Calcul de la formule explicite d`un opérateur unitairement conjugue

UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR (DeAD)
FACULTE DES SCIENCES ET TECHNIQUES
DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES
THESE DE 3ème CYCLE DE
GEOMETRIE DIFFERENTIELLE
,CALCUL DE LA FO·RMULE EXPLICITE D'UN
OPERA~ElJR UNITAIREM~ENT GONJUGUE A'U
LAPLACIEN D'UNE NllVARIETE DE RANG
QU,ELCQNQUE "POLARISEE"
Présentéeet soutenue publiquement
le 30 Octobre 1999 à10 Heures à l'Amphi 7
Par
MAMOUR SANKHE
Sous la direction du Professeur
CHERlF BADJI
Devant le Jury composé de
Professeur UGB de Saint -Louis
Professeur à['Université du BURUNDI
Président: Chérif
Membres: Mary Teuw
Juma
BADJI
NIANE
SHABANI
Professeur
UCAD
Marnadou
SANGHARE Maître de Conférences UCAD
ANNEE UNIVERSITAIRE 1998 -1999

REMERCIEMENTS
Je tiens à expnmer ma profonde reconnaissance au Professeur
Chérif BADJI dont le style d'encadrement depuis le D.E.A jusqu'à
cette présente thèse m'a procuré la joie de faire des mathématiques avec
un profond sentiment de liberté et d'épanouissement dans la recherche.
Qu'il trouve donc ici renouvelée toute la gratitude de l'élève au maître.
Mes remerciements vont aussi à :
•Mary Teuw NIANE
•Juma SHABANI
Professeur à
l'UGB de Saint -Louis.
Profeseur àl'Université du Burundi
•Mamadou SANGHARE Maître de Conférences à
l'UCAD
qui m'ont fait l'honneur et l'amitié d'être membres du jury.
Je tiens également àremercier Monsieur Magatte
THlAM pour
toute l'aide bibliographique qu'il
m'a apportée ..
Je remercie aussi les amis de l'équipe de Géométrie Différentielle
ainsi que tous les membres du Département de Mathématiques pour
l'atmosphère de travail et d'amitié dont
je me suis toujours senti entouré.
Enfin,
il me sera difficile de trouver une formule originale pour
remercier Madame MBAYE, ,Madame NDIA
YB et Mademoiselle
CISSE qui ont dans une bonne humeur communicative assuré la saisie de
ce travail.
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... ~
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DEDICACES
Je dédie ce travail
• A mon épouse bien aimée,
• A mafille chérie
• A ma très chère mère
• A mes très chersfrères et soeurs
• A mes collègues et amis qui se reconnaîtront.
• A toutes les honnêtes personnes qui croient au travail.

TABLE DES MATIERES
INTR 0 DU CTI 0 N .
CHAPITRE 1 .
CHAPITRE II .
CHAPITRE III .
CHAPITRE IV IlIl •••••••• Il •••••••• 1 ••••••••••••••••••••••••• Il l' Il •••••
BIBLIOGRAPHIE ..... IlIl ••• Il ••••••••••••• Il •••• Il ••• 1.1 ••• Il •••••••
PAGES
1
3
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INTRODUCTION
Dans [3], il aété calculé le spectre d'une nilvariété compacte ([\G, m) de rang
deux
en utilisant la théorie des orbites de Kirillov.
D'une manière implicite, deux conditions ont entre autres permis d'aboutir au résultat:
(i) La polarisation hA est un idéal de g,
(ii) hA admet une base coexponentielle BÀ
telle que B Â. (Ui, Uj) =B Â. (Vi, Vj) =-= B Â. (Ui, Vj) -8ijdi ~, 0
où {Ui}
lsisk est la base BÀ'{Vi} lsisk est une base de hÀ-gÀoù gÀ= ker BÀ et
B Â. est une forme bilinéaire alternée sur gtelle que BÀ(X, Y) =À([X,Y]) (X, yEg).
Dans ce travail, nous montrons que les résultats obtenus concernant le spectre
peuvent être obtenus comme cas particulier dans le cadre d'une nilvariété compacte de rang
quelconque, (c'est-à-dire une variété
de type (nG, m) où G est un groupe de lie connexe,
simplement connexe nilpotent d'algèbre de Lie g, [est un sous-groupe discret co-compact
de Get mune métrique qui se relève en une métrique invariante à gauche sur G) polarisée,
Pour ce faire, nous avons établi
la Proposition 1.2.4 et le Corollaire 1.2.5, Nous avons aussi
été amené àposer la définition
suivante: (avec les notations ci-dessus).
Définition
Une nilvariété compacte qui vérifïe les conditions (i) et (ii) ci-dessus ainsi que
la condition (iii) ci-dessous.
(iii) P(Ui, Uj) E [hA, hA]