Modèle mathématique. Ne pas hésiter à consulter le fichier d`aide

TS Rappel sur les angles
Propriétés des sinus et des cosinus :
a) Propriétés élémentaires :
– 1 cos  1 ; – 1 sin  1 ; ( cos  )2 + ( sin  )2 = 1 ; tan  = sin 
cos  .
b) Sinus et cosinus des angles de référence :
0
6
4
3
2
sin 
0
1
2
2
2
3
3
1
cos 
1
3
2
2
2
1
2
0
tan 
0
3
3
1
3
n'existe
pas.
c) Angles associés :
cos ( –  ) = cos  La fonction cosinus est paire ;
sin ( –  ) = – sin  La fonction sinus est impaire.
cos (  –  ) = – cos  ; sin (  –  ) = sin 
cos (  +  ) = – cos  ; sin (  +  ) = – sin 
cos ( 
2 –  ) = sin  ; sin (  2 –  ) = cos 
cos ( 
2 +  ) = – sin  ; sin (  2 +  ) = cos 

d) Formules de somme et de duplication :
e) Relations métriques dans un triangle
Equations trigonométriques :
a) cos x = a
Exemple : Résoudre cos x = 1
2 d'abord dans IR puis dans ] –  ;  ]
puis dans [ 0 ; 2  ].
cos x = 1
2
cos x = cos 
3 ou cos x = cos 
– 
3
x = 
3 + 2 k  ou x = –  3 + 2k 
Dans IR , S = { 
3 + 2k  ;  3 + 2k  ; k
ZZ
}
Dans ] –  ;  ] S = { – 
3 ;  3 } Dans [ 0 ; 2  ] S = {  3 ; 5  3 }
Pour que l'équation cos x = a ait des solutions il faut que a [ – 1 ; 1 ]
On pose alors cos b = a
cos x = cos b x = b ( 2  ) ou x = – b ( 2  )

b) sin x = a
Exemple : Résoudre sin x = 1
2 d'abord dans IR puis dans ] –  ;  ]
puis dans [ 0 ; 2  ].
sin x = 1
2
sin x = sin 
6 ou sin x = sin 
 – 
6
x = 
6 + 2 k  ou x =  –  6 + 2k  = 5  6 + 2 k 
Dans IR , S = { 
6 + 2k  ; 5  6 + 2k  ; k
ZZ
}
Dans ] –  ;  ] S = { 
6 ; 5  6 } Dans [ 0 ; 2  ] S = {  6 ; 5  6 }
Pour que l'équation sin x = a ait des solutions il faut que a [ – 1 ; 1 ].
On pose alors sin b = a.
sin x = sin b x = b ( 2  ) ou x =  – b ( 2  )
c) Equations se ramenant aux cas précédents :
Exemples : Résoudre dans [ 0 ; 2  ] sin 2x = 1
2
On a alors sin 2x = 1
2 = sin  6 donc 2x =  6 + k
2  ou 2x =  – 
6 k
2  = 5 
6 k
2 
donc x = 
12 + k
 ou x = 5 
12 + k
Les différentes valeurs de x sont 
12 ; 5  12 et 13  12 . S = {  12 ; 5  12 ; 13  12 }
Résoudre cos ( x – 
4 ) = 1 2 dans ] –  ;  ]
On a alors cos ( x – 
4 ) = 1 2 = cos  3 donc x –  4 =  3 + k
2  ou x – 
4 = –  3 + k
2 
donc x = 7 
12 + k
2  ou x = – 
12 + k
2 
Les différentes valeurs de x sont – 
12 et 7  12 . S = {–  12 ; 7  12 }

d) Résolutions d'inéquations :
Exemple : sin x 1
2 d'abord dans IR puis dans [ – 3  2 ; 3  2 ]
on résout d'abord sin x = 1
2
Dans [ 0 ; 2  ] S = { 
6 ; 5  6 }
on représente les solutions de l'inéquation sur le cercle trigonométrique.
Dans [ 0 ; 2  ] les solutions sont S = [ 
6 ; 5  6 ]
Dans [ – 3 
2 ; 3  2 ] les solutions sont S = [– 3  2 ; – 7 6 ]
[ 
6 ; 3  2 ]