Exercice Problème

MPSI B
Année 2015-2016. DS 10 le 27/05/16
Exercice
A
b. Montrer qu'il existe un réel λ et des polynômes unitaires A et B tels que F = λ B
.
Préciser la forme factorisée de A et B . Montrer que
1
1
···
1 1
1
1
a +b
2 1 a2 +b2 · · · a2 +bn λ= .
.
.
..
.. ..
1
1
1
· · · an +b
an +b1
an +b2
n
Soient a1 , · · · , an , b1 , · · · , bn des réels tels que
∀(i, j) ∈ J1, nK2 , i 6= j ⇒ ai 6= aj et bi 6= bj
Soit C(a1 , b1 , a2 , b2 , · · · , an , bn ) la matrice n×n (dite de Cauchy) dont le coecient d'indice
1
et c(a1 , b1 , a2 , b2 , · · · , an , bn ) son déterminant.
i, j est ai +b
j
L'objet de cet exercice est d'obtenir, par deux méthodes diérentes une expression factorisée
de ce déterminant.
c. Comment retrouver la formule de la question 2.d. sans opérations élémentaires ?
1. Calculer 603 c(1, 1, 2, 2, 3, 3).
Problème
2. Opérations élémentaires.
a. Préciser l'opération élémentaire et les factorisations montrant que
1
a1 − a2
1 c(a1 , b1 , a2 , b2 ) =
1
1
(a1 + b1 )(a1 + b2 ) a2 +b1 a2 +b2 Ce problème1 aborde l'étude des matrices à coecients dans {0, 1} à travers plusieurs
thématiques indépendantes. Dans ce texte, n est un entier supérieur ou égal à 2 et on note :
Mn = Mn (R) l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients dans R,
GLn (R) l'ensemble des éléments inversibles de Mn (R),
On l'ensemble des matrices carrées d'ordre n à coecients dans R orthogonales c'est
à dire les matrices M ∈ Mn telles que tM M = In .
Xn l'ensemble des éléments de Mn (R) dont tous les coecients sont dans {0, 1},
Yn l'ensemble des éléments de Mn (R) dont tous les coecients sont dans [0, 1],
Pn l'ensemble des éléments de Xn ne contenant qu'un seul élément non nul par ligne
et par colonne.
On dira que λ ∈ C est une valeur propre complexe de M ∈ Mn si et seulement si
En déduire l'expression factorisée de c(a1 , b1 , a2 , b2 ).
b. On note Li la ligne i de C(a1 , b1 , a2 , b2 , · · · , an , bn ). Pour i ∈ J2, nK et j ∈ J1, nK,
préciser le coecient dans la colonne j de Li − L1 .
c. Montrer que
1
1
Qn
(a1 − ai ) a2 +b1
i=2
c(a1 , b1 , · · · , an , bn ) = Qn
..
.
j=1 (a1 + bj ) 1
an +b1
1
1
a2 +b2
···
···
..
.
1
an +b2
···
22 mai 2017
1
a2 +bn .. . 1
1
∃X ∈ Mn,1 (C), X 6= 0Mn,1 (C) tq M X = λX
an +bn
I. Généralités
d. Montrer que
1. Justier que Xn est un ensemble ni et préciser son cardinal.
Qn
(b1 − bj )
i=2 (a1 − ai )
Qj=2
c(a2 , b2 , · · · , an , bn )
c(a1 , b1 , · · · , an , bn ) = Qn
n
j=1 (a1 + bj )
i=2 (ai + b1 )
Qn
2. Démontrer que | det(M )| < n! pour tout M ∈ Yn .
3. Démontrer que Yn est une partie convexe de Mn (R).
4. Soit M ∈ Yn et λ une valeur propre complexe de M c'est à dire
3. Méthode algébrique.
On considére l'application F dénie dans une partie de R par :
λ ∈ C, ∃X ∈ Mn,1 (C), X 6= 0Mn,1 (C) tq M X = λX
x 7→ F (x) = c(x, b1 , · · · , an , bn )
Montrer que |λ| ≤ n et donner un exemple explicite où l'on a l'égalité.
1 d'après
a. Montrer que F est une fraction rationnelle. Préciser son degré et ses pôles.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Math 1 PSI Concours Centrale-Supelec 2016
Rémy Nicolai S1510E
MPSI B
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5. Étude de Xn0 = Xn ∩ GLn (R).
a. Faire la liste des éléments de X20 .
b. Montrer que X20 engendre M2 . La propriété Vect(Xn0 ) = Mn est-elle vraie pour
n ≥ 2?
b. Déterminer des valeurs propres (et les colonnes propres associées) pour une permutation σ quelconque.
5. Une caractérisation des éléments de Pn .
On se donne une matrice M ∈ GLn (R) dont tous les coecients sont des entiers
naturels et telle que l'ensemble formé par tous les coecients de toutes les puissances
successives de M (dans N) soit ni.
Montrer que M −1 est à coecients dans N et en déduire que M est une matrice de
permutation. Que dire de la réciproque ?
II. Maximisation du déterminant
1. Justier l'existence de
xn = max {det(M ), M ∈ Xn }
22 mai 2017
yn = sup {det(M ), M ∈ Yn }
IV. Matrices aléatoires
2. Montrer que la suite (yk )k≥2 est croissante.
3. Soit J ∈ Xn la matrice dont tous les coecients valent 1. On pose M = J − In . calculer
det(M ) et en déduire que (yk )k≥2 tend vers +∞.
A. Génération par une colonne aléatoire
Soit p ∈]0, 1[ et X1 , . . . , Xn des variables aléatoires mutuellement indépendantes, dénies
sur un espace probabilisé (Ω, P) et suivant la même loi de Bernoulli de paramètre p.
4. Soit N ∈ Yn . Pour (i, j) ∈ J1, nK2 , on note ni,j les coecients de N et supposons que
pour un (i0 , j0 ) xé on ait 0 < ni0 ,j0 < 1.
a. Montrer qu'en remplaçant ni0 ,j0 soit par 0 soit par 1, on peut obtenir une matrice
N 0 ∈ Yn telle que det(N ) ≤ det(N 0 ).
b. Montrer que xn = yn .
1. Calculer la probabilité de l'événement (X1 = X2 = · · · = Xn ).
2. Quelle est la loi de S = X1 + · · · + Xn ? On attend une démonstration du résultat
annoncé.
3. Soient (i, j) ∈ J1, nK2 . Donner la loi de la variable aléatoire Xi,j = Xi × Xj .
4. Pour ω ∈ Ω, on introduit les matrices


X1 (ω)


U (ω) =  ...  ∈ Mn,1 (R),
III. Matrices de permutations
On note (e1 , · · · , en ) la base canonique de Rn et Sn l'ensemble des bijections de J1, nK
dans lui même (permutations). Pour tout σ ∈ Sn , on note Pσ la matrice dont le coecient
i, j vaut 1 si i = σ(j) et 0 sinon. On dit que Pσ est la matrice de permutation associée à σ .
On note uσ l'endomorphisme de Rn dont la matrice dans la base canonique est Pσ .
1. Soit σ et σ 0 deux permutations, exprimer Pσ Pσ0 et tPσ comme des matrices de permutation.
2. Montrer que si M ∈ On son déterminant vaut +1 ou −1.
3. Montrer que Pn = Xn ∩ On et déterminer son cardinal.
4. Valeurs et vecteurs propres pour une matrice de permutation.
a. Soit c la permutation dénie par
M (ω) = U (ω) tU (ω) ∈ Mn
Xn (ω)
L'application M : ω ∈ Ω 7→ M (ω) est ainsi une variable aléatoire.
a. Pour ω ∈ Ω, justier que M (ω) ∈ Xn .
b. Pour ω ∈ Ω, justier que tr(M (ω)) ∈ J0, nK et que rg(M (ω)) ≤ 1.
c. Pour ω ∈ Ω, justier que
M (ω)2 = M (ω) et tM (ω) = M (ω) ⇔ S(ω) ∈ {0, 1}
c(1) = n, c(2) = 1, · · · , · · · c(n − 1) = n − 2, c(n) = n − 1
5. Donner la loi, l'espérance et la variance des variables aléatoires tr(M ) et rg(M ).
2iπ
On note ω = e n . Montrer que ω est une valeur propre complexe de Pc et
préciser la colonne non nulle associée. Montrer que toutes les racines n-ième de
l'unité (u ∈ Un ) sont des valeurs propres complexes de Pc .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France
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6. Exprimer M k en fonction de S et M . Quelle est la probabilité pour que la suite de
matrices (M k )k∈N soit convergente ?
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22 mai 2017
B. Génération par remplissage aléatoire
Soit p ∈]0, 1[. On part de la matrice nulle de Mn (R), notée M0 . Pour tout k ∈ N, on
construit la matrice Mk+1 à partir de Mk de la manière suivante
- on parcourt la matrice en une vague et chaque coecient nul est changé en 1 avec la
probabilité p ;
- chaque action sur un coecient est indépendante de ce qui se passe sur les autres et
des vagues précédentes.
Les Mk sont donc des variables aléatoires à valeurs dans Xn et l'on considère qu'elles sont
dénies sur un espace probabilisé commun (Ω, P). Voici un exemple de réalisation de cette
évolution pour n = 2
M0 =
0
0
0
0
→ M1 =
1
1
0
0
→ M2 =
1
1
0
0
1 1
1 0
1 1
1
→ M4 =
→ M5 =
1 1
1
→ M3 =
1
1
Pour k ≥ 1, le nombre de modications réalisées lors de la k -ième vague est noté Nk . Dans
l'exemple ci-dessus : N1 = 2, N2 = 0, N3 = 1, N4 = 1, N5 = 0.
On s'intéresse au plus petit indice k pour lequel la matrice Mk ne comporte que des 1 ; on
dit alors qu'elle est totalement remplie.
Dans l'exemple précédent, ce premier indice vaut 4. On note q = 1 − p et m = n2 .
1. Donner la loi de N1 , puis la loi conditionnelle de N2 sachant (N1 = i) pour i dans un
ensemble à préciser. N1 et N2 sont-elles indépendantes ?
2. Soient i, j ∈ {1, . . . , n}. Le plus petit entier k ≥ 1 tel que le coecient ligne i, colonne
j de Mk vaut 1 est noté Ti,j (dans l'exemple ci-dessus, T1,1 = 1 et T1,2 = 3).
Pour k ∈ N∗ , préciser P(Ti,j = k).
3. Pour un entier k ≥ 1, donner la limite de la suite (P(Ti,j ∈ Jk, sK))s∈N . On admettra
que cette limite est P(Ti,j ≥ k).
4. Soient r ≥ 1 un entier et Sr = N1 + · · · + Nr . Que représente Sr ? Donner sa loi.
(Utiliser la question précédente)
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disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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