’exponentielle P C 8 pRq vérifiant f pnq pxq nÝÑ Ñ8 f pxq pour tout x P R. Soit I R un segment non réduit à un point. On pose Gp : tx P I : |f ppq pxq| ¤ sup |f ptq| tPI £ Fn : Gp . Montrer que l’un des Fn est d’intérieur non vide. Soit f 1. ¥ p n 1u et 2. En déduire que f 1 et f coïncident sur un ensemble dense puis que f est un multiple de l’exponentielle. 5 Exercice 6.3: Points de continuité Soit pfn qnPN P C 0 pR, RqN convergeant simplement vers f . 1. f est elle continue ? 2. Soit δ ¡ 0, on pose Fnδ : tx P R : @i ¥ n, |fi pxq fn pxq| ¤ δu. Vérifier que Uδ : ouvert dense et en déduire que f est continue sur une partie dense de R. Remarque : On pourra utiliser la question 2. de l’exercice 6.1. 3. Si g ¤ P F˚nδ est un n N P C 0 pR, Rq est dérivable sur R, montrer que sa dérivée est continue sur une partie dense. 6