Exercice Problème

a1,· · · , an, b1,· · · , bn
∀(i, j)∈J1, nK2, i 6=j⇒ai6=ajbi6=bj
C(a1, b1, a2, b2,· · · , an, bn)n×n
i, j 1
ai+bjc(a1, b1, a2, b2,· · · , an, bn)
603c(1,1,2,2,3,3)
c(a1, b1, a2, b2) = a1−a2
(a1+b1)(a1+b2)
1 1
1
a2+b1
1
a2+b2
c(a1, b1, a2, b2)
Lii C(a1, b1, a2, b2,· · · , an, bn)i∈J2, nKj∈J1, nK
j Li−L1
c(a1, b1,· · · , an, bn) = Qn
i=2(a1−ai)
Qn
j=1(a1+bj)
1 1 · · · 1
1
a2+b1
1
a2+b2· · · 1 a2+bn
1
an+b1
1
an+b2· · · 1 an+bn
c(a1, b1,· · · , an, bn) = Qn
i=2(a1−ai)Qn j=2(b1−bj)
Qn
j=1(a1+bj)Qn i=2(ai+b1)c(a2, b2,· · · , an, bn)
FR
x7→ F(x) = c(x, b1,· · · , an, bn)
F
λ A B F =λA
B
A B
λ=
1 1 · · · 1
1
a2+b1
1
a2+b2· · · 1 a2+bn
1
an+b1
1
an+b2· · · 1 an+bn
{0,1}
n2
Mn=Mn(R)nR
GLn(R)Mn(R)
OnnR
M∈ Mnt M M =In
XnMn(R){0,1}
YnMn(R) [0,1]
PnXn
λ∈CM∈ Mn
∃X∈ Mn,1(C), X 6= 0Mn,1(C)M X =λX
Xn
|det(M)|< n!M∈ Yn
YnMn(R)
M∈ Ynλ M
λ∈C,∃X∈ Mn,1(C), X 6= 0Mn,1(C)M X =λX
|λ| ≤ n

X0
n=Xn∩GLn(R)
X0
2
X0
2M2Vect(X0
n) = Mn
n≥2
xn= max {det(M), M ∈ Xn}yn= sup {det(M), M ∈ Yn}
(yk)k≥2
J∈ Xn1M=J−In
det(M) (yk)k≥2+∞
N∈ Yn(i, j)∈J1, nK2ni,j N
(i0, j0) 0 < ni0,j0<1
ni0,j00 1
N0∈ Yndet(N)≤det(N0)
xn=yn
(e1,· · · , en)RnSnJ1, nK
σ∈SnPσ
i, j 1i=σ(j) 0 Pσσ
uσRnPσ
σ σ0PσPσ0t Pσ
M∈ On+1 −1
Pn=Xn∩ On
c
c(1) = n, c(2) = 1,· · · ,· · · c(n−1) = n−2, c(n) = n−1
ω=e2iπ
nω Pc
n
u∈UnPc
σ
Pn
M∈GLn(R)
MN
M−1NM
p∈]0,1[ X1, . . . , Xn
(Ω,P)p
(X1=X2=· · · =Xn)
S=X1+· · · +Xn
(i, j)∈J1, nK2Xi,j =Xi×Xj
ω∈Ω
U(ω) = 
X1(ω)
Xn(ω)
∈ Mn,1(R), M(ω) = U(ω)t
U(ω)∈ Mn
M:ω∈Ω7→ M(ω)
ω∈ΩM(ω)∈ Xn
ω∈Ω tr(M(ω)) ∈J0, nKrg(M(ω)) ≤1
ω∈Ω
M(ω)2=M(ω)t
M(ω) = M(ω)⇔S(ω)∈ {0,1}
tr(M) rg(M)
MkS M
(Mk)k∈N

p∈]0,1[ Mn(R)M0k∈N
Mk+1 Mk
1
p
MkXn
(Ω,P)
n= 2
M0=0 0
0 0→M1=1 0 1 0→M2=1 0 1 0→M3=1 1 1 0
→M4=1 1
1 1→M5=1 1 1 1
k≥1k Nk
N1= 2 N2= 0 N3= 1 N4= 1 N5= 0
k Mk1
4q= 1 −p m =n2
N1N2(N1=i)i
N1N2
i, j ∈ {1, . . . , n}k≥1i
j Mk1Ti,j T1,1= 1 T1,2= 3
k∈N∗P(Ti,j =k)
k≥1 (P(Ti,j ∈Jk, sK))s∈N
P(Ti,j ≥k)
r≥1Sr=N1+· · · +NrSr