Polynômes de Legendre : récurrence linéaire

Polynômes de Legendre : récurrence linéaire
On utilise ici les résultats et les notations de Polynômes orthogonaux : introduction.
L'espace vectoriel E des polynômes à coefficients réels est muni du produit scalaire défini
par:
1
(P, Q)  E : P  Q   P(t)Q(t) dt.
1
On désigne par (L )
la suite de polynômes orthogonaux tels que L (1)  1 .
n nN
n
D'après la question 5.a. de Polynômes orthogonaux : introduction, la suite (L n ) nN vérifie une
relation de récurrence. On se propose de calculer les coefficients  n ,  n ,  n qui figurent
dans cette relation.
1. Calculer cn pour tout entier n.
2. Montrer que n  N, L n ( x)  (1) n L n ( x).
3. Montrer que  n  0 pour tout n (prendre la valeur en  1 et en 1).
4. Exprimer n en fonction de  n 1 ,  n , L n-1 , L n
2
2
(n est le coefficient dominant de Ln).
Exprimer  n en fonction de n et de n1 .
5. En considérant Ln  L n1 , montrer que n
6. Montrer que L n
2

n
L n1
n1
2
 2.
1
. Préciser les valeurs de n et de n en fonction de n.
2n  1
7. Préciser la relation de récurrence vérifiée par la suite (Q )
des polynômes
n nN
orthogonaux unitaires (de coefficients dominants égaux à 1).
Commentaires
 Avec cette relation de récurrence, on peut former des Fractions de Tchébychev (niveau 2).
 On peut aussi rapprocher ce texte de Polynômes de Laguerre : récurrence linéaire
(niveau 2)
 Dans Polynômes de Legendre : convergence simple (niveau 2), on étudie la convergence
de la suite des Ln(x) lorsque x est un nombre complexe qui n'est pas dans le segment [0,1].
Solution
1.
 2
si n est pair.

Un calcul immédiat d'intégrale conduit à cn   n  1
0 si n est impair.
2.
Posons Sn ( x)  L n ( x) . Le changement de variable y   x dans l'intégrale définissant
S p  S q montre que les polynômes Sn forment une suite orthogonale.
On en déduit que Sn ne diffère de Ln que par un coefficient multiplicatif. La comparaison des
coefficients dominants conduit à la formule de l'énoncé.
3.
D'après 2., L n (1)  (1) n . La relation de récurrence
X L n   n L n1   n L n   n L n1
conduit à 1   n   n   n et  1   n   n   n ,
lorsqu'on la considère respectivement en 1 et en  1 , d'où la valeur de n.
4.
Comme le degré de XLn-1 est n avec un coefficient dominant n-1, on peut écrire :
XL n1 
n1
L n  polynôme de degré < n,
n


XL n  L n1 n1 L n
2
 L n  n-1 L n  n1 L n ,  n 

.
2
2
n
n
L n1
n L n1
2
XL n  L n1  L n  XL n1
De même, XL n 
n
L n1  polynôme de degré < n+1 , d'où :
n1
XL n  L n1

n 
 n .
2
n1
L n1
Comme L n (1) L n1 (1)  1 et L n  Ln1  0 , une intégration par parties conduit à
Ln  L n1  2.
5.
D'autre part, Ln  n
n n
X  polynôme de degré  n  1 donc
n1

2
Ln  L n 1  n n L n 1 .
n1
6.
La relation de récurrence, prise en 1, avec les expressions trouvées pour  n ,  n ,  n
donne :
2
 n1 L n

 n1

n
n 1
2
1
 n avec
 et n 
Ln ,
2
2
 n1
2
 n1
2
 n L n1
 n L n1
n
n 1
2
2
2
2
Ln , Ln 
.
d'où 1  L n 
2
2
2n  1

2
2n  1
Ensuite n 
et enfin :

2
n1 n L n1
n
n =

n 2
n
n 1

, n  n 
.
2 2n  1 2n + 1
 n 1 2n  1
On obtient finalement :
XL n 
ou encore :
Ln 
7.
n
n 1
L n1 
L n1 ,
2n  1
2n  1
2n  1
n 1
XL n 1 
L n2 .
n
n
Notons dn le coefficient dominant de Ln, nous avons alors :
d n2
2n  1
(n  1)n
Ln  dn Qn , dn 
d n1 ,

.
n
dn
(2n  3)( 2n  1)
On en déduit d n Q n 
2n  1
n 1
X d n 1 Q n 1 
d n 2 Q n 2 , puis :
n
n
(n  1) 2
n  2, Q n  XQ n1 
Q n2 .
(2n  1)( 2n  3)