Calcul de la formule explicite d`un opérateur unitairement conjugue

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR (DeAD)
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
THESE DE 3ème CYCLE DE
GEOMETRIE DIFFERENTIELLE
,CALCUL DE LA FO·RMULE EXPLICITE D'UN
OPERA~ElJR UNITAIREM~ENT GONJUGUE A'U
LAPLACIEN D'UNE NllVARIETE DE RANG
QU,ELCQNQUE "POLARISEE"
Présentéeet soutenue publiquement
le 30 Octobre 1999 à 10 Heures à l'Amphi 7
Par
MAMOUR SANKHE
Sous la direction du Professeur
CHERlF BADJI
Devant le Jury composé de
Président: Chérif
BADJI
Professeur
Membres: Mary Teuw
NIANE
Professeur UGB de Saint -Louis
Juma
SHABANI
Professeur à ['Université du BURUNDI
Marnadou
SANGHARE
Maître de Conférences
ANNEE UNIVERSITAIRE 1998 -1999
UCAD
UCAD
REMERCIEMENTS
Je tiens à expnmer ma profonde reconnaissance au Professeur
Chérif BADJI dont le style d'encadrement depuis le D.E.A jusqu'à
cette présente thèse m'a procuré la joie de faire des mathématiques avec
un profond sentiment de liberté et d'épanouissement dans la recherche.
Qu'il trouve donc ici renouvelée toute la gratitude de l'élève au maître.
Mes remerciements vont aussi à :
• Mary Teuw NIANE
Professeur à l'UGB de Saint - Louis.
• Juma SHABANI
Profeseur à l'Université du Burundi
• Mamadou SANGHARE Maître de Conférences à l'UCAD
qui m'ont fait l'honneur et l'amitié d'être membres du jury.
Je tiens également à remercier Monsieur Magatte THlAM pour
toute l'aide bibliographique qu'il m'a apportée ..
Je remercie aussi les amis de l'équipe de Géométrie Différentielle
ainsi que tous les membres du Département de Mathématiques pour
l'atmosphère de travail et d'amitié dont je me suis toujours senti entouré.
Enfin, il me sera difficile de trouver une
formule originale pour
remercier Madame MBAYE, , Madame NDIAYB et Mademoiselle
CISSE qui ont dans une bonne humeur communicative assuré la saisie de
ce travail.
..
...
~
.t'fl .,.'
,1',. ('.
I#.oi('
'
DEDICACES
Je dédie ce travail
• A mon épouse bien aimée,
• A ma fille chérie
• A ma très chère mère
• A mes très chers frères et soeurs
• A mes collègues et amis qui se reconnaîtront.
• A toutes les honnêtes personnes qui croient au travail.
TABLE DES MATIERES
PAGES
INTR0 DUCTI0 N
.
1
CHAPITRE 1
.
3
CHAPITRE II
.
9
CHAPITRE III
.
15
CHAPITRE IV
Il Il •••••••• Il •••••••• 1 ••••••••••••••••••••••••• Il l ' Il •••••
BIBLIOGRAPHIE.....
I l I l ••• I l • • • • • • • • • • • • • I l •••• I l ••• 1.1 ••• I l • • • • • • •
24
28
INTRODUCTION
Dans [3], il a été calculé le spectre d'une nilvariété compacte ([\G, m) de rang
deux en utilisant la théorie des orbites de Kirillov.
D'une manière implicite, deux conditions ont entre autres permis d'aboutir au résultat:
(i)
La polarisation hA est un idéal de g,
(ii)
hA admet une base coexponentielle BÀ
telle que B Â. (Ui, Uj)
=
B Â. (Vi, Vj)
=-=
B Â. (Ui, Vj) - 8ijdi
~,
0
où {Ui} lsisk est la base BÀ ' {Vi} lsisk est une base de h À - g À où g À
B Â. est une forme bilinéaire alternée sur g telle que B À (X, Y)
=
= ker
À([X,Y]) (X, y
E
B À et
g).
Dans ce travail, nous montrons que les résultats obtenus concernant le spectre
peuvent être obtenus comme cas particulier dans le cadre d'une nilvariété compacte de rang
quelconque, (c'est-à-dire une variété de type (nG, m) où G est un groupe de lie connexe,
simplement connexe nilpotent d'algèbre de Lie g, [ est un sous-groupe discret co-compact
de G et m une métrique qui se relève en une métrique invariante à gauche sur G) polarisée,
Pour ce faire, nous avons établi la Proposition 1.2.4 et le Corollaire 1.2.5, Nous avons aussi
été amené à poser la définition suivante: (avec les notations ci-dessus).
Définition
Une nilvariété compacte qui vérifïe les conditions (i) et (ii) ci-dessus ainsi que
la condition (iii) ci-dessous.
(iii)
P(Ui, Uj)
E
[hA, hA]
(où P est un polynôme en (Uj, Uj) dont le degré de tout monôme est supérieur à deux)
est appelé nilvariété polarisée.
Notons que l'application exponentielle est un difféomorphisme de g sur G.
Dans la première partie nous rappelons la formule de Baker - Campbell - Hausdorff qui
sera beaucoup utilisée par la suite ainsi que quelques propriétés importantes des algèbres et
groupes de Lie résolubles exponentiels.
Dans la deuxième partie nous rappelons la notion de polarisation et la théorie
des orbites de Kirillov.
Dans la troisième partie, nous montrons la généralisation de la formule de
l'opérateur unitairement conjugué au Laplacien des nilvariétés de rang deux aux nilvariétés
polarisées de rang quelconque.
Enfin, dans la quatrième partie, nous l'appliquerons pour retrouver la formule
du spectre trouvée dans [3].
Exemple de nilvariété polarisée
Les nilvariétés compactes G de rang deux d'algèbre de Lie g décrites dans [3]
constituent des exemples de nilvariété polarisée.
En effet, pour de telles variétés, l'algèbre dérivée g' de l'algèbre de Lie g est
dans le centre de g et par conséquent dans g IL == ker B À == {X E g, À( [X,Y]) == 0, '\1 Y E g} .
2
CHAPITRE 1
QUELQUES NOTIONS PRELIMINAIRES
1.1 - Formule de Baker - Campbell- Hausdorff
Soit G un groupe de Lie analytique nilpotent. Nous avons dans ([5), p 195) le
1.1.1 - Théorème
Il existe une application polynomiale P de g x g dans g telle que
(i)
expX expY = exp P (X : Y)
(x, Y E g).
Soit z le centre de g et 0 = {X : X
(ii)
E
z, exp X = l} alors D est un sous-groupe
additif discret de g, et l'application exponentielle induit un difféomorphisme analytique de
la variété g/D sur G. En particulier, 0 est le groupe fondamental de G, g est une variété
revêtement de G avec exp comme application de revêtement, et exp est surjective,
(a) Application polynomiale
Soient U et V deux espaces vectoriels sur un corps K de caractéristique nulle et cp une
application de U dans V,
Définition:
L'application cp est dite application polynomiale s'il existe des bases
<v ,}
,
l j !tSjsn
de V, et des polynômes PI, , .. " Pn tels que
On vérifie que cette définition est indépendante du choix des bases.
3
{u i f!SiSm
de U et
(~)
On sait de manière classique que l'application polynomiale P est définie par P
l
=
C q où Cq est définie par la formule de récurrence
O~q~s
(n+I)C
(I.l.l.~ )
~
>1', p_n
<
p_
n+
I(X:Y)=~
2
K2 k 0 Lk
0
PI> ,... , 2p>
k +.. .+k =n
2p
1
n ~ 1 X, Y
E
[X-y,Cn(X:Y)]+
[C k, (X: Y),[ ....[C 1<.2P (X: Y),X +- y] .... ]]
g
: où CI (X : Y) :::: X + y
~
On a C2CX : Y)
[X, y]
1
-[[X, Y], y]
12
C3(X : Y)
=
C 4(X : Y)
= - -
- -1
[[X, Y],X] =
12
1
-
12
[X - Y, [X, Y]]
1
1
[Y;[X, [X, Y]]] - [X,[Y, [X, Y]]]
48
48
Nous avons dans ([5], p 196) le Corollaire du théorème 1.1.1 ci-dessus
(y) Corollaire
Si G est simplement connexe, alors exp : g
~
G est un
difféomorphisme.
1.2 - Algèbres et Groupes de Lie résolubles exponentiels
Le corps de base étant IR,
connexe d'algèbre de Lie g et exp : g
si G est un groupe de Lie connexe simplement
~
G l'application exponentielle alors on a dans
([1], p2) le
1.2.1. - Théorème
Les conditions suivantes sont équivalentes:
(i)
exp est injective
4
(ii)
exp est surjective
(iii)
exp est bijective
(iv)
exp est un difféomorphisme.
Ce qui conduit à la
1.2.2. - Définition
Une algèbre de Lie g et le groupe de Lie connexe et simplement connexe
correspondant sont dits résolubles exponentiels s'ils satisfont aux conditions du théorème
ci-dessus.
Notons qu'une sous-algèbre, une algèbre quotient, d'une algèbre résoluble
exponentielle sont résolubles exponentielles.
On a le résultat fondamental suivant:
1.2.3. Théorème ([1], p126)
Soient G un groupe de Lie résoluble exponentiel et g son algèbre de Lie. Si
a, b
E
g, il existe c, c'
E
[g, g] tels que
exp a exp b = exp(a + b) exp c = exp c' . exp(a + b)
Démonstration
Le groupe G étant exponentiel, le groupe des commutateurs [G, G] de G est
égal à exp[g, g]. Soient les morphismes canoniques
TC: G ~ G/[G,G]' P = dTC: g-~ g/[g,g)'
Ils commutent à l'application exponèntielle et donc le groupe UI [G,G] étant commutatif.
5
n(exp (a+b»
=
exp (pa + pb) = exp (pa) exp (pb) == n(exp a . çxpb).
Soit exp a. exp b. exp (-(a+b»
E
[G,G] = exp [g,g].
CQFD
Du théorème 1.2.3, nous en déduisons facilement la
1.2.4 - Proposition
Soient G un groupe de Lie résoluble exponentiel et g son algèbre de Lie.
Soit al' a 2'· .. ·' a n
E
Preuve (par récurrence sur n
La formule est vraie pour n = 2
g, alors il existe El, .... ,En-I
E g' =
[g,g] tels que
~2)
(c'est le théorème 1.2.3)
Supposons la vraie pour n = k (hypothèse de récurrence)
Alors pour n = k+ 1
k+l
(( Dexpa i
1=1
JJ :::Dexpaiexpa
k
k-1
(k
JJ
k + l = ~exPcjexp Lai
J:::Î
1=1
l'1 J
Il
'1
il vient:
Il
1=1
exp a k + 1
l'1 J
k-l expcj.exp (k a. exp a k 1 = k-1 expc . exp ck exp (( k a· + a k
1
1
1=
j=
=
k
+'1
J=
j
1=
+
1)
(k+1 J
Dexpcjexp .Lai
j=l
1=1
CQFD
Ce qui nous permet d'en tirer la conséquence immédiate suivante:
6
[
1.2.5 - Corollaire
Soit G un groupe de Lie résoluble exponentiel.
Alors
)
2k-l
k
(
exp (s. U .) = [1 exp e· [1 exp (t. + s· U.
J J J=1
J J
j=1
J j=1
J
J
J
k
k
[1 exp (t .U .) D
j=l
où Uj E g, Ej Eg' = [g,g] et tj, Sj EIR.
Preuve
En effet, d'après 1.2.4
k
k
2k-l
[ k
Ilexp(t.u·)IlexP(s.u.)= Il expe· exp I(t.+s.)u.
J
J
'1
J J 'J= 1
JJ
'1
J
'I J
J=
J=
J=
J
Or toujours d'après 1..2.4
exp [f(t. +s.)u.J
~ J J J
=
nexpe. rlexp((t. +s.)u.
j=1
J j=1
J
J
J
d'où
k
k
3k-2
k
(
~
Dexp(t,u·)DexP(s.u.)= [1 expe'·Dexp (t.+s . .
J=1
J J J=1
J J
j=2k
J J=1
J
J J
où
Ej=
E'j pour 2k-l <j:::;3k-2.
C.Q.F.D
Notons enfin que si G est compact, alors exp est surjective.
Notons la propriété importante suivante des algèbres exponentielles.
[,2.6. Proposition
(1 l J
l
p3)
Soit h une sous-algèbre d'une algèbre résoluble exponentielle g. Il existe une
base {XL ... , Xk} d'un sous-espace vectoriel supplémentaire de h dans g telle que
l'application (q,- ..... , tk, X)
~
exp t} Xl .. ·.. exp tk Xk exp X
soit un difféomorphisme de IRP x h sur le groupe G.
7
Nota
1.
Une telle base sera dite coexponentielle à h dans g.
2.
Si g est nilpotente alors on peut construire une base coexponentielle à n'importe
qu'elle sous-algèbre.
Puisqu'on vient de voir qu'une sous-algèbre d'une algèbre résoluble exponentielle est
résoluble exponentielle, nous en déduisons immédiatement la
1.2.7 - Proposition
Soit G un groupe de Lie nilpotent simplement connexe d'algèbre de Lie g et h
sous-algèbre de g. Il existe une base {X J, ... , Xld d'un sous-espace vectoriel
supplémentaire de h dans g telleque l'application HxlR
k
~ G (h,t)
k
Il
exp(t.x.)
J=l
J J
H h
oùt=(q, ... ,tk) etH=exph
soit un difféomorphisme.
Nota: La base {Xl, ... , Xk} de la proposition 1.2.7 est bien une base coexponentielle à h
dans g.
8
CHAPITRE II
THEORIE DES ORBITES DE KIRILLOV
Soit G un groupe de Lie nilpotent simplement connexe d'algèbre de Lie g.
D'après la théorie de Kirillov, on peut définir une application de g* dans G, espace des
classes de représentations unitaires irréductibles du groupe G.
A vant d'en donner une description détaillée, précisons quelques notions préliminaires.
ILl - POLARISATIONS ([2], P53).
Soient Y un espace vectoriel de dimension finie, B une forme bilinéaire alternée sur
Y. Pour tout sous-ensemble W de Y, on note W-.L l'orthogonal de W relativement à B. Et
y-.L est appelé le noyau de B. Comme B définit par passage au quotient une forme
bilinéaire alternée non dégénérée sur Y/y-.L alors le nombre dim Y - dim y-.L est pair. Pour
tout sous espae vectoriel W de Y, on a dim W = dim Y - dim W-.L + dim (W n y-.L ).
Un sous espace vectoriel W de Y est dit totalement isotrope si W c W-.L
La plus grande dimension des sous-espaces vectoriels totalement isotropes est Y2 (dim Y +
dim y-.L ). (cf [4], pIS3).
On a aussi la propriété suivante:
Proposition ([2], p.54)
Pour un sous-espace vectoriel totalement isotrope W, les conditions suivantes
sont équi vaJentes :
(i)
West totalement isotrope maximal
9
dim W =
(ii)
J.- (dim
Y + dim yi-)
2
(iii)
(iv)
Si ces conditions sont vérifiées alors on a W:::J yi-.
Par ailleurs, soit "A
B"A (X,Y)
= "A«(X, Y])
E
g *, désignons par B"A la forme bilinéaire alternée sur g définie par
(X, Y E g).
Alors on a:
Définition 1
Une sous-algèbre de Lie h de g est dite subordonnée à ).. si elle est totalement isotrope
pour B)... (ie si)... «(h, h]) = 0 ou encore si
}h est une représentation de dimension l de h.
Définition 2
Soit )..
E
g * . On appelle polarisation de g en ).. une sous-algébre de Lie de g
subordonnée à ).. de dimension
~ (dim g + dim
g A) où g A est le noyau de B)....
En d'autres termes une polarisation est une sous-algèbre de Lie de g qui est un sous-espace
vectoriel totalement isotrope maximal de g (muni de B)...).
Notons que si g est nilpotent, alors il existe des polarisations de g en tout point de g *.
Maintenant rappelons brièvement la théorie des orbites de Kirillov (cf (3].)
II.2 - THEORIE DES ORBITES DE KIRILLOV
La théorie des orbites de Kirillov permet de donner une description de l'ensemble des
représentations unitaires irréductibles d'un groupe de Lie nilpotent simplement connexe.
L'idée de base de cette théorie des orbites de Kirillov est qu'une représentation unitaire
irréductible d'un tel groupe est toujours induite par une représentation de dimension un d'un
sous groupe de Lie.
10
On sait que l'application exponentielle réalise un difféomorphisme de g sur G dont
l'inverse sera notée log et que G est unimodulaire. (cf [3], P 435)
Passons maintenant à la description des représentations unitaires irréductibles de G.
Soit À E g' , le dual algébrique de g, soit hune sous-algèhre subordonnée à À. On peut
construire un caractère A sur H (H
A (exp X)
=
=
exph) en posant:
exp (2n:i À(X», où XE h.
A est bien un caractère car h .est subordonnée à À. (cf II.2.3.2)
A partir d'un tel caractère, on va construire une représentation induite. Pour ce faire, on
va utiliser des résultats sur la structure des groupes de Lie nilpotents simplement connexes.
Le difféomorphisme apparaissant dans la proposition 1.2.7 induit un diftëomorphisme
de IR
k
sur
H\G
qUI permet d'identifier ces deux ensembles. De plus, G opère par
translations à droite sur H\G et IR
k
, la mesure de Lebesgue est invariante par les
translations à droi te de G.
Pour revenir à notre problème initial, choisissons {Xi} 1~i~k (k = dim glh) comme
dans la proposition 1.2.7 (ie {Xi} l~i~k est une base coexponentielle à h dans g)..
o
Soit *0 {fEe (G), f(hx)
=
l
(h)f(x), h E H,
XE
G} où eO(G) est l'ensemble des fonctions
continues sur G.
k
k
*0 s'identifie à eO(lR ), par l'application a : *o~ eO(lR ), où a(f) est définie par f
(a(f»(t)
Soit *1
=f
(fI
exp (t.x.)J où t = (q, ... , tk)
. 1
1 1
1=
= {f E: *0/
fl(a(f)(t)/2 dt < + 00
}
Rk
et * lecomplété de * 1 pour la norme L2.
11
E
k
IR .
H
a(f)
On peut maintenant définir la représentation n(
H
"A,
H) en posant, si f E H et x, YE G,
exp (h ) :
=
((n( "A, H) (x))(f))(y)=f(yx).
La représentation n(
"A,
H) s'appelle la représentation induite par ( "A, H).
On a le résultat fondamental suivant
Proposition II.2.1 ([3), P 436)
Soit G un groupe de Lie nilpotent simplement connexe. Avec les notations
précédentes:
Si
(i)
"A
est dans g* et h est une sous-algèbre subordonnée à 'A, alors n(
Îc,
H) est une
représentation unitaire. Cette représentation est irréductible si et seulement si h est une
sous algèbre subordonnée maximale par rapport à 'A. De plus n(
"A,
H) ne dépend que de
"A,
à
équivalence unitaire près, pourvu que h soit subordonnée maximale. On peut donc définir
nÀ
= n( "A, H) sans ambiguité.
Pour toute représentation unitaire irréductible
(ii)
(J
de G, il existe
"A
dans g' tel que
cr soit unitairement équivalente à n"A .
(iii)
Soient
"A
et ~ dans gO, alors n
seulement si il existe x E G tel que
(iv)
Pour tout
"A
(fJ*
et n~ sont unitairement équivalentes
SI
et
(Ix)* .
dans g* et pour tout
équivalente à
(v)
"A = ~ 0
"A
<p
dans Aut (G),
[1),
o<p est unitairement
n /\, 0 (fJ*
1
où Aut (G ) désigne le groupe des automorphismes de G
désigne la différentielle de
<p
en l'élément neutre.
Ix désigne l'automorphisme intérieur de G définie par Ix(Y)
différentielle en l'élément neutre.
12
=--'
Xyx·l; y E G et (Ix)* sa
Introduisons sur g" la relation d'équivalence suivante:
J.l
~
À si et seulement si il existe x
E
G tel que À = J.l
0
(Ix)* . On notera 0(1..) la classe
d'équivalence de À.
D'après la proposition Il.2.1, l'ensemble G des classes de représentations unitaires
irréductibles de G s'identifie à g* /~.
II.2.2 - Nota
Rappelons quelques résultats dûs à Kirillov.
D'abord une propriété citée dans ([1] (p 56» :
Soit g une algèbre de Lie nilpotente, et À E g*.
Désignons par M (À,g) l'ensemble des sous-algèbres h de g subordonnées à À maximales.
Dès lors le sous-espace vectoriel sous jacent à h est totalement isotrope maximal pour la
forme BI.. ou encore h est une sous algèbre subordonnée de À telle que
dim h
=~ (dim
g + dim g À) Alors les résultats de Kirillov sur les représentations des
groupes de Lie nilpotents prouvent en paticulier que:
II.2.3 - Théorème de Kirillov
II.2.3.1 - Lemme «4), p152)
Soient G un groupe de Lie nilpotent, g son algèbre de Lie et À une forme
linéaire sur g telle que À ([X, Y]) = 0 quels que soient X et Y dans g. Alors la formule
À
(exp X )
= exp (iÀ(X»
(XE g)
définit un homomorphisme continu de G dans le groupe des nombres complexes de module
égal à 1.
Réciproquement, tout homomorphisme de cette espèce s'écrit sous la forme indiquée.
13
II.2.3.2 - Corollaire ([4], p154)
Soit H un sous-groupe de Lie de G, d'algèbre de Lie h subordonnée à AE h* . Il
existe un caractère continu A de H tel que
A (exp X) = exp (iA (X))
(XE h)
Réciproquement, tout caractère de H s'obtient de cette manière en faisant un choix
convenable de A dans h* et de h subordonnée à A.
A présent, énonçons Je
II.2.3.3 - Théorème ([4], p154)
Soit G un groupe de Lie nilpotent d'algèbre de Lie g et H sous-groupe
correspondant à la sous-algèbre h subordonnée à A dans g *
Posons A (exp X)
et n( A,H)
= exp (iA (X))
(XE h)
= ind X
htg
Alors on a :
i) Pour que la représentation n( A,H)
soit irréductible, il faut et il suffit que h soit
de dimension maximale dans l'ensemble des sous-algèbres subordonnées à À.
(ii) Deux représentations irréductibles de cette espèce sont équivalentes si et seulement si
les éléments correspondants sont situés dans la même orbite de la représentation
contragrédiente de la représentation adjointe de G.
(iii) Toute représentation irréductible de G s'obtient en choisissant convenablement H et
14
À.
CHAPITRE III
CALCUL DE LA FORMULE EXPLICITE D'UN OPERATEUR
UNITAIREMENT CONJUGUE AU LAPLACIEN D'UNE
NILVARIETE COMPACTE DE RANG QUELCONQUE
POLARISEE
III.O - Considérations générales (131, p 436)
Soit G un groupe nilpotent simplement connexe, r un sous-groupe uniforme de
G (ie r discret et r\G compact), m une métrique invariante à gauche sur G. Alors r opérant
à gauche sur G comme un groupe d'isométries de (G, m), la métrique m induit sur r\G une
métrique m de sorte que la projection (G, m) ---+ (r\G, m) soit un revêtement riemannien.
Par la suite on identifiera m et m et on s'intéressera uniquement aux variétés de la forme
(r\G, m) où r est un sous-groupe uniforme de G et m une métrique qui se relève en une
métrique invariante à gauche sur G.
Pour calculer la formule explicite de l'opérateur unitairement conjugué à l'opérateur de
Laplace-Beltrami de notre nilvariété polarisée on procède ainsi qu'il suit.
2
On introduit la représentation quasi-régulière (p de G dans LC (r\G ) définie par:
2
(<p(x))f(y) = f(yx)
(X,YEG et fELC (r\G )).
Comme tout groupe nilpotent est unimodulaire, cette représentation est bien définie et est
unitaire. On définit alors la différentielle de cette représentation de la manière suivante:
d
~oo
(<p.(X))f = - <p (exp (tX))f /1=0 (X E g et fE l,., (r\G)).
dt
L'opérateur de Laplace Beltrami de la variété (r\G, m) s'écrit alors:
n
~m = - L(<fJ*(X i ))
2
;=1
où t'xi }l~i~n est une base orthonormale quelconque de g pour la métrique m et n
= dim g.
Comme r\G est une variété compacte, la représentation quasi-régulière de G dans
2
LC (r\G ) se décompose en une somme directe discrète de représentations unitaires
irréductibles, chacune apparaissant avec une multiplicité finie.
15
D'après les résultats de II.2.1, il existe une partie O(r) de g* telle que si À et ~
sont dans O(r) alors O(À)
non nul tel que cp -
(l
l
0
(~)
= 0 et pour chaque ÀE O(f ) il existe un entier mA-
mA- 7r A- .
A-EO(r)
Comme en restriction à chaque espace irréductible VÀ (ÀEO(f ) cp est
unitairement équivalente à
7r A-'
la restriction de L\m à VÀ est unitairement conjuguée à
l'opérateur:
n
L\
1
A,m
= - "\' ((7r
~
1
A
)* (X.))
2
1
où lxi f1:5i:5n est une base orthonormale quelconque de g pour la métrique m et où l'on a
posé
(i = 1, ..... , n).
111.1 - Quelques considérations préliminaires
Rappelons que dans [3], il a été calculé la formule explicite d'un opérateur
unitairement conjugué au Laplacien d'une nilvariété de rang deux. L'un des obstacles à la
généralisation immédiate du résultat est que dans la méthode de calcul employée, la
formule:
l
TIexp(tju)rlexp(s.u.)=nexp((t.+s.)u.)exp[t.s.[u"uRJ]
J=1
J=1
J J j=l
J
J J
l:5j<R:5k J J J
ne marche pas si le degré de nilpotence est strictement supérieur à deux. (pour s'en
convaincre prendre k = 2 et R = 1)
Nous avons tenté de lever cette obstruction en utilisant la proposition 1.2.4 et le
corollaire 1.2.5.
Par ailleurs, le fait que le degré de nilpotence est égal à deux entraine que l'algèbre dérivée
g' de g est dans le centre z de g.
Et du coup, les calculs s'en trouvent beaucoup simplifiés, surtout du fait que g'c z c hÀ.
Ainsi donc À(g') == 0 et par conséquent À(gn) == 0 . '<::/ n E ~t (où gO = g et gn+ 1 == [g,gn].
Dès que le degré de nilpotence dépasse deux, cette propriété n'est plus valable.
16
Ici aussi, nous avons tenté de contourner cet obstacle en supposant que la nilvariété est
polarisée.
1II.2 - Calcul de l'opérateur
',.
fj. À
'
m
Rappelons que si {Xi }1S;iS;" est une base orthonormale de g pour la métrique m.
n
Alors
m est défini par
fj. À
fj. À
,
m =-
L (( TI À)· (Xi)(
'i=1
Nous distinguerons deux cas :
er
!-Cas:À/g'=O
(i.eg=gÀ)
On rappelle alors que g est l'unique sous-algèbre maximale subordonnée à
À
et la
représentation TI À est le caractère défini par :
TI À (exp X)
= exp(27ti À(X))
(X
E
g)
Dès lors, l'espace VÀ de la représentation TI À est de dimension un et l'opérateur t3. À ,m
appliqué à une fonction f
n
t3. À m (f) (x) = ,
E
ec (f\G) donne:
L (( TI À)· (Xj)/ (f) (x)
(x
(f\G)
E
j=1
d
or (( TI À)· (Xj))(f)(x) = dr TI À (exp r Xj) (f)(X)/r=O
d
= dr exp(2ni À( r Xj)) f(x)/r=o = 2 ni À(Xj) f(x)
d'où (( TI À)· (Xj)/ (f)(x) = (( TI À)· (Xj))
0 (( TI À)·
(Xj)(f)(x)) =
2
= ((TI À). (Xj))(2ni À(Xj) f(x) = _4n (À(Xj))2 f(x).
D'où
m = 4n
fj. À
,
Donc l'opérateur
2
n
L
(À(Xj)(
j~1
fj. À
m correspond à la multiplication par 4n
,
est une Base orthonormale. quelconque pour m de g.
Remarque
Si N,'" 0 alors Speer Ô J,rn)
~ {4
,,'
t.
(J(X;))'}
17
2
n
L
~
(À(Xj))2 où {X JIS;jS;m
ème
~-
Cas :
À/ g'
;F.
0 (ou g Il.
;F.
g)
Rappelons que puisque BIl. induit sur g/g Il.
une forme bilinéaire alternée non
dégénérée, alors la dimension de g/ g Il. est paire et donc il existe une base orthononnée de
g pour la métrique m : B = {UI, ... , Uk, VI, ... , Vk, WI, ..... , We} et des réels
os; dl S; ... S; dk tels que
{WI, .... , Wfl.} soit une base de g Il. = Ker BIl. (fl. = dim g Il.) .
Pour 1S; i, jS; k,
o=
B /l.1 (U" U)
= B /l.1 (Vl' V)
= B /l.1 (U'l, V)
- Vs: IJ.. dJ
J
J
J
où ± idj sont les valeurs propres de
)1 À
définie par B Il. (X, Y) == m(X,
)1 À
(Y))
()1 À
étant
une fonne linéaire antisymétrique sur g).
Rappelons aussi que g Il. EB IR V IEB ... EB IR Vk est un sous-espace vectoriel subordonné à À
maximal et coïncide de ce fait avec le sous-espace vectoriel sousjacent de hÀ à
un
isomorphisme près. Et comme notre nilvariété est polarisée, par la suite on identifiera hl-. et
Reprenons les notations du chapitre II et désignons par D~ la représentation
définie par D~ (x) = a
0
D Il. (x)
(H Il. = exp h Il. et a : }{ -~
fl-~
0
a-! où x
E
G, D Il. = D(À, H Il. )
ec (lR k)
a(f)
k
avec (a(f))(t) = f(Tl exp(tJ.X j )) si t = (tl,'''' tk)'
J=1
,
Il Il. est unitairement équivalente il IlÀ(x) et son espace de représentation est L2c (IR k).
Déterminons explicitement TI'Il.'
k
Soitx=ho nexp(Sj Uj)oùh o
J=1
,
Calculons Il Il. (x). Soit f
(D~ (x) f)(t) = «a
0
k
?
E
DI-.(x)
HÀ=exp(hÀ)ets=(sl, ... ,Sk)
E
L-c (IR )
0
a-
I
)
f) (t) =
18
E
IR
k
= [a(I1À,(x) 0 (a-1(f))](t)
= [a(a- 1 f)(ex)](t)
k
fl
exp(t. U .)
. 1
J J
l
= (a(a- ( f)(ex»(t) = ((a·l(f)(ex»(
J=
k
(I1 A(x) f)(t)
= (a-If) ( TI exp(t. U . )x)
. 1
J=
= (a-If)
[ .
J J
k exp (t .U .) Jh
TI
J=
1
J J
o.
TIk exp (s. U .)
J=
1
J J
or,
k exp(t.U.)h = [ TI
k exp(t.U.),h ] hO TI
k exp(t.U.)
TI
O
O
'
1
JJ
'
1
JJ
'
1
JJ
J=
J=
J=
et
k
k
3k - 2
TI exp(t. U .) TI exp(s. U .) = TI exp
. 1
J=
J J . 1
J=
J J
. 1
J=
k
(
TI exp (t. + s .)U .
E.
J. 1
J=
J
J
)
J
(E.Eg')
J
d'après la proposition 1.2.4 et le corollaire 1.2.5
Et d'ailleurs puisque
3k - 2
TI
exp
'1
J=
k
k
= TI
k
(
exp(t. U .) TI exp(s. U .) TI exp - (t . + s .)U .
J 'J=
I
J J 'J=
1
J J 'J=
1
J
J J
E.
)
on voit bien d'après la formule de Baker-CampbeH - Hausdorff que
3\ï2exPE ' =exp(PCt.u.sl U »)
J
j=1
J
J J
(tl U I
, ... ,
tkU k ; SIU I
, ... ,
où (PC t . u . SIU t »)
J J
désigne un polynôme en
SkU k) dont le degré de chaque monôme est supérieur à deux.
m
On peut même dire qu'en fait P est un polynôme du type P = , L C j où les Cj sont définis
J=2
par la formule
(I.l.l.~)
et m+l est le degré de nilpotence de g. De ce fait
(P(t j U j;SI' U 1») c h'f.., c hÀ, car la nilvariété est polarisée. Il en résulte que:
(I1~CX)f}t)=ca-lf)l[j A
expct.u.),ho]hoexPCpct.U.;SIUI)l fi eXP(Ct.+s.)u.)
=1
J J
J J
/j = 1
J
J J
19
Par ailleurs
[0
ex p( t jU j), ho ]
~ [j ~ 1ex p( (t j U j),exp(log hO))]
k
=
k
TI
exp(t U )exp(logh ) TI exp(-t .U . )exp(-logh ) == exp(Q(t . U ., logh ))
O j=l
O
O
j=l
J J
J J
J J
0
0
d'après la formule de Baker-Campbell-Hausdorff.
m
= L
où Q un polynôme de la forme Q
C j est fonction de U 1,
0'0'
U k, log ho et Q(tjUj,
j=2
log hO)E h À car h À est un idéal de g.
Dès lors
lrt (x)! Xt) =
X(exP(Q(t.u .,logho))exp(logh )exp(P(tJ.U .,seUe))
J J
0
J
= X:exP(Q(t jU j'logho)~
exp(t +s .)U oJ
j=l)
)
)
0
X ~ X~xpP(tjU j'SIUI ~f(t + s)
EH À
=
)(a-If)( A
EH,~
EH À
exp (2JriÀ(Q(t.U o,logh ))exp(2JriiÀ(logh ))exp(2JriÀ(P(t.U ,;sIUI))xf(t+s)
J)
0
0
J )
= (exp(2JriÀ(Q(t. )oU).,logh 0 )+logh +P(t.U
.;soU o )))f(t+s)
) ) {{
O
Finalement
lr1~ (x)f Xl) = (exp 2Jr iÀ(Q(t jV"
,
log ho) + log ho ))f(l + s)
1
car P(tpj, SIU I) E h À. et À(h À.)
=0
On a donc bien la formule explicite
lr1~ (x)f Xl) = f(l + s) exp(2Jr iÀ(log ho + Q(t,U" log ho))
(*)
k
où
X =
ho
TI exp(s)U)
avec ho EHÀ et s = (s\, 0", Sk) ElR
k
)-\
Avant de passer au calcul la formule explicite de L)\À.m) l'opérateur conjugué
de L)(À,m) rappelons (3] que r\G étant une variété compacte, la représentation quasirégulière
de G dans
L~
(r\G) se décompose en une somme directe discréte de représentations
unitaires irréductibles, chacun avec une multiplicité finie, Et en restriction à chaque espace
irréductible VII., la restriction L)m
à VII. est unitairement conjuguée à l'opérateur
20
d
de g pour la métrique m et où l'on a posé (TI À)*(X i ) = dt fI À, (exP(tX))lt
Calculons les opérateurs
Comme
ô' À, m
TI À,
~-~
et
TI'À,
(n'À)' (X i )
sont
f
où
Ô'À, ,m
=
unitairement
équivalentes,
alors
= exp, (rUj ) alors ho= 1 élément neutre de G et log ho =
Dès lors TI À, (exp(rU . )f)(t) = f(t + (0, .... ,.0, r ,..... ,0))
Pour x
t
J
jème position
(log ho = 0)
Dès lors
exp rU . )f)(t),
°
( ((TI~) * (U.J ))(f)(t) =~((TI~
dr
J
r=
=~(t)
f(t + (0, ....,0, r,O,O, ...O)
t
dr
Dt.
J
Jéme position
d'où
((J1~)*(U j))2(f)) (t)~((J1~),(Uj))[~J(t)
(((TI ~ )* (U j ))
2
(f))
= 1,.. , n.
on
a
l'opérateur
lxi t: i ~ n est une base orthonormalt!juelconque de g
Choisissons la base orthonormale BI.. considérée plus haut. Soit fE
d
i
unitairement conjugués des opérateurs Ô À, ,m
pour la métrique m.
=-
°
2
(t) = :.2 f( t) ( l )
J
2J
°
-C (lR k ).
OO
rE IR.
Ensuite pour x = exp (r Vj ), rE IR, on a x = ho et s= 0 log ho = r Vj .
D'après la formule (*) on a :
n~ (exp(rV. )f)(t) = f(t)exp(2niÀ(rV. + Q(t j U l' rV . ))
J
J
J
d'où
(t)
( (n~)*(v.)f)(t)=~(n~(exp(rv.)f)
J
dr
J
r=O
=
~(f(t)eXP(2ni(À(rV.)) + r t .d .) + À (termes de degré
J
dr
J J
en t,v,) + À (termes de degré supérieur à 2 en r)
1 en r et de degré supérieur à 2
J .
r=O
En désignant par Qi(tl D, ,rVj ) = r Qi(tl Dl, Vj ) la somme des termes de degré 1 en r et de
degré supérieur à 2 en t,Dl (l = 1. .... , k) on a:
On en déduit que
((n~)* (V j) 2 f )ct) = ((n~)* (V j)) ((n~)* (Vj)f )ct)
On a donc
Enfin pour x
=
exp (r Wj ), on a x = ho et log ho = rW j rE R
22
Dès lors
et
((TI~). (W. )f)(I) = !!.-(TI~ (exprW .»f)
)
dr
)
r
=
0
(1)
Finalement
(3)
1
D'après (1), (2) et (3) on a l'expression suivante de
f
±
fj,
1
/\.,m
f
f
2
fj,'À.mf(t)=02 (t)+4Jr [
(Jl(W.»2+
(d.t.+À.(V.+Q.»2 )f(t)
. 1
,
. 1.::J t 2j
J
. 1 ))
J)
)= U
)=
)=
(4)
CHAPITRE IV
APPLICATION
U==
Si Qich'À
,
l, ... , k) (i.e À(Qi)
l'opérateur 6 "1
A,m
=
0) , alors 6
1
A,m
est unitairement conjugué à
.
Et l'on retrouve les résultats obtenus par H. PESeE [3]. Rappelons-les pour le
calcul du spectre.
~l ,.... , À(Yk) ~k) E Rk
En effet soit a == ((À(V )
I
et T l'opérateur
unitaire de L~ (R k) défini par Tf (t) ) == f (t-a), t E L~ (R k) et tERk. Alors on a :
6
"
1
A,m
oT=T o 6
,
1
A,m
pUisque:
Il
Il
(6 À,m
=-
0
T)(f)(t)
f
J-
. -}
or tj - aj ==
= (6 À ,m
0
Tf)(t)
f d21~ f
Tf
(i)+4;r2(
+
(/i(W.)2]Tf(l)
.
.::l t 2
-1
)
)
.
1
)
u
.
JJ-
o2
J
d/)
-À
d
(Y j )
ou djtj == ditj - aj) + À(Yj)
1
24
fUI-al,···,t. l-a. I,I.-a.+r,t. I - u , " .. ,Ik-uk)-{(ll-al,.. ,tk-ak)
J JJ
J
J+
J +1
.
·
1lm
r--.+O
of
= -Ct-a)
ot
r
J
d'où
Dès lors
( ~'~, moT }f)(t)
2
--2
0 f (t-a)+47l'2 [ L
k (d.Ct. -a .)+Â.(V,))2+ L
' Â.(W.)2
] ]l(t)
'-I::l
t
'-\
J
J
J
J
'_1
J
J- U .
JJJ
=- L
k
2
=- lk --2
0 f (t-a)+47l'2 [ lk (d.(I.-a.)+,1,(V.))2+ l' (,1,(W.))2
] ]f(L-a)
'-I::l
t
'-1
J
J
J
J
'-1
J
J- U .
JJ-
J
,
=T o 6
1
A,m
l(t)
"
Donc 6
1
A,m
0
T =T0 6
,
1
A,m
ou
6
"
1
A,m
=T o 6
,
1
A,m
T- '
Dès lors il suffit de calculer les valeurs propres de l'opérateur 6
"
1
A,m
Pour cela les fonctions d'Hermite définies par
où
II-II est la norme euclidienne usuelle sur R k et P =
k
1
P
1
L P,
)=1
J
et l'on rappelle que
(PI, ... , Pk)EN
{H}
k
P pEN
25
k
est une base orthogonale de
02
t2. H (t) - --2 H (t)
)
Pot.
P
= (2p
. + l)H (t)
)
P
J
on a
Dès lors
ou encore
6'~ rn K p (t) =[ .f 12tr(2p.) + l)d). + 4tr 2 .f 1(A(W),))2J K P (t)
/t"
)=
)=
En résumé on a la version suivante de la Proposition ILl de PESeE ([3])
Théorème
Soit G un groupe de Lie nilpotent connexe, simplement connexe,
r
un sous-
groupe de Lie uniforme de G et m une métrique invariante à gauche sur G, alors le
spectre Sp ( r\G,m) du Laplacien de la variété (r\G,m) polarisée de rang quelconque
telle que
SP(r\G,m)=
Qi est dans hl" est de la forme:
U
Sp(A,rn) oùl'onaposé
A E B(n
26
orthonormale quelconque de g pour la métrique m .
•
SI
À.EB2 (l)etÀ.(Q)=o:sP(À.,m)={4Jr
2
f
'}
J=
lÀ.(W,)2)+21[
J
~
'}
J=
(2P,+})d"PENk}
J
où
1. 1= dim 8h 1 k =
2.
{W.}
J
est une base orthonormale de gÀ pour la restriction de m à gÀ
15,)5,/
3. ± idj (1
4. S (ï)
l2 (dim g . dim gh) = l2 (n • 1)
5,
j
5,
k) sont les valeurs propres non nul les de l'opérateur Ill.
= SI(f) u S2(f)
est une partition de g
ÀESI(ï) si et seulement si
,7i,:; 0
ÀES2(f) si et seulement si
,7i'
::f;
X-
telle que
(ou g = gÀ)
0
5. Qj j = l, 2, ... ,k est le polynôme apparaissant dans (4),
27
J
BIBLIOGRAPHIE
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28