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TS Rappel sur les angles
Propriétés des sinus et des cosinus :
a) Propriétés élémentaires :
– 1  cos   1 ; – 1  sin   1 ; ( cos  )2 + ( sin  )2 = 1 ; tan  =
b) Sinus et cosinus des angles de référence :

0
sin 
0
cos 
1
tan 
0

6
1
2
3
2
3
3

4
2
2
2
2

3
3
3
1
2
1
3
c) Angles associés :
cos ( –  ) = cos  La fonction cosinus est paire ;
sin ( –  ) = – sin  La fonction sinus est impaire.
cos (  –  ) = – cos 
cos (  +  ) = – cos 

–  ) = sin 
2

cos ( +  ) = – sin 
2
cos (
;
;
sin (  –  ) = sin 
sin (  +  ) = – sin 
;
sin (
;

–  ) = cos 
2

sin ( +  ) = cos 
2

2
1
0
n'existe
pas.
sin 
.
cos 
d) Formules de somme et de duplication :
e) Relations métriques dans un triangle
Equations trigonométriques :
a) cos x = a
1
d'abord dans IR puis dans ] –  ;  ]
2
puis dans [ 0 ; 2  ].
Exemple : Résoudre cos x =
cos x =
1
2
 cos x = cos

3
ou

cos x = cos – 
 3

x = – + 2k 
3

+ 2 k  ou
3


Dans IR , S = { + 2k  ; + 2k  ; k  ZZ }
3
3
 
 5
Dans ] –  ;  ] S = { – ; }
Dans [ 0 ; 2  ] S = { ;
}
3 3
3 3

x=
Pour que l'équation cos x = a ait des solutions il faut que a  [ – 1 ; 1 ]
On pose alors cos b = a
cos x = cos b  x = b ( 2  ) ou x = – b ( 2  )
b) sin x = a
1
d'abord dans IR puis dans ] –  ;  ]
2
puis dans [ 0 ; 2  ].
1


sin x =
 sin x = sin
ou sin x = sin  – 
2
6
6

5



x = + 2 k  ou
x =  – + 2k  =
+2k
6
6
6
5

Dans IR , S = { + 2k  ;
+ 2k  ; k  ZZ }
6
6
 5
 5
Dans ] –  ;  ] S = { ;
}
Dans [ 0 ; 2  ] S = { ;
}
6 6
6 6
Exemple : Résoudre sin x =
Pour que l'équation sin x = a ait des solutions il faut que a  [ – 1 ; 1 ].
On pose alors sin b = a.
sin x = sin b  x = b ( 2  ) ou x =  – b ( 2  )
c) Equations se ramenant aux cas précédents :
Exemples : Résoudre dans [ 0 ; 2  ] sin 2x =
1
2
1
5



= sin
donc 2x = + k  2  ou 2x =  –
k2=
k2
2
6
6
6
6
5

donc x =
+ k   ou x =
+k
12
12
13 
 5
 5  13 
Les différentes valeurs de x sont
;
et
. S={
;
;
}
12 12
12
12 12 12
On a alors sin 2x =

1
) = dans ] –  ;  ]
4
2
1


 


On a alors cos ( x – ) = = cos
donc x – = + k  2  ou x – = – + k  2 
4
2
3
4 3
4
3
7

donc x =
+ k  2  ou x = –
+ k2
12
12
7

 7
Les différentes valeurs de x sont –
et
. S = {–
;
}
12
12
12 12
Résoudre cos ( x –
d) Résolutions d'inéquations :
1
3 3
d'abord dans IR puis dans [ –
;
]
2
2 2
1
on résout d'abord sin x =
2
 5
Dans [ 0 ; 2  ] S = { ;
}
6 6
on représente les solutions de l'inéquation sur le cercle trigonométrique.
Exemple : sin x 
 5
;
]
6 6
3 3
3
7
 3
Dans [ –
;
] les solutions sont S = [–
; –
][ ;
]
2 2
2
6
6 2
Dans [ 0 ; 2  ] les solutions sont S = [