DJ - FAMILLES DE POLYNOMES

DJ - FAMILLES DE POLYNOMES
I. Une famille remarquable de polynômes
Pour tout entier npositif, on note Γnle polynôme
Γn(X) = X(X−1) ···(X−n+ 1)
n!,
et
γn=n! Γn.
Les polynômes Γnforment une base de R[X]. On a tout d’abord les formules suivantes :
Γ0(X+ 1) −Γ0(X) = 0 ,
∀n≥1,Γn(X+ 1) −Γn(X) = Γn−1(X),
∀n≥0, XΓn(X) = (n+ 1)Γn+1(X) + nΓn(X).
La première formule est évidente puisque Γ0= 1. Pour la deuxième
Γn(X+ 1) −Γn(X) = (X+ 1)X···(X−n+ 2)
n!−X(X−1) ···(X−n+ 1) n!
=X(X−1) ···(X−n+ 2)
n!((X+ 1) −(X−n+ 1))
=nX(X−1) ···(X−n+ 2)
n!
=X(X−1) ···(X−n+ 2)
(n−1)! ,
ce qui donne le résultat.
Pour la troisième formule
XΓn(X) = ((X−n) + n)Γn(X) = (X−n)Γn(X) + nΓn(X).
Mais
(X−n)Γn(X) = X(X−1) ···(X−n)
n!= (n+ 1) X(X−1) ···(X−n) (n+ 1)! = (n+ 1)Γn+1(X),
donc
XΓn(X) = (n+ 1)Γn+1(X) + nΓn(X).

DJ 2
Proposition 1 Il existe une suite (Pn)n≥0de polynômes et une seule telle que
1) P0(X) = 1
2) Pour tout n≥1,Pn(X+ 1) −Pn(X) = XPn−1(X)
3) Pour tout n≥1,Pn(0) = 0.
Ces polynômes vérifient alors
i) deg Pn= 2n
ii) Si n≥1, l’ensemble des racines de Pncontient {0,...,n}.
Notons
Pn(x) =
∞
X
k=0
λk
nΓk(X),
ainsi que
αn= deg Pnet βn= inf{k|λk
n6= 0}.
Donc
Pn(x) =
αn
X
k=βn
λk
nΓk(X).
On a alors
Pn(X+ 1) −Pn(X) =
∞
X
k=0
λk
n(Γk(X+ 1) −Γk(X))
=
∞
X
k=1
λk
nΓk−1(X)
=
∞
X
k=0
λk+1
nΓk(X).
D’autre part
XPn−1(X) =
∞
X
k=0
λk
n−1XΓk(X)
=
∞
X
k=0
λk
n−1((k+ 1)Γk+1(X) + kΓk(X))
=
∞
X
k=1
λk−1
n−1kΓk(X) +
∞
X
k=0
λk
n−1kΓk(X)
=
∞
X
k=1
k(λk
n−1+λk−1
n−1) Γk(X).
L’égalité
Pn(X+ 1) −Pn(X) = XPn−1(X),
est donc équivalente à

DJ 3
(1) λ1
n= 0 et ∀k≥1, λk+1 n=k(λk n−1+λk−1
n−1).
Avec de plus, si n≥1,
Pn(0) = λ0
n= 0 .
A partir de P0= Γ0= 1, on obtient immédiatement que
P1(X) = Γ2(X).
On a donc
α1=β1= 2 .
Puis tous les polynômes sont obtenus de proche en proche de manière unique. De la relation entre les
coefficients de Pnet de Pn−1, on déduit que ces coefficients sont tous positifs.
Soit n≥1. Etudions maintenant les degrés. Puisque λαn−1
n−1n’est pas nul, on a
λαn−1+2
n= (αn−1+ 1) (λαn−1+1
n−1+λαn−1
n−1)>0.
D’autre part, si k > αn−1+ 2, alors k−1> k −2> αn−1, donc
λk
n= (k−1)(λk−1
n−1+λk−2 n−1) = 0 .
Il en résulte que
αn=αn−1+ 2 ,
et donc, par récurrence, que αn= 2n.
On procède de même avec les nombres βn. Puisque λβn−1
n−1n’est pas nul, on a
λβn−1+1
n=βn−1(λβn−1
n−1+λβn−1−1 n−1)>0.
D’autre part, si 0≤k < βn−1+ 1, alors k−2< k −1< βn−1, donc
λk
n= (k−1)(λk−1
n−1+λk−2 n−1) = 0 .
Il en résulte que
βn=βn−1+ 1 ,
et donc, par récurrence, que βn=n+ 1.
Finalement
Pn(X) =
2n
X
k=n+1
λk
nΓn(X).
On peut donc mettre Γn+1(X)en facteur
Pn(X) = Γn+1(X)
2n
X
k=n+1
λk
n
(n+ 1)!
k!(X−n−1) ···(X−k+ 1) ,
ce qui montre que les nombres 0,1, . . . , n sont racines de Pn.

DJ 4
Voici la table des premiersλk
n:
k= 2 k= 3 k= 4 k= 5 k= 6 k= 7 k= 8 k= 9 k= 10
n= 1 1
n= 2 2 3
n= 3 6 20 15
n= 4 24 130 210 105
n= 5 120 924 2380 2520 945
Voici la procédure Maple permettant de les créer ainsi que de trouver les polynômes Pn.
B := proc (n) local k, j, Q ;
global L, P ;
L := array(sparse,1 .. n,1 .. 2*n) ;
for k from 3 to n do L[1,k] := 0 od ; L[1,2] := 1 ;
for k from 3 to 2*n do for j from 2 to n do
L[j,k] := (k-1)*(L[j-1,k-1]+L[j-1,k-2]) od od ;
P := array(sparse,1 .. 2*n) ;
P[1] := X ;
for k from 2 to 2*n do P[k] := (X-k+1)*P[k-1]/k od ;
Q := 0 ;
for k from n+1 to 2*n do Q := Q+L[n,k]*P[k] od ;
print(evalm(L)) ; print(factor(Q))
end
Il résulte de l’équation (1) que
λn+1
n=nλn n−1et λ2n n= (2n−1)λ2n−2
n−1
d’où, par récurrence,
λn+1
n=n! et λ2n n= 1 ×3× · · · × (2n−1) = (2n)!
2nn!.
On obtient facilement les premiers polynômes :
P2(X) = 2Γ3(X) + 3Γ4(X).
Donc
P2(X) = X(X−1)(X−2)
3+X(X−1)(X−2)(X−3) 8
=X(X−1)(X−2)
24 (8 + 3(X−3))
=X(X−1)(X−2)(3X−1)
24 .

DJ 5
P3(X) = 6Γ4(X) + 20Γ5(X) + 15Γ6(X).
Donc
P3(X) = X(X−1)(X−2)(X−3)
4+X(X−1)(X−2)(X−3)(X−4) 6
+X(X−1)(X−2)(X−3)(X−4)(X−5)
48
=X(X−1)(X−2)(X−3)
48 (12 + 8(X−4) + (X−4)(X−5))
=X(X−1)(X−2)(X−3)
48 (X2−X)
=X2(X−1)2(X−2)(X−3)
48 .
P4(X) = 24Γ5(X) + 130Γ6(X) + 210Γ7(X) + 105Γ8(X).
Donc
P4(X) = X(X−1)(X−2)(X−3)(X−4)
5+13X(X−1)(X−2)(X−3)(X−4)(X−5) 72
+X(X−1)(X−2)(X−3)(X−4)(X−5)(X−6)
24
+X(X−1)(X−2)(X−3)(X−4)(X−5)(X−6)(X−7)
384
=X(X−1)(X−2)(X−3)(X−4)
5760 [1152 + 1040(X−5)
+240(X−5)(X−6) + 15(X−5)(X−6)(X−7)]
=X(X−1)(X−2)(X−3)(X−4)
5760 (15X3−30X2+ 5X+ 2) .
On peut calculer également
P5(X) = X2(X−1)2(X−2)(X−3)(X−4)(X−5)(3X2−7X−2)
11520 .
De la relation de définition on tire que, pour tout entier jet pour tout n≥1,
Pn(X−j)−Pn(X−j−1) = (X−j−1)Pn−1(X−j−1) ,
et donc en sommant
Pn(X)−Pn(X−s) =
s−1
X
j=0
(Pn(X−j)−Pn(X−j−1)) =
s−1
X
j=0
(X−j−1)Pn−1(X−j−1) .