EP 23 : Probabilités - TI Education

Épreuve pratique
Terminale S
EP 23 : Probabilités
Auteur du corrigé : Alain Soléan
TI-Nspire™ / TI-Nspire™ CAS
Fichier associé : EP23n.tns
1. Le sujet
Sujet 011 de l’épreuve pratique – Simulation d’une expérience aléatoire, lois de probabilités
Enoncé
On dispose d’une roue divisée en trois secteurs identiques numérotés 1,2 et 3.
On suppose qu’après rotation, la roue s’arrête sur l’un des trois secteurs de façon équiprobable.
On fait tourner successivement trois fois la roue dans le sens trigonométrique en supposant que chaque
résultat est indépendant des deux autres.
S désigne la variable aléatoire définie par la somme des trois numéros obtenus.
La variable aléatoire D est le numéro obtenu lors de la seconde rotation.
1. Sur un tableur réaliser une simulation de taille 100 de cette expérience.
2. Déterminer pour cette simulation les répartitions des fréquences de la variable aléatoire S.
3. En utilisant les résultats connus sur la répétition d’expériences indépendantes, déterminer les lois de
probabilités des variables aléatoires S et D.
4. La simulation du 2. est-elle cohérente avec les valeurs théoriques obtenues au 3. ?
5. Les événements « S = 3 » et « D = 1 » sont-ils indépendants ?
Production demandée
•
•
Pour les questions 3 et 5, les réponses sont à justifier.
Pour la question 4, une rapide explication de la cohérence est demandée.
Compétences évaluées
•
Compétences TICE
- Utiliser des fonctions de simulation d’un tableur ou d’une calculatrice ;
- Construire une feuille de calculs adaptée à la situation.
•
Compétences mathématiques
- Déterminer des lois de probabilité de variables aléatoires ;
- Étudier l’indépendance de deux événements.
2. Corrigé
Les copies d’écrans des pages suivantes sont obtenues à partir de la calculatrice.
© Texas Instruments 2007 / Photocopie autorisée
EP 23 - 1
Épreuve pratique
Terminale S
1. Ouvrir une page Tableur & listes.
Dans les cellules grisées en haut des colonnes A, B
et C inscrire la formule:
= randInt (1,3, 100).
Dans la cellule grisée, en haut de la colonne D,
inscrire = a + b + c.
On obtient ainsi la simulation de taille 100
demandée.
2. Pour obtenir les répartitions des fréquences de la
variable aléatoire S, il faut dénombrer les effectifs
obtenus pour chaque valeur possible de S (donc 3, 4,
5, 6, 7, 8 et 9).
Pour cela dans les cellules E1, F1, G1, H1, I1, J1 et
K1 inscrire respectivement les formules :
= when(D1 = 3,1,0)
= when(D1 = 4,1,0)
= when(D1 = 5,1,0)
= when(D1 = 6,1,0)
= when(D1 = 7,1,0)
= when(D1 = 8,1,0)
= when(D1 = 9,1,0).
Copier les cellules E1 à K1. Les Coller sur la plage
E2 : K100.
On peut utiliser l’item Saisie rapide dans le menu
Données.
Dans la colonne L, inscrire les valeurs possibles
pour S,donner un nom à cette colonne (ici, s) puis
dans les cellules M1 à M7 inscrire les formules :
= mean(e [ ]), = mean(f [ ]), ….., = mean(k[ ]).
Remarque :Après le nom de la fonction, écrire le
nom de la colonne suivi de [ ] .
On obtient ainsi la répartition des fréquences de S.
Donner un nom (ici, ve) à cette colonne.
Remarque : Une version ultérieure de TI – Nspire intègrera une fonction permettant de compter le nombre
de cellules égales à une valeur donnée. Cela permettra d’éviter les colonnes E, F, G, H, I, J et K.
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EP 23 - 2
Épreuve pratique
Terminale S
3. L’expérience aléatoire « lancer la roue successivement trois fois » possède un univers de 27 éventualités
équiprobables (car les résultats des rotations sont indépendants). Chaque éventualité est un triplet (a, b, c)
avec a, b, c appartenant à l’ensemble {1, 2, 3}. La variable aléatoire S prend les valeurs :
si
Eventualités favorables
3
(1, 1, 1)
4
(1, 1, 2) ; (1, 2, 1) ; (1, 1, 2)
5
(1, 1, 3) ; (1, 3, 1) ; (3, 1, 1) ; (1, 2, 2) ; (2, 1, 2) ; (2, 2, 1)
6
(1, 2, 3) ; (1, 3, 2) ; (2, 1, 3) ; (2, 3, 1) ; (3, 1, 2) ; (3, 2, 1) ; (2, 2, 2)
7
(2, 2, 3) ; (2, 3, 2) ; (3, 2, 2) ; (1, 3, 3) ; (3, 1, 3) ; (3, 3, 1)
8
(3, 3, 2) ; (3, 2, 3) ; (2, 3, 3)
9
(3, 3, 3)
P(S=si)
1
27
3 1
=
27 9
6 2
=
27 9
7
27
6 2
=
27 9
3 1
=
27 9
1
27
Les trois secteurs étant identiques, la variable aléatoire D a pour loi de probabilité :
1
P(D = 1) = P(D = 2) = P(D = 3) = .
3
4. Pour vérifier la cohérence de la simulation on
peut, dans le tableau précédent en colonne N,
inscrire les valeurs théoriques des fréquences de S.
Lui donner un nom (ici, vt).
Remarque : les données peuvent être remises à jour
par ENTER sur une cellule vide.
Ouvrir une page Graphiques & géométrie.
Choisir Nuage de points, faire tracer les nuages
(s, ve), fréquences obtenues par simulation, et (s, vt),
fréquences théoriques.
Régler la fenêtre (Zoom-Stat).
Ci-contre, (s, ve) est marqué avec des cercles, (s, vt)
avec des carrés.
Les résultats semblent cohérents.
5. Pour que la variable aléatoire S prenne la valeur 3, on doit avoir nécessairement D = 1 donc les
événements S = 3 et D = 1 ne sont pas indépendants.
1
1
1
P( S = 3 et D = 1 ) =
, P( S = 3 ) =
, P ( D = 1 ) = , P( S = 3 ) × P ( D = 1 ) ≠ P( S = 3 et D = 1 ).
27
27
3
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EP 23 - 3